答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)四川省宜賓市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽（初賽）試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、填空題1．定義域是一個(gè)函數(shù)的三要素之一.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為．3．點(diǎn)在圓上，若，，則的最大值為.4．已知直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，且為鈍角三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．5．已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)引的外角平分線的垂線，垂足為，則與短軸端點(diǎn)的最短距離為．6．若、、、四點(diǎn)均在同一球面上，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則的面積的最大值為．7．九連環(huán)是中國(guó)的一種古老智力游戲，它環(huán)環(huán)相扣，趣味無(wú)窮.長(zhǎng)期以來(lái)，這個(gè)益智游戲是數(shù)學(xué)家及現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)專家用于數(shù)學(xué)研究的課堂和例子.現(xiàn)假設(shè)有個(gè)圓環(huán)，用表示某種規(guī)則下個(gè)圓環(huán)所需的最小移動(dòng)次數(shù).已知數(shù)列滿足下列條件：，，記的前項(xiàng)和為，則；．8．已知函數(shù)，若，使關(guān)于的不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．二、解答題9．已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于和兩點(diǎn)，且．（1）求該拋物線的方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值．10．交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐式幾何中亦有應(yīng)用.設(shè)是直線上互異且非無(wú)窮遠(yuǎn)的四點(diǎn)，稱（分式中各項(xiàng)均為有向線段，如）為的交比，記為．(1)求證：；(2)若為平面上過(guò)且互異的四條直線，為不過(guò)點(diǎn)且互異的兩條直線，與的交點(diǎn)分別為，與的交點(diǎn)分別為，證明：.11．已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．《四川省宜賓市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽（初賽）試題》參考答案1．【分析】應(yīng)用抽象函數(shù)定義域定義計(jì)算即可.【詳解】已知函數(shù)的定義域?yàn)?則函數(shù)，得，則，則函數(shù)定義域?yàn)?故答案為：.2．【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即得．【詳解】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以所以點(diǎn)到直線的距離為：，即點(diǎn)到直線的距離為．故答案為：．3．4【分析】根據(jù)條件可得，為等邊三角形，再由向量的加法和數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)合余弦函數(shù)的和角公式可得答案.【詳解】由題意，則，且，所以為等邊三角形.則.顯然，所以當(dāng)時(shí)，有最大值4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是向量的加法得，然后由向量的數(shù)量積的定義得到，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換可得答案.4．【分析】可得為等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)C到直線的距離，要使為鈍角三角形，需滿足.【詳解】圓：化為，故圓心，半徑為2，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)C到直線的距離，解得，為鈍角三角形，，當(dāng)時(shí)，，則可得的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是判斷出要使為鈍角三角形，需滿足點(diǎn)C到直線的距離.5．1【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可確定為中點(diǎn)，結(jié)合橢圓定義和三角形中位線性質(zhì)可確定點(diǎn)軌跡為以為圓心，為半徑的圓，進(jìn)而確定當(dāng)位于軸時(shí)取得最近距離.【詳解】由題意知：，設(shè)的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，為線段中點(diǎn)，由橢圓定義知：，分別為和中點(diǎn)，，點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，由橢圓方程知：短軸端點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，其到臨近的短軸端點(diǎn)的距離最近，最近距離為.故答案為：1.

6．【分析】由于，求的面積的最大值即求的最大值，利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】,，又，所以，即，，即的面積的最大值為.故答案為：.7．341【分析】根據(jù)遞推式，逐項(xiàng)列出奇數(shù)項(xiàng)相鄰項(xiàng)相減，然后運(yùn)用累加法可求出奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，從而可求出，再計(jì)算出偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，然后綜合可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用分組求和法可求得.【詳解】由題意可知，，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，，……，，所以，所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，，……，，所以，所以，所以故答案為：341，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的問(wèn)題，考查等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，考查累加法、分組求和，解題的關(guān)鍵是分為奇數(shù)和偶數(shù)結(jié)合已知的遞推式求出通項(xiàng)公式，考查分類討論的思想、轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.8．【分析】判斷出關(guān)于對(duì)稱，在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為使成立，令，即求在上的最小值，利用配方法可得答案.【詳解】對(duì)于，，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，可得在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即使成立，令，，即求在上的最小值，令，當(dāng)時(shí)，，所以，可得，所以，即，令，，所以在上的最小值為2，所以，即的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題解題方法是確定函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性，把不等式化簡(jiǎn)變形，然后再利用換元法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式能成立問(wèn)題，再分離參數(shù)后變成求函數(shù)的最大值．9．（1）；（2）或．【解析】（1）由題意求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線方程，和拋物線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求得，則拋物線方程可求；（2）由（1）求出，的坐標(biāo)結(jié)合，求出的坐標(biāo)，代入拋物線方程求得值．【詳解】解：（1）依題意可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，故直線的方程為，聯(lián)立，可得．，，△，解得，．經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦，解得．拋物線方程為；（2）由（1）知，，，代入直線，可求得，，即，，，，，，，，，點(diǎn)在拋物線上，故，解得：或．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了向量在求解圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題．10．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用交比的定義進(jìn)行推理計(jì)算，即可證得；（2）利用交比的定義,結(jié)合圖形，將線段之比轉(zhuǎn)化為三角形面積之比，再利用三角形面積公式將其轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)內(nèi)角的正弦值之比，通過(guò)圖形轉(zhuǎn)化為另一組三角形中對(duì)應(yīng)內(nèi)角的正弦值之比，借助于對(duì)應(yīng)三角形面積之比化簡(jiǎn)得證.【詳解】（1）;（2）

如圖，因的高相同，故有，則.11．（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列前n項(xiàng)和，然后利用作差法證明即可；(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分別利用指數(shù)型裂項(xiàng)求和和錯(cuò)位相減求和計(jì)算和的值，據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算數(shù)列的前2n項(xiàng)和即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項(xiàng)公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2