PAGE培優(yōu)點(diǎn)3解三角形中的范圍與最值問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01重點(diǎn)解讀 202思維升華 303典型例題 4題型一：利用正弦定理及三角函數(shù)有界性求解 4題型二：利用余弦定理及基本不等式求解 5題型三：換元法求解范圍 6題型四：坐標(biāo)法 7題型五：三角形中的平方問題 8題型六：等面積法 9題型七：常見數(shù)學(xué)史問題 10題型八：四心問題 1204課時精練 14

解三角形范圍與最值是高考中檔難點(diǎn)，多在解答題中后段或選填壓軸，分值5-12分。常以邊長、面積、角的三角函數(shù)值為目標(biāo)，依托正余弦定理轉(zhuǎn)化為函數(shù)或不等式問題。常用方法有：三角函數(shù)有界性、基本不等式、二次函數(shù)最值。近年常與幾何約束（如固定邊、角）結(jié)合，側(cè)重轉(zhuǎn)化思想與代數(shù)求最值能力。

在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：（1）利用基本不等式求范圍或最值；（2）利用三角函數(shù)求范圍或最值；（3）利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；（4）根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；（5）利用二次函數(shù)求范圍或最值．

題型一：利用正弦定理及三角函數(shù)有界性求解【例題1】在中，角，，的對邊分別為，，，已知．(1)求角；(2)若，且邊的中線的長為，求的面積；(3)若是銳角三角形，求的范圍．【例題2】在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足．(1)求證：；(2)若，求a邊的范圍；(3)求的取值范圍．【變式1】（2025·高三·浙江麗水·期末）已知銳角內(nèi)角的對邊分別為.若.(1)求；(2)若，求的范圍.【變式2】（2025·江西南昌·三模）在銳角中，，，(1)求角A；(2)求的周長l的范圍.題型二：利用余弦定理及基本不等式求解【例題3】（2025·高三·河北石家莊·期中）在中，角所對的邊為且滿足.(1)求；(2)當(dāng)時，求邊上中線的范圍.【例題4】在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c滿足，.(1)求B；(2)若D為線段BC上一點(diǎn)，且滿足，，求CD的長；(3)若為銳角三角形，求面積的范圍.【變式3】在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且.(1)求角的大?。?2)若，求周長的范圍【變式4】（2025·高三·河北邢臺·開學(xué)考試）已知在中，角所對的邊分別是，且滿足.(1)求角的大小；(2)若的外接圓半徑為1，求面積的最大值.【變式5】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的大??；(2)若，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，求內(nèi)切圓的半徑．題型三：換元法求解范圍【例題5】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)若，求證：；(2)若，求的最大值．【例題6】在中，角的對邊分別為，已知.(1)若，且邊的中線長為，求的面積；(2)若是銳角三角形，求的范圍.【變式6】在中，角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若周長為6，求的面積；(3)若為銳角三角形，求的范圍．【變式7】在銳角三角形中，分別為角所對的邊，.(1)證明：.(2)求的范圍.題型四：坐標(biāo)法【例題7】（2024·山東·二模）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點(diǎn)G是△ABC的重心，且.(1)若，求tan∠GAC的值；(2)求cos∠ACB的取值范圍.【例題8】在中，，，點(diǎn)在內(nèi)部，，則的最小值為______．【變式8】（2025·江西·模擬預(yù)測）設(shè)的面積為，內(nèi)角的對邊分別為為中點(diǎn)，已知．(1)求；(2)若，求的范圍．題型五：三角形中的平方問題【例題9】（2024·高三·江蘇常州·期末）已知中，，所在平面內(nèi)存在點(diǎn)使得，則面積的最大值為．【例題10】（2024·遼寧遼陽·一模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則的最小值為.【變式9】在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是___________.題型六：等面積法【例題11】在中，，且．(1)求角；(2)求面積的最大值；(3)若是邊上的一點(diǎn)，且證明，并求的最小值.提示：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．【例題12】在中，角的對邊分別為，且，.(1)若，求的值；(2)若為銳角三角形.（?。┣蟮娜≈捣秶唬áⅲ┤羰堑慕瞧椒志€，求的取值范圍.【變式10】（2025·高三·山東·開學(xué)考試）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(1)求；(2)若的面積為，且∠BAC的平分線交邊BC于點(diǎn)D，求AD的最大值．【變式11】已知函數(shù)，，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，記的最大值為，設(shè).(1)求的解析式；(2)在中，，，其內(nèi)切圓半徑為r，點(diǎn)P滿足.①求r的最大值；②當(dāng)r取得最大值時，求長的取值范圍.題型七：常見數(shù)學(xué)史問題【例題13】（2025·高三·黑龍江·開學(xué)考試）在中，對應(yīng)的邊分別為，.(1)求角的大小；(2)奧古斯丁·路易斯·柯西是法國著名的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣，很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名的，如柯西不等式、柯西積分公式等，其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用.下列為三維柯西不等式：，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，在（1）的條件下，若.①求的最小值；②若是內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，設(shè)的面積為，求的最小值.【例題14】（2025·湖北·三模）內(nèi)一點(diǎn)O，滿足，則點(diǎn)O稱為三角形的布洛卡點(diǎn)．王聰同學(xué)對布洛卡點(diǎn)產(chǎn)生興趣，對其進(jìn)行探索得到許多正確結(jié)論，比如，請你和他一起解決如下問題：(1)若a，b，c分別是A，B，C的對邊，，證明：；(2)在（1）的條件下，若的周長為4，試把表示為a的函數(shù)，并求的取值范圍．【變式12】已知在任意一個三角形的三邊上分別向外作出一個等邊三角形，則這三個等邊三角形的中心也構(gòu)成等邊三角形，我們稱由這三個中心構(gòu)成的三角形為外拿破侖三角形.在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，且，以的邊，，分別向外作的三個等邊三角形的中心分別記為，，，記為的外接圓半徑.(1)若，求的值；(2)在（1）的條件下，求邊長的最大值；(3)若的面積為，且，求面積的取值范圍.【變式13】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求A；(2)若，求a；(3)拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn)．”如圖，以BC，AC，AB為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為A'，B'，C'，若，求△A'B'C'的面積的最大值．題型八：四心問題【例題15】為銳角三角形，內(nèi)角的對邊分別為.已知為的外心，為上一點(diǎn)，且，.(1)求角；(2)若，求面積的取值范圍；(3)若，求的取值范圍.【例題16】已知內(nèi)角的對邊為，點(diǎn)是的內(nèi)心，若．(1)求角；(2)延長交于點(diǎn)，若，求的周長；(3)求的取值范圍．【變式14】記的內(nèi)角所對的邊分別為，向量，且.(1)求角A；(2)若，點(diǎn)為的內(nèi)心，求面積的最大值.【變式15】在中，，，分別是角，，的對邊，已知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，線段與線段交于點(diǎn)．(1)求角的大小；(2)若，求的值；(3)若的面積，點(diǎn)是的重心，求的最小值．

1．在中，若邊上的高為，求的范圍.2．記△的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若，求的范圍.3．在中，角所對的邊分別為，.(1)求角；(2)若，求的范圍.4．在中，內(nèi)角所對的邊分別是且．(1)求角A；(2)若，求周長的范圍．5．（2025·四川德陽·模擬預(yù)測）在中，角、、所對的邊分別為、、，且，.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的面積范圍.6．（2025·廣東廣州·一模）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足，．(1)求角A的大??；(2)求周長的范圍．7．（2025·高三·安徽·開學(xué)考試）已知的內(nèi)角滿足，且的面積大小為4.(1)求邊長的最大值；(2)當(dāng)邊長取到最大值時，求的周長.8．（2025·高三·河北·開學(xué)考試）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.(1)求角；(2)若邊上的中線的長度為，求面積的最大值．9．（2025·高三·山東煙臺·開學(xué)考試）滿足：(1)求角的大?。?2)為的中點(diǎn)，且，求的最大值(3)若為外一點(diǎn)，，求四邊形面積的最大值10．（2025·高三·江蘇南通·開學(xué)考試）在銳角三角形中，記分別為內(nèi)角的對邊，．(1)求的值；(2)求角的最大值．11．已知的內(nèi)角的對邊分別為，的面積為，已知.(1)求；(2)若，求的面積的最大值.12．在①，②，③，三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．）在銳角中，的面積為S，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，且選條件：_____________．(1)求角A的大小；(2)若E為BC中點(diǎn)，且，，求AC的值；(3)如圖所示，作（A、D位于直線BC異側(cè)），使得四邊形滿足，，求AC的最大值．13．在中，角，，的對邊分別是，，，向量，，且.(1)若，，求面積的最大值；(2)若，求的取值范圍.14．如圖，平面上有四點(diǎn)，其中為定點(diǎn)，，為動點(diǎn)，滿足，設(shè)與的面積分別為．(1)若，求角的值；(2)求的最大值．15．“我將來要當(dāng)一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一塊麥田里玩，幾千萬的小孩子，附近沒有一個大人，我是說……除了我”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田．假設(shè)霍爾頓在一塊成凸四邊形的麥田里成為守望者，如圖所示，為了分割麥田，他將BD連接，設(shè)中邊所對的角為，中邊所對的角為，經(jīng)測量知，．(1)若，求；(2)霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論多長，為一個定值，請你驗證霍爾頓的結(jié)論，并求出這個定值；(3)霍爾頓發(fā)現(xiàn)麥田的生長與土地面積的平方呈正相關(guān)，記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請你幫助霍爾頓求出的最大值．16．已知，，，設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，，，且．(1)若，，為角A的平分線，且交于點(diǎn)，求的長；(2)若的面積為，為的中點(diǎn)，求長的最小值；(3)若，求周長的取值范圍．17．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，(1)求證：是等腰三角形；(2)己知的面積為18，點(diǎn)D滿足，求線段AD的最小值．18．在中，，，分別是角，，的對邊，若，.(1)求角的大?。?2)若且，點(diǎn)，是邊上的兩個動點(diǎn)，且.（i）設(shè)，用表示；（ii）設(shè)的面積為，求的最小值.19．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若的面積，求面積的最小值.20．在等腰直角三角形中，斜邊，點(diǎn)，均在線段上（不含端點(diǎn)），且.(1)若，求的長；(2)求的面積的最小值.21．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個問題.該問題是：在一個三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小.意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識解決下面的問題：(1)若是邊長為的等邊三角形，求該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和；(2)的內(nèi)角所對的邊分別為，且，點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn).（i）若，求的值；（ii）求的最小值.22．“費(fèi)馬點(diǎn)”是三角形內(nèi)部與其三個頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)．對于每個給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)．已知中，角，，所對的邊分別為，，，，，點(diǎn)是的費(fèi)馬點(diǎn)．(1)求；(2)若，求的面積；(3)求周長的取值范圍．23．在中，角，，所對的邊分別為，，，滿足．(1)求角．(2)為邊上一點(diǎn)，