試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁30屆世界奧林匹克數(shù)學(xué)競賽中國區(qū)八年級復(fù)賽試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若（且），則，已知，那么a、b、c三者之間的關(guān)系正確的有（

）個(gè)①；②；③；④A．0 B．1 C．2 D．32．若，其中A、B、C均為常數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．3．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，像這樣橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．若在x軸正半軸上有整點(diǎn)（n為正整數(shù)），則內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)m的值是（

）A． B． C． D．4．化簡，結(jié)果是（

）A． B． C． D．5．博士最近有一個(gè)新愛好——密碼編譯，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：，，，，，，和常數(shù)分別對應(yīng)下列字母或漢字：腦、動(dòng)、W、M、開、筋、O、愛，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．動(dòng)腦筋 B．愛動(dòng)腦筋M C．W愛動(dòng)腦筋 D．愛開動(dòng)腦筋6．一塊凸多邊形的菜地，劉爺爺用一條直線將其劃分成兩塊，其中一塊三角形的地種黃瓜，另一塊地種西紅柿，若種西紅柿的地的內(nèi)角和是，則原來菜地的邊有（

）條A．7 B．8 C．9 D．以上都對7．小多和小曉一起解方程組（a、b為常數(shù)），小多看錯(cuò)了上面一個(gè)方程，得到方程組的解，小曉看錯(cuò)了下面一個(gè)方程，得到方程組的解，則一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．8．《西游記》中孫悟空的法寶如意金箍棒可以隨心所欲地變大變小、變長變短．一天，孫悟空將金箍棒取出變長到，豬八戒說：“嘿，這棒子若再伸長就能正好分成x根長的小段和y根長的小段了．”沙僧說：“嗯，這棒子若再縮短就能正好分成根長的小段和根長的小段了．”則a可能是（

）A．25 B．26 C．27 D．319．如圖，過點(diǎn)A作的一條內(nèi)角平分線，交于點(diǎn)D，且，交于點(diǎn)E，且，若，則圖中兩個(gè)陰影三角形的面積最大相差（

）

A． B． C． D．10．如圖，在中，，取的內(nèi)心記為點(diǎn)O，分別作交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，且．則下列說法：①；②四邊形的面積為面積的2倍；③當(dāng)時(shí)，的周長有最小值；④過點(diǎn)M、N，且以點(diǎn)O為圓心的圓是的外接圓．則下列說法不正確的是（

）A．①②③ B．②④ C．③④ D．①②④二、填空題11．已知，則．12．的解是．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)的正方形網(wǎng)格，每個(gè)格點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，已知點(diǎn)，作直線并向右平移k個(gè)單位，要使分布在平移后的直線兩側(cè)的格點(diǎn)數(shù)相同，則k的值是．14．長度分別為5，6，11，16的四根細(xì)木棒首尾相連，圍成一個(gè)三角形（木棒允許連接，但不允許折斷），得到的三角形的最長邊的長度為．15．如圖，小泉設(shè)計(jì)了一個(gè)圓筒形燈罩，底色漆成黃色，然后纏繞紅色油紙．已知圓筒高，其圓筒底面周長為，如果在表面纏繞油紙4圈，最短需裁剪油紙．16．如圖，點(diǎn)D在點(diǎn)A、C兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A、C重合），，．若，，則．三、解答題17．對于實(shí)數(shù)a、b，定義一種新運(yùn)算“☆”為：．(1)若，求的值；(2)若，且解集中恰有5個(gè)整數(shù)解，求m的取值范圍．18．在平面上作，再在點(diǎn)B的對面取點(diǎn)D，使，且四邊形為凸四邊形，連．若，那么、、三邊能否組成直角三角形？為什么？19．為慶祝建黨100周年，某銀行發(fā)行了A、B兩種紀(jì)念幣，已知4枚A型紀(jì)念幣和3枚B型紀(jì)念幣面值共需80元，5枚A型紀(jì)念幣和6枚B型紀(jì)念幣共需145元．(1)求每枚A、B兩種型號的紀(jì)念幣面值各多少元？(2)若歐歐準(zhǔn)備用至少800元的金額購買兩種紀(jì)念幣共50枚，求B型紀(jì)念幣最少要采購多少枚？(3)在（2）的條件下，若歐歐最多要購買B型紀(jì)念幣39枚，則共有幾種購買方案，請羅列出來哪種方案花費(fèi)最少？20．如圖，圓O的半徑是，，若點(diǎn)P三等分弧，求線段的長．21．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，，且a、b滿足．(1)直接寫出A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，求證：；(3)當(dāng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)M，使得是等腰三角形，若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《30屆世界奧林匹克數(shù)學(xué)競賽中國區(qū)八年級復(fù)賽試卷》參考答案題號12345678910答案DABCDDACAD1．D【分析】本題考查了冪的運(yùn)算、平方差公式、完全平方公式，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，，，，，；①，故此結(jié)論錯(cuò)誤；②，故此結(jié)論正確；③，，故此結(jié)論正確；④，故此結(jié)論正確；∴正確的有：②③④．故答案為：D．2．A【分析】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的化簡是解題的關(guān)鍵，先將進(jìn)行通分，得到，再根據(jù)，得到，從而求得，代入即可得到的值．【詳解】解：∵，∴∴∴．故選：A．3．B【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，新定義，點(diǎn)的規(guī)律．先理解整點(diǎn)的定義，再研究當(dāng)時(shí)，整點(diǎn)為共三個(gè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的值是4；當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為8時(shí)，即時(shí)，整點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為12時(shí)，即時(shí)，整點(diǎn)個(gè)數(shù)，故當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為（n為正整數(shù)）時(shí)，，即可作答．【詳解】解：如圖：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，像這樣橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．且在x軸正半軸上有整點(diǎn)（n為正整數(shù)），∴當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)B在點(diǎn)時(shí)，內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)為共三個(gè)點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的4時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為8時(shí)，即時(shí)，內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為12時(shí)，即時(shí)，內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)，∴當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為（n為正整數(shù)）時(shí)，；故選：B4．C【分析】本題考查了二次根式的化簡，二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式等知識(shí)，根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算和完全平方公式逐步化簡即可，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故選：C．5．D【分析】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵，利用提公因式，平方差公式將式子因式分解，再根據(jù)題中的密碼編譯可得到密碼信息是：愛開動(dòng)腦筋，從而得到答案．【詳解】解：∵對應(yīng)的密碼是開，對應(yīng)的密碼是動(dòng)，對應(yīng)的密碼是腦，對應(yīng)的密碼是筋，而3是常數(shù)，它對應(yīng)的密碼是愛，∴合起來的密碼信息可能是：愛開動(dòng)腦筋，故選：D．6．D【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，以及直線劃分凸多邊形的相關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是分析直線劃分凸多邊形的不同情況．先根據(jù)多邊形內(nèi)角和求出種西紅柿的地的邊數(shù)，再根據(jù)直線劃分多邊形的情況來確定原菜地的邊數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)切下一個(gè)三角形后多邊形的邊數(shù)x，由題意得，，解得，∴種西紅柿的地的邊數(shù)為八邊形，∵一條直線將凸邊形菜地劃分為一塊三角形和八邊形，當(dāng)直線與凸多邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)相連時(shí)，則原凸多邊形菜地的邊數(shù)為條，當(dāng)直線經(jīng)過凸多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)和一條邊時(shí)，則原凸多邊形菜地的邊數(shù)為8，當(dāng)直線與凸多邊形的兩條邊相交時(shí)，則原凸多邊形菜地的邊數(shù)條．∴原來菜地的邊有7條或8條或9條．故選：D．7．A【分析】本題考查了二元一次方程組的錯(cuò)解問題、解一元二次方程，熟練掌握方程組和方程的解法是解題關(guān)鍵．先根據(jù)題意可得是方程的解，是方程的解，代入可得一個(gè)關(guān)于的方程組，解方程組可得的值，再代入一元二次方程，利用直接開平方法解方程即可得．【詳解】解：由題意得：是方程的解，是方程的解，∴，解得，∴一元二次方程可化為，解得，故選：A．8．C【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，由題意得，解得，，再根據(jù)x、y都是整數(shù)，得到或，即可求解，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題可得：，∴，得：，∴，，∵x、y都是整數(shù)，∴或，∴或，故選：C．9．A【分析】此題考查的是角平分線有關(guān)計(jì)算，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積公式，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．延長、交于點(diǎn)H．設(shè)交于點(diǎn)O，證明，得，得，證明，得，可得，得，得當(dāng)時(shí)，的面積最大，為．【詳解】延長、交于點(diǎn)H．設(shè)交于點(diǎn)O．

，，，，，，，，，，，，，，，，∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積為．故選：A．10．D【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，E，根據(jù)點(diǎn)O為的內(nèi)心，可判斷④，證明，得到，求得，當(dāng)作點(diǎn)N關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，此時(shí)，但是，，可判斷①，得到四邊形的面積，則四邊形的面積是定值，根據(jù)的形狀不固定，則三角形的面積也不固定，可判斷②，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，先求出的周長，則當(dāng)最小時(shí)，即當(dāng)時(shí)，的周長取得最小值，可判斷③，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，E，點(diǎn)O為的內(nèi)心，即為三角形內(nèi)切圓圓心，故④符合題意；∴是的平分線，，在和中，，，，，，，，當(dāng)取點(diǎn)N關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，此時(shí)，但是，，所以①的判斷不一定正確，故①符合題意，∴四邊形的面積，點(diǎn)D的位置固定，∴四邊形的面積是定值，，的形狀不固定，三角形的面積也不固定，故②符合題意；如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，，，，的周長，當(dāng)最小時(shí)，即當(dāng)時(shí)，的周長取得最小值，此時(shí)，，，，是等邊三角形，，∴當(dāng)時(shí)，的周長有最小值，故③不符合題意，故選：D．11．【分析】本題考查分式的求值，根據(jù)條件式，利用完全平方公式變形求出的值，的值，將所求代數(shù)式利用平方差公式進(jìn)行因式分解，再利用整體代入法求值即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴．∴；故答案為：．12．原方程無解【分析】本題考查的是解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵，先對原方程進(jìn)行化簡整理，再解分式方程，最后要驗(yàn)根．【詳解】化簡得則，解得．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，故是增根，∴原方程無解，故答案為：原方程無解．13．1【分析】本題考查了一次函數(shù)與幾何綜合，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象的平移，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．先由待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式，再由一次函數(shù)圖象平移的規(guī)律求出直線的表達(dá)式，再求出其與軸交點(diǎn)即可．【詳解】如圖所示，設(shè)直線為，則由點(diǎn)，可得，又平移后的直線兩側(cè)的格點(diǎn)數(shù)相同，平移后的直線過點(diǎn)、，設(shè)直線的解析式為，則由，可得，解得，∴直線的解析式為，令，則，即直線與x軸的交點(diǎn)是，其與原點(diǎn)的距離是1．∴k的值為1．故答案為：1．14．16或17/17或16【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用，將四根木棍中的任意兩根連接成一根，判斷與另外兩根能否構(gòu)成三角形，即可求解．【詳解】解：由題意得：5，6，，，不能組成三角形；，11，16，，能組成三角形，最長邊長度為16；5，，16，，能組成三角形，最長邊長度為17；6，11，，，不能組成三角形；6，16，，，能組成三角形，最長邊長度為16；5，11，，，不能組成三角形；得到的三角形的最長邊的長度為16或17．故答案為：16或17．15．2【分析】本題考查了平面展開——最短路徑問題，勾股定理，解題的關(guān)鍵是將圓柱的側(cè)面展開成矩形，把曲面問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的直角三角形問題來求解．將圓筒側(cè)面展開為矩形，把纏繞油紙的問題轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊長度，再乘以圈數(shù)得到油紙最短長度．【詳解】解：如圖，將圓筒展開后成為一個(gè)矩形，整個(gè)油紙也隨之分成相等4段只需求出長即可，在中，，，，，∴最短需裁剪油紙．故答案為：2．16．【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，過點(diǎn)C作于G，先求出，，再證明得出，進(jìn)而可得，再由勾股定理計(jì)算即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)C作于G，如圖：，∵，∴，，設(shè)，則，，，，，，，，，，又，，，，，，，，，，，又，，，，，在中，，，，，，，故答案為：．17．(1)；(2)．【分析】本題考查了新定義運(yùn)算、二元一次方程組，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新運(yùn)算對條件式進(jìn)行變形，然后解二元一次方程組即可；（2）由新運(yùn)算得到的范圍，根據(jù)整數(shù)解進(jìn)行篩選即可．【詳解】（1）解：若，則，整理得，解得，則；（2）解：由題意得，，，則，∵解集中恰有5個(gè)整數(shù)解，∴，∴，解得：．18．、、三邊能組成直角三角形，見解析．【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，勾股定理及其逆定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．以為邊作等邊，連接、，可知，根據(jù)得到，證明是等邊三角形，進(jìn)而證明，等量代換得到，即可證明、、三邊能組成直角三角形．【詳解】、、三邊能組成直角三角形．理由如下：以為邊作等邊，連接、．如圖所示．，，①，，∴，，是等邊三角形，∴，，又∵在和中，，，，，，由①式，可得．、、三邊能組成直角三角形．19．(1)A種面值為5元，B種面值為20元；(2)37；(3)3種，A型13枚B型37枚．【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，方案設(shè)計(jì)與優(yōu)化，正確列出二元一次方程組并根據(jù)限制條件列出一元一次不等式是解決本題的關(guān)鍵．（1）通過設(shè)未知數(shù)，根據(jù)兩種紀(jì)念幣不同數(shù)量組合的面值關(guān)系構(gòu)建方程組求解即可；（2）依據(jù)購買金額的限制條件列出不等式求解即可；（3）在給定B型紀(jì)念幣數(shù)量范圍的條件下，找出所有可能得購買方案，并通過計(jì)算各方案的費(fèi)用，確定最劃算的方案即可．【詳解】（1）解：設(shè)每枚A種型號的紀(jì)念幣面值為x元，每枚B種型號的紀(jì)念幣面值為y元，由題意得：，解得：，答：每枚A種型號的紀(jì)念幣面值為5元，每枚B種型號的紀(jì)念幣面值為20元；（2）解：設(shè)B型紀(jì)念幣能采購m枚，則A型紀(jì)念幣能采購枚，由題意得：，解得：，因?yàn)閙為整數(shù)，所以m最少是37．答：B型紀(jì)念幣最少要采購37枚；（3）解：由題意得：，m為正整數(shù)，∴m為37或38或39，∴共有3種購買方案：①B型紀(jì)念幣能采購37枚，A型紀(jì)念幣能采購13枚，費(fèi)用為：（元）②B型紀(jì)念幣能采購38枚，A型紀(jì)念幣能采