答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)廣西南寧市沛鴻中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試模擬數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．3．已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．如圖，在直角梯形中，，，且，，.將直角梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為（

）

A． B． C． D．5．某企業(yè)不斷自主創(chuàng)新提升技術(shù)水平，積極調(diào)整企業(yè)旗下的甲、乙、丙、丁、戊等種系列產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)比例，近年來(lái)取得了顯著效果.據(jù)悉該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，其中種系列產(chǎn)品的年收入構(gòu)成比例如圖所示.則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．年甲系列產(chǎn)品收入比年的多B．年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和比年的企業(yè)年總收入還多C．年丁系列產(chǎn)品收入是年丁系列產(chǎn)品收入的D．年戊系列產(chǎn)品收入是年戊系列產(chǎn)品收入的倍6．如圖，欲測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)與，在兩觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為，并測(cè)得，m，則塔高為（

）A．m B．15m C．m D．30m7．已知三棱錐的各條棱均相等，P，Q分別為棱，的中點(diǎn)，則直線和直線所成角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°8．“投壺”游戲源于周代的射禮，是中國(guó)古代宴飲時(shí)的一種投擲游戲，要求游戲者站在一定距離外，把箭投入壺中．甲、乙兩人開(kāi)始投壺游戲，約定規(guī)則如下：如果投一次，箭入壺中，原投擲入繼續(xù)投，如果箭沒(méi)有入壺，那么換另一個(gè)人投擲．若甲、乙兩人投箭入壺成功的概率分別為，，甲先開(kāi)始投擲，則第4次仍然由甲投擲的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小正周期為B．在上單調(diào)遞減C．直線為的一條對(duì)稱軸D．若為偶函數(shù)，則11．已知正實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式恒成立的為（

）A． B．C． D．三、填空題12．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù).13．已知向量，滿足，則在上的投影向量的坐標(biāo)為．14．已知正四棱臺(tái)的高為，上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為.四、解答題15．已知向量，且.(1)求向量與的夾角；(2)求的值.16．某城市交通部門為了對(duì)該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將問(wèn)卷中的這100人根據(jù)其滿意度評(píng)分值（百分制）按照分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖.（1）求圖中的值；（2）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）已知滿意度評(píng)分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3：2，若在滿意度評(píng)分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求2人均為男生的概率.17．在銳角中，角的對(duì)邊為，若．(1)求角的大小；(2)若為的中點(diǎn)，且，求的面積；18．如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.將△ADE與△BCF分別沿AE，BF折起，使得點(diǎn)D、C重合(記為點(diǎn)P)，形成圖2，且△PEF是等腰直角三角形.(1)證明：平面PAE⊥平面PBF；(2)求二面角的正弦值；(3)若，求四棱錐的體積.19．若函數(shù)對(duì)定義域上的每一個(gè)值，在其定義域上都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)在其定義域上為“依賴函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)在上是否為“依賴函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的值；(3)當(dāng)時(shí)，已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的最大值.《廣西南寧市沛鴻中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試模擬數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號(hào)12345678910答案CDACCDBDADACD題號(hào)11答案ABD1．C【分析】根據(jù)不等式的解法和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得集合，結(jié)合集合交集的概念與運(yùn)算，即可求解.【詳解】由不等式，可得，所以，又由不等式，可得，所以，則．故選：C．2．D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法結(jié)合復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故選:D.3．A【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出參數(shù)，然后根據(jù)充分、必要性判斷即可.【詳解】向量，，若，則，即，解得或，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A．4．C【分析】由圓臺(tái)的表面積公式求解即可.【詳解】由題可知，該旋轉(zhuǎn)體為上底面半徑，下底面半徑，母線長(zhǎng)的圓臺(tái)，則該圓臺(tái)的表面積.故選：C.5．C【分析】利用已知條件可分別得出年和年種系列產(chǎn)品所占總收入的比例，結(jié)合該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)即可得出答案．【詳解】對(duì)于A：年甲系列產(chǎn)品收入占了總收入的，年甲系列產(chǎn)品收入占了總收入的，而該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，故年甲系列產(chǎn)品收入比年的多，故A選項(xiàng)不符題意；對(duì)于B：年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和占了總收入的，該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，故年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和比年的企業(yè)年總收入還多，故B選項(xiàng)不符題意；對(duì)于C：年丁系列產(chǎn)品收入占了總收入的，年丁系列產(chǎn)品收入占了總收入的，而該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，故年丁系列產(chǎn)品收入是年丁系列產(chǎn)品收入的，故C選項(xiàng)符合題意；對(duì)于D：年戊系列產(chǎn)品收入占了總收入的，年戊系列產(chǎn)品收入占了總收入的，而該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，故年戊系列產(chǎn)品收入是年戊系列產(chǎn)品收入的倍，故D選項(xiàng)不符題意.故選：C.6．D【分析】由余弦定理求解．【詳解】設(shè)，由得，又，，由余弦定理得，即，解得（負(fù)值舍去），故選：D．7．B【分析】取的中點(diǎn)，連接、，或其補(bǔ)角即為直線和直線所成的角，然后利用，，可得，結(jié)合，即可求解.【詳解】如圖取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)P棱的中點(diǎn)，所以，所以或其補(bǔ)角即為直線和直線所成的角，連接，Q為棱的中點(diǎn)，所以，取的中點(diǎn)，連接、則，，又因?yàn)?，平面，所以，所以，且所以是等腰直角三角形，所以故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了求異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.8．D【分析】根據(jù)題意確定基本事件，再應(yīng)用獨(dú)立乘法公式及互斥事件加法求概率即可.【詳解】第4次仍然由甲投擲分為四類：第一類，前三次均為甲中，概率為；第二類，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率為；第三類，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率為；第四類，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率為．所以第4次仍然由甲投擲的概率為．故選：D9．AD【分析】根據(jù)空間中各要素的位置關(guān)系，結(jié)合線面平行的判定定理和面面平行的性質(zhì)定理分別判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由線面平行的判定定理，若平面外一條直線與平面內(nèi)某條直線平行，則該直線與此平面平行，故A正確；對(duì)于B，若，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)正方體上底面為，下底面內(nèi)任意取兩條直線，有，但不一定有成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由面面平行的性質(zhì)定理，若兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的所有直線均與另一個(gè)平面平行，故D正確；故選：AD.10．ACD【分析】根據(jù)圖象得到，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷.【詳解】由圖可知：，，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以，又，所以.所以.對(duì)A，的最小正周期為，正確；對(duì)B，，令，則，可知在不是單調(diào)的，故錯(cuò)誤；對(duì)C，由，所以，所以取得最小值-3，直線為的一條對(duì)稱軸，故正確；對(duì)D，為偶函數(shù)，所以，故正確.故選：ACD.11．ABD【分析】利用基本不等式可得A正確；由，兩邊配方可得B正確；利用，展開(kāi)后，利用基本不等式可判定C錯(cuò)誤；將平方后，利用A的結(jié)論可以判定D正確.【詳解】∵是正實(shí)數(shù)，∴，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；由，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；故C錯(cuò)誤；∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：ABD12．1【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)列式求參即可.【詳解】由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可得，解得.故答案為：1.13．【分析】根據(jù)向量垂直的關(guān)系式求得，再代入投影向量的公式，即可求解.【詳解】由，得，因?yàn)?，所以，即，則，可得．則向量在向量上的投影向量為．故答案為：.14．【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征和性質(zhì)求出球的半徑，進(jìn)而可求出球的表面積.【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)上、下底面所在截面圓的半徑為，則，若球心到上底面距離為，球體半徑為，則球心到下底面距離為，所以，可得，則，所以球體的表面積為.故答案為：15．(1)(2)4【分析】（1）對(duì)化簡(jiǎn)結(jié)合數(shù)量積的定義可求得結(jié)果；（2）先求出，然后由化簡(jiǎn)可求得答案.【詳解】（1）設(shè)向量與的夾角為，由，得，因?yàn)?，所以，即，解得，又，所以，即向量與的夾角為.（2）由（1）知，故.16．（1）；（2）平均數(shù)為，中位數(shù)設(shè)為；（3）.【解析】（1）由各組的頻率和為1，列方程可求出的值；（2）由平均數(shù)的公式直接求解，由圖可得中位數(shù)在第3組，若設(shè)中位數(shù)設(shè)為，則，從而可求得的值；（3）滿意度評(píng)分值在內(nèi)有人，其中男生3人，女生2人，從5人中選2人，用列舉法列出所有情況，利用概率公式求解即可【詳解】（1）由，解得.（2）這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.中位數(shù)設(shè)為，則，解得.（3）滿意度評(píng)分值在內(nèi)有人，其中男生3人，女生2人.記為，記“滿意度評(píng)分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，恰有1名女生”為事件，從5人中抽取2人有：，，，，，，，，，所以總基本事件個(gè)數(shù)為10個(gè)，包含的基本事件個(gè)數(shù)為3個(gè)，所以.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題目條件以及正弦定理和余弦定理計(jì)算可得；（2）利用向量法求得中線的向量表示，再由中線長(zhǎng)即可得，結(jié)合面積公式可得.【詳解】（1）由可得，由正弦定理可得，即；由余弦定理可得，所以，又，可得（2）若為的中點(diǎn)，可得，又，所以；由（1）中，可得，所以，解得；可得的面積.18．(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3).【分析】（1）應(yīng)用線面垂直的判定證面，再由面面垂直的判定證結(jié)論；（2）連接PG，PH，GH，且G，H分別為AB，EF的中點(diǎn)，根據(jù)二面角的定義找到其對(duì)應(yīng)的平面角，根據(jù)題設(shè)求該角正弦值即可；（3）根據(jù)已知求得PH，結(jié)合PH⊥平面ABFE，棱錐的體積公式求體積.【詳解】（1）由題設(shè)，易知，又為等腰直角三角形，故，由且都在面內(nèi)，故面，面，所以平面PAE⊥平面PBF；（2）如圖，連接PG，PH，GH，且G，H分別為AB，EF的中點(diǎn)，由（1）知，故PG⊥AB，又GH∥AE，AE⊥AB，∴GH⊥AB，故∠PGH為二面角的平面角，由（1）知，AE⊥平面PEF，又平面ABFE，故平面ABFE⊥平面PFE，又平面ABFE∩平面PFE，PH⊥EF，平面PFE，所以PH⊥平面ABFE，設(shè)，則，，，，故二面角的正弦值為；（3）由（2）得PH⊥平面ABFE，又AB，所以，則，故四棱錐的體積為1.19．(1)不是“依賴函數(shù)”，理由見(jiàn)解析(2)(3)4【分析】（1）從存在性或唯一性來(lái)說(shuō)明該函數(shù)不是“依賴函數(shù)”，取特殊值，利用唯一性或存在性可判斷答案；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，可得，代入可求解；（3）分類討論，當(dāng)時(shí)，明顯不符題意；當(dāng)時(shí)