2026屆高三上學(xué)期10月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.題號(hào)12345678答案BCCBDACB二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.題號(hào)91011答案CDABDABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．13．7814．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（1）；（2）．【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)和，解得即可得解；（2）轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值，然后解不等式可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，由，得且，解得，，又，∴，∴；（2）存在，使得，等價(jià)于，∵，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上遞減，在上遞增，又，，∴在上的最大值為，∴，解得，所以的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)的極值求函數(shù)的解析式，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立問題，屬于基礎(chǔ)題.16．(1)(2)【分析】（1）由已知得出，利用余弦定理結(jié)合可得出，再利用余弦定理可求得的值；（2）利用三角形的面積公式結(jié)合（1）中的結(jié)論可求出、、的值，求出的值，利用正弦定理可求出的長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)椋?，，即，因?yàn)椋瑒t，即，故，由余弦定理可得.（2）因?yàn)?，則，因?yàn)?，可得，因?yàn)?，，故，，，是上的點(diǎn)，且，則，，所以，，在中，由正弦定理可得，故.17．(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）利用超幾何分布可求得分布列，進(jìn)而利用期望公式可求得期望；（2）利用條件概率公式與貝葉斯公式求解即可.【詳解】（1）的可能取值為的分布列如下：0123（2）記事件“第次取到紅球”，于是那么.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由三角形中位線性質(zhì)可得，根據(jù)線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用線面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，再利用二面角的向量求法求得結(jié)果.【詳解】（1）由直三棱柱的性質(zhì)知：，分別為的中點(diǎn)，，，平面，平面，平面.（2）由直棱柱的性質(zhì)得：平面，平面，，；則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得：，，；設(shè)直線與平面所成角為，則，解得：，平面的一個(gè)法向量，又，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得：，，；，由圖可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.19．(1)；(2)答案見解析；(3)或.【分析】（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)用分類討論及對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的區(qū)間符號(hào)研究函數(shù)的單調(diào)性；（3）問題化為方程有兩個(gè)不同實(shí)根，構(gòu)造并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)、分類討論研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，確定參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題意，的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以，則，又，所以在處的切線方程為，即；（2）且，則，當(dāng)，即時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，在上，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，時(shí)在上單調(diào)遞減；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（3）方程有兩個(gè)不同實(shí)根，等價(jià)于方程有兩個(gè)不同實(shí)根，設(shè)且，則且，當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，方程只有一個(gè)根，不符合；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即使，在上，在上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，則，，，又，則在上和上各有一個(gè)零點(diǎn)，符合；當(dāng)時(shí)，，且在上，在上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合；當(dāng)時(shí)