第6課極限的概念

課題極限的概念

課時2課時(90min)

知識技能目標(biāo)：

1.理解函數(shù)的極限

2.會計算函數(shù)的極限，包括函數(shù)在某點的左極限、右極限

3.能夠判斷無窮小量和無窮大量

教學(xué)目標(biāo)思政育人目標(biāo)：

通過數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的記載，提出極限思想，讓學(xué)生充分感覺到我國深厚的

文化底蘊，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好

習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；樹立學(xué)生實事求

是、一絲不茍的科學(xué)精神

教學(xué)重點：計算函數(shù)的極限、左極限和右極限

教學(xué)重難點

教學(xué)難點：判斷無窮小和無窮大

教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法

教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材

第一節(jié)課：課前任務(wù)一考勤(2min)一問題導(dǎo)入(10min)一講授新課(33min)

教學(xué)設(shè)計第二節(jié)課：講授新課(20min)一課堂測驗(1()min)-互助指導(dǎo)(12min)

f課堂小結(jié)(3min)一課后拓展

教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖

第一節(jié)課

【教師】和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，布置課前任務(wù)，提醒同

學(xué)做完作業(yè)，在指定時間內(nèi)交齊

通過課前的預(yù)熱，

【學(xué)生】做完作業(yè)，在指定時間內(nèi)交齊

讓學(xué)生了解所學(xué)

【教師】通過或其他學(xué)習(xí)軟件，布置課前任務(wù)：

APP科目的大概方向，

課前任務(wù)(1)了解我國古代數(shù)學(xué)家劉徽和哲學(xué)家莊子關(guān)于極限思想充分感覺到我國

的記載深厚的文化底蘊，

(2)了解古希臘哲學(xué)家芝諾關(guān)于悖論的記載激發(fā)學(xué)生的愛國

情懷和學(xué)習(xí)欲望

【學(xué)生】提前上網(wǎng)搜索了解，查閱資料，了解問題，熟悉

教材

培養(yǎng)學(xué)生的組織

考勤【教師】清點上課人數(shù)，記錄好考勤

紀(jì)律性，掌握學(xué)生

【學(xué)生】班干部報請假人員及原因

(2min)的出勤情況

通過問題導(dǎo)入，吸

【教師】講述《阿基里斯追龜(芝諾悖論)》，并提問：什

問題導(dǎo)入引學(xué)生關(guān)注，調(diào)動

么是極限？我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)極限？

學(xué)生的主觀能動

(10min)【學(xué)生】聆聽、思考、舉手發(fā)言

性

【教師】通過引用我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”和哲

學(xué)家莊子的“截丈問題”，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷，引發(fā)學(xué)

生對極限的學(xué)習(xí)興趣

極限思想產(chǎn)生于求某些實際問題的精確值，在數(shù)學(xué)

燦爛的歷史長河中，有很多典型范例.例如，我國古代

數(shù)學(xué)家劉徽(公元3世紀(jì))的“割圓術(shù)”，是利用圓內(nèi)接

正多邊形的面積去無限逼近圓面積，這里就用到了極限

的思想；又如，春秋戰(zhàn)國時期的哲學(xué)家莊子(公元前4

世紀(jì))在《莊子?天下篇》中對“截丈問題”有一段名

言“一尺之趣，日取其半，萬世不竭”，其中就隱含了深

刻的極限思想.現(xiàn)在，用極限思想分析問題的方法廣泛

應(yīng)用于社會生活和科學(xué)研究的各個方面.例如，一杯

100℃的水，放在20℃的恒溫房間里，水溫會怎樣變化

呢？本堂我們將帶領(lǐng)大家走進(jìn)極限的世界.

【教師】講解數(shù)列的定義，并通過例題介紹數(shù)列極限的判

斷及求法

學(xué)習(xí)數(shù)列的極限、

函數(shù)的極限。邊做

講授新課定義1在某一法則下，當(dāng)依次取

1,2,3,…，〃，…時，對應(yīng)的實數(shù)排成一列數(shù)邊講，及時鞏固練

(33min)習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一

為，々，七，…，怎，…，這列數(shù)就稱為數(shù)列，記作數(shù)

體化

列中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的項，第〃項X”稱為數(shù)列的一般

項或通項.

數(shù)列｛4｝可看作自變量為整數(shù)〃的函數(shù)%=/(〃)，它

的定義域是全體正整數(shù).當(dāng)自變量〃依次取1,2,3,…等一

切正整數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列｛七｝.

述案例分析

截丈問題

若對1m長的木棒，每天截取一半，則剩余棒的

長度可表示為如下數(shù)列：

11111

—，—，—，--，，--，?

248162〃

可見，隨著截取的天數(shù)〃增多，剩余棒的長度越

來越短.當(dāng)天數(shù)〃無限增大時，數(shù)列無限趨近于

0.

定義2對于數(shù)列｛x,,｝,當(dāng)n無限增大時，若數(shù)列的一般項

x“無限地接近于某一確定的數(shù)值則稱常數(shù)a是數(shù)列｛xj

的極限，或稱數(shù)列｛%｝收斂于。，記作limx,,=a.若數(shù)列

“一

沒有極限，則稱數(shù)列是發(fā)散的.

叵例1］討論下列數(shù)列的變化趨勢，說明極限是否存

在,若存在，請寫出它們的極限.

"1

(1)%=--；(2)x=-[i+(-iri；

n+ln2

(3)x=---;(4)x=8.

〃(-3)""

(i)x“=/一的項依次為L2/，土,

解

”〃+12345/?+1

當(dāng)〃無限增大時，X“無限接近于1,所以lim/一=l.

n+1

(2)%=；［1+(-1)"］的項依次為0,1,0,1，…，當(dāng)〃無限

增大時，X“交替為。和1,不趨近于某一個常數(shù)，所以該

數(shù)列的極限不存在.

(3)%=—!—的項依次為」，！，一」-,工，…，當(dāng)〃無限

〃(一3)“392781

增大時，X,,無限接近于0,所以！吧—；=().

(4)%=8為常數(shù)數(shù)列，無論〃取怎樣的正整數(shù)，x“始終

為8,所以lim8=8.

ZJ-?00

例2］某單位購置一批價格為100萬元的設(shè)備，該設(shè)

備每年的折舊費是當(dāng)年價格的,，那么隨著時間的推移,

10

這批設(shè)備的價格如何變化？

解這批設(shè)備的價格(單位：萬元)第一年為100,第二年

為ioox2,第三年為100x(2］,第四年為

ioUoJ

100x儒)，...，第〃年為lOOx］').

當(dāng)"無限增大(即”—8)時，由數(shù)列極限的定義可知

limlOOxf—=0.

因此，隨著時間的推移，這批設(shè)備的價格無限接近于0.

【教師】由數(shù)列的極限歸納出函數(shù)的極限，并通過例題介

紹函數(shù)極限的判斷及求法

數(shù)列是--種特殊的函數(shù)X,=/(")，對其主要研究當(dāng)自

變量時函數(shù)值/(〃)的變化趨勢.對于一般函數(shù)

y=/(x)，也可討論自變量x在某一變化過程中函數(shù)f(x)

的變化趨勢.函數(shù)自變量x的變化過程可分為兩種情況：x

的絕對值|x|無限增大；x無限接近飛.為了方便起見，我

們規(guī)定：

(1)X的絕對值|x|無限增大用記號Xf8表示；

X小于0且絕對值|X|無限增大用記號Xf-8表示；

X大于0且絕對值|x|無限增大用記號x—+8表示.

(2)x無限接近占用記號xf與表示；

X從與的左側(cè)(即xcx。)無限接近/用記號xf%表示;

X從X<>的右側(cè)(即X>X。)無限接近X。用記號XfX；表示.

星案例分析

一杯水溫為100℃的水，放在20℃的恒溫房間里，

隨著時間，的推移，水的溫度”將逐漸降低，即二者

之間具有函數(shù)關(guān)系，=，Q),且水溫會越來越接近房

間內(nèi)的溫度20℃,我們把20℃稱為水的極限溫度.

下面分兩種情況來討論函數(shù)的極限.

1.當(dāng)時，函數(shù)y=f(x)的極限

先看一個例子.

回例3]畫出函數(shù)

y=2■的圖形，在X>0的1

前提下，討論當(dāng)Xf+8\fMx

時，該函數(shù)的變化趨勢，____________~—一

并說出它的極限.、

解所作圖形如圖2-1所\

示.I

從圖中可以看出，當(dāng)X沿

X軸的正方向無限增大圖2-1

時，曲線y=」無限接近于無軸，但始終不與x軸相交.因

X

此，當(dāng)xf+8時，函數(shù)y=，以0為極限.

X

對于這種當(dāng)Xf00時函數(shù)/(X)的變化趨勢，給出下面的

定義.

定義3當(dāng)x的絕對值無限增大，即xfoo時，如果函數(shù)值

無限趨近于某一個確定的常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)

/(X)當(dāng)X-?8時的極限，記作

limf(x)=A或/(x)fA(xfoo).

類似地，可定義

lim/(x)=A和lim/(x)=A.

叵例4)討論limarctanx是否存在.

X->00

TT

解如圖2?2所示，有l(wèi)imarctanx二—及

x->+co2

limarctanx=——.由于當(dāng)x->+8和x-時，函數(shù)

XT—2

arctanx不是無限接近于同一個確定的常數(shù)，所以

limarctan%不存在.

X->0C

由上面的例子可以看出，如果lim/(x)和lim/(x)都

存在并且相等，那么limf(x)也存在并且與它們相等.如果

limf(x)和limf(x)都存在但不相等,那么lim.f(x)不存

X—>-<30X—XX)

在.

定理1limf(x)=A的充分必要條件是

x->oo

lim/(x)=lim/(x)=A.

X->+00x->-?o

[Q|例5]討論函數(shù)>=d及

y=e-,當(dāng)x-8時的極限.

解如圖2-3所示為這兩個

函數(shù)的圖形.

因為圖2-3

lime'=+oo,limeA=0,所以lime”不存在.

x->+oox->-oox-x?

又因為limb一工=0,lim?一”=+oo,所以lime-*不存在.

XT+ooX->-ooA-Hn

2.當(dāng)xfx。時，函數(shù)的極限

先看下面的例子.

2_i

對于函數(shù)f(x)=x+\和g(x)=-----，當(dāng)X-1時，

X-1

/(%)和以幻的變化趨勢如圖2-4所示.從圖像容易看出，

當(dāng)x-?l時，/(X)和g(x)都無限接近于2.

圖24

定義4設(shè)函數(shù)y=/(x)在點/的附近有定義(在/處可

以無定義)，如果存在一個常數(shù)A,當(dāng)x無限趨于而(xwx。)

時，函數(shù)/(%)的值無限趨于A,那么A就稱為函數(shù)/(x)當(dāng)

Xf不時的極限，記作

lim/(x)=A或/(x)—>A(xfx()).

XT%

如果當(dāng)工從看的左邊趨于與(通常記作Xf%)時，f(x)

無限接近某常數(shù)A,則常數(shù)A稱為函數(shù)/(x)當(dāng)尢一七時的

左極限，記作lim/a)=4或f\x~)=A.

如果當(dāng)X從七的右邊趨于與(通常記作XfX。*)時，/(X)

無限接近某常數(shù)4,則常數(shù)4稱為函數(shù)f(x)當(dāng)xfx0時的

右極限，記作lim/(x)=A或/(/+)=A.

左極限與右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.

根據(jù)當(dāng)xfx°時函數(shù)/(X)的極限定義，以及左極限和

右極限的定義，容易得出類似于定理I中極限存在的充分

必要條件.

定理2當(dāng)xrx。時，/(x)以A為極限的充分必要條件是

f(x)在點/處的左、右極限存在且都等于A,即

limf(x)=4olim/(x)=limf(x)=A.

XT%XT%1XT而十

Q|例6］設(shè)/'(X)」：*2，X…1，試判斷］加/(幻是否

3x,x<\,—

存在.

解按題意，當(dāng)為一1時，/3)的左、右極限分別為

limf(x)=lim3x=3,limf(x)=lim(x+2)=3.

X-?FKTrX->1+

因為limf(x)=limf(x),所以lim/(x)存在，且

KT「I-XTl

lim/(x)=3.

xf

(.2一八

|Q例7設(shè)_/”)=''討論極限lim/(x)是

[X+1,X<U,XTU

否存在.

解如圖2如所示,lim/(x)=lim(x+l)=l,

KT。-KT。-

lim/(x)=limx2=0.

xWXTO*

因為limf(x)工limf(x)，所以lim/(無)不存在.

x->0-x->0+.sO

1/

加)=『'二;'/

lx+1,,x<0力1一/

圖2-5

【學(xué)生】體會數(shù)學(xué)概念是源于實際生活的，數(shù)學(xué)與我們生

活是息息相關(guān)的。理解數(shù)列極限的概念，理解函數(shù)的概念，

體會數(shù)學(xué)推理的歸納法，掌握函數(shù)極限的求法

第二節(jié)課

【教師】通過引例歸納出無窮小量的定義和性質(zhì)，并通過

例題介紹無窮小量的求法

在實際中，我們經(jīng)常遇到學(xué)習(xí)無窮小量和

一類變量，它們的絕對值變得%無窮大量的相關(guān)

講授新課越來越小且趨向于零./

知識。邊做邊講，

(20min)

1引例I單擺離開鉛直位置及時鞏固練習(xí)，實

現(xiàn)教學(xué)做一體化

的偏度用角，來度量，如圖2-6圖16

所示.如果讓單擺自己擺動，由于受到機(jī)械摩擦力和空氣

阻力的影響，因此其擺動幅度會不斷地減小，角6逐漸趨

向于零.對于這種變量趨于零的情形，我們給出如下定義.

定義5在自變量x的某一變化過程中，若函數(shù)/(x)的極

限為0,即limf(x)=O,則稱，(x)為該變化過程中的無窮

小量，簡稱無窮小.

例如，因為當(dāng)x-0時，sinx的極限為0,所以當(dāng)x-?0時，

sinx為無窮?。灰驗楫?dāng)x-1時，x-1的極限為0,所以當(dāng)

X->1時，x-l為無窮小.

由無窮小的定義，可得到如下性質(zhì)(證明略).

性質(zhì)1有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.

性質(zhì)2有限個無窮小的乘積仍是無窮小.

性質(zhì)3有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小.

例8］求lim'cosx.

x^x

解因為lim^=0,所以」是xf8時的無窮小.又因為

x-^°xX

|cosx|?1,所以COSX是有界函數(shù).

因此，由性質(zhì)3知，lim—cosx=0.

XTr

【教師】通過例題介紹無窮大量的概念

定義6在自變量x的某一變化過程中，若函數(shù)值的絕對值

"(x)|無限增大，則稱/(X)為該變化過程中的無窮大量，

簡稱無窮大，記作lim/(x)=oo.

例如，當(dāng)x-?0時，1的絕對值無限增大，因此在這

X

個變化過程中，!是無窮大量；當(dāng)Xf2時，函數(shù)tanx是

X2

無窮大量；當(dāng)X-2時，—是無窮大量.

x-2

【教師】講解無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系和判定

定理3在自變量的同一變化過程中，無窮大、無窮小互為

倒數(shù)，即若limf(x)=0(或co),則有l(wèi)im—-—=oo(或0).

/(X)

例如，因為lim2”=8,所以limL=o.

X—+8XT+82工

【學(xué)生】理解無窮小量和無窮大量的概念，以及它們之間

的關(guān)系；會判定無窮小和無窮大

教師在APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)通過測試，了解學(xué)

生加入測試。生對知識點的掌

課堂測驗

【教師】從教材配套題庫中選擇幾道題目，測試一下大家握情況，加深學(xué)生

(10min)的學(xué)習(xí)情況對本節(jié)課知識的