2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在生物工程中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項：1.請將答案寫在答題紙上，寫在試卷上無效。2.答題時請仔細閱讀題目要求，按照題目要求作答。3.字跡工整，保持卷面整潔。一、填空題（每小題4分，共20分）1.在一個描述酵母生長的Logistic模型中，種群數(shù)量增長速率達到最大值時的種群數(shù)量稱為______。2.若一個基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)可以用矩陣A表示，其中元素a_ij表示基因i對基因j的調(diào)控強度，則矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T表示______。3.在藥物動力學(xué)中，一級消除過程的速率常數(shù)k表示單位時間內(nèi)藥物從體內(nèi)消除的______。4.若一組生物實驗數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，欲檢驗樣本均值與總體均值的差異是否顯著，常用的統(tǒng)計檢驗方法是______。5.用主成分分析法對某生物樣本的多項性狀數(shù)據(jù)進行降維時，新構(gòu)建的每個主成分都是原始變量線性組合，且各主成分之間______。二、計算題（每小題10分，共40分）1.已知某細菌種群數(shù)量N(t)滿足微分方程dN/dt=rN(1-N/K)，其中r為內(nèi)稟增長率，K為環(huán)境容納量。假設(shè)初始時刻N(0)=N?，求該細菌種群數(shù)量隨時間t的變化規(guī)律N(t)。2.設(shè)有線性方程組Ax=b，其中系數(shù)矩陣A為三階矩陣，且其行列式|A|=2。若增廣矩陣[A|b]的秩rank([A|b])=3，求該線性方程組的解的情況。3.某研究人員測量了10株植物的高度（cm）和葉片面積（cm2），數(shù)據(jù)如下：植物高度（x）：150,160,170,180,190,200,210,220,230,240；葉片面積（y）：120,130,138,150,160,170,180,195,210,225。試用最小二乘法建立植物高度x與葉片面積y之間的線性回歸方程y=a+bx。4.已知向量u=(1,2,3),v=(0,1,-1)。求向量u與v的夾角θ（用反三角函數(shù)表示）。三、應(yīng)用題（每小題15分，共45分）1.某合成生物學(xué)研究項目旨在構(gòu)建一個簡單的基因表達調(diào)控網(wǎng)絡(luò)。該網(wǎng)絡(luò)包含兩個基因X和Y，基因X可以促進基因Y的表達，而基因Y可以抑制基因X的表達。假設(shè)基因X的表達量變化率與自身表達量以及基因Y的抑制作用的乘積成正比，基因Y的表達量變化率與基因X的促進作用成正比，且都受到一個飽和限制。請嘗試建立一個描述該調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的非線性微分方程模型，并簡述模型中各參數(shù)和項的生物學(xué)意義。2.為研究某種病毒在人群中的傳播情況，研究人員進行了追蹤調(diào)查。假設(shè)病毒傳播遵循SIR模型（易感者S、感染者I、康復(fù)者R），在某個時間段內(nèi)，易感者數(shù)量從S?減少到S?，感染者數(shù)量從I?增加到I?，康復(fù)者數(shù)量從R?增加到R?。已知該病毒的平均傳染數(shù)R?（即每個感染者平均能傳染的人數(shù)）為3，且時間段內(nèi)人群總數(shù)量基本不變。請根據(jù)這些信息，分析該病毒傳播的態(tài)勢，并解釋R?值對傳播態(tài)勢的影響。3.某制藥廠生產(chǎn)一種藥物，其生產(chǎn)成本C（元）與產(chǎn)量x（件）的關(guān)系近似為C=5000+10x+0.01x2。工廠每件藥物的銷售價格為80元。為實現(xiàn)利潤最大化，工廠應(yīng)生產(chǎn)多少件藥物？最大利潤是多少？---試卷答案一、填空題（每小題4分，共20分）1.環(huán)境容納量2.基因j對基因i的調(diào)控強度3.比例4.t檢驗5.正交二、計算題（每小題10分，共40分）1.解：分離變量，積分得ln(N/K)-ln(N(t)/K)=rt，即ln(N(t)/K)=-rt+ln(N?/K)。指數(shù)化得N(t)/K=N?/K*e^(-rt)。整理得N(t)=N?*e^(-rt)/(1+(N?/K-1)*e^(-rt))=N?/(1+(N?/K-1)*e^(-rt))。思路：該方程是標(biāo)準(zhǔn)的Logistic增長模型形式，采用分離變量法積分求解即可。2.解：因為系數(shù)矩陣A為三階矩陣，且|A|=2≠0，所以矩陣A是可逆的。又因為增廣矩陣[A|b]的秩rank([A|b])=3，等于系數(shù)矩陣A的秩rank(A)=3。根據(jù)有解判定定理，該線性方程組有唯一解。思路：首先判斷系數(shù)矩陣是否可逆（通過行列式是否為零），然后比較增廣矩陣和系數(shù)矩陣的秩，根據(jù)有解判定定理得出結(jié)論。3.解：計算樣本均值x?=(150+160+...+240)/10=195，y?=(120+130+...+225)/10=165。計算叉積和平方和S_xy=Σ(xi-x?)(yi-y?)=4650，S_xx=Σ(xi-x?)2=5000。則斜率b=S_xy/S_xx=4650/5000=0.93。截距a=y?-bx?=165-0.93*195=0.15?；貧w方程為y=0.15+0.93x。思路：應(yīng)用最小二乘法的公式計算回歸系數(shù)a和b，代入樣本均值計算截距a，最后寫出線性回歸方程。4.解：向量u與v的點積u·v=1*0+2*1+3*(-1)=-1。向量u的模|u|=sqrt(12+22+32)=sqrt(14)，向量v的模|v|=sqrt(02+12+(-1)2)=sqrt(2)。根據(jù)向量夾角余弦公式，cosθ=(u·v)/(|u||v|)=-1/(sqrt(14)*sqrt(2))=-1/(2*sqrt(7))。則夾角θ=arccos(-1/(2*sqrt(7)))。思路：先計算向量的點積和模長，然后利用向量夾角余弦公式求出cosθ，最后求出夾角θ。三、應(yīng)用題（每小題15分，共45分）1.解：設(shè)基因X的表達量為x(t)，基因Y的表達量為y(t)。根據(jù)題意，dx/dt=kx-mxy（k為X促進自身表達的速率常數(shù)，m為X促進Y表達的速率常數(shù)，y為Y對X的抑制作用強度），dy/dt=nmx-ly（n為Y表達的速率常數(shù)，l為Y自我抑制或衰減的速率常數(shù)）。這是一個包含正負反饋的常微分方程組模型。思路：根據(jù)基因間的調(diào)控關(guān)系（促進、抑制）和生物學(xué)常識，用微分方程描述每個基因表達量的變化率，其中包含表示調(diào)控作用的項和表示自身變化的項。具體系數(shù)的生物學(xué)意義（如k,m,n,l）需要進一步實驗確定。2.解：S?減少說明病毒在傳播，I?增加說明病毒在擴散。R?=3表示平均每個感染者能傳染3個易感者。R?>1表示病毒是能夠持續(xù)傳播的（呈指數(shù)增長或穩(wěn)定增長態(tài)勢）。R?=3說明傳播速度較快，若不加以控制，感染人數(shù)會快速增長。思路：根據(jù)S、I數(shù)量的變化判斷傳播方向，利用R?值判斷傳播的持續(xù)性（R?>1為持續(xù)傳播），并結(jié)合R?的具體數(shù)值（3）說明傳播的強度和速度。3.解：利潤函數(shù)P(x)=收入-成本=80x-(5000+10x+0.01x2)=-0.01x2+70x-5000。此為開口向下的拋物線，其頂點對應(yīng)的x值即為利潤最大時的產(chǎn)量。頂點x坐標(biāo)x=-b/(2a)=-70/(2*-