2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在海洋保護(hù)中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、考慮一個簡化的海洋生態(tài)系統(tǒng)模型，其中包含兩種生物：捕食者（狼）和獵物（兔子）。假設(shè)兔子的增長率在無捕食者的情況下遵循Logistic模型，增長率為\(r\)，環(huán)境承載量為\(K\)。捕食者的死亡率與自身數(shù)量成正比，比例系數(shù)為\(d\)。捕食者捕食兔子獲得的能量轉(zhuǎn)化為自身生長，單位時間內(nèi)每個兔子能支持\(e\)個捕食者的生存。建立描述該生態(tài)系統(tǒng)動態(tài)變化的微分方程組，并解釋方程中各參數(shù)的生態(tài)意義。二、某海域受到某種污染物污染，監(jiān)測到污染物濃度\(C(t)\)隨時間\(t\)的變化近似滿足以下微分方程：\[\frac{dC}{dt}=-kC\]其中\(zhòng)(k\)是擴(kuò)散和降解系數(shù)。假設(shè)初始時刻\(t=0\)時，污染物濃度為\(C_0\)。求污染物濃度\(C(t)\)隨時間\(t\)的變化規(guī)律。若經(jīng)過\(T\)時間后，污染物濃度降為初始濃度的10%，求擴(kuò)散和降解系數(shù)\(k\)。三、為了保護(hù)某瀕危海洋物種，計劃建立海洋保護(hù)區(qū)。假設(shè)保護(hù)區(qū)的面積\(A\)與物種數(shù)量\(N\)近似滿足以下關(guān)系：\[N=\frac{A}{a+bA}\]其中\(zhòng)(a\)和\(b\)是常數(shù)。若要使物種數(shù)量達(dá)到最大值，保護(hù)區(qū)的面積應(yīng)為多少？并解釋此模型的意義。四、使用數(shù)值方法（如歐拉法）估算以下初值問題在\(t=0.1\)時刻的近似解：\[\frac{dy}{dt}=t-y,\quady(0)=1\]取步長\(h=0.05\)，進(jìn)行兩次迭代。五、收集到某海域不同深度處的溫度數(shù)據(jù)如下（單位：攝氏度）：\(15,12,9,7,5,4\)。試用線性回歸方法擬合溫度\(T\)與深度\(h\)之間的關(guān)系，并解釋擬合結(jié)果的含義。假設(shè)深度\(h\)以百米為單位。六、設(shè)某海域的海底地形可以用一個二維二元函數(shù)\(z(x,y)\)表示。已知在\((x,y)\)平面上的區(qū)域\(D\)內(nèi)，函數(shù)\(z(x,y)=x^2-y^2\)。求區(qū)域\(D\)內(nèi)的海底體積（假設(shè)\(D\)為\(-1\lex\le1,-1\ley\le1\)的正方形區(qū)域）。七、假設(shè)一艘油輪在海洋中泄漏了石油，石油在水面擴(kuò)散形成油膜。油膜的擴(kuò)散面積\(A\)隨時間\(t\)的變化可以近似用以下積分表示：\[A(t)=\int_0^t2\pir(t-\tau)\,d\tau\]其中\(zhòng)(r(t)\)是時間\(t\)時刻油膜的半徑。如果油膜以恒定的速度\(v\)擴(kuò)散，即\(r(t)=vt\)，求油膜擴(kuò)散面積\(A(t)\)與時間\(t\)的關(guān)系。八、為了監(jiān)測海洋中的大型魚類數(shù)量，使用聲納設(shè)備進(jìn)行探測。聲納探測到的信號強(qiáng)度\(S\)與魚群距離\(d\)的關(guān)系可以近似為：\[S(d)=\frac{P_0}{d^2}e^{-\alphad}\]其中\(zhòng)(P_0\)是聲納發(fā)射功率，\(\alpha\)是與水中聲波衰減相關(guān)的系數(shù)。如果探測到信號強(qiáng)度為\(S_1\)時，魚群距離為\(d_1\)；信號強(qiáng)度為\(S_2\)時，魚群距離為\(d_2\)。試用這兩組數(shù)據(jù)建立關(guān)于\(P_0\)和\(\alpha\)的方程組，并解釋方程的物理意義。試卷答案一、微分方程組為：\[\frac{dR}{dt}=rR\left(1-\frac{R}{K}\right)-eRP\]\[\frac{dP}{dt}=eRP-dP\]其中：*\(R\)為兔子數(shù)量，\(\frac{dR}{dt}\)是兔子數(shù)量隨時間的變化率。*\(P\)為狼數(shù)量，\(\frac{dP}{dt}\)是狼數(shù)量隨時間的變化率。*\(r\)是兔子的內(nèi)稟增長率，表示在沒有捕食者和資源限制時兔子的增長速度。*\(K\)是兔子的環(huán)境承載量，表示在資源有限的情況下，生態(tài)系統(tǒng)能長期維持的兔子最大數(shù)量。*\(e\)是轉(zhuǎn)換效率，表示每個兔子能支持多少個狼的生存，體現(xiàn)了能量從獵物到捕食者的轉(zhuǎn)化效率。*\(d\)是狼的死亡率，表示在沒有食物的情況下，狼因自然原因死亡的速度。二、解微分方程：\[\frac{dC}{dt}=-kC\]分離變量并積分：\[\int\frac{1}{C}dC=-k\intdt\]\[\ln|C|=-kt+C_1\]指數(shù)化：\[C=e^{-kt+C_1}=e^{C_1}e^{-kt}\]令\(C_0=e^{C_1}\)，則：\[C(t)=C_0e^{-kt}\]初始條件\(C(0)=C_0\)滿足該解。污染物濃度降為初始濃度的10%：\[C(T)=0.1C_0\]代入通解：\[0.1C_0=C_0e^{-kT}\]\[0.1=e^{-kT}\]取對數(shù)：\[\ln(0.1)=-kT\]\[k=-\frac{\ln(0.1)}{T}=\frac{\ln(10)}{T}\]解析思路：這是一個一階線性齊次微分方程，通過分離變量法求解得到通解。利用初始條件和給定條件建立關(guān)于\(k\)的方程，求解得到\(k\)的值。該模型描述了在只有擴(kuò)散和降解情況下，污染物濃度隨時間指數(shù)衰減的過程。三、求\(N\)的最大值等價于求\(A\)的最大值（因為\(a,b>0\)）。令\(f(A)=\frac{A}{a+bA}\)。求導(dǎo)數(shù)：\[f'(A)=\frac{(a+bA)\cdot1-A\cdotb}{(a+bA)^2}=\frac{a}{(a+bA)^2}\]令\(f'(A)=0\)：\[\frac{a}{(a+bA)^2}=0\]分子為零，得\(a=0\)。但\(a\)是常數(shù)，不為零，說明導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)沒有零點?？紤]\(f'(A)\)的符號：當(dāng)\(A>0\)時，\(a>0\)，\(f'(A)>0\)。當(dāng)\(A<0\)時，\(f'(A)<0\)（但\(A\)代表面積，應(yīng)為非負(fù)）。因此，\(f(A)\)在\(A\ge0\)上是單調(diào)遞增函數(shù)。由于\(A\ge0\)時\(f(A)\)單調(diào)遞增，故當(dāng)\(A\)取最大可能值時，\(N\)也取最大值。在本題設(shè)定中，\(A\)的最大值為1（如果題目隱含\(A\)有上限，則在該上限處\(N\)最大）。若\(A\)無明確上限，則在理論模型中\(zhòng)(A\to\infty\)時\(N\to\frac{1}\)。通常理解為在當(dāng)前條件下\(A\)越大越好。解析思路：通過求導(dǎo)數(shù)并分析導(dǎo)數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性。由于\(f(A)\)是單調(diào)遞增函數(shù)，最大值出現(xiàn)在\(A\)的定義域的右端點。在此模型中，若無額外約束，理論上面積越大越好，物種數(shù)量越大。若題目意在考察特定上下限，需補(bǔ)充信息。此題模型簡化了實際情況，通常最大數(shù)量受限于資源、空間等，此處未體現(xiàn)。四、使用歐拉法，公式為\(y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)\)。初始條件：\(y(0)=1\)，步長\(h=0.05\)。函數(shù)：\(f(t,y)=t-y\)。迭代1（計算\(y_1\)）：\(t_0=0\),\(y_0=1\)\[y_1=y_0+hf(t_0,y_0)=1+0.05(0-1)=1-0.05=0.95\]迭代2（計算\(y_2\)）：\(t_1=0.05\),\(y_1=0.95\)\[y_2=y_1+hf(t_1,y_1)=0.95+0.05(0.05-0.95)=0.95+0.05(-0.9)=0.95-0.045=0.905\]估算在\(t=0.1\)時刻的近似解為\(y_2\)，即0.905。解析思路：歐拉法是一種簡單的數(shù)值積分方法，用于求解初值問題。根據(jù)公式，利用當(dāng)前點的信息和步長，計算下一個點的近似值。從初始條件開始，逐步迭代，得到目標(biāo)時間點的近似解。此題給出了具體參數(shù)和步長，按公式進(jìn)行兩次迭代即可。五、數(shù)據(jù)點：\((h,T)\)：\((0,15),(1,12),(2,9),(3,7),(4,5),(5,4)\)（假設(shè)\(h\)以百米為單位）。計算均值：\[\bar{h}=\frac{0+1+2+3+4+5}{6}=\frac{15}{6}=2.5\]\[\bar{T}=\frac{15+12+9+7+5+4}{6}=\frac{52}{6}=\frac{26}{3}\approx8.67\]計算\(\sumh_iT_i\)和\(\sumh_i^2\)：\[\sumh_iT_i=0\cdot15+1\cdot12+2\cdot9+3\cdot7+4\cdot5+5\cdot4=0+12+18+21+20+20=91\]\[\sumh_i^2=0^2+1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=0+1+4+9+16+25=55\]計算回歸系數(shù)\(b\)：\[b=\frac{\sumh_iT_i-n\bar{h}\bar{T}}{\sumh_i^2-n\bar{h}^2}=\frac{91-6\cdot2.5\cdot\frac{26}{3}}{55-6\cdot(2.5)^2}=\frac{91-50}{55-37.5}=\frac{41}{17.5}=\frac{82}{35}\approx-2.34\]計算截距\(a\)：\[a=\bar{T}-b\bar{h}=\frac{26}{3}-\left(\frac{82}{35}\right)\cdot2.5=\frac{26}{3}-\frac{82\cdot5}{35}=\frac{26}{3}-\frac{410}{35}=\frac{26\cdot35-410\cdot3}{3\cdot35}=\frac{910-1230}{105}=\frac{-320}{105}=-\frac{64}{21}\approx15.24\]擬合直線方程為：\[T=a+bh=-\frac{64}{21}-\frac{82}{35}h\]或者統(tǒng)一分母為105：\[T=-\frac{320}{105}-\frac{246}{105}h=-\frac{246h+320}{105}\]擬合結(jié)果含義：該方程描述了在本海域，溫度\(T\)與深度\(h\)之間的線性負(fù)相關(guān)關(guān)系。斜率\(b\approx-2.34\)表示平均而言，深度每增加一個單位（百米），溫度大約下降2.34攝氏度。截距\(a\approx15.24\)表示在\(h=0\)處（海平面），估算的溫度為15.24攝氏度。解析思路：使用最小二乘法進(jìn)行線性回歸。計算樣本均值\(\bar{h}\)和\(\bar{T}\)。計算求和項\(\sumh_iT_i\)和\(\sumh_i^2\)。代入線性回歸系數(shù)公式計算斜率\(b\)和截距\(a\)。得到回歸方程后，解釋斜率和截距的生態(tài)學(xué)意義，即深度與溫度的變化關(guān)系以及海平面溫度。六、體積\(V\)可以表示為曲面\(z(x,y)\)在區(qū)域\(D\)上的積分：\[V=\iint_Dz(x,y)\,dA=\iint_D(x^2-y^2)\,dA\]區(qū)域\(D\)為\(-1\lex\le1\),\(-1\ley\le1\)的正方形。將二重積分化為迭代積分：\[V=\int_{-1}^1\int_{-1}^1(x^2-y^2)\,dy\,dx\]先對\(y\)積分：\[\int_{-1}^1(x^2-y^2)\,dy=\left[x^2y-\frac{y^3}{3}\right]_{-1}^1=\left(x^2\cdot1-\frac{1^3}{3}\right)-\left(x^2\cdot(-1)-\frac{(-1)^3}{3}\right)\]\[=\left(x^2-\frac{1}{3}\right)-\left(-x^2+\frac{1}{3}\right)=x^2-\frac{1}{3}+x^2-\frac{1}{3}=2x^2-\frac{2}{3}\]再對\(x\)積分：\[V=\int_{-1}^1\left(2x^2-\frac{2}{3}\right)\,dx=2\int_{-1}^1x^2\,dx-\frac{2}{3}\int_{-1}^11\,dx\]計算各部分：\[\int_{-1}^1x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1=\frac{1^3}{3}-\frac{(-1)^3}{3}=\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}\]\[\int_{-1}^11\,dx=\left[x\right]_{-1}^1=1-(-1)=2\]代入：\[V=2\cdot\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\cdot2=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}=0\]解析思路：利用二重積分計算體積。首先確定積分區(qū)域\(D\)和被積函數(shù)\(z(x,y)\)。將二重積分化為關(guān)于\(x\)和\(y\)的迭代積分。按照積分順序，先計算內(nèi)層積分（對\(y\)積分），再計算外層積分（對\(x\)積分）。需要注意積分上下限和函數(shù)的奇偶性。最終得到體積\(V\)的值。在此例中，由于\(x^2\)是偶函數(shù)，\(-y^2\)是奇函數(shù)，且區(qū)域\(D\)關(guān)于\(y\)軸對稱，積分結(jié)果為零。但\(x^2\)關(guān)于\(x\)軸對稱且為偶函數(shù)，\(-y^2\)關(guān)于\(x\)軸對稱且為偶函數(shù)，區(qū)域\(D\)關(guān)于\(x\)軸對稱，因此\(\int_{-1}^1x^2\,dx\)和\(\int_{-1}^1(-y^2)\,dy\)都不為零。正確計算應(yīng)為\(2\int_{0}^1x^2\,dx-\frac{2}{3}\int_{-1}^11\,dx=2\cdot\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\cdot2=\frac{2}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}\)。體積應(yīng)為正值，計算過程中可能存在符號錯誤或區(qū)域理解錯誤。此處按原積分計算得0，但數(shù)學(xué)上應(yīng)為\(\frac{4}{3}\)。七、根據(jù)積分表達(dá)式：\[A(t)=\int_0^t2\pir(t-\tau)\,d\tau\]代入\(r(t)=vt\)：\[A(t)=\int_0^t2\piv(t-\tau)\,d\tau\]進(jìn)行變量替換，令\(u=t-\tau\)，則\(du=-d\tau\)，當(dāng)\(\tau=0\)時\(u=t\)，當(dāng)\(\tau=t\)時\(u=0\)。積分限變?yōu)閺腬(t\)到0，反向積分，可以改為從0到\(t\)：\[A(t)=\int_t^02\pivu(-du)=\int_0^t2\pivu\,du\]計算積分：\[A(t)=2\piv\int_0^tu\,du=2\piv\left[\frac{u^2}{2}\right]_0^t=2\piv\cdot\frac{t^2}{2}=\pivt^2\]解析思路：首先將積分表達(dá)式中的\(r(t-\tau)\)替換為\(vt\)。然后進(jìn)行變量替換\(u=t-\tau\)，簡化積分過程。計算定積分得到\(A(t)\)的表達(dá)式。此模型描述了以恒定速度\(v\)擴(kuò)散的油膜，其面積隨時間\(t\)的平方成正比增長。八、根據(jù)公式\(S(d)=\frac{P_0}{d^2}e^{-\alphad}\)。當(dāng)\(d=d_1\)時，\(S=S_1\)：\[S_1=\frac{P_0}{d_1^2}e^{-\alphad_1}\]當(dāng)\(d=d_2\)時，\(S=S_2\)：\[S_2=\frac{P_0}{d_2^2}e^{-\alphad_2}\]建立方程組：\[\begin{cases}S_1d_1^2=P_0e^{-\alphad_1}\\S_2d_2^2=P_0e^{-\alphad_2}\end{cases}\]將兩式相除消去\(P_0\)：\[\frac{S_1d_1^2}{S_2d_2^2}=\frac{e^{-\alphad_1}}{e^{-\alphad_2}}=e^{-\