九年級下冊數(shù)學(xué)教案

第二十六章二次函數(shù)

［本章知識要點］

1.探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律.

2.結(jié)合具體情境體會二次函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型的意義，并了解二次函數(shù)的有關(guān)概念.

3.會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，能通過圖象和關(guān)系式認識二次函數(shù)的性質(zhì).

4.會運用配方法確定二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向和對稱軸.

5.會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程(組)的近似解.

會通過對現(xiàn)實情境的分析，確定二次函數(shù)的表達式，并能運用二次函數(shù)及其性質(zhì)解決簡單

的實際問題.

26.1二次函數(shù)

［本課知識要點］

通過具體問題引入二次函數(shù)的概念，在解決問題的過程中體會二次函數(shù)的意義.

［MM及創(chuàng)新思維|

(1)正方形邊長為a(cm),它的面積s(cm2)是多少？

(2)矩形的長是4厘米，寬是3厘米，如果將其長與寬都增加x厘米，則面積增加y平方

厘米，試寫出y與x的關(guān)系式.

請觀察上面列出的兩個式子，它們是不是函數(shù)？為什么？如果是函數(shù)，請你結(jié)合學(xué)習(xí)一次

函數(shù)概念的經(jīng)驗，給它下個定義.

［實踐與探索］

例1.m取哪些值時，函數(shù)是以x為自變量的二次函數(shù)？

分析若函數(shù)是二次函數(shù)，須滿足的條件是：.

解若函數(shù)是二次函數(shù)，則

解得，且.

因此，當(dāng)，且時，函數(shù)是二次函數(shù).

回顧與反思形如的函數(shù)只有在的條件下才是二次函數(shù).

探索若函數(shù)是以x為自變量的一次函數(shù)，則m取哪些值？

例2.寫出下列各函數(shù)關(guān)系，并判斷它們是什么類型的函數(shù).

(1)寫出正方體的表面積S(cm2)與正方體棱長a(cm)之間的函數(shù)關(guān)系；

(2)寫出圓的面積y(cm2)與它的周長x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系；

(3)某種儲蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金，若不計利息，求本息和y(元)與所

存年數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系；

(4)菱形的兩條對角線的和為26cm,求菱形的面積S(cm2)與一對角線長x(cm)之間

的函數(shù)關(guān)系.

解(1)由題意，得，其中S是a的二次函數(shù)；

(2)由題意，得,其中y是x的二次函數(shù)；

(3)由題意，得(x20且是正整數(shù))，

其中y是x的一次函數(shù)；

(4)由題意，得，其中S是x的二次函數(shù).

例3.正方形鐵片邊長為15cm,在四個角上各剪去一個邊長為x(cm)的小正方形，用余

下的部分做成一個無蓋的盒子.

⑴求盒子的表面積S(cn?)與小正方形邊長x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵當(dāng)小正方形邊長為3cm時，求盒子的表面積.

解⑴S=152-4x2=225-4x2(0<x<y)；

(2)當(dāng)x=3cm時，(cm2).

［當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)］

1.下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

(1)y-x2=0(2)y=(x+2)(x-2)-(x-1)2

(3)y=x1+—(4)y=+2x-3

x

2.當(dāng)k為何值時，函數(shù)為二次函數(shù)？

3.已知正方形的面積為，周長為x(cm).

⑴請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

⑵判斷y是否為x的二次函數(shù).

［本課課外作業(yè)］

A組

1.已知函數(shù)是二次函數(shù)，求m的值.

2.己知二次函數(shù)，當(dāng)x=3時，y=-5,當(dāng)x=-5時，求y的值.

已知一個圓柱的高為27,底面半徑為x,求圓柱的體積y與x的函數(shù)關(guān)系式.若圓柱的底面

半徑x為3,求此時的y.

用一根長為40cm的鐵絲圍成一個半徑為r的扇形，求扇形的面積y與它的半徑x之間的

函數(shù)關(guān)系式.這個函數(shù)是二次函數(shù)嗎？請寫出半徑r的取值范圍.

B組

5.對于任意實數(shù)m,下列瘞數(shù)一定是二次函數(shù)的是()

A.B.C.D.

A.6.下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作二次函數(shù)()模型的是()

B.在一定的距離內(nèi)汽車的行駛速度與行駛時間的關(guān)系

C.我國人口年自然增長率為1%,這樣我國人口總數(shù)隨年份的變化關(guān)系

D.豎直向上發(fā)射的信號彈，從發(fā)射到落回地面，信號彈的高度與時間的關(guān)系(不計

空氣阻力)

E.圓的周長與圓的半徑之間的關(guān)系

［本課學(xué)習(xí)體會］

§26.2用函數(shù)觀點看一元二次方程（第一課時）

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能

1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系.

2.理解二次函數(shù)與x軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系，理解何

時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數(shù)和沒有實根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函數(shù)與y二h（h是實數(shù)）交點的橫坐標(biāo).

（二）過程與方法

1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精

神.

2.通過觀察二次函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)，討論一元二次方程的根的情況，進一

步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想..

3.通過學(xué)生共同觀察和討論.培養(yǎng)大家的合作交流意識.

（三）情感態(tài)度與價值觀

1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索與創(chuàng)

造.感受數(shù)學(xué)的嚴謹性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，

2.具有初步的創(chuàng)新精神和實踐能力.

教學(xué)重點

1.體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系.

2.理解何時方程有兩個不等的實根，兩個相等的實數(shù)和沒有實根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函數(shù)與y=h（h是實數(shù)）交點的橫坐標(biāo).

教學(xué)難點

1.探索方程與函數(shù)之間的聯(lián)系的過程.

2.理解二次函數(shù)與x軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系.

教學(xué)過程

I.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

1.我們學(xué)習(xí)了一元一次方程kx+b=O（kWO）和一次函數(shù)y=kx+b（kWO）后，討論了

它們之間的關(guān)系.當(dāng)一次函數(shù)中的函數(shù)值尸。時，一次函數(shù)產(chǎn)kx+b就轉(zhuǎn)化成了一元一次

方程kx+b=O,且一次函數(shù)）y=kx+b（kWO）的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)即為一元一次方程

kx+b=O的解.

現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)/一元二次方程ax2+bx+c=0（a#。）和二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a^O）,

它們之間是否也存在一定的關(guān)系呢？

2.選教材提出的問題，直接引入新課

II.合作交流解讀探究

1.二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系

探究：教材問題

師生同步完成.

觀察：教材22頁，學(xué)生小組交流.

歸納：先由學(xué)生完成，然后師生評價，最后教師歸納.

川.應(yīng)用遷移鞏固提高

1.根據(jù)二次函數(shù)圖像看一元二次方程的根

同期聲

2.拋物線與x軸的交點情況求待定系數(shù)的范圍.

3.根據(jù)一元二次方程根的情況來判斷拋物線與x軸的交點情況

N.總結(jié)反思拓展升華

本節(jié)課學(xué)了如下內(nèi)容：

1.經(jīng)歷了探索二次函數(shù)與一元：二次方程的關(guān)系的過程，體會了方程與函數(shù)之間的

聯(lián)系.

2.理解了二次函數(shù)與x軸交點的個數(shù)

與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系，理解了何時方程有兩個不等的實根,兩個相等的

實根和沒有實根.

3.數(shù)學(xué)方法:分類討論和數(shù)形結(jié)合.

反思：在判斷拋物線與x軸的交點情況時，和拋物線中的二次項系數(shù)的正負有無關(guān)系？

拓展：教案

26.2V.課后作業(yè)P23135

26.3二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)

［本課知識要點］

會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，概括出圖象的特點及函數(shù)的性質(zhì).

［MM及創(chuàng)新思維］

我們已經(jīng)知道，一次函數(shù)，反比例函數(shù)的圖象分別是、

___________，那么二次函數(shù)的圖象是H么呢？

(1)描點法畫函數(shù)的圖象前，想一想，列表時如何合理選值？以

什么數(shù)為中心？當(dāng)x取互為相反數(shù)的值時,y的值如何？

(2)觀察函數(shù)的圖象，你能得出什么結(jié)論？

［實踐與探索］

例1.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象，并指出它們

有何共同點？有何不同點？

⑴y=2/(2)y=-2x2

解列表

???-3.9-10123???I

X6

y=2x2???188202818???

y=-2x2???-18-8-20-2-8-18???

分別描點、連線，畫出這兩個函數(shù)的圖象，這兩個函數(shù)的圖象都是拋物線，如圖26.2.1.

共同點：都以y軸為對稱軸，頂點都在坐標(biāo)原點.

不同點：的圖象開口向上，頂點是拋物線的最低點，在對稱軸的左邊，曲線自左向右下

降；在對稱軸的右邊，曲線自左向右上升.

的圖象開口向下，頂點是拋物線的最高點，在對稱軸的左邊，曲線自左向右上

升；在對稱軸的右邊，曲線自左向右下降.

回顧與反思在列表、描點時，要注意合理靈活地取值以及圖形的對稱性，因為圖象是拋

物線，因此，要用平滑曲線按自變量從小到大或從大到小的順序連接.

例2.己知是二次函數(shù)，且當(dāng)時,y隨x的增大而增大.

（1）求k的值；

（2）求頂點坐標(biāo)和對稱軸.

解（1）由題意，得，解得k=2.

（2）二次函數(shù)為，見頂點坐標(biāo)為（0,0）,對稱軸為y軸.

例3.己知正方形周長為Cem,面積為Scm2.

（1）求S和C之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖象；

（2）根據(jù)圖象，求出S=Icm2時，正方形的周長；

（3）根據(jù)圖象，求出C取何值時,S24cm2.

分析此題是二次函數(shù)實際應(yīng)用問題，解這類問題時要注意自變量的取值范圍；畫圖象時,

自變量C的取值應(yīng)在取值范圍內(nèi).

解（1）由題意，得.

列表：

C2468???

j_9

s=—c214???

1644

描點、連線，圖象如圖26.2.2.

（2）根據(jù)圖象得S=1cm2時，，正方形的周氏是4cm.

（3）根據(jù)圖象得，當(dāng)C28cm時,S24cm2.

回顧與反思

（1）此圖象原點處為空心點.

（2）橫軸、縱軸字母應(yīng)為題中的字母C.S,不要習(xí)慣地寫成x、y.

（3）在自變量取值范圍內(nèi)，圖象為拋物線的一部分.

［當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)］

1.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象，并分別寫出它們的開口方向、對稱軸和頂

點坐標(biāo).

（1）y=3x2（2）y=-3x2（3）y=^x2

2.（1）函數(shù)的開口，對稱軸是，頂點坐標(biāo)是；

（2）函數(shù)的開口，對稱軸是，頂點坐標(biāo)是

3.已知等邊三角形的邊長為2x,請將此三角形的面積S表示成x的函數(shù)，并畫出圖象的草

圖.

［本課課外作業(yè)］

A組

1.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象.

(1)y=-4x2(2)y=

2.填空：

(1)拋物線，當(dāng)x二時,y有最值，是.

(2)當(dāng)0!=時，拋物線開口向下.

(3)已知函數(shù)是二次函數(shù)，它的圖象開口，當(dāng)x時,y隨x的增大而增大.

3.已知拋物線中，當(dāng)時,y隨x的增大而增大.

(1)求k的值；(2)作出函數(shù)的圖象(草圖).

4.已知拋物線經(jīng)過點(1,3),求當(dāng)y=9時,x的值.

B組

5.底面是邊長為x的正方形，高為0.5cm的長方體的體積為ycm3.(1)求y與x之間的

函數(shù)關(guān)系式：(2)畫出函數(shù)的圖象；(3)根據(jù)圖象，求出y=8cm3時底面邊長x的值：

(4)根據(jù)圖象，求出x取何值時,y24.5cm3.

6.二次函數(shù)與直線交于點P(l,b).

(1)求a、b的值；

6.(2)寫出二次函數(shù)的關(guān)系式，并指出x取何值時，該函數(shù)的y隨x的增大而減小.

一個函數(shù)的圖象是以原點為頂點,y軸為對稱軸的拋物線，且過M(-2,2).

(1)求出這個函數(shù)的關(guān)系式并畫出函數(shù)圖象；

(2)寫出拋物線上與點M關(guān)于y軸對稱的點N的坐標(biāo)，并求出Z1MON的面積.

［本課學(xué)習(xí)體會］

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(2)

［本課知識要點］

會畫出這類函數(shù)的圖象，通過比較，了解這類函數(shù)的性質(zhì).

［MM及創(chuàng)新思維］

同學(xué)們還記得一次函數(shù)與的圖象的關(guān)系嗎？

_____________，你能由此推測二次函數(shù)與的圖象之間的關(guān)系嗎？

,那么與的圖象之間又有何關(guān)系？

［實踐與探索］

例1.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)與的圖象.

解列表.

???-3-2-10123

X

y=2x2???188202818???

描點、連線，畫

2???

y=2x+220104241020…出這兩個函數(shù)的

圖象，如圖26.2.

3所示.

回顧與反思當(dāng)自變量x取同一數(shù)值時，這兩個函數(shù)的函數(shù)值之間有什么關(guān)系？反映在

圖象上，相應(yīng)的兩個點之間的位置又有什么關(guān)系？

探索觀察這兩個函數(shù)，它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)有那些是相同的？又有哪

些不同？你能由此說出函數(shù)與的圖象之間的關(guān)系嗎？

例2.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)與的圖象，并說明，通過怎樣的平移，可以由拋

物線得到拋物線.

解列表.

???-3-2-10

X描點、連線，畫

出這兩個函數(shù)的

y=—x1+1???-8-301

圖象，如圖26.2.

y=-x2-1???-10-5-2-1

4所示.

可以看出，拋物線是由拋物線向下平移兩個單位得到的.

回顧與反思拋物線和拋物線分別是由拋物線向上、向下平移一個單位得到的.

探索如果要得到拋物線，應(yīng)將拋物線作怎樣的平移？

例3.一條拋物線的開口方向、對稱軸與相同，頂點縱坐標(biāo)是?2,且拋物線經(jīng)過點（1,1）,

求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

解由題意可得，所求函數(shù)開口向上，對稱軸是y軸，頂點坐標(biāo)為（0,?2）,

因此所求函數(shù)關(guān)系式可看作，又拋物線經(jīng)過點（1,1）,

所以，，解得.

故所求函數(shù)關(guān)系式為.

回顧與反思（a、開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)

k是常數(shù),aKO）的圖a>0

象的開口方1可、對稱a<0

軸、頂點坐標(biāo)歸納如

下：

y=ax2+k

［當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)］

在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列二次函數(shù)的圖象:

觀察三條拋物線的相互關(guān)系，并分別指出它們的開口方向及對稱軸、頂點的位置.你能說

出拋物線的開口方向及對稱軸、頂點的位置嗎？

2.拋物線的開口,對稱軸是，頂點坐標(biāo)是,它可以看作是由拋

物線向平移個單位得到的.

3.函數(shù)，當(dāng)x時，函數(shù)值y隨x的增大而減小,當(dāng)x時，函數(shù)取得最值,

最值y=

［本課課外作業(yè)］

A組

1.已知函數(shù)，，.

（1）分別畫出它們的圖象；

（2）說出各個圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)；

1.（3）試說出函數(shù)的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo).

不畫圖象，說出函數(shù)的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)，并說明它是由函數(shù)通過怎樣的平

移得到的.

3.若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-2,10）,求a的值.這人函數(shù)有最大還是最小值？是多少？

B組

4.在同一直角坐標(biāo)系中與的圖象的大致位置是（）

5.己知二次函數(shù)，當(dāng)k為何值時，此二次函數(shù)以y軸為對稱軸？寫出其函數(shù)關(guān)系式.

［本課學(xué)習(xí)體會］

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3）

［本課知識要點］

會畫出這類函數(shù)的圖象，通過比較，了解這類函數(shù)的性質(zhì).

［MM及創(chuàng)新思維］

我們已經(jīng)了解到，函數(shù)的圖象，可以由函數(shù)的圖象上下平移所得，那么函數(shù)的圖象,

是否也可以由函數(shù)平移而得呢？畫圖試一試，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

［實踐與探索］

例1.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象.

,,,并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo).

解列表.

???

-3-2-10123…描點、連線，畫出這三個函數(shù)

X

1.9j_j_9的圖象，如圖26.2.5所示.

y=一廠???202???

-22222

y=*+2)2j_J_2525

???028???

22~2~2

尸；（工-2）2259

???820???

~2222

們的開口方向都向上；對

軸分別是y軸、直線x=-2

直線x=2；頂點坐標(biāo)分別

（0,0）,（-2,0）,（2,0）.

回顧與反思對于拋物線，當(dāng)x時，函數(shù)值y隨x的增大而減小;當(dāng)x時,

函數(shù)值y隨x的增大而增大；當(dāng)x時，函數(shù)取得最值，最值y=.

探索拋物線和拋物線分別是由拋物線向左、向右平移兩個單位得到的.如果要得到

拋物線，應(yīng)將拋物線作怎樣的平移？

例2,不畫出圖象，你能說明拋物線與之間的關(guān)系嗎？

解拋物線的頂點坐標(biāo)為（0,0）;拋物線的頂點坐標(biāo)為（-2,0）.

因此，拋物線與開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)

形狀相同，開口方向a>0

都向下，對稱軸分別a<0

是y軸和直線.拋

物線是由向左平

移2個單位而得的.

回顧與反思（a、

h是常數(shù),aWO）的圖

象的開口方向、對稱

軸、頂點坐標(biāo)歸納如

T：

y=a（x-h）2

［當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)］

1.畫圖填空：拋物線的開口，對稱軸是，頂點坐標(biāo)是，它可以

看作是由拋物線向平移個單位得到的.

2.在同一直角坐標(biāo)系中，面出下列函數(shù)的圖象.

,,,并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo).

［本課課外作業(yè)］

A組

1.已知函數(shù)，，.

（1）在同一直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象；

（2）分別說出各個函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)；

（3）分別討論各個函數(shù)的性質(zhì).

2.根據(jù)上題的結(jié)果，試說明：分別通過怎樣的平移，可以由拋物線得到拋物線和？

3.函數(shù)，當(dāng)x時，函數(shù)值y隨x的增大而減小.當(dāng)x時，函數(shù)取得最值,

最值y二.

4.不畫出圖象，請你說明拋物線與之間的關(guān)系.

B組

5.將拋物線向左平移后所得新拋物線的頂點橫坐標(biāo)為-2,且新拋物線經(jīng)過點

（1,3）,求的值.

［本課學(xué)習(xí)體會］

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（4）

［本課知識要點］

1.掌握把拋物線平移至+k的規(guī)律；

2.會畫出+k這類函數(shù)的圖象，通過比較，了解這類函數(shù)的性質(zhì).

［MM及創(chuàng)新思維］

由前面的知識，我們知道，函數(shù)的圖象，向上平移2個單位，可以得到函數(shù)的圖象；函

數(shù)的圖象，向右平移3個單位，可以得到函數(shù)的圖象，那么函數(shù)的圖象，如何平移，才

能得到函數(shù)的圖象呢？

［實踐與探索］

例1.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象.

,并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo).

解列表.

???-3-2-10123???

X描點、連線，畫出這

129j_l_9三個函數(shù)的圖象,

???202???

2222如圖26.2.6所示.

y=g(x_l)29

???8202???

222

25__3_3

y=^(x-\)-2??????

60-2-20

2~2

,對稱軸分別

圖26.2.6

為、、，頂點坐標(biāo)分別為

請同學(xué)們完成填空，并觀察三個圖象之間的關(guān)系.

回顧與反思二次函開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)

數(shù)的圖象的上下平a>Q

移，只影響二次函數(shù)a<0

+k中k的值；左右

平移，只影響h的值，

拋物線的形狀不變，

所以平移時，可根據(jù)

頂點坐標(biāo)的改變，確

定平移前、后的函數(shù)

關(guān)系式及平移的路

徑.此外，圖象的平

移與平移的順序無

關(guān).

探索你能說出函數(shù)

+k（a、h、k是常

數(shù),a#0）的圖象的開

口方1司、對稱軸和頂

點坐標(biāo)嗎？試填寫下

表.

y=Q（x_/z）~+k

例2.把拋物線向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到拋物線，求b、c的值.

分析拋物線的頂點為（0,0）,只要求出拋物線的頂點，根據(jù)頂點坐標(biāo)的改變，確定

平移后的函數(shù)關(guān)系式，從而求出b、c的值.

解

向上平移2個單位，得到，

再向左平移4個單位，得到，

其頂點坐標(biāo)是，而拋物線的頂點為（（）,（）），則

〃二一8

解得

c=14

探索把拋物線向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到拋物線，也就意味著把

拋物線向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到拋物線.那么，本題還可以用更

簡潔的方法來解，請你試一試.

［當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)］

I.將拋物線如何平移可得到拋物線（）

A.向左平移4個單位，再向上平移1個單位

B.向左平移4個單位，再向下平移1個單位

C.向右平移4個單位，再向上平移1個單位

D.向右平移4個單位，再向下平移1個單位

2.把拋物線向左平移3個單位，再向下平移4個單位，所得的拋物線的函數(shù)關(guān)系式

為.

3.拋物線可由拋物線向平移個單位，再向平移個單位而得到.

［本課課外作業(yè)］

A組

1.在同一直角坐標(biāo)系中，面出下列函數(shù)的圖象.

,,,并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo).

2.將拋物線先向下平移1個單位，再向左平移4個單位，求平移后的拋物線的函數(shù)關(guān)系

式.

3.將拋物線如何平移，可得到拋物線？

B組

4.把拋物線向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線，則有

()

A.b=3,c=7B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3D.b=-9,c=21

5.拋物線是由拋物線向上平移3個單位，再向左平移2個單位得到的，求b、c的值.

6.將拋物線向左平移個單位，再向上平移個單位，其中h>(),kVO,求所得的拋物線

的函數(shù)關(guān)系式.

［本課學(xué)習(xí)體會］

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(5)

［本課知識要點］

1.能通過配方把二次函數(shù)化成+k的形式，從而確定開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)；

2.會利用對稱性畫出二次函數(shù)的圖象.

［MM及創(chuàng)新思維］

我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)的圖象，可以由函數(shù)的圖象先向平移個單位，再向

平移個單位得到，因此，可以直接得出：函數(shù)的開口，對稱軸是，頂

點坐標(biāo)是.那么，對于任意一個二次函數(shù)，如，你能很容易地說出它的開口方

向、對稱軸和頂點坐標(biāo)，并畫出圖象嗎？

［實踐與探索］

例1.通過配方，確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)，再描點畫圖.

解y=-2x2+4x+6

=-2(x2-2x)+6

=-2(x2-2x+1-1)+6

=_[2(l)2_l]+6

=一2。一1尸+8

因此，拋物線開口向下，對稱軸是直線x=l,頂點坐標(biāo)為（1,8）.

由對稱性列表：

???-2-101234???

X

2

y=-2x+4x+6???-1006860-10???

描點、連線，如圖26.2.7所示.

回顧與反思（1）列表時選值，應(yīng)以對稱軸x=l為中心，函數(shù)值可由對稱性得到,.

（2）描點畫圖時，要根據(jù)已知拋物線的特點，一般先找出頂點，并用虛線畫對稱軸，然后

再對稱描點，最后用平滑曲線順次連結(jié)各點.

探索對于二次函數(shù)，你能用配方法求出它的對稱軸和頂點坐標(biāo)嗎？請你完成填空:

對稱軸，頂點坐標(biāo).

例2.已知拋物線的頂點在坐標(biāo)軸上，求的值.

分析頂點在坐標(biāo)軸上有兩種可能：（1）頂點在x軸上，則頂點的縱坐標(biāo)等于0；（2）

頂點在y軸上，則頂點的橫坐標(biāo)等于0.

解，

則拋物線的頂點坐標(biāo)是.

當(dāng)頂點在x軸上時，有，

解得

當(dāng)頂點在y軸上時，有，

解得或.

所以，當(dāng)拋物線的頂點在坐標(biāo)軸上時，有三個值，分別是-2,4,8.

［當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)］

1.（1）二次函數(shù)的對稱軸是

（2）二次函數(shù)的圖象的頂點是，當(dāng)x時,y隨x的增大而減小.

（3）拋物線的頂點橫坐標(biāo)是-2,則二.

2.拋物線的頂點是，則、c的值是多少？

［本課課外作業(yè)］

A組

1.己知拋物線，求出它的對稱軸和頂點坐標(biāo)，并畫出函數(shù)的圖象.

2.利用配方法，把下列函數(shù)寫成+k的形式，并寫出它們的圖象的開口方向、對稱軸和頂

點坐標(biāo).

（1）y=-X1+6x+l（2）y=2x2-3x+4

2

(3)y=-x2+nx(4)y=x~px-\-q

3.已知是二次函數(shù)，且當(dāng)時,y隨x的增大而增大.

（1）求k的值；（2）求開口方向、頂點坐標(biāo)和對稱軸.

B組

4.當(dāng)時，求拋物線的頂點所在的象限.

5.己知拋物線的頂點A在直線上，求拋物線的頂點坐標(biāo).

［本課學(xué)習(xí)體會］

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（6）

［本課知識要點］

1.會通過配方求出二次函數(shù)的最大或最小值；

2.在實際應(yīng)用中體會二次函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型的作用，會利用二次函數(shù)的性質(zhì)求實際問

題中的最大或最小值.

［MM及創(chuàng)新思維］

在實際生活中，我們常常會碰到一些帶有“最”字的問題，如

問題：某商店將每件進價為80元的某種商品按每件100元出售，一天可銷出約100件.該

店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤.經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每

降低1元，其銷售量可增加約10件.將這種商品的售價降低多少時；能使銷售利潤最大？

在這個問題中，設(shè)每件商品降價x元，該商品每天的利潤為y元，則可得函數(shù)關(guān)系式為二次

函數(shù).那么，此問題可歸結(jié)為：自變量x為何值時函數(shù)y取得最大值？你能解決嗎？

［實踐與探索］

例1.求下列函數(shù)的最大值或最小值.

（1）；（2）.

分析由于函數(shù)和的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，所以只要確定它們的圖象有最

高點或最低點，就可以確定函數(shù)有最大值或最小值.

解（1）二次函數(shù)中的二次項系數(shù)2>0,

因此拋物線有最低點，即函數(shù)有最小值.

因為=,

所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值是.

（2）二次函數(shù)中的二次項系數(shù)-1V0,

因此拋物線有最高點，即函數(shù)有最大值.

因為=,

所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值是.

回顧與反思最大值或最小值的求法，第一步確定a的符號，a>0有最小值，aVO有最大

值；第二步配方求頂點，頂點的縱坐標(biāo)即為對應(yīng)的最大值或最小值.

探索試一試，當(dāng)2.130150165

5WxW3.5時，求二

次函數(shù)的最大值或

最小值.

例2.某產(chǎn)品每件成

本是120元，試銷階

段每件產(chǎn)品的銷售

價x（元）與產(chǎn)品的

日銷售量y（件）之

間關(guān)系如下表；

X（元）

y（件）705035

若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，要獲得最大銷售利潤，每件產(chǎn)品的銷售價定為多少

元？此時每日銷售利潤是多少？

分析日銷售利潤=日銷售量X每件產(chǎn)品的利潤，因此主要是正確表示出這兩個量.

解由表可知x+y=200,

因此，所求的一次函數(shù)的關(guān)系式為.

設(shè)每日銷售利潤為s元，則有

s=y（x-120）=-（x-160）2+1600.

因為，所以.

所以，當(dāng)每件產(chǎn)品的銷售價定為16（）元時，銷售利潤最大，最大銷售利潤為1600元.

回顧與反思解決實際問題時，應(yīng)先分析問題中的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式，再研究所

得的函數(shù)，得出結(jié)果.

例3.如圖26.2.8,在Rt/ABC中，ZC=90°,BC=4,AC=8,點D在斜邊AB上，分別

作DE_LAGDK_LHC,垂足分別為E、F,得四邊形DECK,設(shè)DE=x,DF=y.

（1）用含y的代數(shù)式表示AE；

（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；

（3）設(shè)四邊形DECF的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出

S的最大值.

解（1）由題意可知，四邊形DECF為矩形，因此

AE=AC-DF=8-y.

（2）由〃，得，即，

所以，，x的取值范圍是.

圖26.2.8

（3）,

所以，當(dāng)x=2時,S有最大值8.

［當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)］

1.對于二次函數(shù)，當(dāng)x=時,y有最小值.

2.已知二次函數(shù)有最小值-1,則a與b之間的大小關(guān)系是)

A.a<bB.a=bC.a>bD.不能確定

3.某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，為了擴大銷售，增加盈利,

盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1

元，商場平均每天可多售出2件.

（1）若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？

（2）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多？

［本課課外作業(yè)］

A組

1.求下列函數(shù)的最大值或最小值.

（1）；（2）.

2.已知二次函數(shù)的最小值為1,求m的值.，

3.心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x（單位：分）之間滿

足函數(shù)關(guān)系：.y值越大，表示接受能力越強.

（l）x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強？x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步

降低？

（2）第10分時，學(xué)生的接受能力是多少？

（3）第幾分時，學(xué)生的接受能力最強？

B組

4.不論自變量x取什么數(shù)，二次函數(shù)的函數(shù)值總是正值，求m的取值范圍.

5.如圖，有長為24m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10m）,圍成中間隔有

一道籬笆的長方形花圃.設(shè)花圃的寬AB為xm,面積為S

m2.kI/-/-/-/-/-/-_/-/-/-/-a/-/-/-/-/-/--/-/-//：

（1）求S與X的函數(shù)關(guān)系式；A|IID

（2）如果要圍成面積為45m2的花圃,AB的長是多少米？

（3）能圍成面積比45m2更大的花圃嗎？如果能，請求BC

出

最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由.

6.如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,線段EF在對角線AC上,EG±AD,FH1BC,垂足

分別是G、H,且EG+FH=EF.

（1）求線段EF的長；

（2）設(shè)EG=x,ZIAGE與/CFH的面積和為S,

寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，

并求出S的最小值.

［本課學(xué)習(xí)體會］

2.…二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（7）

［本課知識要點］

會根據(jù)不同的條件，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式.

［MM及創(chuàng)新思維］

一般地，函數(shù)關(guān)系式中有幾個獨立的系數(shù)，那么就需要有相同個數(shù)的獨立條件才能求出函

數(shù)關(guān)系式.例如：我們在確定一次函數(shù)的關(guān)系式時，通常需要兩個獨立的條件：確定反比

例函數(shù)的關(guān)系式時，通常只需要一個條件：如果要確定二次函數(shù)的關(guān)系式，又需要幾個

條件呢？

［實踐與探索］

例1.某涵洞是拋物線形，它的截面如圖26.2.9所示，現(xiàn)測得水面

寬l.6m,涵洞頂點O到水面的距離為2.4m,在圖中直角坐標(biāo)系內(nèi),

涵洞所在的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是什么？

分析如圖，以AB的垂直平分線為y軸，以過點O的y軸的垂線

為x軸，建立了直角坐標(biāo)系.這時，涵洞所在的拋物線的頂點在原

點，對稱軸是y軸，開口向下，所以可設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式是.此時

只需拋物線上的一個點就能求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

解由題意，得點B的坐標(biāo)為（0.8,-2.4）,

又因為點B在拋物線上，將它的坐標(biāo)代入，得

—2.4=。x0.8"

所以

因此，函數(shù)關(guān)系式是.

例2.根據(jù)下列條件，分別求出對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式.

（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（0,-1）、B（1,0）、C（-1,2）；

（2）已知拋物線的頂點為（1,-3）,且與y軸交于點（0,1）；

（3）已知拋物線與x軸交于點M（-3,0）、（5,0）,且與y軸交于點（0,-3）；

（4）已知拋物線的頂點為（3,-2）,且與x軸兩交點間的距離為4.

分析（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三個己知點，可設(shè)函

數(shù)關(guān)系式為的形式；（2）根據(jù)已知拋物線的頂點坐標(biāo)，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，再根據(jù)拋

物線與y軸的交點可求出a的值；（3）根據(jù)拋物線與x軸的兩個交點的坐標(biāo)，可設(shè)函數(shù)

關(guān)系式為，再根據(jù)拋物線與y軸的交點可求出a的值；（4）根據(jù)已知拋物線的頂點坐標(biāo)

（3,-2）,可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，同時可知拋物線的對稱軸為x=3,再由與x軸兩交點間的

距離為4,可得拋物線與x軸的兩個交點為（1,0）和（5,0），任選一個代入，即可求出

a的值.

解（1）設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為，由己知，這個函數(shù)的圖象

過（0,-1）,可以得到c=?l.又由于其圖象過點（1,0）、（-1,2）兩點，可以得到

a+h=\

a-b=3

解這個方程組，得

a=2,b=-1.

所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式是.

（2）因為拋物線的頂點為（1,-3）,所以設(shè)二此函數(shù)的關(guān)系式為,

又由于拋物線與y軸交于點（0,1）,可以得到

1=。（0-1）2-3

解得.

所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式是.

（3）因為拋物線與x軸交于點M（?3,0）、（5,0）,

所以設(shè)二此函數(shù)的關(guān)系式為.

又由于拋物線與y軸交于點（0,3）,可以得到

解得.

所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式是.

（4）根據(jù)前面的分析，本題已轉(zhuǎn)化為與（2）相同的題型，請同學(xué)們自己完成.

回顧與反思確定二此函數(shù)的關(guān)系式的一般方法是待定系數(shù)法，在選擇把二次函數(shù)的關(guān)

系式設(shè)成什么形式時，可根據(jù)題目中的條件靈活選擇，以簡單為原則.二次函數(shù)的關(guān)系式

可設(shè)如下三種形式：

（1）一般式：，給出三點坐標(biāo)可利用此式來求.

（2）頂點式：，給出兩點，且其中一點為頂點時可利用此式來求.

（3）交點式：，給出三點，其中兩點為與x軸的兩個交點、時可利用此式來求.

［當(dāng)堂課內(nèi)練習(xí)］

1.根據(jù)下列條件，分別求出對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式.

（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0,2）、（1,1）、（3,5）；

（2）已知拋物線的頂點為（-1,2）,且過點（2,1）；

（3）已知拋物線與x軸交于點M（-1,0）、（2,0）,且經(jīng)過點（1,2）.

2.二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=-l,與y軸交點的縱坐標(biāo)是-6,且經(jīng)過點（2,10）,求此

二次函數(shù)的關(guān)系式.

［本課課外作業(yè)］

A組

1.己知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（-1,12）、B（2,-3）,

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）用配方法把（1）所得的函數(shù)關(guān)系式化成的形式，并求出該拋物線的頂點坐標(biāo)和對

稱軸.

2.已知二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象有兩個公共點P（2,m）、Q（n,-8）,如果拋物線

的對稱軸是x=-l,求該二次函數(shù)的關(guān)系式.

3.某工廠大門是一拋物線型水泥建筑物，如圖所示，大門地面寬AB=4m,頂部C離地面高

度為4.4m.現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門，貨物頂部距地面2.8m,裝貨寬度為2.

4m.請判斷這輛汽車能否順利通過大門.

4.已知二次函數(shù)，當(dāng)x=3時，函數(shù)取得最大值10,且它的圖象在x軸上截得的弦長為4,

試求二次函數(shù)的關(guān)系式.

B組

5.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（1,0）與（2,5）兩點.

⑴求這個二次函數(shù)的解析式；

⑵請你換掉題中的部分己知條件，重新設(shè)計一個求二次函數(shù)解析式的題目，使所求得

的二次函數(shù)與（1）的相同.

6.拋物線過點（2,4）,且其頂點在直線上，求此二次函數(shù)的關(guān)系式.

［本課學(xué)習(xí)體會］

2...實踐與探索（1）

［本課知識要點］

會結(jié)合二次函數(shù)的圖象分析問題、解決問題，在運用中體會二次函數(shù)的實際意義.

［MM及創(chuàng)新思維］

生活中，我們常會遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問題，比如在2004雅典奧運會的賽場上,

很多項目，如跳水、鉛球、籃球、足球、排球等都與二次函數(shù)及其圖象息息相關(guān).你知道

二次函數(shù)在生活中的其它方面的運用嗎？

［實踐與探索］

例1.如圖26.3.1,一位運動員推鉛球，鉛球行進高度y1m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系是

,問此運動員把鉛球推出多遠？

解如圖，鉛球落在x軸上，則y=0,

因此，.

解方程，得（不合題意，舍去）.

所以，此運動員把鉛球推出了10米.

探索此題根據(jù)已知條件求出了運動員把鉛球推出的實際距離，如果創(chuàng)設(shè)另外一個問題

情境：一個運動員推鉛球，鉛球剛出手時離地面m,鉛球落地點距鉛球剛出手時相應(yīng)的

地面上的點10m,鉛球運行中最高點離地面3m,已知鉛球走過的路線是拋物線，求它的函

數(shù)關(guān)系式.你能解決嗎？試一試.

例2.如圖26.3.2,公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA,

水流在各個方向沿形狀相同的拋物線路線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設(shè)計成水流

在離OA距離為1m處達到距水面最大高度2.25m.

（1）若不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外？

（2）若水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，水池的半徑為3.5m,要使水流不落到池外，此

時水流最大高度應(yīng)達多少米？（精確到0.1m）

分析這是一個運用拋物線的有關(guān)知識解決實際問題的應(yīng)用題，首先必須將水流拋物線放在直

角坐標(biāo)系中，如圖26.3.3,我們可以求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式，再利用拋物線的性質(zhì)即可解決

問題.

解（1）以O(shè)為原點，OA為y軸建立坐標(biāo)系.設(shè)拋物線頂點為B,水流落水與x軸交點

為C（如圖26.3.3）.

由題意得,A（