專題反比例由教

K的八種幾何模型及解法

模型介紹

考點1一點一垂線模型

【模型講解】反比例函數(shù)圖象上一點關于坐標軸的垂線、另一坐標軸上一點（含原點）圍成

的三角形面積等于!\k\.

【示例】

°△me~°干°△圖:卜：，

q-s+s

°△“HD一邊動ECDHT°ZM：E，

?q-s

【例1].如圖，已知動點A,8分別在％軸，），軸正半軸匕動點尸在反比例函數(shù)），=2（x

>0）圖象上，/弭Lr軸，△/%〃是以//為底邊的等腰三角形.當點A的橫坐標逐漸增

大時，△抬B的面積將會()

B.越來越大

C.不變D.先變大后變小

》變式訓練

【變1T].如圖，點A、B在反比例函數(shù)y上的圖象上，過點4、8作x軸的垂線，垂足分

X

別是M、N,射線/W交x軸于點C,若OM=MN=NC,四邊形AMN3的面枳是4,則〃

的值為.

【變1-2].如圖，在第一象限內，點P(2,3),M(小2)是雙曲線y=-(A#0)上的

233

考點2一點兩垂線模型

【模型講解】

反比例函數(shù)圖象上一點與坐標軸的兩條垂線所圍成的矩形面積等于|川.

【示例】

【例2】.雙曲線與y=2在第一象限內的圖象如圖所示，作一條平行于1y軸的直線分

XX

別交雙曲線于A、B兩點,連接04、OB,則AAOB的面積為()

A變式訓練

【變27】.如圖，函數(shù))，=■!(A->0)和丫屋(x>0)的圖象分別是人和，2.設點P在，2

XX

上，以〃)，軸交人于點4,PB〃x軸交人于點8,的面積為.

kiko.

【變2-2]如圖，直線4B〃工軸，分別交反比例函數(shù)產(chǎn)」和y—（斷＜%）圖象于小

xx16

8兩點，若SgOB=2,則Q-k\的值為.

【變2-3].如圖，在平面直角坐標系中，M為），軸正半軸上一點，過點M的直線/〃x軸,

/分別與反比例函數(shù)），=K和），='的圖象交于A、B兩點，若S4AOB=3,則k的值

XX

考點3兩曲一平行模型

模型講解】

兩條雙曲線上的兩點的連線與一條（或兩條）坐標軸平行，求這兩點與原點或坐標軸上的點

圍成的圖形面積，過這兩點作坐標軸的垂線，結合A的幾何意義求解.

類型1兩條雙曲線的A值符號相同

【示例】

S-w（劃歸到模型四）二

出I—優(yōu)I邊W”

【例3].如圖，四邊形CMBC是矩形，四邊形AQEr是正方形，點4、。在x軸的負半軸

上，點。在），軸的正半軸上，點尸在AB上，點8、E在反比例函數(shù)y=&（左為常數(shù)，k

WO）的圖象上，正方形ADE尸的面積為16,且8F=2AF,則k值為（)

C.-24D.-36

A變式訓練

【變37].若正方形045C的頂點8和正方形AOE/的頂點E都在函數(shù)y上（k>0）的

X

圖象上.若正方形。48c的面積為1,則我的值為:點E的坐標為

【變3-2].如圖，A、8兩點在雙曲線），=自上，分別經(jīng)過A、8兩點向坐標軸作垂線段,

已知S陰影=1.7,則S1+S2等于

【變3-3].如圖，在反比例函數(shù)y=2（x>0）的圖象上，有點為，P2,P3,P4,…，它們

的橫坐標依次為1，2,3,4,….分別過這些點作x軸與），軸的垂線，圖中所構成的陰影

部分的面積從左到右依次為Si,S2,S3,…，則S1+S2+S3+…+S〃=.（用〃的代數(shù)

式表示，〃為正整數(shù)）

考點4兩點一垂線模型

【模型講解】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點及由交點向坐標軸所作垂線圍成的三角形

面積等于16,反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點及坐標軸上任一點構成三角形的面積，等

于坐標軸所分的兩個三角形面積之和.

【示例】

【例4].如圖，正比例函數(shù)），=心與反比例函數(shù)y=-圖■相交于人，C兩點，點人的橫坐標

x

為-4,過點A作x軸的垂線交x軸于B點，連接8C,下列結論：①*=-]；②不等式

依y的解集為-4Vx<0或x>4；③△ABC的面積等于16.其中正確的結論個數(shù)為

x

()

A.0B.1C.2D.3

》變式訓練

【變47】.如圖所示，一次函數(shù)），=依（4<0）的圖象與反比例函數(shù)），=-芻的圖象交于A,

X

B兩點,過點B作BULy軸于點C,連接AC,則△/I8C的面積為.

【變4-2].如圖，過點。的直線與反比例函數(shù)），=返的圖象交于A、B兩點,過點A作

x

【變4-3].如圖，函數(shù)y=x與y=K的圖象交于A、B兩點，過點A作AC垂直于），軸，垂

x

足為C,連接8C,若S/MBC=3,則k=.

考點5兩點兩垂線模型

【模型講解】

反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點及由交點向坐標軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于

2kl.

示例】

【例5].如圖，正比例函數(shù)），=丘與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,C兩點，過點A作

x

軸于點過點C作C7）J_x軸于點。，則△AB。的面積為.

》變式訓練

【變57].如圖，一次函數(shù)），=日與反比例函數(shù)y』上的圖象交于A,C兩點，48〃3，軸,

x

8C〃x軸，若△A8C的面積為4,則*=.

y

【變5-2].如圖，正比例函數(shù)），="（女＞0）與反比例函數(shù)），=」的圖象交于A,C兩點，

x

過點人作x軸的垂線，交大軸于點8,過點。作x軸的垂線，交x軸于點。，連接八。,

BC,則四邊形ABCZ）的面積為.

【變5-3]如圖，直線分別與反比例函數(shù)），=-2和y=3的圖象交于點人和點兒與y軸

XX

交于點尸，且P為線段AB的中點，作軸于點C,軸交于點。，則四邊形

ABCD的面積是.

考點6反比例函數(shù)上兩點和外一點模型

【模型講解】

反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點和原點所圍成的三角形面積，若兩交點在同一分支上，用

減法.

【示例】

方法一：S^AOB=S^COD-S.\AOC-S&BOD.

方法二：作4E_Lx軸于點E,交。8于點M,B以Lx軸于點尸，貝ijSc°w=S內邊形MWS（劃歸

到模型一），則SaA08=S式珀怫肪AEFB?

方法二:作EML：軸于M,則以O￡F=S二角梯形EM"（劃歸到上一個模型示例）.

【例6].如圖，一次函數(shù)），=依+》的圖象與反比例函數(shù)尸K的圖象交于A,B兩點,則S

△AOB=()

「

13D.6

2

》變式訓練

【變67].如圖,直線AB經(jīng)過原點。，且交反比例函數(shù)yi?的圖象于點B,4,點C在X

X

12,則女的值為（）

C.-6D.6

【變6-2].如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=K與直線y=Zx交于48,x軸

x3

的正半軸上有一點C使得NACB=90°,若△OCO的面積為25,則A的值為.

【變6-3].如圖，正比例函數(shù)y=-當與反比例函數(shù)y=K的圖象交于43兩點，點C

3x

在X軸上，連接AC,BC.若NACB=90°,△ABC的面積為10,則該反比例函數(shù)的解

析式是.

考點7反比例函數(shù)上兩點和原點模型

【模型講解】

反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點和原點所圍成的三角形面積，若兩交點分別在兩個分支上,

用加法.

【示例】

方法一：S^AOB=gOD?1x8-I=y0C-I)%一泗.

方法二：S^AOB=S^oc4-5AOCD4-S^OBD.

方法三：作軸于點E,8凡Lx軸于點E延長與4尸相交于點M則

S^OB=SAABN-S少OE—SdOBF—S更形OENF.

【例7].如圖，直線A8交雙曲線y工于A、B,交x軸于點C,3為線段AC的中點，過

X

點B作8MLx?軸于M,連接0A.若0M=2MC,S^OAC=\2.則k的值為

》變式訓練

【變7-1].如圖，在以。為原點的直角坐標系中，矩形。人BC的兩邊OC、Q4分別在x軸、

)，軸的正半軸上，反比例函數(shù)丫=區(qū)(x>0)與48相交于點D,與AC相交于點E,若

x

BD=3A。，且四邊形。。8￡的面積為21,則％=

【變7-2].如圖，點A(3,4),B(3,m)是直線AB與反比例函數(shù)y上(x〉o)圖象

2x

的兩個交點，AC_Lx軸，垂足為點C,已知0(0,1),連接AO,BD,BC.

(1)求反比例函數(shù)和直線A8的解析式；

(2)/XABC和△AB。的面積分別為Si,S2,求S2-S1.

考點8兩雙曲線k值符號不同模型

模型講解】

兩條雙曲線上的兩點的連線與一條(或兩條)坐標軸平行，求這兩點與原點或坐標軸上的點

圍成的圖形面積，過這兩點作坐標軸的垂線，結合A的兒何意義求解.

類型1兩條雙曲線的左值符號相同

【示例】

y

CB

0〃A

S短舒OABC=IA]I，

S短彩ODEC二出?

V

=yli.l-yli2l

V

貝“S陰影二S矩形（M8C一S矩形〃"

◎S△〃-S=

"°^OAES四邊w（劃歸到模型四）二

\k}I-\k2\

%I-I4、2I-S四邊形AE

【例8].如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)），=去與y=q■的圖象交于A、8兩點，過A作

），軸的垂線，交函數(shù)的圖象于點C,連接3C,則△A4C的面枳為（）

y

C.5D.6

下變式訓練

【變87].如圖，過x軸正半軸上的任意一點P,作)，軸的平行線，分別與反比例函數(shù)y=

2(x>0)和)，=一2(x>0)的圖象交于8、A兩點.若點C是)，軸上任意一點，則4

9

A.3B.6C.9D.—

【變8-2].如圖，點4和點4分別是反比例函數(shù),，=必(x>0)和)，=[(Q0)的圖象上

XX

的點，A8_Lx軸，點C為y軸上一點，若SAA8C=2,則〃l〃的值為.

1.如圖，R（A4BC的頂點A在雙曲線），=區(qū)的圖象上，直角邊BC在不軸上，NABC=%°,

x

ZACB=30°,0C=4,連接OA,N4O8=60°,則k的值是（）

C.2V3D.-2V3

2.如圖，平行四邊形OABC的頂點B,。在第一象限，點4的坐標為（3,0）,點￡>為邊

4B的中點，反比例函數(shù)），=K（x>0）的圖象經(jīng)過C,。兩點，若/COA=a,則%的值

C.4tanaD.2tana

3.如圖，在直角坐標系.中，點A,B分別在x軸和y軸，-5|=-|.NAOB的角平分線

與的垂直平分線交于點C,與AB交于點Z）,反比例函數(shù)y=K的圖象過點C.當以

x

CO為邊的正方形的面積為半時，A的值是（）

C.5D.7

4.如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數(shù)），=2的圖象上，第二象限內的點8在反比

例函數(shù)），=生的圖象上，且。4_LOB,cosA=—，則k的值為（）

3

-4C.-73D.-2V3

5.如圖，反比例函數(shù)產(chǎn)四（x<0）的圖象經(jīng)過點A（-1,1）,過點A作A4J_y軸，垂足

為B,在），軸的正半軸上取一點。（0,/）,過點夕作直線CM的垂線/,以直線/為對稱

軸，點8經(jīng)軸對稱變換得到的點"在此反比例函數(shù)的圖象上，則/的值是（）

6.如圖，菱形OABC的頂點B在），軸上，頂點C的坐標為（-3,2）,若反比例函數(shù)），=區(qū)

x

（x>0）的圖象經(jīng)過點A,則Z的值為（）

2

A.-6B.-3C.3D.6

7.如圖，直線尸工x與雙曲線產(chǎn)K（Q。，x>0）交于點A,將直線產(chǎn)工x向上平移4

2x2

個單位長度后，與），軸交于點C,與雙曲線），=上（攵>0,x>0）交于點從若0A=3BC,

則左的值為（）

A.3B.6C.—D.9

42

8.如圖，己知四邊形"CO是平行四邊形，BC=2AB.A,4兩點的坐標分別是（-1,0）,

（0,2）,C,。兩點在反比例函數(shù)y=區(qū)（k<0）的圖象上，則人等于.

9.如圖，點E,尸在函數(shù)產(chǎn)區(qū)（x>0）的圖象上，直線E/分別與x軸、），軸交于點A,B,

x

且BE：BF=\zm.過點E作EP±y軸于P,已知△OEP的面積為1,則攵值是,

△OK/7的面積是（用含m的式子表示）

10.如圖，在Rtz^CMA中，OA=4,4B=5,點。在O人上，AC=\,OP的圓心P在線段

BC上,且OP與邊4B,4。都相切.若反比例函數(shù)y=K（女#0）的圖象經(jīng)過圓心P,

x

11.如圖，0ABe是平行四邊形，對角線03在軸正半軸上，位于第一象限的點4和第二象

k1k

限的點C分別在雙曲線＞，=」和,，='"9的一支上，分別過點A、C作x軸的垂線，垂足

xx

分別為M和M則有以下的結論：

AirIki|-I

L

?^=-r-r;②陰影部分面枳是」（ki+k2）；③當NAOC=90"時，刈=|初;

CN|k2|2

④若。44C是菱形，則兩雙曲線既關于x軸對稱，也關于），軸對稱.

其中正確的結論是（把所有正確的結論的序號都填上）.

12.如圖，在平面直角坐標系中，已知直線/：y=-x-1,雙曲線），=2，在/上取一

點4,過Ai作x軸的垂線交雙曲線于點以，過加作），軸的垂線交/于點A2,請繼續(xù)操

作并探究：過A2作x軸的垂線交雙曲線于點及，過及作），軸的垂線交/于點A3,…，

這樣依次得到/上的點A】,A2,A3,…，4,…記點A〃的橫坐標為若。1=2,則42

=，42013=；若要將上述操作無限次地進行下去，則m不可能取的值

是.

13.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù))，=工(x>0)的圖象交于點4(m3),

2x

與)，軸交于點B.

(1)求〃，k的值：

(2)直線CD過點A,與反比例函數(shù)圖象交于點C,與x軸交于點。，AC=A。，連接

CB.

①求△A8C的面積；

②點P在反比例函數(shù)的圖象上，點。在x軸上，若以點4,B,P,。為頂點的四邊形是

平行四邊形，請求出所有符合條件的點P坐標.

14.在平面直角坐標系中，已知一次函數(shù)與坐標軸分別交于人(5,0)，8(0,,)

兩點，且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內交于P,K兩點，連接OP,△04。

的面積為9.

4

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式.

(2)當戶>>”時，求x的取值范圍.

(3)若C為線段04上的一個動點，當PC+KC最小時，求△尸KC的面積.

15.如圖，一次函數(shù)？=.計1與反比例函數(shù))，=區(qū)的圖象相交于A(m,2),B兩點,分別連

x

接。4,OB.

(1)求這個反比例函數(shù)的表達式；

(2)求△AO8的面積；

(3)在平面內是否存在一點P,使以點0,B,A,尸為頂點的四邊形為平行四邊形？若

存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

16.已知4(3,0)、B(0,4)是平面直角坐標系中兩點，連接43.

(1)如圖①，點P在線段/1B上，以點。為圓心的園與兩條坐標軸都相切，求過點P的

反比例函數(shù)表達式；

(2)如圖②，點N是線段08上一點，連接AN,將AAON沿AN翻折，使得點。與線

段上的點M重合，求經(jīng)過A、N兩點的一次函數(shù)表達式.

①

②

4x2(-1<x<0)

17.小華同學學習函數(shù)知識后，對函數(shù)y14,3、通過列表、描點、連線,

T(x4-1或x>0)

畫出了如圖1所示的仔象.

X???-4-3-2-1,31101234

424

y???14249110-4-2-4-1

3443

請根據(jù)圖象解答：

(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】

①寫出函數(shù)的兩條性質：___________________________

②若函數(shù)圖象上的兩點(xi,>,i),(x2,y2)滿足xi+x2=(),則yi+.y2=0一定成立

嗎？.(填“一定”或“不一定”)

(2)【延伸探究】如圖2,將過A(-1,4),8(4,-I)兩點的直線向下平移〃個單位

長度后，得到宜線/與函數(shù))，=-?(x<-1)的圖象交于點P,連接以，PB.

①求當〃=3時,直線/的解析式和△以B的面積；

②直接用含〃的代數(shù)式表示△附B的面積.

圖1圖2

專題反比例由教

K的八種幾何模型及解法

模型介紹

考點1一點一垂線模型

【模型講解】反比例函數(shù)圖象上一點關于坐標軸的垂線、另一坐標軸上一點（含原點）圍成

的三角形面積等于!\k\.

【示例】

°△me~°干°△圖:卜：，

q-s+s

°△“HD一邊動ECDHT°ZM：E，

?q-s

【例1].如圖，已知動點A,8分別在％軸，），軸正半軸匕動點尸在反比例函數(shù)），=2（x

>0）圖象上，/弭Lr軸，△/%〃是以//為底邊的等腰三角形.當點A的橫坐標逐漸增

大時，△抬B的面積將會（）

A.越來越小B.越來越大

C.不變D.先變大后變小

解：如圖，過點8作8C_L以于點C,

則BC=OA,

設點P（x,—）＞

X

貝|JS△附8=2%?4C=工?巨■?x=3,

22x

當點A的橫坐標逐漸增大時，△以6的面積將會不變，始終等于3,

故選：C.

下變式訓練

【變17].如圖，點A、B在反比例函數(shù)y上的圖象上，過點A、8作x軸的垂線，垂足分

x

別是M、N,射線相交工軸于點C,若OM=MN=NC,四邊形AMN5的面積是4,則4

???點A、8在反比例函數(shù)y=三的圖象上，AM10C.BN10C,

：,AM=—,BN=之

a2a

?:S^AOC=SMOM+S四邊形AMNB+SmNC,

.?.?Lx3axK=-工k+4?2XaX上，

2a222a

解得上=?皿，

3

故答案為：■兇.

3

[變1-2].如圖，在第一象限內，點P(2,3),M(%2)是雙曲線)，=K(丘0)上的

解：把尸(2,3),M52)代入)，=K得&=2X3=2〃，解得攵=6,〃=3,

x

設直線0M的解析式為y=mx,

把M(3,2)代入得3加=2,解得〃?=2,

3

所以直線0M的解析式為)，=m，當x=2時，y=-1x2=-^,

所以C點坐標為(2,4),

3

1AA

所以△O4C的面積=3X2XM=3.

233

故選：B.

考點2一點兩垂線模型

【模型講解】

反比例函數(shù)圖象上一點與坐標軸的兩條垂線所圍成的矩形面積等于I川.

【示例】

【例2】.雙曲線與y二互在第一象限內的圖象如圖所示，作一條平行于），軸的直線分

XX

別交雙曲線于A、B兩點,連接OA、0B,則△A08的面積為（）

解：設直線與x軸交于點C.

???A6〃y$h,

???AC_Lx軸，3C_Lx軸.

???點A在雙曲線），=也的圖象上,

x

???△40。的面積=」X10=5.

2

???點B在雙曲線），=旦的圖象上，

:ZOB的面積=2X6=3.

2

:?△AOB的面積=4A0C的面積-△COB的面積=5-3=2.

故選：B.

上，出〃y軸交/1于點4,PB〃x軸交八于點B,的面積為—孩

：.BP=x~—=—x,

44xxx

11239

：?S.\ABP=yBP*AP=y*-x?-?

故答案為:]

【變2-2].如圖，直線A3公軸，分刑交反比例函數(shù)尸」k■和y，k_(k1<kQ圖象于人、

YY1/

B兩點,若SMOB=2,則4-%的值為4

,**SA4O3=2,

：.—cd-—ab=2,

22

??cd-ab=4,

:?ki-21=4,

故答案為：4.

【變2-3].如圖，在平面直角坐標系中，M為），軸正半軸上一點，過點M的直線/〃x軸,

/分別與反比例函數(shù)產(chǎn)K和丁=且的圖象交于A、8兩點，若S?OB=3,則k的值為-

???4MJ_），軸，BMJ_），軸，

，S"OM=2|&|,S^BOM=—X4—2>

22

*?*SZJU4OB=3,

：?S/^OM=1,

:?k=-2,

故答案為：-2.

考點3兩曲一平行模型

模型講解】

兩條雙曲線上的兩點的連線與一條（或兩條）坐標軸平行，求這兩點與原點或坐標軸上的點

圍成的圖形面積，過這兩點作坐標軸的垂線，結合人的幾何意義求解.

類型1兩條雙曲線的左值符號相同

過點。作軸于點/

s用我二*妲

貝“5相冊=5短彩。we-S悻*$OFDC-

S&OCD-SdOAE:

（劃歸到模型四）=

1^,1-1^,1

I%I-1及I-S■邊w”

【例3].如圖，四邊形0A3C是矩形，四邊形廠是正方形，點A、。在x軸的負半軸

上，點。在），軸的正半軸上，點F在AB上，點、B、E在反比例函數(shù)_y=K（A為常數(shù)，A

*0）的圖象上，正方形4DEF的面積為16,RF=?AF,則〃值為（)

_36

解：設A(x,0).

:正方形ADEP的面積為16,

廠的邊長為4,

：.E(x-4,4),

yBF=2AF,

ABF=2X4=8,

:.B(x,12).

???點8、E在反比例函數(shù)丁=區(qū)(々為常數(shù)，kWO)的圖象上,

x

.?.4(x-4)=\2x,

解得x=-2,

：,B(-2,12),

:?k=-2X12=-24,

[變3-1].若正方形OABC的頂點B和正方形ADEF的頂點E都在函數(shù)y4(k>0)的

(返+』,返

圖象匕若正方形OABC的面積為1,則攵的值為1:點E的坐標為.

-2-2-2

解：???正方形OABC和正方形AEDF各有一個頂點在一反比例函數(shù)圖象上，且正方形

Q48C的邊長為1.

點坐標為：（1,1）,

設反比例函數(shù)的解析式為），=2：

X

xy=k=1,

設正方形4QE/的邊長為〃，則E（l+a,a）.

代入反比例函數(shù)），=2（X>0）得：1=（1+?）4,又4>0,

解得：a=^L-l.

22

???點E的坐標為：（亞?+2，返-2）.

2222

【變3-2].如圖，A、3兩點在雙曲線），=自上，分別經(jīng)過A、3兩點向坐標軸作垂線段,

x

解：如圖,

S四邊形八￡0F=4,S四月形月。。。=4,

；?S1+S2=S四邊形八KOF+S雙邊形B/5OC-2XS陰影,

???SI+S2=8-3.4=4.6

故答案為：46

【變3-3］如圖，在反比例函數(shù)y=2（X>O）的圖象上，有點P,P2,尸3,〃4,…，它們

X

的橫坐標依次為1，2,3,4,….分別過這些點作式軸與），軸的垂線，圖中所構成的陰

影部分的面積從左到右依次為Si,52,S3,…，則S1+S2+S3+…+5〃=電?.（用〃的

-n+L

代數(shù)式表示，〃為正整數(shù)）

解：當x=l時，P的縱坐標為2,

當X=2時，P2的縱坐標I,

當X=3時，尸3的縱坐標2,

3

當x=4時，尸4的縱坐標2，

2

當X=5時，P5的縱坐標2,

5

則Si=ix(2-1)=2-1；

S2=1X（1-—）=i-2；

33

S3=1X21.22

3234

S4=1X（12）―22

2545

q—22

nn+1

SI+S2+S3+..?+S〃=2-i+i-2+2-2+2-2+???+2--^.=2-

33445nn+1n+1n+1

故答案為：包.

n+1

考點4兩點一垂線模型

【模型講解】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點及由交點向坐標軸所作垂線圍成的三角形

面積等于心1，反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點及坐標軸，任一點構成三角形的面積，等

于坐標軸所分的兩個三角形面積之和.

【示例】

【例4].如圖，正比例函數(shù)y=依與反比例函數(shù)y=?3相交于A,。兩點，點A的橫坐標

為-4,過點A作x軸的垂線交x軸于B點，連接8C,下列結論：①%=-工；②不等式

2

kx<-其的解集為-4<x<0或x>4；③AABC的面積等于16.其中正確的結論個數(shù)為

???點A坐標為（-4,2）,

將（-4,2）代入），=打得2=-4七

解得k=W

???①正確.

由反比例函數(shù)及正比例函數(shù)的對稱性可得點C坐標為（4,-2）,

，當-4VxV0或4>4時，^v<,

X

???②正確.

S^AOC=S^OB+S^BOC=—OH*yA+—OI^（->'C）=—B0（yA-yc）=—X4X（2+2）

乙乙乙乙

=8,

???③錯誤.

故選：C.

》變式訓練

【變47】.如圖所示，一次函數(shù)），=依《<0）的圖象與反比例函數(shù)），=-芻的圖象交于4,

X

B兩點,過點B作BCLy軸于點C,連接4C,則△八BC的面積為4.

解：???8C_L），軸于點C,

—I-4|-2?

2

???正比例函數(shù)），=依a>o）與反比例函數(shù)），=-9■的圖象均關于原點對稱,

X

???04=08,

S^AOC=S&COB=2>

S&ABC=Si\AOI$+S△BO^u2+2—45

故答案為:4.

【變4-2］如圖，過點。的直線與反比例函數(shù)），=返的圖象交于A、8兩點，過點A作

X

AC_Lx軸于點C,連接8C,則△A8C的面積為

解：二?點A反比例函數(shù)y=Y2的圖象上，過點A作AC±x軸于點C,

x

A5MOC=—|^|=—,

22

???過點。的直線與反比例函數(shù)），=亞的圖象交于A、B兩點,

x

???0A=0B,

V2

?'?S^BOC=S^AOC=--

2

SMBC=2SMCo=y[2，

故答案為：V2-

【變4-3].如圖，函數(shù)y=x與y=三的圖象交于A、B兩點，過點A作4c垂直于.y軸，垂

足為C,連接4C,若SA48C=3,則k=3

解：設A(a,a)(?>0),

?:函數(shù)>'=x與y=K的圖象的中心對稱性，

x

a,-a),

1

??S/\ABC~^~*Cl*2,(1—(I9=3,

2

；?A(?，V3)>

把4(?，V3)代入)=乜得火=?xV§=3.

X

故答案為：3.

考點5兩點兩垂線模型

【模型講解】

反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點及由交點向坐標軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等廣

2聞.

示例】

【例5].如圖，正比例函數(shù)y="與反比例函數(shù)＞=的圖象交于4,C兩點，過點4作

x

4B_Lx軸于點B,過點C作COLx?軸于點D,則△ABD的面積為4.

解：???點A在反比例函數(shù)），=-芻上，且4乩Lx軸，

X

?S一」-4|

?,SAAB0-2

???A,C是反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點，且COlx軸，

???。是8。的中點，

S^ABD=2s4AB0=4.

故答案為：4.

》變式訓練

【變57].如圖，一次函數(shù)｝，=左1與反比例函數(shù)y=K上的圖象交于A,C兩點，，軸,

解：設48交1軸于點

由反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可得SMDO的面積為」豆，

2

由函數(shù)的對稱性可得點。為AC中點，即DO為△ABC中位線,

.SAADO_1

??~———9

SAABC4

:.S^ABC=4S^ADO=2\k\=4.

**?k="2.

故答案為：-2.

【變5-2].如圖，正比例函數(shù)），=丘（&>0）與反比例函數(shù)），=」?的圖象交于A,C兩點，

x

過點A作不軸的垂線，交x軸于點8,過點C作x軸的垂線，交x軸于點。，連接AQ,

RC,則四邊形A及。）的面枳為2.

???A、C關于原點對稱，

?.?CQ_Lx軸，軸,

：.OA=OC,OB=OD,

S^AOB=S^BOC=S^DOC=SMOD,

乂???4點在反比例函數(shù)），=上的圖象上，

X

===

*,?S/^OHS/\BOCS/\DOC5ZXA（）/>^-x1=—,

22

=

:.S四邊形ABCD=4s4X-^-=2,

乙

故答案為:2.

【變5-3].如圖，直線分別與反比例函數(shù)），--2和y—3的圖象交于點A和點8,與），軸

XX

交于點P,且尸為線段AB的中點，作ACJ_x軸于點C,軸交于點。，則四邊形

ABCD的面積是5.

解：過點4作Ar_Ly軸，垂足于點F：過點3作8￡Ly軸，垂足為點￡.

???點P是48中點.

：.PA=PB.

又,：4APF=/BPE,/AFP=NBEP=90°,

???△API&ABPE.

；?S&APF=SdBPE.

，S四動形48c2)=S四邊形4co”+s四邊形EO/M=|-2|+|3|=5.

故答案為：5.

考點6反比例函數(shù)上兩點和外一點模型

【模型講解】

反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點和原點所圍成的三角形面積，若兩交點在同一分支上，用

減法.

方法二：作AE_Lx軸于點日交0B于點M,B￡Lx軸于點尺則SZ^M=S四邊形.陽（劃歸

到模型一），則S,MO8=Sr用梯影AEFB.

方法二：作EM_Lx軸于M,則5小0杼=5立卅悌形EMI尸（劃歸到上一個模型示例）.

【例6].如圖，一次函數(shù)），=?+%的圖象與反比例函數(shù)_y=K的圖象交于A,B兩點，則5

MOB=()

解：把人(-4,1)代入)，=K的得：k=-4,

x

???反比例函數(shù)的解析式是y=-芻，

x

,：B(1,m)代入反比例函數(shù)y=-'得：，〃=-4,

x

???B的坐標是(1,-4),

把4、8的坐標代入一次函數(shù)得：(4a+bT,

Ia+b=~4

解得：a=-1,b=-3,

???一次函數(shù)的解析式是)，=?x?3；

把x=0代入一次函數(shù)的解析式是)，=-戈-3得：y=-3,

：.D(0,-3),

S^\AOH=SAOD+S/\BOl)=—x3義(1+4)=H.

22

【變67].如圖，直線A8經(jīng)過原點O,且交反比例函數(shù)y上的圖象于點4,A,點C在x

X

軸上，且BC[BA.若&BCA=12,則上的值為()

cx

A.12B.-12C.-6D.6

解：作AQ_Lx軸于。，軸于E,

???點4、B在反比例函數(shù)y±的圖象上，直線AB經(jīng)過原點,

X

：.OA=OB=^-AB,

2

7BC-yBA-S^BCA=\2,

：.OB=BC,S^BCO~—"Szij?CA=6>

2

，：BELOC,

：.OE=C