重要模型最后回顧試題一、數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)回顧1.1線性規(guī)劃模型構(gòu)建與求解某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需消耗甲原料3噸、乙原料2噸，可獲利潤500元；生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需消耗甲原料1噸、乙原料3噸，可獲利潤300元。工廠現(xiàn)有甲原料120噸、乙原料150噸，且A產(chǎn)品產(chǎn)量不超過B產(chǎn)品的2倍。請建立線性規(guī)劃模型并求解最大利潤。模型構(gòu)建要點(diǎn)：決策變量：設(shè)A產(chǎn)品產(chǎn)量為x?噸，B產(chǎn)品產(chǎn)量為x?噸目標(biāo)函數(shù)：maxZ=500x?+300x?約束條件：3x?+x?≤120（甲原料限制）2x?+3x?≤150（乙原料限制）x?≤2x?（產(chǎn)量比例限制）x?,x?≥0（非負(fù)約束）求解關(guān)鍵步驟：繪制約束條件可行域，確定頂點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)計算各頂點(diǎn)利潤值最優(yōu)解出現(xiàn)在（30,30）處，最大利潤24000元1.2微分方程應(yīng)用模型某池塘初始有1000條魚，魚群增長速率與當(dāng)前數(shù)量成正比，比例系數(shù)為0.05/天。若每天捕撈50條，建立魚群數(shù)量隨時間變化的微分方程模型，并求解穩(wěn)定狀態(tài)下的魚群數(shù)量。模型構(gòu)建：設(shè)t時刻魚群數(shù)量為N(t)，則：dN/dt=0.05N-50初始條件N(0)=1000求解過程：分離變量得：dN/(0.05N-50)=dt積分后整理：N(t)=1000+Ce^(0.05t)代入初始條件得C=0，故N(t)=1000（穩(wěn)定解）生物學(xué)意義：捕撈量等于自然增長量時達(dá)到生態(tài)平衡二、物理模型綜合應(yīng)用2.1力學(xué)系統(tǒng)振動模型質(zhì)量為m的物體懸掛在勁度系數(shù)k的彈簧下，受到阻力系數(shù)c的黏滯阻力和周期性外力F?sinωt作用。建立系統(tǒng)振動微分方程，分析共振現(xiàn)象產(chǎn)生的條件及振幅表達(dá)式。數(shù)學(xué)描述：m(d2x/dt2)+c(dx/dt)+kx=F?sinωt關(guān)鍵分析：無阻尼自由振動：ω?=√(k/m)（固有頻率）共振條件：強(qiáng)迫力頻率ω接近ω?穩(wěn)態(tài)振幅：A=F?/√[(k-mω2)2+(cω)2]臨界阻尼：c=2√(mk)，系統(tǒng)無振動直接回到平衡位置2.2熱力學(xué)循環(huán)模型某卡諾熱機(jī)工作在溫度T?=600K的高溫?zé)嵩春蚑?=300K的低溫?zé)嵩粗g，每次循環(huán)從高溫?zé)嵩次鼰?000J。計算：（1）熱機(jī)效率；（2）每次循環(huán)對外做功；（3）向低溫?zé)嵩捶艧帷：诵墓綉?yīng)用：卡諾效率η=1-T?/T?=1-300/600=50%循環(huán)功W=ηQ?=0.5×2000=1000J放熱Q?=Q?-W=1000J熵變分析：系統(tǒng)總熵變ΔS=Q?/T?-Q?/T?=0（可逆過程）三、經(jīng)濟(jì)學(xué)模型深度解析3.1市場均衡動態(tài)模型某商品需求函數(shù)Qd=100-2P，供給函數(shù)Qs=-20+P，若價格調(diào)節(jié)機(jī)制為dP/dt=0.5(Qd-Qs)，初始價格P(0)=30。（1）建立價格調(diào)整微分方程；（2）求解價格隨時間變化路徑；（3）分析均衡穩(wěn)定性。動態(tài)建模過程：超額需求ED=Qd-Qs=120-3P價格調(diào)整方程：dP/dt=0.5(120-3P)=60-1.5P求解得：P(t)=40+Ce^(-1.5t)代入初始條件P(0)=30，得C=-10，故P(t)=40-10e^(-1.5t)穩(wěn)定性判斷：當(dāng)t→∞時，P(t)→40（均衡價格），系統(tǒng)穩(wěn)定3.2宏觀經(jīng)濟(jì)增長模型索洛增長模型中，生產(chǎn)函數(shù)Y=K^α(AL)^(1-α)，儲蓄率s=0.3，人口增長率n=0.02，技術(shù)進(jìn)步率g=0.03，資本折舊率δ=0.05，α=0.5。計算穩(wěn)態(tài)時：（1）人均有效資本k*；（2）人均有效產(chǎn)出y*；（3）人均產(chǎn)出增長率。穩(wěn)態(tài)條件應(yīng)用：穩(wěn)態(tài)方程：s·f(k)=(n+g+δ)k代入柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)：s·k^α=(n+g+δ)k解得k*=[s/(n+g+δ)]^(1/(1-α))=[0.3/(0.02+0.03+0.05)]2=9y*=(k*)^α=3人均產(chǎn)出增長率=技術(shù)進(jìn)步率g=3%四、工程技術(shù)模型實(shí)踐4.1電路系統(tǒng)分析模型RLC串聯(lián)電路中，電阻R=4Ω，電感L=2H，電容C=0.25F，電源電壓u(t)=10sin2tV。開關(guān)閉合時電路無初始儲能，建立電路微分方程并求解電流i(t)?；鶢柣舴蚨蓱?yīng)用：L(di/dt)+Ri+(1/C)∫idt=u(t)兩邊求導(dǎo)得：L(d2i/dt2)+R(di/dt)+(1/C)i=du/dt=20cos2t求解要點(diǎn)：特征方程：2r2+4r+4=0→r=-1±j√3（欠阻尼）特解設(shè)為i_p=Acos2t+Bsin2t，代入得i_p=2cos2t+sin2t通解：i(t)=e^(-t)(C?cos√3t+C?sin√3t)+2cos2t+sin2t初始條件i(0)=0,di/dt(0)=0，解得C?=-2,C?=√3/34.2控制系統(tǒng)校正模型單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=10/(s(s+2))，設(shè)計滯后校正裝置使系統(tǒng)：（1）開環(huán)增益K≥10；（2）相角裕度γ≥45°；（3）截止頻率ω_c≥1rad/s。校正設(shè)計步驟：原系統(tǒng)相角裕度：γ?=180°-90°-arctan(ω_c0/2)令|G(jω_c0)|=1，解得ω_c0=√10≈3.16rad/s，γ?≈32.5°（不滿足）滯后校正網(wǎng)絡(luò)：G_c(s)=(1+Ts)/(1+βTs)，取β=10新截止頻率ω_c≈1rad/s，計算滯后角φ_c≈-arctan(Tω_c)+arctan(βTω_c)≈-5.7°驗(yàn)證相角裕度：γ=180°-90°-arctan(0.5)+φ_c≈51.3°（滿足要求）五、生物生態(tài)模型拓展5.1種群競爭模型兩種群Lotka-Volterra競爭模型：dx/dt=r?x(1-x/K?-αy/K?)dy/dt=r?y(1-y/K?-βx/K?)其中r?=r?=0.1，K?=K?=100，α=0.5，β=2.0。分析兩種群共存可能性。相平面分析：零增長線交點(diǎn)：x/K?+αy/K?=1βx/K?+y/K?=1解得（40,120）超出環(huán)境容量，無正平衡點(diǎn)競爭結(jié)局：β>1且α<1，種群y將排斥種群x數(shù)值模擬：當(dāng)初始x=y=50時，x將逐漸衰減至05.2傳染病傳播模型SIR模型中，易感者S、感染者I、恢復(fù)者R滿足：dS/dt=-βSI/NdI/dt=βSI/N-γIdR/dt=γI設(shè)總?cè)丝贜=1000，初始感染者I(0)=10，β=0.3/天，γ=0.1/天。計算：（1）基本再生數(shù)R?；（2）峰值感染人數(shù)；（3）最終感染比例。關(guān)鍵參數(shù)計算：R?=β/γ=3（每個感染者平均傳染3人）閾值條件：當(dāng)S(0)/N>1/R?時疫情擴(kuò)散峰值時間：t_m≈7.3天，峰值I_m≈265人最終感染比例：R(∞)/N≈1-e^(-R?R(∞)/N)→解得≈79.8%六、模型檢驗(yàn)與拓展思考6.1模型適用性評估以線性回歸模型為例，說明如何通過以下指標(biāo)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢?yōu)劣：決定系數(shù)R2：衡量自變量解釋因變量變異的比例，越接近1越好F檢驗(yàn)：整體顯著性檢驗(yàn)，F(xiàn)值越大表明模型越顯著t檢驗(yàn)：單個系數(shù)顯著性，|t|>tα/2表明變量顯著殘差分析：殘差正態(tài)性（Shapiro-Wilk檢驗(yàn)）、獨(dú)立性（DW檢驗(yàn)）、同方差性（White檢驗(yàn)）6.2跨學(xué)科模型融合金融物理學(xué)案例：將布朗運(yùn)動模型應(yīng)用于股票價格預(yù)測，設(shè)股票價格S(t)滿足：dS/S=μdt+σdW(t)其中μ=0.08/年（漂移率），σ=0.2/√年（波動率），W(t)為維納過程。1年后股票價格的概率分布：S(1)~對數(shù)正態(tài)分布LN(lnS?+(μ-σ2/2),σ2)風(fēng)險中性定價下，期權(quán)價格可通過Black-Scholes公式計算模型拓展方向：引入分