函數(shù)完整版課件1目錄contents函數(shù)概念與性質一次函數(shù)與二次函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)與反三角函數(shù)復合函數(shù)與分段函數(shù)參數(shù)方程與極坐標方程2函數(shù)概念與性質013設$x$和$y$是兩個變量，$D$是實數(shù)集的某個子集，若對于$D$中的每一個數(shù)$x$，變量$y$按照一定的對應法則總有一個確定的值和它對應，則稱$y$是$x$的函數(shù)，記作$y=f(x)$，其中$x$稱為自變量，$y$稱為因變量，$D$稱為函數(shù)的定義域，對應法則稱為函數(shù)關系。函數(shù)定義函數(shù)的表示方法有三種，分別是解析法、列表法和圖象法。其中解析法是用數(shù)學表達式來表示兩個變量之間的對應關系；列表法是通過列出函數(shù)自變量與因變量的數(shù)值對應關系來表示函數(shù)關系；圖象法是用圖象來表示兩個變量之間的函數(shù)關系。函數(shù)的表示方法函數(shù)定義及表示方法4函數(shù)的性質函數(shù)具有單調性、奇偶性、周期性等性質。其中單調性是指函數(shù)在某個區(qū)間內隨著自變量的增大而增大或減小的性質；奇偶性是指函數(shù)滿足$f(-x)=-f(x)$或$f(-x)=f(x)$的性質；周期性是指函數(shù)在某個周期內重復出現(xiàn)的性質。函數(shù)的分類根據(jù)函數(shù)的性質和特征，可以將函數(shù)分為基本初等函數(shù)、復合函數(shù)、分段函數(shù)等類型。其中基本初等函數(shù)包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等；復合函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復合運算得到的函數(shù)；分段函數(shù)是在其定義域的不同區(qū)間上由不同的對應法則所表示的函數(shù)。函數(shù)性質與分類5一次函數(shù)的圖像是一條直線，其一般形式為$y=kx+b$，其中$k$和$b$為常數(shù)，且$kneq0$。當$k>0$時，直線斜率為正，函數(shù)單調遞增；當$k<0$時，直線斜率為負，函數(shù)單調遞減。一次函數(shù)二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，其一般形式為$y=ax^2+bx+c$，其中$aneq0$。當$a>0$時，拋物線開口向上；當$a<0$時，拋物線開口向下。二次函數(shù)的對稱軸為直線$x=-frac{2a}$，頂點坐標為$left(-frac{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$。二次函數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像是一條經(jīng)過點$(0,1)$的曲線，其一般形式為$y=a^x$，其中$a>0$且$aneq1$。當$a>1$時，指數(shù)函數(shù)單調遞增；當$0<a<1$時，指數(shù)函數(shù)單調遞減。指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖像是一條經(jīng)過點$(1,0)$的曲線，其一般形式為$y=log_ax$，其中$a>0$且$aneq1$。當$a>1$時，對數(shù)函數(shù)單調遞增；當$0<a<1$時，對數(shù)函數(shù)單調遞減。對數(shù)函數(shù)的定義域為$(0,+infty)$。對數(shù)函數(shù)常見函數(shù)類型及其圖像6一次函數(shù)與二次函數(shù)027一次函數(shù)圖像一次函數(shù)的圖像是一條直線。當$k>0$時，直線向右上方傾斜；當$k<0$時，直線向右下方傾斜。一次函數(shù)概念一次函數(shù)是形如$y=kx+b$（其中$kneq0$）的函數(shù)，它描述了兩個變量之間的線性關系。增減性當$k>0$時，函數(shù)在整個定義域內單調增加；當$k<0$時，函數(shù)在整個定義域內單調減少。斜率一次函數(shù)的斜率等于$k$，表示了函數(shù)圖像的傾斜程度。零點當$b=0$且$kneq0$時，函數(shù)的零點為$x=0$。一次函數(shù)概念、圖像及性質8二次函數(shù)是形如$y=ax^2+bx+c$（其中$aneq0$）的函數(shù)，它描述了兩個變量之間的非線性關系。二次函數(shù)概念二次函數(shù)與$y$軸交于點$(0,c)$，與$x$軸交點由方程$ax^2+bx+c=0$的解確定。與坐標軸交點二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。當$a>0$時，拋物線開口向上；當$a<0$時，拋物線開口向下。二次函數(shù)圖像二次函數(shù)的圖像關于直線$x=-frac{2a}$對稱。對稱性二次函數(shù)的頂點坐標為$left(-frac{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$。頂點0201030405二次函數(shù)概念、圖像及性質9一次函數(shù)與二次函數(shù)應用舉例一次函數(shù)應用舉例線性規(guī)劃問題中，目標函數(shù)往往是一次函數(shù)，通過求解一次函數(shù)的最大值或最小值來得到最優(yōu)解。在物理學中，一次函數(shù)可以描述勻速直線運動的速度與時間的關系。在經(jīng)濟學中，二次函數(shù)可以描述總成本、總收入等與產(chǎn)量之間的非線性關系。在工程學中，二次函數(shù)可以描述拋射體的運動軌跡，如炮彈的射程與發(fā)射角度之間的關系。二次函數(shù)應用舉例10指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)0311形如y=a^x(a>0,a≠1)的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)的圖像是一條從原點出發(fā)，沿x軸正向或負向無限延伸的曲線。當a>1時，圖像上升；當0<a<1時，圖像下降。指數(shù)函數(shù)概念、圖像及性質指數(shù)函數(shù)圖像指數(shù)函數(shù)定義12指數(shù)函數(shù)性質指數(shù)函數(shù)的值域為(0,+∞)。指數(shù)函數(shù)在其定義域內是連續(xù)的。指數(shù)函數(shù)在其定義域內是可導的，且導數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)。01020304指數(shù)函數(shù)概念、圖像及性質13對數(shù)函數(shù)定義形如y=log_a(x)(a>0,a≠1)的函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。對數(shù)函數(shù)圖像對數(shù)函數(shù)的圖像是一條從原點出發(fā)，沿x軸正向或負向無限延伸的曲線。當a>1時，圖像上升；當0<a<1時，圖像下降。對數(shù)函數(shù)概念、圖像及性質14對數(shù)函數(shù)性質對數(shù)函數(shù)的定義域為(0,+∞)。對數(shù)函數(shù)在其定義域內是連續(xù)的。對數(shù)函數(shù)概念、圖像及性質150102對數(shù)函數(shù)概念、圖像及性質對數(shù)函數(shù)具有對數(shù)的運算性質，如換底公式、對數(shù)相加相減等。對數(shù)函數(shù)在其定義域內是可導的，且導數(shù)仍為對數(shù)函數(shù)。16復利計算在金融領域，指數(shù)函數(shù)常用于計算復利。例如，若本金為P，年利率為r，經(jīng)過t年后的本息和A可以表示為A=P(1+r)^t。放射性衰變在物理學中，指數(shù)函數(shù)可用于描述放射性物質的衰變過程。假設某放射性物質初始時刻的原子數(shù)為N_0，經(jīng)過t時間后剩余的原子數(shù)N可以表示為N=N_0*e^(-λt)，其中λ為衰變常數(shù)。聲音強度與分貝在聲學中，對數(shù)函數(shù)用于描述聲音強度與分貝之間的關系。聲音強度I（以瓦特/平方米為單位）與分貝數(shù)D之間的關系可以表示為D=10*log_{10}(I/I_0)，其中I_0為參考聲音強度。數(shù)據(jù)壓縮與編碼在計算機科學中，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)可用于數(shù)據(jù)壓縮和編碼算法中。例如，在哈夫曼編碼中，利用權值構造哈夫曼樹，然后根據(jù)哈夫曼樹進行編碼，實現(xiàn)數(shù)據(jù)壓縮。01020304指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)應用舉例17三角函數(shù)與反三角函數(shù)0418根據(jù)角度大小，在直角三角形中確定各邊長的比值關系，形成正弦、余弦、正切等三角函數(shù)。三角函數(shù)定義三角函數(shù)圖像三角函數(shù)性質正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像為周期函數(shù)，呈現(xiàn)波浪形狀；正切函數(shù)圖像存在間斷點，整體趨勢上升。周期性、奇偶性、單調性、有界性等。030201三角函數(shù)概念、圖像及性質1903反三角函數(shù)性質單調性、值域限制等。01反三角函數(shù)定義三角函數(shù)的反函數(shù)，即根據(jù)三角函數(shù)值求解對應角度的過程。02反三角函數(shù)圖像反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)圖像呈現(xiàn)單調遞增或遞減的趨勢；反正切函數(shù)圖像存在水平漸近線。反三角函數(shù)概念、圖像及性質20角度計算振動與波動信號處理工程測量三角函數(shù)與反三角函數(shù)應用舉例在幾何圖形中，利用三角函數(shù)或反三角函數(shù)求解角度大小。在通信、音頻處理等領域，利用傅里葉變換將信號分解為不同頻率的正弦波，進而進行分析和處理。描述周期性振動或波動現(xiàn)象時，可用正弦或余弦函數(shù)表示。在土木工程、水利工程等領域，利用三角測量原理進行距離、高度等參數(shù)的測量計算。21復合函數(shù)與分段函數(shù)0522復合函數(shù)概念01設函數(shù)$y=f(u)$的定義域為$D_f$，值域為$R_f$，函數(shù)$u=g(x)$的定義域為$D_g$，值域為$R_g$，且$R_gsubseteqD_f$，則稱函數(shù)$y=f[g(x)]$為$x$的復合函數(shù)。復合函數(shù)圖像02復合函數(shù)的圖像可以通過對中間變量$u$進行替換，得到關于$x$和$y$的函數(shù)關系式，進而在坐標系中繪制出圖像。復合函數(shù)性質03復合函數(shù)具有保號性、單調性、奇偶性等性質。其中，保號性指當內外層函數(shù)同為增函數(shù)或減函數(shù)時，復合函數(shù)為增函數(shù)；當內外層函數(shù)一增一減時，復合函數(shù)為減函數(shù)。復合函數(shù)概念、圖像及性質23

分段函數(shù)概念、圖像及性質分段函數(shù)概念分段函數(shù)是一種表達形式特殊的函數(shù)，其定義域被分成若干個不相交的子集，每個子集上對應一個不同的解析式。分段函數(shù)圖像分段函數(shù)的圖像由各個子區(qū)間上的圖像拼接而成，需要注意各個子區(qū)間端點的取值情況。分段函數(shù)性質分段函數(shù)具有不連續(xù)性、不可導性等性質。在分段點處，函數(shù)值可能發(fā)生跳躍或轉折，因此分段函數(shù)在分段點處可能不具有導數(shù)。24復合函數(shù)在經(jīng)濟學、物理學等領域有廣泛應用。例如，在經(jīng)濟學中，復利公式就是一種典型的復合函數(shù)；在物理學中，速度、加速度等物理量也常通過復合函數(shù)來表示。復合函數(shù)應用舉例分段函數(shù)在實際問題中也有廣泛應用。例如，在交通管理中，根據(jù)車速的不同對車輛進行分類管理就可以使用分段函數(shù)來表示；在稅收計算中，根據(jù)不同的收入?yún)^(qū)間采用不同的稅率也可以使用分段函數(shù)來表示。分段函數(shù)應用舉例復合函數(shù)與分段函數(shù)應用舉例25參數(shù)方程與極坐標方程0626通過引入一個或多個參數(shù)來表示曲線或曲面上點的坐標的方程。參數(shù)方程定義一般形式為$x=f(t),y=g(t)$，其中$t$為參數(shù)，$f(t)$和$g(t)$為關于$t$的函數(shù)。參數(shù)方程表示方法能夠方便地描述曲線或曲面的形狀和性質，特別適用于解決一些復雜的問題。參數(shù)方程的特點參數(shù)方程概念及表示方法27在平面內取一個定點$O$，叫做極點，自極點$O$引一條射線$Ox$，叫做極軸。再選定一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。對于平面內任意一點$M$，用$rho$表示線段$OM$的長度（有時也用$r$表示），$theta$表示從$Ox$到$OM$的角度，$rho$叫做點$M$的極徑，$theta$叫做點$M$的極角，有序數(shù)對$(rho,theta)$就叫點$M$的極坐標，這樣建立的坐標系叫做極坐標系。一般形式為$rho=f(theta)$或$theta=g(rho)$，其中$rho$和$theta$