第1頁/共1頁字節(jié)精準(zhǔn)教育聯(lián)盟·高中2023級第一次診斷性考試模擬試題數(shù)學(xué)【考試時間：2025年10月20日15:00~17:00】考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將答題卡上的項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.考試結(jié)束后，請交回答題卡，試題卷自行保存.一．單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求.1.已知集合，，則A與B的交集是（）A. B. C. D.ABC均錯誤【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，再判斷即可.【詳解】由題知，故選：D.2.已知函數(shù)，設(shè)，則是（）A.在上單調(diào)遞減B.在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞減，上遞增D.在上單調(diào)遞增，上遞減【答案】B【解析】【分析】首先判斷與的奇偶性，再畫出的圖像即可求出的單調(diào)性.【詳解】的定義域為，因為，則，所以為奇函數(shù).又，則也是奇函數(shù).由，可得圖象如圖所示：所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.故選：B3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分別判斷大小即得．【詳解】由題意知，，，，且，所以，即．故選：D．4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解出不等式，利用集合包含關(guān)系可判斷充要關(guān)系.【詳解】由，解得：或，所以“”是“”的充分不必要條件；故選：A5.設(shè)，則的值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】利用對數(shù)運算法則及換底公式化簡，再利用指數(shù)式與對數(shù)式互化關(guān)系求解.【詳解】依題意，，所以.故選：D6.將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平移變換和誘導(dǎo)公式推得，，再逐一檢驗各選項即可.【詳解】因為，將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)，所以，則，，，，對于A，若，代入得，故A錯誤；對于B，若，代入得，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，故C正確；對于D，若，代入得，故D錯誤.故選：C.7.斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數(shù)列”.這一數(shù)列如下定義：設(shè)為斐波那契數(shù)列，，，，其通項公式為，設(shè)是的正整數(shù)解，則的最大值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】利用給定條件結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)將化為，結(jié)合，得到，根據(jù)遞增，得到也是遞增數(shù)列，得，即可求解.【詳解】由題知是的正整數(shù)解，故，取指數(shù)得，同除得，，故，即，根據(jù)是遞增數(shù)列可以得到也是遞增數(shù)列，于是原不等式轉(zhuǎn)化為.由斐波那契數(shù)列可得，，，，可以得到滿足要求的的最大值為，故A正確.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用對數(shù)的運算將，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合的表達式得到，從而求解的最大值.8.已知，且，對于任意均有，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對分與兩種情況討論，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答案.【詳解】因為，所以且，設(shè)，則的零點為，當(dāng)時，則，，要使，必有，則，不合題意；當(dāng)時，則或，即或;綜上一定有.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為B.若函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍為，則的最大值是C.若，則D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】先利用三角變換公式得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷A，求出的解集后判斷B，利用二倍角公式結(jié)合弦切互化判斷C，利用兩角差的余弦計算判斷D.【詳解】.對于A，，，，，故的最小值為，故A錯誤.對于B，函數(shù)的取值范圍為，，故，解得.當(dāng)最大時，的最大值是，故B正確.對于C，，而，故，故C正確.對于D，，，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)的最小正周期為，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸B.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.將函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位，得到的圖象【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)周期公式先算出，由代入檢驗法判斷A選項，根據(jù)正弦函數(shù)的最值，單調(diào)性判斷BC，先求出平移后的解析式然后判斷D.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，所以，解得，所以，則，所以直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故A正確；當(dāng)，則，所以當(dāng)，即時取得最大值，故B錯誤；當(dāng)，則，因為在上不單調(diào)，所以在區(qū)間上不單調(diào)，故C錯誤；將函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位得到的圖象，故D正確.故選：AD11.函數(shù)的圖象上有三個不同的點.拋物線的焦點為，下列說法正確的是（）A.若點A的縱坐標(biāo)為，則其范圍是B.點B關(guān)于原點的對稱點在函數(shù)的圖象上C.若點且，則可能為直角D.若點則【答案】AD【解析】【分析】由換元法，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解A，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)即可求解B，求導(dǎo)，得函數(shù)的單調(diào)性以及變化趨勢，繼而可作出的大致圖象，根據(jù)兩點距離公式先證明曲線上除點外，始終在圓的內(nèi)部，即可結(jié)合圖形性質(zhì)求解C，根據(jù)兩點距離公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)證明,即可求解D.【詳解】對于函數(shù)，令，則，所以A正確.B選項：易知為偶函數(shù)，所以B選項錯誤.C選項：記，,由于，，故，所以單調(diào)遞增，.所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，且減小速度逐漸變慢；當(dāng)時，單調(diào)遞增，且增長速度逐漸變快，作出的大致圖象：設(shè)為曲線上任意一點，則，，則，故在單調(diào)遞增，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)取到等號，，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，，設(shè)，故曲線上除點外，始終在圓的內(nèi)部，故當(dāng)，結(jié)合曲線的凹凸性可得，所以大于，所以C選項錯誤.D選項：設(shè)點是函數(shù)圖象上一點，且，易知由于,所以，所以，.所以D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12已知，，則______．【答案】【解析】【分析】由已知條件展開可求得，,代入即可.【詳解】由得：,由得：,所以，,所以故答案為：13.若函數(shù)在處取得極大值，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】由題意得出，由此得出，于是得出，然后對實數(shù)的取值進行分類討論，結(jié)合極大值點的定義進行驗證即可.【詳解】因為，所以，由題知，則，令可得或.若，即當(dāng)時，由可得或，由可得，此時，函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時，函數(shù)在處取得極小值，不合乎題意；若，即當(dāng)，則對任意的恒成立，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點；若，即當(dāng)時，由可得或，由可得，此時，函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時，函數(shù)在處取得極大值，合乎題意.故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前1011項的和_____.【答案】【解析】【分析】由題意可得數(shù)列是等比數(shù)列，求得通項公式，進而可得，利用并項求和法求解即可.【詳解】因為，所以數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公比為，又因為，，所以，解得，所以，所以，所以.故答案：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）已知全集，集合，.若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.（2）已知，，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依題意可得集合是集合的真子集，即可得到不等式組，解得即可；（2）由同角的三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合角的范圍計算即可.【詳解】（1）集合，而必為非空集合，因為是的充分不必要條件，則集合是集合的真子集，所以（等號不同時成立），解得，所以實數(shù)的取值范圍為．（2）因為，兩邊平方得，有，所以，又因為，所以，則，所以．16.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期，并求的最小值及取得最小值時的集合；（2）令，若對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）最小正周期是，最小值為．的集合為（2）【解析】【分析】(1)首先化簡函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）將不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，即可求解.【小問1詳解】由題意，函數(shù)，可得其最小正周期是，當(dāng)，可得，即時，函數(shù)的最小值為．此時的集合為．【小問2詳解】由因為，得，則，所以，若對于恒成立，則，所以，即求實數(shù)的取值范圍．17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時，，求的最大值；（3）證明：方程在上有唯一實數(shù)解.【答案】（1）（2）e（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；（2）由已知可得，將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，討論參數(shù)a的范圍，分類求解即可；（3）設(shè)，連續(xù)構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，結(jié)合零點存在定理，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】因為，所以,，則，當(dāng)時，即時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，即時，，單調(diào)遞減；當(dāng)，即時，，單調(diào)遞增.故所求單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】因為，所以，故由得.設(shè)，則.①當(dāng)時，則，所以在上單調(diào)遞增.從而，解得，此時，.②當(dāng)時，在上恒成立，單調(diào)遞增，則需，即，此時；當(dāng)時，則時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.所以，變形可得.此時，.設(shè)，，則.當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù).所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號.綜合可知的最大值為e.③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減.從而，解得.此時.綜上，的最大值為e.【小問3詳解】證明：設(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)，則，而的導(dǎo)數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.因為，，所以存在唯一，使得.當(dāng)時、，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.又因為,,.所以存在唯一，使得.當(dāng)時，即單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，又因為，，，所以存在唯一，使得.當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，又因為，，，所以存在唯一，使得，即方程在上有唯一實數(shù)解.18.記是數(shù)列的前項和，，，且數(shù)列是等差數(shù)列．（1）求通項公式；（2）設(shè)若，求數(shù)列的前項和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出，再利用與的關(guān)系求解即可；（2）利用分組求和，其中奇數(shù)部分利用等差數(shù)列的前項和公式，偶數(shù)部分利用裂項相消求解即可.【小問1詳解】因為，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，成立，故．【小問2詳解】由題意可得.19.對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱為“局部反比例對稱函數(shù)”．（1）用定義證明函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)；（2）已知函數(shù)，試判斷是不是“局部反比例對稱函數(shù)”．并說明理由；（3）若是定義在區(qū)間上的“局部反比例對稱函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）不是“局部反比例對稱函數(shù)”，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)，用作差法證明；（2）根據(jù)題意，由“局部反比例對稱函數(shù)”的定義，判斷方程有無實數(shù)解即可；（3）根據(jù)題意，由“局部反比例對稱函數(shù)”的定義，方程在有解，令，將問題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，再根據(jù)一元二次方程根的分布求解.【小問