2/2第一章勾股定理（復(fù)習(xí)講義）1．了解勾股定理的意義，體會(huì)勾股定理及其逆定理之間的整體聯(lián)系。①了解勾股定理的基本內(nèi)容；②了解勾股定理逆定理的內(nèi)容；③體會(huì)勾股定理與勾股定理逆定理之間的相互關(guān)系和整體聯(lián)系。2．能用勾股定理及其逆定理進(jìn)行證明和計(jì)算。①掌握勾股定理的多種證明方法；②能夠利用勾股定理求解直角三角形的邊長(zhǎng)；③能夠利用勾股定理逆定理判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形。3．理解并利用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題。①理解勾股數(shù)的概念，能夠識(shí)別和應(yīng)用勾股數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題；②能夠利用勾股定理解決平面展開圖中的最短路徑問(wèn)題；③能夠在實(shí)際問(wèn)題中靈活運(yùn)用勾股定理及其逆定理，進(jìn)行問(wèn)題分析和求解。知識(shí)點(diǎn)01勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.知識(shí)點(diǎn)02勾股定理證明（1）鄒元治證法（內(nèi)弦圖）：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.（2）趙爽弦圖（外弦圖）：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.（3）總統(tǒng)證法：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，所以.知識(shí)點(diǎn)03勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.2.如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（如）.（2）驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.知識(shí)點(diǎn)04勾股數(shù)像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)滿足兩個(gè)條件：①滿足勾股定理②三個(gè)正整數(shù)知識(shí)點(diǎn)05勾股定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.知識(shí)點(diǎn)06平面展開圖-最短路徑問(wèn)題幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解題型題型一勾股數(shù)的判斷【例1】在下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．4，5，6【答案】C【分析】本題考查了勾股數(shù)的知識(shí)，判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．【詳解】解：A、，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；D、，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【變式1-1】下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（

）A．7，21，24 B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，4，5【答案】A【分析】本題考查了勾股數(shù)的知識(shí)，判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．【詳解】解：A．最大數(shù)為24，計(jì)算得=49+441=490，而=576，不滿足勾股定理，故不是勾股數(shù)．B．最大數(shù)為10，計(jì)算得=36+64=100=，滿足勾股定理，是勾股數(shù)．C．最大數(shù)為13，計(jì)算得=25+144=169=，滿足勾股定理，是勾股數(shù)．D．最大數(shù)為5，計(jì)算得=9+16=25=，滿足勾股定理，是勾股數(shù)．綜上，只有A不滿足勾股數(shù)條件，故選：A．【變式1-2】下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)的定義，可以進(jìn)行判斷，解題的關(guān)鍵是要用到勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知的三邊滿足，則是直角三角形．【詳解】解：、，故這是一組勾股數(shù)，不符合題意；、，故這是一組勾股數(shù)，不符合題意；、，故這是一組勾股數(shù)，不符合題意；、，故這不是一組勾股數(shù)，符合題意；故選：．【變式1-3】勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，我國(guó)古代把直角三角形的直角邊中較小者稱為“勾”，另一長(zhǎng)直角邊稱為“股”，把斜邊稱為“弦”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為10，則其弦是（

）A．25 B．26 C．27 D．28【答案】B【分析】此題主要考查了勾股數(shù)的定義，數(shù)字類的規(guī)律問(wèn)題，得出規(guī)律是解題關(guān)鍵．根據(jù)規(guī)律可得，如果a，b，c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，（m為偶數(shù)且），根據(jù)所給的二組數(shù)找規(guī)律可得結(jié)論．【詳解】根據(jù)規(guī)律可得，如果a，b，c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，（m為偶數(shù)且），則另一條直角邊，弦．則弦為，故選：B．題型二以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積題型二以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積【例2】以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，其中兩個(gè)正方形的面積如圖所示，則正方形A的邊長(zhǎng)為（

）A．3 B．2 C．5 D．4【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，解題關(guān)鍵是掌握勾股定理．直接利用勾股定理求解．【詳解】解：正方形A的邊長(zhǎng)為，故選：B．【變式2-1】如圖，5個(gè)陰影四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面積依次為4、5、20，則正方形B的面積為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】本題主要考查了正方形和勾股定理，正確應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知條件以及勾股定理可得，根據(jù)正方形的面積即可得到結(jié)果．【詳解】解：5個(gè)陰影四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，，正方形A、C、D的面積依次為4、5、20，，故選：C．【變式2-2】如圖，分別以的各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上被稱為“希波克拉底月牙”．當(dāng)，時(shí)，“希波克拉底月牙”的面積是（

）A．18 B． C．24 D．48【答案】C【分析】本題主要考查勾股定理和圓有關(guān)的不規(guī)則圖形的陰影面積．根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)度，再根據(jù)圓的面積公式分別計(jì)算三個(gè)半圓的面積，陰影部分的面積為：兩個(gè)較小半圓的面積和減去以為直徑的半圓的面積，之后再加上的面積，【詳解】解：∵在中，，，，∴，以為直徑半圓的面積：；以為直徑半圓的面積：；以為直徑半圓的面積：；的面積為：，∴“希波克拉底月牙”的面積是：．故選：C【變式2-3】如圖，中，，分別以的三條邊為一條邊在的外部作等腰直角三角形，的面積為，的面積為，的面積為，下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由勾股定理得，再由等腰直角三角形的性質(zhì)得，，則，同理，然后由三角形面積得，，，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：，，是等腰直角三角形，，，，同理：，，，同理：，是等腰直角三角形，，，，故選項(xiàng)A不符合題意；，故選項(xiàng)B不符合題意；，，，故選項(xiàng)C符合題意；，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．題型三判斷能否構(gòu)成直角三角形題型三判斷能否構(gòu)成直角三角形【例3】（23-24八年級(jí)下·重慶榮昌·期末）由下列條件不能判定為直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、勾股定理的逆定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．利用三角形內(nèi)角和定理求得的值，即可判斷選項(xiàng)A、C；利用勾股定理的逆定理判斷選項(xiàng)B、D即可．【詳解】解：A.∵，∴，∴，解得，可判定該三角形為直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B.∵，∴，可判定該三角形為直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C.∵，可設(shè)，則有，∴，∴該三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；D.∵，可設(shè)，則有，可判定該三角形為直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【變式3-1】（23-24八年級(jí)下·貴州黔西·期末）滿足下列條件的中，不是直角三角形的是(

)A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】銳角互余的三角形是直角三角形、判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查了直角三角形的判定，三角形的內(nèi)角和，勾股定理逆定理，根據(jù)直角三角形的判定逐項(xiàng)判斷即可，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、，，∴，不是直角三角形，符合題意；、，，∴，∴是直角三角形，不符合題意；、，，∴，∴，∴是直角三角形，不符合題意；、∵，∴設(shè)，，，∵，∴；∴是直角三角形，不符合題意；故選：．【變式3-2】（23-24八年級(jí)下·河北石家莊·期末）已知中，，，的對(duì)邊分別是，，．下列條件不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的定義、勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．利用三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的定義和勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：、，，故是直角三角形，不符合題意；、，，，故是直角三角形，不符合題意；、，，故不是直角三角形，符合題意；、，，故是直角三角形，不符合題意．故選：．【變式3-3】（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）在中，，，的對(duì)邊分別記為，，，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．如果，那么是直角三角形且B．如果，那么是直角三角形C．如果，那么是直角三角形D．如果，那么是直角三角形【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．根據(jù)直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【詳解】解：A、如果，即，那么是直角三角形且，選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B、如果，由，可得，那么是直角三角形，選項(xiàng)正確，不符合題意；C、如果，滿足，那么是直角三角形，選項(xiàng)正確，不符合題意；D、如果，由，可得，那么是直角三角形，選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：A．題型四題型四勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題【例4】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，的頂點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上．若于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出是直角三角形，由三角形面積公式得到的面積，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：由勾股定理得：，，，，，，，是直角三角形，，的面積，，．故答案為：2．【變式4-1】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成下列各題：(1)線段的長(zhǎng)為，線段的長(zhǎng)為，線段的長(zhǎng)為；(2)的面積是．【答案】(1)，，；(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用網(wǎng)格求三角形面積、勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)【分析】本題考查了網(wǎng)格中求三角形面積，勾股定理，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理求解即可；（2）利用割補(bǔ)法求解即可．【詳解】（1）解：由網(wǎng)格知識(shí)可得：，，，故答案為：，，；（2）解：，故答案為：．【變式4-2】（23-24八年級(jí)下·云南昆明·期末）定義：頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上的多邊形叫格點(diǎn)多邊形．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，四邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，(1)求的度數(shù)；(2)求格點(diǎn)四邊形的面積．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用網(wǎng)格求三角形面積、在網(wǎng)格中判斷直角三角形、勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題【分析】本題主要考查了勾股定理及逆定理、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理得出為直角三角形．（1）如圖：連接，運(yùn)用勾股定理可得的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出為等腰直角三角形即可解答；（2）根據(jù)以及三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖：連接，根據(jù)勾股定理，，，∴，，∴，是直角三角形，．（2）解：．【變式4-3】（23-24八年級(jí)下·山西大同·階段練習(xí)）網(wǎng)格中的小正方形邊長(zhǎng)均為1，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，完成下列問(wèn)題：(1)______；______；______；(2)求的面積(3)求邊上的高【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形、與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題、勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格，等面積法，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用勾股定理與網(wǎng)格的聯(lián)系，列式作答即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格的特征，利用割補(bǔ)法列式作答；（3）運(yùn)用等面積法，進(jìn)行列式作答即可．【詳解】（1）解：故答案為：（2）解：的面積，（3）解：的面積邊上的高，即邊上的高．題型五題型五用勾股定理解三角形【例5】在中，．(1)若，，則______；(2)已知，，求、的值．【答案】(1)12(2)，【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉定理的內(nèi)容并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．（1）已知直角三角形中的斜邊與一條直角邊，求另一條直角邊，利用勾股定理即可求解；（2）由題意設(shè)，，由勾股定理建立方程，利用平方根的定義求出x即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴；故答案為：12；（2）解：，設(shè)，．又，，，即，（舍去負(fù)值），．【變式5-1】如圖，在中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．(1)求證：．(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．（1）由于點(diǎn)，，得，而，，可根據(jù)“”證明，得，，推導(dǎo)出，再證明，則；（2）由，，，勾股定理求得，，則，由勾股定理得，即可求解．【詳解】（1）證明：于點(diǎn)，，，，，在和中，，，，，，，在和中，，，．（2）解：，，，，，，，，解得：【變式5-2】如圖，點(diǎn)、把線段依次分成、、三段．若以、、為邊組成的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)、是線段的“勾股分點(diǎn)”．(1)若，，，則點(diǎn)、線段的“勾股分點(diǎn)”（填“是”或“不是”）．(2)若、是線段的“勾股分點(diǎn)”，，，且是組成的直角三角形的一條直角邊，求的長(zhǎng)．【答案】(1)不是(2)13或5【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．（1）先求出，再根據(jù)“勾股分點(diǎn)”的定義判斷即可；（2）設(shè)，分兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∵，∴點(diǎn)、不是線段的“勾股分點(diǎn)”，故答案為：不是；（2）解：設(shè)，則．①當(dāng)是直角三角形的斜邊時(shí)，由．得．解得：；①當(dāng)是直角三角形的斜邊時(shí)，由．得．解得：；或5．【變式5-3】如圖，在中，于點(diǎn)，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若，求的長(zhǎng)；②設(shè)直線交射線于點(diǎn)，連接，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)①；②或【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論和熟練全等三角形的相關(guān)知識(shí)．（1）結(jié)合已知條件，利用勾股定理即可求得；（2）①由勾股定理得，并利用證得，有，即可求得；②分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，由面積比得，求得，并得到和，可得，利用等角對(duì)等邊即可求得；當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)．由面積比得，可求得，同理，即可求得．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：；（2）解：①在中，由勾股定理得：．∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴；②分兩種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)．∵，∴，∵，∴，同理可得：∴，∴，綜上所述，的長(zhǎng)為或．題型六題型六勾股定理與折疊問(wèn)題【例6】如圖，有一塊直角三角形紙片的兩直角邊，，現(xiàn)將沿直線AD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E，求CD的長(zhǎng)．【答案】【分析】本題考查圖形的折疊，勾股定理，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理，求出，再由折疊，可得，在中，利用勾股定理，列出方程，即可解答．【詳解】解：∵，，，∴，由折疊，得，∴，∵，∴，解答，∴．答：CD的長(zhǎng)為．【變式6-1】如下圖，在長(zhǎng)方形紙片中，．現(xiàn)將該紙片沿折疊，使點(diǎn)A，C重合．求：(1)的長(zhǎng)；(2)重疊部分的面積．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問(wèn)題：（1）先得到，再設(shè)，則，據(jù)此利用勾股定理得到，解方程即可得到；（2）由（1），得，再根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求解即可．【詳解】（1）解：由折疊和長(zhǎng)方形的性質(zhì)得．設(shè)，則．在中，由勾股定理，得∴，解得，的長(zhǎng)為．（2）解：由（1），得，．【變式6-2】如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形折疊，使點(diǎn)D落在邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在F處，折痕為．(1)求線段長(zhǎng)．(2)求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，翻折問(wèn)題關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)重合的量，哪些邊、角是相等的，本題中翻折是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)長(zhǎng)度為．由題意得，，在中，，根據(jù)勾股定理得：，建立方程求解即可；（2）連接，設(shè)的長(zhǎng)度為，在中，，根據(jù)勾股定理得：，在中，，根據(jù)勾股定理得；，建立方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)長(zhǎng)度為．由題意得，，在中，，根據(jù)勾股定理得：，解得：∴線段的為；（2）解：連接，設(shè)的長(zhǎng)度為．由題意得，，∴在中，，根據(jù)勾股定理得：，在中，，根據(jù)勾股定理得；，解得：的長(zhǎng)為．【變式6-3】如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)落到點(diǎn)位置，與交于點(diǎn)．(1)試說(shuō)明：；(2)若，求的面積；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)為線段上任一點(diǎn)，于于．求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)4【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，全等三角形的性質(zhì)與判定：（1）由長(zhǎng)方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明，進(jìn)而可利用證明；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，則，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求解即可；（3）先利用勾股定理求出，再根據(jù)列式求解即可．【詳解】（1）證明：由長(zhǎng)方形的性質(zhì)可得，由折疊的性質(zhì)可得，∴，又∵，∴（2）解：∵，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴；（3）解：如圖所示，連接，在中，由勾股定理得，∵，∴，∴，∴．題型七題型七勾股定理的應(yīng)用【例7】為了進(jìn)一步規(guī)范道路交通秩序，廈門市公安交通管理局決定自2024年6月17日零時(shí)起，下調(diào)海滄隧道主線機(jī)動(dòng)車行駛最高限速值，即小型汽車限速值由調(diào)整為、大型汽車限速值由調(diào)整為．如圖，一輛小汽車在隧道內(nèi)沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到車速檢測(cè)儀A處的正前方的C處（即），過(guò)了小汽車到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為．(1)求的長(zhǎng)；(2)這輛小汽車在段是否超速行駛？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)這輛小汽車超速了，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用；（1）直接利用勾股定理計(jì)算即可；（2）根據(jù)小汽車用行駛的路程為，那么可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速即可．【詳解】（1）解：由題意可得：，，，∴；（2）解：結(jié)合（1）可得小汽車的速度為；∵；∴這輛小汽車超速行駛．答：這輛小汽車超速了．【變式7-1】《九章算術(shù)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？這道題的意思是：有一個(gè)正方形的池塘，邊長(zhǎng)為10尺，有一棵蘆葦生長(zhǎng)在池塘的正中央，并且蘆葦高出水面部分有1尺，如果把蘆葦拉向岸邊則恰好碰到岸沿，求蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度．【答案】蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為13尺【分析】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度（尺），答：蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為13尺．【變式7-2】“兒童散學(xué)歸來(lái)早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”．又到了放風(fēng)箏的時(shí)節(jié)，八（1）班有位同學(xué)在學(xué)完勾股定理后，為計(jì)算風(fēng)箏的垂直高度，不考慮風(fēng)等影響，放出去的風(fēng)箏線是直的．進(jìn)行了如下測(cè)量：①測(cè)得水平距離的長(zhǎng)為；②根據(jù)手中剩余的線計(jì)算出放出去的風(fēng)箏線為③該同學(xué)身高1.6m(1)求風(fēng)箏的垂直高度(2)如果該同學(xué)想讓風(fēng)箏沿方向下降，則他應(yīng)該往回收線多少米？【答案】(1)米(2)8米【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵；（1）利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再加上的長(zhǎng)度，即可求出的高度；（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意得，，∴在中，由勾股定理得，，所以，（負(fù)值舍去），所以，（米），答：風(fēng)箏的高度為米；（2）解：由題意得，，∴，∴（米），∴（米），∴他應(yīng)該往回收線8米．【變式7-3】每年的11月9日是我國(guó)的消防日，為了增強(qiáng)全民的消防安全意識(shí)，某校師生在消防日舉行了消防演練．如圖，云梯長(zhǎng)為10米，云梯頂端靠在教學(xué)樓外墻上（墻與地面垂直），云梯底端與墻角的距離為6米．（結(jié)果保留1位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求云梯頂端與墻角的距離的長(zhǎng)；(2)假如云梯頂端下方3米處發(fā)生火災(zāi)，需將云梯頂端下滑到著火點(diǎn)處，則云梯底端在水平方向上滑動(dòng)的距離為多少米．【答案】(1)米；(2)米．【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）在中，根據(jù)勾股定理即可得到求解；（2）在中，根據(jù)勾股定理求出，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，米，米，∴根據(jù)勾股定理，（米），答：云梯頂端與墻角的距離的長(zhǎng)為米；（2）（米），在中，（米），（米），答：云梯底端在水平方向上滑動(dòng)的距離約為米．【變式7-4】勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人入迷．(1)應(yīng)用一：最短路徑問(wèn)題如圖，一只螞蟻從點(diǎn)沿圓柱側(cè)面爬到相對(duì)一側(cè)中點(diǎn)處，如果圓柱的高為，圓柱的底面半徑為，那么最短的路線長(zhǎng)是______；(2)應(yīng)用二：解決實(shí)際問(wèn)題．如圖，某公園有一秋千，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時(shí)，即水平距離，踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，求繩索的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)繩索的長(zhǎng)為【分析】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，掌握最短路的計(jì)算，勾股定理的計(jì)算方法是關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得圓柱底面圓的周長(zhǎng)為，由展開圖可得即為最短路徑，由勾股定理即可求解；（2）根據(jù)題意得到四邊形是矩形，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，四邊形，是矩形，則，，設(shè)，則，在中由勾股定理得到，代入計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：圓柱的底面半徑為，∴圓柱底面圓的周長(zhǎng)為，如圖所示，即為最短路徑，，，∴，∴最短的路線長(zhǎng)是，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意，，∴四邊形是矩形，∴，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，∴，∴四邊形，是矩形，∴，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，，∴繩索的長(zhǎng)為．題型八題型八利用勾股定理的逆定理求解【例8】（23-24八年級(jí)下·廣西河池·期末）如圖，在四邊形中，，，，，求的度數(shù)．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定和性質(zhì)、利用勾股定理的逆定理求解【分析】根據(jù)，，可以得到為等邊三角形，再根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷為直角三角形，從而可以求得，進(jìn)而可求得的度數(shù)．本題考查勾股定理的逆定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出和的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴為等邊三角形，∴，，又∵，，，∴，

，

，∴∴為直角三角形，∴，∴．【變式8-1】（23-24八年級(jí)下·河北邯鄲·期末）如圖，在四邊形中．，，(1)求的度數(shù)．(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的定義、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】（1）由勾股定理得：，由，可得，即是直角三角形，，由，，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可；（2）根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：由勾股定理得：，∵，∴，∴是直角三角形，，∵，，∴，∴，∴．（2）解：由題意知，，∴四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．熟練掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（23-24八年級(jí)下·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，某社區(qū)有一塊四邊形空地，，，．從點(diǎn)A修了一條垂直的小路（垂足為E），E恰好是的中點(diǎn)，且．(1)求邊的長(zhǎng)；(2)連接，判斷的形狀；(3)求這塊空地的面積．【答案】(1)(2)是直角三角形(3)這塊空地的面積為【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積計(jì)算，掌握勾股定理和三角形面積公式是解題關(guān)鍵．（1）利用勾股定理以及線段中點(diǎn)的性質(zhì)即可．（2）通過(guò)計(jì)算三條邊的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理的逆定理來(lái)判斷三角形的形狀．（3）把四邊形的面積分割成兩個(gè)三角形的面積來(lái)計(jì)算．【詳解】（1）解：，．在中，，，．是的中點(diǎn)，．（2）解：如圖，，是的中點(diǎn)，．，，，，是直角三角形．（3）解：由（2）可知，是直角三角形，，，由（1）可知，，這塊空地得面積為：．【變式8-3】（23-24八年級(jí)上·上海長(zhǎng)寧·期末）如圖，在四邊形中，，，．

(1)求證：：(2)如果平分，且，求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、角平分線的性質(zhì)定理【分析】（1）利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)A作，垂足為E，先利用角平分線的性質(zhì)可得，然后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，最后利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的逐一條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴是直角三角形，∴，∴．（2）解：過(guò)點(diǎn)A作，垂足為E，，

∵平分，，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的面積為：，∴的面積為．基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)一、單選題1．下列各數(shù)中，能與7，25組成一組勾股數(shù)的是（

）A．9 B．24 C．35 D．40【答案】B【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)的定義：滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，根據(jù)定義即可求解．【詳解】解：A、，不符合題意；B、，符合題意；C、，不符合題意；D、，不符合題意，故選：B．2．如圖，陰影部分是一個(gè)正方形，該正方形的面積為（

）A．3 B．9 C．16 D．25【答案】B【分析】本題考查的是勾股定理，由勾股定理和正方形的面積公式解答．【詳解】解：由圖可知正方形的邊長(zhǎng)為，∴正方形的面積為，故選：B．3．在中，，，的對(duì)邊分別為，，，若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用及代數(shù)式的變形，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解題的關(guān)鍵．通過(guò)展開并整理等式，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)確定正確選項(xiàng)．【詳解】解：在中，，，，即邊為斜邊，對(duì)應(yīng)的角，故選項(xiàng)A說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；選項(xiàng)B說(shuō)法正確，符合題意；選項(xiàng)C說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；又，，，選項(xiàng)D說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．4．《九章算術(shù)》中記載一道“折竹抵地”的問(wèn)題，其大意是：如圖，一根竹子，原高一丈（一丈尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，問(wèn)折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確畫出圖形，熟練掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．可根據(jù)題意畫出示意圖，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則尺，尺，在中，由得．故選：A．5．如圖，在中，，，．點(diǎn)E、F分別是邊、上的點(diǎn)，連結(jié)，將沿翻折，使得點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C．3 D．2【答案】A【分析】本題考查了勾股定理與翻折問(wèn)題，熟練掌握勾股定理和翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理和翻折的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，由翻折的性質(zhì)得，，設(shè)，則，在中，，，解得：，．故選：A．二、填空題6．寫一組你喜歡的勾股數(shù)．【答案】【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方．注意本題答案不唯一．根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即可寫出一組勾股數(shù)．【詳解】解：∵，且12，16，20都是正整數(shù)，∴一組勾股數(shù)可以是．故答案為：．7．如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面5m處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，旗桿折斷之前的高度是m【答案】18【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的和差進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意和勾股定理定理，得：，∴旗桿折斷之前的高度是；故答案為：18．8．在直角三角形中，，，，則．【答案】3【分析】本題主要考查了勾股定理，靈活運(yùn)用勾股定理解直角三角形成為解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)勾股定理解直角三角形即可．【詳解】解：∵在直角三角形中，，，，∴．故答案為：3．9．如圖，在中，分別以這個(gè)三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外側(cè)作正方形，面積分別記為，，，若，則圖中陰影部分的面積為．【答案】5【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用和三角形面積的算法，解決此題的關(guān)鍵是合理的運(yùn)用勾股定理；先根據(jù)勾股定理和已知的式子算出，再根據(jù)同底等高的算法即可得到答案；【詳解】解：在△中，這個(gè)三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外側(cè)作正方形，面積分別記為，，，由勾股定理得：，即，∵，∴，∴陰影部分的面積為，∴陰影部分的面積為5，故答案為：5．10．如圖，已知，，點(diǎn)為的邊上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，為直角三角形．【答案】或【分析】本題考查了勾股定理，三角形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握勾股定理．分為直角邊或斜邊來(lái)討論，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：若為三角形的直角邊，則為該三角形的斜邊；∵，∴，∴，設(shè)，，，，解得：（負(fù)值舍去），∴；若為斜邊，則，∵，∴，∴，∴，，解得：（負(fù)值舍去），綜上所述，或，故答案為：或．三、解答題11．如圖，在中，，于，，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】本題主要考查考查勾股定理，由勾股定理求出，再根據(jù)等積關(guān)系求出．【詳解】解：在中，，，，∴，∵，，∴，∴，∴．12．圖1中有一首古算詩(shī)，根據(jù)詩(shī)中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖2，其中，于點(diǎn)，尺，尺，求的長(zhǎng)度．【答案】的長(zhǎng)為3.75尺【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，設(shè)的長(zhǎng)度為x尺，則尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)的長(zhǎng)為尺，在中，尺，，由勾股定理得，，即，解得．答：的長(zhǎng)為3.75尺．13．如圖所示，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點(diǎn)B落在直角邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長(zhǎng)．【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，正確利用勾股定理結(jié)合方程的思想求解是解題的關(guān)鍵．先利用勾股定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，進(jìn)一步求出，設(shè)，則，由勾股定理得，解方程即可求解．【詳解】解：，，根據(jù)翻折可得，，設(shè)，則．在直角三角形中，由勾股定理得：解得：，∴．14．某實(shí)踐探究小組在放風(fēng)箏時(shí)想測(cè)量風(fēng)箏離地面的垂直高度，通過(guò)勘測(cè)，得到如下記錄表：測(cè)量示意圖

測(cè)量數(shù)據(jù)邊的長(zhǎng)度①測(cè)得水平距離的長(zhǎng)為米．②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為米．請(qǐng)計(jì)算：如果小明想要風(fēng)箏沿方向再上升米，長(zhǎng)度不變，則他應(yīng)該再放出多少米線？【答案】他應(yīng)該再放出米線【分析】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，掌握勾股定理的計(jì)算是關(guān)鍵．根據(jù)題意，運(yùn)用勾股定理得到的長(zhǎng)，再根據(jù)風(fēng)箏沿方向再上升米，得到上升后的高度，最后再運(yùn)用勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，，∴，如圖所示，風(fēng)箏沿方向再上升米到點(diǎn)處，連接，

∴，∴，∴，∴他應(yīng)該再放出米線．15．如圖，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著射線以的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)若，則t的值為_____；(2)當(dāng)時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)是直角三角形時(shí)，求t的值．【答案】(1)2或14(2)(3)t的值為8或【分析】本題考查了勾股定理、一元一次方程的應(yīng)用，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）由勾股定理可得，由題意可得，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，；分別列出一元一次方程，解方程即可得解；（2）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可得解；（3）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，當(dāng)，分別求解即可得解．【詳解】（1）解：在中，，，，，∴，依題意，，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，，∵，∴或，解得：或；故答案為：2或14；（2）解：當(dāng)時(shí)，如圖，，，，在中，，∴，解得；（3）解：∵，，，∴，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，∴，①當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，，∴；②當(dāng)，如圖，，，，在中，，在中，，∴，解得，綜上所述，t的值為8或．能力提升進(jìn)階練能力提升進(jìn)階練一、單選題1．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，5，6【答案】C【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義.根據(jù)勾股數(shù)的定義判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：，而，，不滿足勾股數(shù)條件；B選項(xiàng)：，而，，不滿足勾股數(shù)條件；C選項(xiàng)：，而，，滿足勾股數(shù)條件；D選項(xiàng)：，而，，不滿足勾股數(shù)條件；故選：C.2．已知的三邊分別為a，b，c，當(dāng)三角形的邊，角滿足下列關(guān)系，不能判定是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理逆定理、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理逆定理與三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．由勾股定理的逆定理以及三角形內(nèi)角和定理逐一分析判斷即可．【詳解】A.，，符合勾股定理的逆定理，故此選項(xiàng)能判斷是直角三角形，不符合題意；B.，，，是直角三角形，故此選項(xiàng)能判斷是直角三角形，不符合題意；C.，設(shè)，，，，，，不符合勾股定理逆定理，故此選項(xiàng)不能判斷是直角三角形，符合題意；D.，，，，，符合勾股定理的逆定理，故此選項(xiàng)能判斷是直角三角形，不符合題意；故選：C．3．如圖，小麗在公園里蕩秋千，在起始位置處擺繩與地面垂直，擺繩長(zhǎng)，向前蕩起到最高點(diǎn)處時(shí)距地面高度，擺動(dòng)水平距離為，然后向后擺到最高點(diǎn)處．若前后擺動(dòng)過(guò)程中繩始終拉直，且與成角，則小麗在處時(shí)距離地面的高度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，擺繩與地面的垂點(diǎn)為，由勾股定理得到，進(jìn)而得出，證明，得到，進(jìn)而求出，即可得到答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，擺繩與地面的垂點(diǎn)為，由題意可知，，，，，，，，，，，在和中，，，，，即小麗在處時(shí)距離地面的高度是，故選：A．4．已知直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別是，，現(xiàn)將按如圖所示那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為，則的長(zhǎng)是（

）A．3 B． C．4 D．【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，先由勾股定理得到，再由折疊的性質(zhì)得到，設(shè)，則，由勾股定理可得，解方程可得，再利用勾股定理即可求出答案．【詳解】解：∵在中，，，，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，故選：B．5．在勾股定理的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用圖形驗(yàn)證著名的勾股定理，下列選項(xiàng)中的圖形，能證明勾股定理的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】本題主要考查勾股定理的證明過(guò)程，分別利用每個(gè)圖形面積的兩種不同的計(jì)算方法，再建立等式，再整理即可判斷．【詳解】解：在圖①中，整個(gè)圖形的面積等于兩個(gè)三角形的面積加大正方形的面積，也等于兩個(gè)小正方形的面積加上兩個(gè)直角三角形的面積，∴，整理得，故①可以證明勾股定理；在圖②中，大正方形的面積等于四個(gè)三角形的面積加小正方形的面積，∴，整理得，故②可以證明勾股定理；在圖③中，由圖可知三個(gè)三角形的面積的和等于梯形的面積，∴，整理可得，故③可以證明勾股定理；在圖④中，連接，此圖也可以看成繞其直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向下平移得到．一方面，四邊形的面積等于和的面積之和，另一方面，四邊形的面積等于和的面積之和，所以，即，整理：，，∴，故④可以證明勾股定理；∴能證明勾股定理的是①②③④．故選：D．二、填空題6．如圖，正方形A的面積為．【答案】100【分析】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方．根據(jù)勾股定理即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，根據(jù)勾股定理可得：，故答案為：100．7．在如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，各頂點(diǎn)均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為．【答案】1【分析】本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．由勾股定理可求的長(zhǎng)，利用割補(bǔ)法求出的面積，由三角形的面積公式求出即可．【詳解】解：由題意可得：，∵，∴，∴，∴，故答案為：1．8．如圖，有一張直角三角形紙片沿直線折疊，使一直角邊落在斜邊上，且點(diǎn)與點(diǎn)重合，已知，，則的長(zhǎng)是．【答案】【分析】本題考查了勾股定理、折疊的性質(zhì)，由勾股定理可得，由折疊的性質(zhì)可得，，再由，得出，計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵在中，，，，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，∵，，∴，解得：，故答案為：．9．如圖，無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)為，寬為，高為，若，一只螞蟻沿著盒子的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短路程為．【答案】25【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，理解圖示，掌握勾股定理求最短路徑的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，將長(zhǎng)方體盒子展開，可得為最短路徑，由勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，∵長(zhǎng)方體盒子的寬為，高為，，∴，故答案為：．10．如圖，中，，，，點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿直線翻折得到，線段交直線于點(diǎn)．若為直角三角形，則的長(zhǎng)是．【答案】1或【分析】根據(jù)題意可分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用勾股定理來(lái)求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖，，四邊形是矩形，，。將沿直線翻折得到，，．在中．設(shè)，則，，，整理得，解得，（舍去），所以．當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，將沿直線翻折得到，，，設(shè)，則，，，整理得，解得，即．當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谥?，，所以，翻折后，不可能為，此種情況不存在．綜上所述，的長(zhǎng)是或．【點(diǎn)晴】本題考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，掌握分類思想是解答關(guān)鍵．三、解答題11．某數(shù)學(xué)小組開展“筆記本電腦的頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實(shí)踐探究活動(dòng)．已知筆記本電腦的寬為，當(dāng)頂部邊緣離桌面的高時(shí)，此時(shí)用眼舒適度不太理想．小組成員調(diào)整頂部邊緣離桌面的高，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)頂部邊緣離桌面的高時(shí)，用眼舒適度比較理想．已知點(diǎn)，，，在同一條直線上，求調(diào)整前后頂部邊緣移動(dòng)的水平距離．【答案】調(diào)整前后頂部邊緣移動(dòng)的水平距離的長(zhǎng)為【分析】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，在中求得，根據(jù)題意得，在中求得，利用求解即可．【詳解】解：∵，，在中，，∴，解得：，∵，，在中，，∴，解得：，∴．答：調(diào)整前后頂部邊緣移動(dòng)的水平距離為．12．如圖，在中，，垂足為．(1)若記為，為，直接寫出___________；(2)若，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)【分析】（）利用勾股定理求出，再利用三角形的面積即可求解；（）由已知可得，再分別在、和中利用勾股定理可得，據(jù)此即可求解；本題考查了勾股定理，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵，，，∴，∵，∴，即，∴，故答案為：；（2）解：∵，，∴，，∴，在中，，