2/2第一章勾股定理（復(fù)習(xí)講義）1．了解勾股定理的意義，體會(huì)勾股定理及其逆定理之間的整體聯(lián)系。①了解勾股定理的基本內(nèi)容；②了解勾股定理逆定理的內(nèi)容；③體會(huì)勾股定理與勾股定理逆定理之間的相互關(guān)系和整體聯(lián)系。2．能用勾股定理及其逆定理進(jìn)行證明和計(jì)算。①掌握勾股定理的多種證明方法；②能夠利用勾股定理求解直角三角形的邊長(zhǎng)；③能夠利用勾股定理逆定理判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形。3．理解并利用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題。①理解勾股數(shù)的概念，能夠識(shí)別和應(yīng)用勾股數(shù)解決實(shí)際問題；②能夠利用勾股定理解決平面展開圖中的最短路徑問題；③能夠在實(shí)際問題中靈活運(yùn)用勾股定理及其逆定理，進(jìn)行問題分析和求解。知識(shí)點(diǎn)01勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.知識(shí)點(diǎn)02勾股定理證明（1）鄒元治證法（內(nèi)弦圖）：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.（2）趙爽弦圖（外弦圖）：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.（3）總統(tǒng)證法：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，所以.知識(shí)點(diǎn)03勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.2.如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（如）.（2）驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.知識(shí)點(diǎn)04勾股數(shù)像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)滿足兩個(gè)條件：①滿足勾股定理②三個(gè)正整數(shù)知識(shí)點(diǎn)05勾股定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.知識(shí)點(diǎn)06平面展開圖-最短路徑問題幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解題型一勾股數(shù)的判斷題型一勾股數(shù)的判斷【例1】在下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．4，5，6【變式1-1】下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（

）A．7，21，24 B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，4，5【變式1-2】下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（

）A． B．C． D．【變式1-3】勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，我國(guó)古代把直角三角形的直角邊中較小者稱為“勾”，另一長(zhǎng)直角邊稱為“股”，把斜邊稱為“弦”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為10，則其弦是（

）A．25 B．26 C．27 D．28題型二以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積題型二以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積【例2】以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，其中兩個(gè)正方形的面積如圖所示，則正方形A的邊長(zhǎng)為（

）A．3 B．2 C．5 D．4【變式2-1】如圖，5個(gè)陰影四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面積依次為4、5、20，則正方形B的面積為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【變式2-2】如圖，分別以的各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上被稱為“希波克拉底月牙”．當(dāng)，時(shí)，“希波克拉底月牙”的面積是（

）A．18 B． C．24 D．48【變式2-3】如圖，中，，分別以的三條邊為一條邊在的外部作等腰直角三角形，的面積為，的面積為，的面積為，下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．題型三判斷能否構(gòu)成直角三角形題型三判斷能否構(gòu)成直角三角形【例3】（23-24八年級(jí)下·重慶榮昌·期末）由下列條件不能判定為直角三角形的是（

）A． B． C． D．【變式3-1】（23-24八年級(jí)下·貴州黔西·期末）滿足下列條件的中，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【變式3-2】（23-24八年級(jí)下·河北石家莊·期末）已知中，，，的對(duì)邊分別是，，．下列條件不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【變式3-3】（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）在中，，，的對(duì)邊分別記為，，，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．如果，那么是直角三角形且B．如果，那么是直角三角形C．如果，那么是直角三角形D．如果，那么是直角三角形題型四勾股定理與網(wǎng)格問題題型四勾股定理與網(wǎng)格問題【例4】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，的頂點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上．若于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為．【變式4-1】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成下列各題：(1)線段的長(zhǎng)為，線段的長(zhǎng)為，線段的長(zhǎng)為；(2)的面積是．【變式4-2】（23-24八年級(jí)下·云南昆明·期末）定義：頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上的多邊形叫格點(diǎn)多邊形．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，四邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，(1)求的度數(shù)；(2)求格點(diǎn)四邊形的面積．【變式4-3】（23-24八年級(jí)下·山西大同·階段練習(xí)）網(wǎng)格中的小正方形邊長(zhǎng)均為1，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，完成下列問題：(1)______；______；______；(2)求的面積；(3)求邊上的高．題型五用勾股定理解三角形題型五用勾股定理解三角形【例5】在中，．(1)若，，則______；(2)已知，，求、的值．【變式5-1】如圖，在中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．(1)求證：．(2)若，，求的長(zhǎng)．【變式5-2】如圖，點(diǎn)、把線段依次分成、、三段．若以、、為邊組成的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)、是線段的“勾股分點(diǎn)”．(1)若，，，則點(diǎn)、線段的“勾股分點(diǎn)”（填“是”或“不是”）．(2)若、是線段的“勾股分點(diǎn)”，，，且是組成的直角三角形的一條直角邊，求的長(zhǎng)．【變式5-3】如圖，在中，于點(diǎn)，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若，求的長(zhǎng)；②設(shè)直線交射線于點(diǎn)，連接，若，求的長(zhǎng)．題型六勾股定理與折疊問題題型六勾股定理與折疊問題【例6】如圖，有一塊直角三角形紙片的兩直角邊，，現(xiàn)將沿直線AD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E，求CD的長(zhǎng)．【變式6-1】如下圖，在長(zhǎng)方形紙片中，．現(xiàn)將該紙片沿折疊，使點(diǎn)A，C重合．求：(1)的長(zhǎng)；(2)重疊部分的面積．【變式6-2】如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形折疊，使點(diǎn)D落在邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在F處，折痕為．(1)求線段長(zhǎng)．(2)求線段的長(zhǎng)．【變式6-3】如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)落到點(diǎn)位置，與交于點(diǎn)．(1)試說明：；(2)若，求的面積；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)為線段上任一點(diǎn)，于于．求的值．題型七勾股定理的應(yīng)用題型七勾股定理的應(yīng)用【例7】為了進(jìn)一步規(guī)范道路交通秩序，廈門市公安交通管理局決定自2024年6月17日零時(shí)起，下調(diào)海滄隧道主線機(jī)動(dòng)車行駛最高限速值，即小型汽車限速值由調(diào)整為、大型汽車限速值由調(diào)整為．如圖，一輛小汽車在隧道內(nèi)沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到車速檢測(cè)儀A處的正前方的C處（即），過了小汽車到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為．(1)求的長(zhǎng)；(2)這輛小汽車在段是否超速行駛？請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【變式7-1】《九章算術(shù)》有這樣一個(gè)問題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長(zhǎng)各幾何？這道題的意思是：有一個(gè)正方形的池塘，邊長(zhǎng)為10尺，有一棵蘆葦生長(zhǎng)在池塘的正中央，并且蘆葦高出水面部分有1尺，如果把蘆葦拉向岸邊則恰好碰到岸沿，求蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度．【變式7-2】“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”．又到了放風(fēng)箏的時(shí)節(jié)，八（1）班有位同學(xué)在學(xué)完勾股定理后，為計(jì)算風(fēng)箏的垂直高度，不考慮風(fēng)等影響，放出去的風(fēng)箏線是直的．進(jìn)行了如下測(cè)量：①測(cè)得水平距離的長(zhǎng)為；②根據(jù)手中剩余的線計(jì)算出放出去的風(fēng)箏線為③該同學(xué)身高1.6m(1)求風(fēng)箏的垂直高度；(2)如果該同學(xué)想讓風(fēng)箏沿方向下降，則他應(yīng)該往回收線多少米？【變式7-3】每年的11月9日是我國(guó)的消防日，為了增強(qiáng)全民的消防安全意識(shí)，某校師生在消防日舉行了消防演練．如圖，云梯長(zhǎng)為10米，云梯頂端靠在教學(xué)樓外墻上（墻與地面垂直），云梯底端與墻角的距離為6米．（結(jié)果保留1位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求云梯頂端與墻角的距離的長(zhǎng)；(2)假如云梯頂端下方3米處發(fā)生火災(zāi)，需將云梯頂端下滑到著火點(diǎn)處，則云梯底端在水平方向上滑動(dòng)的距離為多少米．【變式7-4】勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人入迷．(1)應(yīng)用一：最短路徑問題如圖，一只螞蟻從點(diǎn)沿圓柱側(cè)面爬到相對(duì)一側(cè)中點(diǎn)處，如果圓柱的高為，圓柱的底面半徑為，那么最短的路線長(zhǎng)是______；(2)應(yīng)用二：解決實(shí)際問題．如圖，某公園有一秋千，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時(shí)，即水平距離，踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，求繩索的長(zhǎng)．題型八利用勾股定理的逆定理求解題型八利用勾股定理的逆定理求解【例8】（23-24八年級(jí)下·廣西河池·期末）如圖，在四邊形中，，，，，求的度數(shù)．【變式8-1】（23-24八年級(jí)下·河北邯鄲·期末）如圖，在四邊形中．，，(1)求的度數(shù)．(2)求四邊形的面積．【變式8-2】（23-24八年級(jí)下·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，某社區(qū)有一塊四邊形空地，，，．從點(diǎn)A修了一條垂直的小路（垂足為E），E恰好是的中點(diǎn)，且．(1)求邊的長(zhǎng)；(2)連接，判斷的形狀；(3)求這塊空地的面積．【變式8-3】（23-24八年級(jí)上·上海長(zhǎng)寧·期末）如圖，在四邊形中，，，．

(1)求證：：(2)如果平分，且，求的面積．基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)一、單選題1．下列各數(shù)中，能與7，25組成一組勾股數(shù)的是（

）A．9 B．24 C．35 D．402．如圖，陰影部分是一個(gè)正方形，該正方形的面積為（

）A．3 B．9 C．16 D．253．在中，，，的對(duì)邊分別為，，，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．4．《九章算術(shù)》中記載一道“折竹抵地”的問題，其大意是：如圖，一根竹子，原高一丈（一丈尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（

）A． B．C． D．5．如圖，在中，，，．點(diǎn)E、F分別是邊、上的點(diǎn)，連結(jié)，將沿翻折，使得點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C．3 D．2二、填空題6．寫一組你喜歡的勾股數(shù)．7．如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面5m處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，旗桿折斷之前的高度是m．8．在直角三角形中，，，，則．9．如圖，在中，分別以這個(gè)三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外側(cè)作正方形，面積分別記為，，，若，則圖中陰影部分的面積為．10．如圖，已知，，點(diǎn)為的邊上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，為直角三角形．三、解答題11．如圖，在中，，于，，，求的長(zhǎng)．12．圖1中有一首古算詩(shī)，根據(jù)詩(shī)中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖2，其中，于點(diǎn)，尺，尺，求的長(zhǎng)度．13．如圖所示，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點(diǎn)B落在直角邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長(zhǎng)．14．某實(shí)踐探究小組在放風(fēng)箏時(shí)想測(cè)量風(fēng)箏離地面的垂直高度，通過勘測(cè)，得到如下記錄表：測(cè)量示意圖

測(cè)量數(shù)據(jù)邊的長(zhǎng)度①測(cè)得水平距離的長(zhǎng)為米．②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為米．請(qǐng)計(jì)算：如果小明想要風(fēng)箏沿方向再上升米，長(zhǎng)度不變，則他應(yīng)該再放出多少米線？15．如圖，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著射線以的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)若，則t的值為_____；(2)當(dāng)時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)是直角三角形時(shí)，求t的值．能力提升進(jìn)階練能力提升進(jìn)階練一、單選題1．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，5，62．已知的三邊分別為a，b，c，當(dāng)三角形的邊，角滿足下列關(guān)系，不能判定是直角三角形的是（

）A． B．C． D．3．如圖，小麗在公園里蕩秋千，在起始位置處擺繩與地面垂直，擺繩長(zhǎng)，向前蕩起到最高點(diǎn)處時(shí)距地面高度，擺動(dòng)水平距離為，然后向后擺到最高點(diǎn)處．若前后擺動(dòng)過程中繩始終拉直，且與成角，則小麗在處時(shí)距離地面的高度是（

）A． B． C． D．4．已知直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別是，，現(xiàn)將按如圖所示那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為，則的長(zhǎng)是（

）A．3 B． C．4 D．5．在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用圖形驗(yàn)證著名的勾股定理，下列選項(xiàng)中的圖形，能證明勾股定理的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空題6．如圖，正方形A的面積為．7．在如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，各頂點(diǎn)均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為．8．如圖，有一張直角三角形紙片沿直線折疊，使一直角邊落在斜邊上，且點(diǎn)與點(diǎn)重合，已知，，則的長(zhǎng)是．9．如圖，無蓋長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)為，寬為，高為，若，一只螞蟻沿著盒子的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短路程為．10．如圖，中，，，，點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿直線翻折得到，線段交直線于點(diǎn)．若為直角三角形，則的長(zhǎng)是．三、解答題11．某數(shù)學(xué)小組開展“筆記本電腦的頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實(shí)踐探究活動(dòng)．已知筆記本電腦的寬為，當(dāng)頂部邊緣離桌面的高時(shí)，此時(shí)用眼舒適度不太理想．小組成員調(diào)整頂部邊緣離桌面的高，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)頂部邊緣離桌面的高時(shí)，用眼舒適度比較理想．已知點(diǎn)，，，在同一條直線上，求調(diào)整前后頂部邊緣移動(dòng)的水平距離．12．如圖，在中，，垂足為．(1)若記為，為，直接寫出___________；(2)若，，求的長(zhǎng)度．13．小明在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)后，對(duì)其進(jìn)行了探究：如圖1，在一個(gè)支架的橫桿點(diǎn)處用一根細(xì)繩懸掛一個(gè)小球，小球可以自由擺動(dòng)．如圖2，表示小球靜止時(shí)的位置．當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠近小球時(shí)，小球從擺到位置，此時(shí)過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)小球擺到位置時(shí)，與恰好垂直（圖中的點(diǎn)，，，在同一平面上），過點(diǎn)作于點(diǎn)，測(cè)得．(1)