第=page1010頁(yè)，共=sectionpages1818頁(yè)1.3正方形的性質(zhì)與判定同步練習(xí)2025-2026學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.選擇題：在四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)．在下列條件中，能判定這個(gè)四邊形為正方形的是(????)．A.AC=BD，AB?//?CD

B.AD?//?BC，∠A=∠C

C.OA=OB=OC=OD，AC⊥BD

D.OA=OC，OB=OD，AB=BC2.如圖，正方形OABC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到正方形ODEF，連接AF，則∠OFA的度數(shù)是(

)

A.15° B.20° C.25° D.30°3.如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BE=CF，連接CE、DF，將△DCF繞著正方形的中心O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△CBE的位置，則旋轉(zhuǎn)角為(

)A.30°B.45°C.60°D.90°4.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，直線EF過(guò)點(diǎn)O分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn)(BE>EA)，若過(guò)EF上異于點(diǎn)O的一點(diǎn)作直線與正方形的一組對(duì)邊所在的直線分別交于G、H兩點(diǎn)，滿(mǎn)足GH=EF，則這樣的直線GH(不同于直線EF)的條數(shù)共有(

)

A.1條 B.2條 C.3條 D.無(wú)數(shù)條5.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交邊AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則陰影部分的面積是(

)

A.1 B.2 C.3 D.46.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上，且AF=12AB，將△AFD繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，則點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是(

)A.AB的中點(diǎn) B.BC的中點(diǎn) C.CD的中點(diǎn) D.對(duì)角線交點(diǎn)7.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線BD是菱形BEFD的一邊，菱形BEFD的對(duì)角線BF交正方形ABCD的一邊CD于點(diǎn)M，∠FMC的度數(shù)是(????)．

A.135° B.120° C.112.5° D.67.5°8.如圖，正方形ABCD的面積為9，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為(

)A.823二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。9.把邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形AB'C'D'，邊BC與D'C'交于點(diǎn)O，則四邊形ABOD'的周長(zhǎng)是

．

10.已知正方形的一條邊長(zhǎng)為2?cm，則這個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為

cm，面積為

cm2．11.如圖，菱形ABCD

中，∠B=60°，AB=3，四邊形ACEF

是正方形，則EF

的長(zhǎng)為

．

12.如圖，正方形ABCD的內(nèi)部有一個(gè)等邊三角形ABE，則∠DAE=

．

13.如圖，將正方形ABCD的邊BC延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=AC，AE與邊CD相交于點(diǎn)F，那么∠E的度數(shù)為

°

．

14.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，且∠EOF=90°，則S四邊形OEBF:S15.如圖，正方形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BD上，且BE=CD，則∠BEC的度數(shù)為

．

16.如圖，四邊形ABCD是矩形，則只需補(bǔ)充條件

(用字母表示，只添加一個(gè)條件)就可以判定四邊形ABCD是正方形．

三、解答題：本題共6小題，共52分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題8分)

如圖，四邊形ABCD是正方形，M為BC上一點(diǎn)，連接AM，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得AE=AM，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AM，垂足為F，求證：AB=EF．

18.(本小題8分)

如圖，四邊形ABCD是正方形，M為BC上一點(diǎn)，連接AM，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得AE=AM，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AM，垂足為F.求證：AB=EF．

19.(本小題8分)

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，O是AC的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，連接AE，且AE/?/BC，連接CE．

(1)求證：四邊形ADCE是矩形；

(2)若AB=2，BC=22，求證：四邊形ADCE是正方形．20.(本小題8分)

如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB=90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△CBF.延長(zhǎng)AE交CF于點(diǎn)G，連接DE．

(1)試判斷四邊形BEGF的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)若BE=3，CG=1，求DE．21.(本小題10

如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，將△BCE沿CE翻折得到△GCE，延長(zhǎng)CG交AD于點(diǎn)F，連接EF．

(1)求證：△EAF≌△EGF；

(2)若AB=8，求CF的長(zhǎng)．22.(本小題10)

如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF/?/BC，AF與CE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連接BF．

(1)求證：四邊形AFBD是平行四邊形；

(2)填空：①當(dāng)△ABC滿(mǎn)足條件∠BAC=90°時(shí)，四邊形AFBD是______形；

②當(dāng)△ABC滿(mǎn)足條件______時(shí)，四邊形AFBD是正方形．

答案和解析1.【答案】C

【解析】∵OA=OB=OC=OD，∴四邊形ABCD是矩形。又∵AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形。2.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．同時(shí)考查了正方形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．

先根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠AOF的度數(shù)，OA=OF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求得∠OFA的度數(shù)．

【解答】

解：∵正方形OABC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到正方形ODEF，

∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，

∴∠OFA=(180°-130°)÷2=25°．

故選：C．3.【答案】D

【解析】【分析】

由題意得到D對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，連接OC，OD，∠DOC即為旋轉(zhuǎn)角，利用正方形性質(zhì)求出即可．

此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

【解答】

解：

∵正方形ABCD，O為正方形的中心，

∴OD=OC，OD⊥OC，

∴∠DOC=90°，

由題意得到D對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，連接OC，OD，∠DOC即為旋轉(zhuǎn)角，

則將△DCF繞著正方形的中心O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△CBE的位置，旋轉(zhuǎn)角為90°，

故選D．4.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．根據(jù)對(duì)稱(chēng)性以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，畫(huà)出圖形即可解決問(wèn)題．【解答】解：過(guò)AB，CD邊中點(diǎn)作直線MN，作EF關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)圖形E'F'，

則EF=E'F'，

過(guò)EF上異于點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，作GH//E'F'，只要交點(diǎn)分別在AB和CD上，

根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)，則都有GH=E'F'=EF，

∴這樣的直線GH(不同于直線EF)有無(wú)數(shù)條，

故選：D．5.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定．

首先證明△DEO≌△BFO，可得陰影面積就等于三角形BOC面積．

【解答】

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠EDB=∠OBF，DO=BO，

在△EDO和△FBO中，

{∠EDO=∠FBODO=BO∠EOD=∠FOB

∴△DEO≌△BFO(ASA)，

∴S△DEO=S△BFO，

陰影面積6.【答案】B

【解析】略7.【答案】C

【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBC=45°，∠DCB=90°?！咚倪呅蜝EFD是菱形，∴∠FBC=22.5°?！唷螰MC=∠MBC+∠MCB=22.5°+90°=112.5°。8.【答案】C

【解析】解：作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'，連接DE'，

則PD+PE的和最小即為DE'的長(zhǎng)；

由對(duì)稱(chēng)性可知：AE=AE'，

∵△ABE是等邊三角形，

∴AE'=AD，

∵∠EAB=60°，∠CAB=45°，

∴∠EAE'=30°，∠DAE=30°，

∴△ADE'是等邊三角形，

∵正方形ABCD的面積為9，

∴AD=3，

∴DE'=3，

故選：C．

作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'，連接DE'，則PD+PE的和最小即為DE'的長(zhǎng)；證明△ADE'是等邊三角形，即可求解；

本題考查正方形的性質(zhì)，最短距離；掌握正方形和等邊三角形的性質(zhì)，利用對(duì)稱(chēng)性求最短距離是解題的關(guān)鍵．9.【答案】6【解析】解：如圖，連接CD'，BC'，

∵邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形AB'C'D'，

∴∠D'AB=45°，∠BAB'=45°，

∴點(diǎn)A、D'、C共線，點(diǎn)A、B、C'共線，

∴△CD'O和△C'OB都是等腰直角三角形，

∴OD'=CD'，OB=BC'，

而AC=AC'=32，

∴四邊形ABOD'的周長(zhǎng)=AC+AC'=62．

故答案為62．

連接CD'，BC'，先利用正方形的性質(zhì)得到∠D'AB=45°，∠BAB'=45°，可判斷點(diǎn)A、D'、C共線，點(diǎn)A、B、C'共線，推出△CD'O和△C'OB都是等腰直角三角形，則OD'=CD'，OB=BC'，從而得到四邊形10.【答案】24

【解析】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為2cm，

∴正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為22+22=22(cm)11.【答案】3

【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．

先判定△ABC是等邊三角形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出答案．

【解答】

解：

∵

四邊形ABCD

是菱形∴AB=BC，且

∠B=60°∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=3，∵

四邊形ACEF

是正方形，∴AC=EF=3故答案為：312.【答案】30°

【解析】略13.【答案】22.5

【解析】提示：由四邊形ABCD為正方形可得∠ACB=45°，

因?yàn)锳C=CE，

所以∠CAE=

∠E，

所以∠E=114.【答案】14【解析】略15.【答案】67.5【解析】略16.【答案】AB=AD(答案不唯一)

【解析】

有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故答案為AB=AD(答案不唯一)．17.【答案】證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠B=90°，AD//BC，

∴∠EAF=∠AMB，

∵EF⊥AM，

∴∠AFE=90°=∠B，

在△EFA和△ABM中，

∵∠AFE=∠B=90°∠EAF=∠AMBAE=AM,

∴△EFA≌△ABM(AAS)【解析】根據(jù)AAS證明△ABM≌△EFA，可得結(jié)論．

本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形全等的判定是關(guān)鍵．18.【答案】證明

∵四邊形ABCD是正方形，∴AD/?/BC，∠B=90∴∠AMB=∠EAF．∵EF⊥AM，∴∠B=∠AFE．又AM=EA，∴△AMB≌△EAF(AAS)，∴AB=EF．

【解析】見(jiàn)答案19.【答案】證明見(jiàn)解答；

證明見(jiàn)解答．

【解析】證明：(1)∵O是AC的中點(diǎn)，

∴OA=OC，

∵AE//BC，

∴∠AEO=∠CDO，

在△AOE和△COD中，

∠AOE=∠COD∠AEO=∠CDOOA=OC，

∴△AOE≌△COD(AAS)，

∴OE=OD，

∴四邊形ADCE是平行四邊形，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴四邊形ADCE是矩形．

(2)∵AB=AC=2，BC=22，AD⊥BC于點(diǎn)D，

∴BD=CD=12BC=2，∠ADB=90°，

∴AD=AB2-BD2=22-(2)2=2，

∴AD=CD，

∵四邊形ADCE是矩形，且AD=CD，

∴四邊形ADCE是正方形．

(1)由O是AC的中點(diǎn)，得OA=OC，則AE/?/BC，得∠AEO=∠CDO，而∠AOE=∠COD，即可證明△AOE≌△COD，得OE=OD，則四邊形ADCE是平行四邊形，由AD⊥BC得∠ADC=90°，則四邊形20.【答案】證明見(jiàn)解答；

DE的長(zhǎng)為17．【解析】解：(1)四邊形BEGF是正方形，

理由：∵∠AEB=90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△CBF，

∴∠F=∠AEB=90°，∠EBF=90°，BF=BE，

∵延長(zhǎng)AE交CF于點(diǎn)G，

∴∠BEG=90°，

∵∠F=∠EBF=∠BEG=90°，

∴四邊形BEGF是矩形，

∴BF=BE，

∴四邊形BEGF是正方形．

(2)作EP⊥AB于點(diǎn)P，EQ⊥AD于點(diǎn)Q，則∠APE=∠AQE=∠DQE=90°，

∵四邊形BEGF是正方形，BE=3，CG=1，

∴FG=BE=3，

∴AE=CF=CG+FG=1+3=4，

∴AB=AE2+BE2=42+32=5，

∵S△ABE=12×5EP=12×3××4，

∴EP=125，

∴AP=AE2-EP2=42-(125)2=165，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB=5，∠PAQ=90°，

∵∠PAQ=∠APE=∠AQE=90°，

∴四邊形APEQ是矩形，

∴AQ=EP=125，EQ=AP=165，

∴DQ=AD-AQ=5-125=135，

∴DE=DQ2+EQ2=(21.【答案】證明見(jiàn)解答；

CF的長(zhǎng)為10．

【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD

是正方形，

∴∠A=∠B=90°，

∵E是AB的中點(diǎn)，

∴AE=BE，

由翻折得GE=BE，∠CGE=∠B=90°，

∴AE=GE，∠EGF=90°，

在Rt△EAF與Rt△EGF中，

EF=EFAE=GE，

∴Rt△EAF≌Rt△EGF(HL)．

(2)解：∵AB=8，

∴AD=CD=CB=AB=8，

∴CG=CB=8，

∴CF=8+GF，

由(1)得Rt△EAF≌Rt△EGF，

∴AF=GF，

∴DF=AD-AF=8-GF，

∵∠D=90°，

∴DF2+CD2=CF2，

∴(8-GF)2+82=(8+GF)2，

解得GF=2，

∴CF=8+2=10，

∴CF的長(zhǎng)為10．(1)由正方形的性質(zhì)得∠A=∠B=90°，由E是AB的中點(diǎn)，得AE=BE，由翻折得GE=BE，∠CGE=∠B=90°，則AE=GE，∠EGF=90°，即可根據(jù)“HL”證明Rt△EAF≌Rt△EGF；

(2)由AB=8，得AD=CD=CB=AB=8，則CG=CB=8，所以CF=8+GF，由全等三角形的性質(zhì)得AF=GF，則22.【答案】(1)證明：∵E為AD的中點(diǎn)，D為BC中點(diǎn)，

∴AE=DE，BD=CD，

∵AF/?/BC，

∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE，

在△AFE和△DCE中，

∠