1通信原理教程

（第4版）2第1章概論1.1

通信的發(fā)展古代通信的起源兩類通信方式近代通信的發(fā)展31.2

消息、信息和信號(hào)消息：語(yǔ)音、文字、圖形、圖像…信息：消息的有效內(nèi)容

不同消息可有相同內(nèi)容信號(hào)：消息的載體 通信系統(tǒng)中傳輸?shù)氖切盘?hào)晴Clear云Cloud陰Overcast雨Rain4信息的度量：

*制定度量方法考慮的原則

貨物 消息 貨運(yùn)量 信息量 有多種 有多種 和種類無關(guān) 和類型無關(guān) 和貴重程度 和重要程度 無關(guān) 無關(guān) 總量是單件 總量是單件獨(dú)立 貨運(yùn)量之和 消息的信息量之和5

*制定度量信息的方法

#消息“量”信息量

#例：“明天降雨量將有1mm”

--信息量小

“明天降雨量將達(dá)到1m”

--信息量大

“明日太陽(yáng)將從東方升起”

--信息量零

#信息量I=I[P(x)]，P(x)--發(fā)生概率

#定義：I=loga

[1/P(x)]=-logaP(x) #通常取a=2,此時(shí)單位為“比特”。

#對(duì)于一個(gè)等概率、二進(jìn)制碼元：

I=log2[1/P(x)]=log2[1/(1/2)]=1比特6

#例：若仍用晴、陰、云、雨預(yù)報(bào)天氣，并且假設(shè)這4種狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等，即P(x)=1/4，則每種狀態(tài)的信息量等于： I=log2(1/1/4)=2(b)

若用晴、陰、云、雨、霧、雪、霜、霾8種狀態(tài)預(yù)報(bào)天氣，并且假設(shè)這8種狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等，即P(x)=1/8，則每種狀態(tài)的信息量等于：I=log2(1/1/8)=3(b)

#對(duì)于一個(gè)等概率、M進(jìn)制碼元：

I=log2[1/P(x)]=log2[1/(1/M)] =log2

M

比特 若M=2k

，則I=k

比特71.3數(shù)字通信

1.3.1基本概念兩類信號(hào)

模擬信號(hào)：取值連續(xù)，例如語(yǔ)音

數(shù)字信號(hào)：取值離散，例如數(shù)據(jù)8碼元模擬信號(hào)模擬信號(hào)數(shù)字信號(hào)數(shù)字信號(hào)tttt模擬信號(hào)和數(shù)字信號(hào)9兩類通信系統(tǒng)

模擬通信系統(tǒng) 要求－高保真度 準(zhǔn)則－信號(hào)噪聲功率（電壓）比 手段－參量估值方法 數(shù)字通信系統(tǒng) 要求－正確 準(zhǔn)則－錯(cuò)誤率 手段－統(tǒng)計(jì)判決理論101.3.2數(shù)字通信的優(yōu)點(diǎn)取值有限，能正確接收。

數(shù)字信號(hào)波形的失真和恢復(fù)(a)失真的數(shù)字信號(hào)波形(b)中繼站整形后的數(shù)字信號(hào)波形11可采用糾錯(cuò)和檢錯(cuò)技術(shù)，大大提高抗 干擾性?？刹捎酶弑Ｃ苄阅艿臄?shù)字加密技術(shù)?？删C合傳輸各種模擬和數(shù)字輸入信號(hào)易于設(shè)計(jì)、制造，體積小、重量輕?？勺餍旁淳幋a，壓縮冗余度，提高信 道利用率。輸出信噪比隨帶寬按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)。12數(shù)字通信系統(tǒng)模型發(fā)送端接收端信源信道編碼調(diào)制信道壓縮編碼解調(diào)信宿保密解碼信道解碼壓縮解碼保密編碼噪聲同步信源編碼信源解碼1.3.3數(shù)字通信系統(tǒng)模型13模擬通信系統(tǒng)模型發(fā)送端接收端噪聲調(diào)制信道解調(diào)信宿信源141.3.4

數(shù)字通信系統(tǒng)的主要性能指標(biāo)有效性和可靠性的關(guān)系（速度～質(zhì)量） 傳輸速率：碼元速率RB

－波特(Baud)信息速率：Rb

－比特/秒(b/s)

對(duì)M進(jìn)制：Rb=RBlog2

M目前，干線上信息速率已達(dá)以Tb/s計(jì)。消息速率：RM

錯(cuò)誤率：誤碼率Pe

=錯(cuò)誤接收碼元數(shù)/傳輸碼元總數(shù)誤比特率Pb

=錯(cuò)誤接收比特?cái)?shù)/傳輸總比特?cái)?shù)在光纖線路上，誤比特率在10-9量級(jí)。

15誤字率Pw=錯(cuò)誤接收字?jǐn)?shù)/總傳輸字?jǐn)?shù)誤碼率和誤比特率的關(guān)系

Pb

=PexM/[2(M-1)]Pe

/2誤字率和誤比特率的關(guān)系 對(duì)于二進(jìn)制， 若一個(gè)字由k比特組成，則

Pw＝1–(1–

Pe)k

頻帶利用率能量利用率161.4

信道信道的分類：

無線信道

有線信道信道中的干擾：

有源干擾---噪聲

無源干擾---信道特性不良引起17

1.4.1

無線信道無線電通信的起源電磁波的傳播：電磁波發(fā)射對(duì)波長(zhǎng)的要求頻段（波長(zhǎng)）劃分18頻段（波長(zhǎng)）劃分

頻率范圍 名稱 典型應(yīng)用

(kHz)3–30甚低頻(VLF)遠(yuǎn)程導(dǎo)航、水下通信 (10-100km) 聲納、授時(shí)

30–300 低頻(LF) 導(dǎo)航、水下通信 (1-10km) 無線電信標(biāo)300–3000中頻(MF)廣播、海事通信、

(100-1000m) 測(cè)向、遇險(xiǎn)求救、 海岸警衛(wèi)19頻段（波長(zhǎng)）劃分

頻率范圍 名稱 典型應(yīng)用

(MHz)3–30高頻(HF) 遠(yuǎn)程廣播、電報(bào)、電話、飛機(jī) (10-100m) 與船只間通信、船－岸通信、 業(yè)余無線電

30–300 甚高頻(VHF)電視、調(diào)頻廣播、陸地交通、 (米波） 空中交通管制、出租汽車、 警察、導(dǎo)航、飛機(jī)通信300–3000特高頻(UHF)電視、蜂窩網(wǎng)、微波鏈路、

(分米波） 無線電探空儀、導(dǎo)航、衛(wèi)星 通信、GPS、監(jiān)視雷達(dá)、 無線電高度計(jì)20頻段（波長(zhǎng)）劃分

頻率范圍 名稱 典型應(yīng)用

(GHz)

3–30超高頻(HF)

衛(wèi)星通信、無線電高度計(jì)、

（厘米波）微波鏈路、機(jī)載雷達(dá)、氣象 雷達(dá)、公用陸地移動(dòng)通信

30–300 極高頻(VHF)

鐵路業(yè)務(wù)、雷達(dá)著陸系統(tǒng)、

（毫米波）實(shí)驗(yàn)用300–3000亞毫米波

實(shí)驗(yàn)用

（0.1–1mm）21頻段（波長(zhǎng)）劃分

頻率范圍 名稱 典型應(yīng)用

(THz)

43–430 紅外線光通信系統(tǒng)

(7–0.7

m)

430–750可見光 光通信系統(tǒng)

(0.7–0.4

m)

750–3000 紫外線 光通信系統(tǒng)

(0.4–0.1

m)注：kHz=103Hz,MHz=106Hz,GHz=109Hz, THz=1012Hz,mm=10-3m,

m=10-6m22對(duì)流層地球0~10km電離層60~300km平流層電磁波傳播：地波、天波、視線傳播23地波頻率：2MHz以下繞射：發(fā)生在波長(zhǎng)～障礙物尺寸可比時(shí)通信距離：可達(dá)數(shù)百～數(shù)千km中頻廣播信號(hào)都以這種方式傳播。地球24D層：高60~80kmE層：高100~120kmF層：高150~400kmF1層：140~200kmF2層：250~400km晚上：D層、F1層消失

E層、F2層減弱

電離層的結(jié)構(gòu)DEFF2F1地面25天波電離層高度：60～300km單跳最大距離：4000km多跳可以環(huán)球頻率：2～30MHz遠(yuǎn)程廣播和電報(bào)電話都可以利用天波傳播。地面信號(hào)傳播路徑地面圖1.4.2天波傳播26視線傳播頻率：>30MHz傳播距離:d2+r2=(h+r)2,

或

h

D2/50(m)式中D

－kmhr地面ddDr27無線電中繼圖1.4.4無線電中繼28靜止衛(wèi)星中繼通信29平流層中繼通信HAPS(HighAltitudePlatformStation)30頻率(GHz)(a)氧氣和水蒸氣（濃度7.5g/m3）的衰減頻率(GHz)(b)降雨的衰減衰減(dB/km)衰減(dB/km)水蒸氣氧氣降雨率圖1.4.5大氣衰減大氣對(duì)電磁波傳播的影響31散射通信電離層散射頻率:30~60MHz對(duì)流層散射頻率:100~4000MHz流星余跡散射頻率:30~100MHz圖1.4.6對(duì)流層散射通信地球有效散射區(qū)域地球圖1.4.7流星余跡散射通信32蜂窩網(wǎng)移動(dòng)交換中心電話交換中心331.4.2

有線信道明線:右圖為19世紀(jì)80年代紐約市百老匯

大街上架設(shè)的明線，可見大約有350條線。對(duì)稱電纜：同軸電纜圖1.4.8同軸電纜截面示意圖導(dǎo)體絕緣層34有線電信道電氣特性信道類型通話容量（路）頻率范圍(kHz)傳輸距離(km)明線1+30.3～27300明線1+3+120.3～150120對(duì)稱電纜2412～10835對(duì)稱電纜6012～25212～18小同軸電纜30060～13008小同軸電纜96060～41004中同軸電纜1800300～90006中同軸電纜2700300～120004.5中同軸電纜10800300～600001.535光纖結(jié)構(gòu)損耗n1n2折射率折射率n1n22a光波波長(zhǎng)（nm）1.55

m1.31

m0.7 0,9 1.1 1.3 1.5 1.7實(shí)用的光纖在包層外還有一層涂覆層，用于保護(hù)，并且把多根光纖組成一根光纜。目前長(zhǎng)距離傳輸，光纖幾乎完全取代了明線和各種電纜。361.4.3

信道模型37譯碼器輸入發(fā)轉(zhuǎn)換器

媒質(zhì)收轉(zhuǎn)換器

解調(diào)器

調(diào)制器（調(diào)制）信道廣義（編碼）信道編碼器輸出38調(diào)制信道模型:對(duì)于單“端對(duì)”信道

eo(t)=f[ei(t)]+n(t)式中ei(t)－輸入的已調(diào)信號(hào)；

eo(t)－輸出信號(hào)；

n(t)－加性噪聲，它與ei(t)相互獨(dú)立。

f[ei(t)]－與輸入有關(guān)的一個(gè)函數(shù),

表示信道對(duì)于信號(hào)的影響。ei(t)eo(t)時(shí)變線性網(wǎng)絡(luò)除了只有一對(duì)輸入端和一對(duì)輸出端的信道外。還有更復(fù)雜的信道，見二維碼1.5A。39通常，f[ei(t)]可以表示為：k(t)ei(t)， 此時(shí)，

eo(t)=k(t)ei(t)+n(t)其中k(t)表示時(shí)變線性網(wǎng)絡(luò)的特性

，稱為乘性干擾。

k(t)－一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，反映信道的衰減、線性失真、非線性失真、延遲…

等。 最簡(jiǎn)單情況：k(t)=常數(shù)，表示衰減。 當(dāng)k(t)=常數(shù)，稱為恒(定)參(量)信道 例如，同軸電纜

當(dāng)k(t)

常數(shù)，稱為隨(機(jī))參(量)信道 例如，移動(dòng)蜂窩網(wǎng)通信信道40編碼信道模型:二進(jìn)制信號(hào)、無記憶信道， 其中，P(0/0),P(1/1)－正確轉(zhuǎn)移概率

P(0/1),P(1/0)－錯(cuò)誤轉(zhuǎn)移概率 轉(zhuǎn)移概率－決定于編碼信道的特性

P(0/0)=1-P(1/0)

P(1/1)=1-P(0/1)0110P(0/0)P(0/1)P(1/1)P(1/0)41四進(jìn)制

01233210接收端發(fā)送端421.4.4

信道特性對(duì)信號(hào)傳輸?shù)挠绊懞銋⑿诺?~非時(shí)變線性網(wǎng)絡(luò)鏈路：一段物理線路，中間沒有任何交換設(shè)備。振幅~頻率特性f(Hz)30030000衰耗(dB)理想特性典型音頻電話信道特性43頻率失真的補(bǔ)償0Af(a)頻率失真信道特性0Af(b)線性補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)特性0Af(c)補(bǔ)償后信道特性44相位~頻率特性:

理想特性:相位

()=k;

群遲延()=d()/d=k

畸變的影響:波形失真（相位失真）、碼間串?dāng)_。線性失真:

頻率失真和相位失真：屬于線性失真 可用“線性補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)”糾正，－“均衡”ω

(

)0理想特性理想特性

(

)

045非線性失真:

振幅特性非線性、頻率偏移、相位抖動(dòng)…

非線性失真－難以消除46直線非線性關(guān)系輸入電壓輸出電壓圖1.4.13非線性特性47變參信道:變參信道的共性－衰落:衰減隨機(jī)變化 傳輸時(shí)延:隨機(jī)變化 多徑效應(yīng):快衰落接收信號(hào)的特性:

設(shè)發(fā)送信號(hào)為Acos

0t，則經(jīng)過n條路徑傳播后的接收信號(hào)R(t)可以表示為：

式中

ri(t)－第i條路徑的接收信號(hào)振幅；

i(t)－第i條路徑的傳輸時(shí)延

i(t)=-0

i(t) Xc(t) Xs(t)48式中 V(t)－合成波R(t)的包絡(luò);〖多徑衰落〗

(t)－合成波R(t)的相位。即有由于，相對(duì)于而言，ri(t)和i(t)變化緩慢，故Xc(t),Xs(t)及V(t),(t)也是緩慢變化的。所以，R(t)可以視為一個(gè)窄帶信號(hào)（隨機(jī)過程）。49由下式可見，原發(fā)送信號(hào)Acos

0t，經(jīng)過傳輸后：

*恒定振幅A，變成慢變振幅V(t); *恒定相位0，變成慢變相位(t)；

*因而，頻譜由單一頻率變成窄帶頻譜。tff050頻率選擇性衰落

設(shè)：只有兩條多徑傳播路徑，且衰減相同，時(shí)延不同； 發(fā)射信號(hào)為f(t)，接收信號(hào)為af(t-

0)和af(t-

0-

)； 發(fā)射信號(hào)的頻譜為F(

)。則有

f(t)F(

)

af(t

-

0)aF(

)e-j

0

af(t

-

0-

)a

F(

)e-j

(

0+

)

af(t

-

0)

+af(t

-

0-

)aF(

)e-j

0(1+e-j

)

H(

)=aF(

)e-j

0(1+e-j

)/F(

)=ae-j

0(1+e-j

) |1+e-j

|=|1+cos

-jsin

|=|[(1+cos

)2+sin2

]1/2| =2|cos(

/2)|三類信號(hào)：

*確知信號(hào)

*隨相信號(hào)

*起伏信號(hào)511.5信道中的噪聲按照來源分類：人為噪聲：電火花、家用電器…自然噪聲：閃電、大氣噪聲、熱噪聲…按照性質(zhì)分類：脈沖噪聲窄帶噪聲起伏噪聲今后討論通信系統(tǒng)時(shí)主要涉及： 白噪聲－熱噪聲是一種典型白噪聲。1.6

小結(jié)5253第2章信號(hào)2.1

信號(hào)的類型2.1.1確知信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)什么是確知信號(hào)–其取值在任何時(shí)間都是確定的和可預(yù)知的信號(hào)。什么是隨機(jī)信號(hào)–其取值不確定，且不能事先確切預(yù)知的信號(hào)。只有經(jīng)過理想信道傳輸?shù)男盘?hào)，才可能是確知信號(hào)經(jīng)過實(shí)際信道傳輸?shù)男盘?hào)通常是隨機(jī)信號(hào)。2.1.2能量信號(hào)和功率信號(hào)信號(hào)的功率:設(shè)R=1,則P=V2/R=I2R=V2=I2信號(hào)的能量：設(shè)S代表V或I，若S隨時(shí)間變化，則寫為s(t),

于是，信號(hào)的能量

E=

s2(t)dt能量信號(hào)：滿足平均功率： ，故能量信號(hào)的P=0。功率信號(hào)：P0的信號(hào)，即持續(xù)時(shí)間無窮的信號(hào)。能量信號(hào)的能量有限，但平均功率為0。功率信號(hào)的平均功率有限，但能量為無窮大。54552.2

確知信號(hào)的性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì)功率信號(hào)的頻譜：設(shè)s(t)為周期性功率信號(hào)，T0為周期，則有

式中，

0=2/T0=2f0

∵C(jn0)是復(fù)數(shù)，∴C(jn0)=|Cn|ej

n

式中，|Cn|－頻率為nf0的分量的振幅；

n

－頻率為nf0的分量的相位。信號(hào)s(t)的傅里葉級(jí)數(shù)表示法：

56

【例2.1】試求周期性矩形波的頻譜。

解：設(shè)一周期性矩形波的周期為T，寬度為

，幅度為V

求頻譜：

57頻譜圖58【例2.2】試求全波整流后的正弦波的頻譜。 解：設(shè)此信號(hào)的表示式為 求頻譜：

信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示式：1f(t)t59能量信號(hào)的頻譜密度

設(shè)一能量信號(hào)為s(t)，則其頻譜密度為：

S(

)的逆變換為原信號(hào)：

【例2.3】試求一個(gè)矩形脈沖的頻譜密度。 解：設(shè)此矩形脈沖的表示式為 則它的頻譜密度就是它的傅里葉變換：60 【例2.4】試求抽樣函數(shù)的波形和頻譜密度。

解：抽樣函數(shù)的定義是 而Sa(t)的頻譜密度為： 和上例比較可知，Sa(t)的波形和上例中的G(

)曲線相同，而Sa(t)的頻譜密度Sa(

)的曲線和上例中的g(t)波形相同。

【例2.5】試求單位沖激函數(shù)及其頻譜密度。 解：?jiǎn)挝粵_激函數(shù)常簡(jiǎn)稱為

函數(shù)，其定義是：

(t)的頻譜密度：61Sa(t)及其頻譜密度的曲線：函數(shù)的物理意義： 高度為無窮大，寬度為無窮小，面積為1的脈沖。用抽樣函數(shù)Sa(t)表示函數(shù)：Sa(t)有如下性質(zhì) 當(dāng)k

時(shí)，振幅， 波形的零點(diǎn)間隔0， 故有tttf

(f)10t

(t)062

函數(shù)的性質(zhì)對(duì)f(t)的抽樣：

函數(shù)是偶函數(shù)：

函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：能量信號(hào)的頻譜密度S(f)和周期性功率信號(hào)的頻譜C(jn0)的區(qū)別:S(f)－連續(xù)譜；C(jn0)－離散譜S(f)的單位：V/Hz；C(jn0)的單位：VS(f)在一頻率點(diǎn)上的幅度＝無窮小。u

(t)=

(t)

t10圖2.2.6單位階躍函數(shù)63 【例2.6】試求無限長(zhǎng)余弦波的頻譜密度。

解：設(shè)一個(gè)余弦波的表示式為f(t)=cos

0t，則其頻譜密度F(

)按式(2.2-10)計(jì)算，可以寫為參照式(2.2-19)，上式可以改寫為引入

(t)，就能將頻譜密度概念推廣到功率信號(hào)上。t

0－

00(b)頻譜密度(a)波形64能量譜密度

設(shè)一個(gè)能量信號(hào)s(t)的能量為E，則其能量由下式?jīng)Q定： 若此信號(hào)的頻譜密度，為S(f)，則由巴塞伐爾定理得知： 上式中|S(f)|2稱為能量譜密度，也可以看作是單位頻帶內(nèi)的信號(hào)能量。上式可以改寫為：式中，G(f)＝|S(f)|2（J/Hz）

為能量譜密度。G(f)的性質(zhì)：因s(t)是實(shí)函數(shù)，故|S(f)|2是偶函數(shù)，∴

65功率譜密度

令s(t)的截短信號(hào)為sT(t)，-T/2<t<T/2，則有 定義功率譜密度為：

得到信號(hào)功率：對(duì)于周期性信號(hào)：

66

2.2.2時(shí)域性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)能量信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)定義：功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)定義：性質(zhì)：R(

)只和

有關(guān)，和t

無關(guān)當(dāng)

=0時(shí)，能量信號(hào)的R(

)等于信號(hào)的能量； 功率信號(hào)的R(

)等于信號(hào)的平均功率。67互相關(guān)函數(shù)能量信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)定義：功率信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)定義：性質(zhì)：1.R12(

)只和

有關(guān)，和t

無關(guān)；2.

證：令x=t+

，則682.3

隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)2.3.1

隨機(jī)變量的概率分布隨機(jī)變量的概念：若某種試驗(yàn)A的隨機(jī)結(jié)果用X表示，則稱此X為一個(gè)隨機(jī)變量，并設(shè)它的取值為x。例如，在一定時(shí)間內(nèi)電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的分布函數(shù)：定義：FX(x)=P(X

x)

性質(zhì)：∵P(a<X

b)+P(X

a)=P(X

b),

P(a<X

b)=P(X

b)–P(X

a)，

∴

P(a<X

b)=FX(b)–FX(a)

69離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)：設(shè)X的取值為：x1

x2…xi

xn，其取值的概率分別為p1,p2,…,pi,…,pn，則有

P(X<x1)=0, P(X

xn)=1

∵P(X

xi)=P(X=x1)+P(X=x2)+…+P(X=xi),

∴性質(zhì)：

FX(-)=0

FX(+)=1

若x1<x2，則有: FX(x1)FX(x2)， 為單調(diào)增函數(shù)。70連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)：

當(dāng)x連續(xù)時(shí)，由定義分布函數(shù)定義

FX(x)=P(X

x)

可知，F(xiàn)X(x)為一連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)：712.3.2

隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度pX(x)pX(x)的定義：pX(x)的意義：pX(x)是FX(x)的導(dǎo)數(shù)，是FX(x)曲線的斜率能夠從pX(x)求出P(a<X

b)：pX(x)的性質(zhì)：

pX(x)

072離散隨機(jī)變量的概率密度 離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)可以寫為： 式中，pi

－x=xi

的概率

u(x)

－單位階躍函數(shù) 將上式兩端求導(dǎo)，得到其概率密度：

性質(zhì)： 當(dāng)x

xi

時(shí)，px(x)=0， 當(dāng)x=xi

時(shí)，px(x)=

732.4

常見隨機(jī)變量舉例正態(tài)分布隨機(jī)變量定義：概率密度式中，

>0,a=

常數(shù)概率密度曲線：74均勻分布隨機(jī)變量定義：概率密度

式中，a，b為常數(shù)概率密度曲線：bax0pA(x)75瑞利(Rayleigh)分布隨機(jī)變量

定義：概率密度為式中，a>0，為常數(shù)。概率密度曲線：762.5

隨機(jī)變量的數(shù)字特征

2.5.1數(shù)學(xué)期望定義：對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量性質(zhì)：

若X和Y互相獨(dú)立，且E(X)和E(Y)存在。

77

2.5.2方差定義： 式中，方差的改寫： 證：對(duì)于離散隨機(jī)變量，對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量，性質(zhì)：D(C)=0

D(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)

782.5.3矩定義：隨機(jī)變量X的k階矩為k階原點(diǎn)矩：a=0時(shí)的矩：k階中心矩： 時(shí)的矩：性質(zhì)：一階原點(diǎn)矩為數(shù)學(xué)期望：二階中心矩為方差：792.6

隨機(jī)過程

2.6.1隨機(jī)過程的基本概念X(A,t)－事件A的全部可能“實(shí)現(xiàn)”的總體；X(Ai,t)－事件A的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，為確定的時(shí)間函數(shù)；X(A,tk)－在給定時(shí)刻tk上的函數(shù)值。簡(jiǎn)記：X(A,t)

X(t)

X(Ai,t)

Xi

(t)例：接收機(jī)噪聲隨機(jī)過程的數(shù)字特征：統(tǒng)計(jì)平均值：方差：自相關(guān)函數(shù)：80

2.6.2平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義： 統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)的隨機(jī)過程。 （又稱嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程）廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義： 平均值、方差和自相關(guān)函數(shù)等與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)的隨機(jī)過程。廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程的性質(zhì)：

嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程一定也是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。但是，廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程就不一定是嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程。

81 2.6.3各態(tài)歷經(jīng)性“各態(tài)歷經(jīng)”的含義： 平穩(wěn)隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)能夠經(jīng)歷此過程的所有狀態(tài)。各態(tài)歷經(jīng)過程的特點(diǎn)：可用時(shí)間平均值代替統(tǒng)計(jì)平均值，例各態(tài)歷經(jīng)過程的統(tǒng)計(jì)平均值mX：各態(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)RX():一個(gè)隨機(jī)過程若具有各態(tài)歷經(jīng)性，則它必定是嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程。但是，嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程就不一定具有各態(tài)歷經(jīng)性。

82穩(wěn)態(tài)通信系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)性： 假設(shè)信號(hào)和噪聲都是各態(tài)歷經(jīng)的。一階原點(diǎn)矩mX

=E[X(t)]－是信號(hào)的直流分量；一階原點(diǎn)矩的平方mX

2－是信號(hào)直流分量的歸一化功率；二階原點(diǎn)矩E[X2(t)]－是信號(hào)歸一化平均功率；二階原點(diǎn)矩的平方根{E[X2(t)]}1/2

－是信號(hào)電流或電壓的 均方根值（有效值）；二階中心矩

X2

－是信號(hào)交流分量的歸一化平均功率;若mX

=mX

2=0，則

X2=E[X2(t)]；標(biāo)準(zhǔn)偏差

X

－是信號(hào)交流分量的均方根值；若mX=0，則

X就是信號(hào)的均方根值。83

2.6.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

功率頻譜密度的性質(zhì)

復(fù)習(xí)：確知信號(hào)的功率譜密度：類似地，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度為：平均功率：84自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的關(guān)系 由 式中， 令

=t

–

t’，k=t+t’，則上式可以化簡(jiǎn)成

于是有85

上式表明，PX(f)和R(

)是一對(duì)傅里葉變換：PX(f)的性質(zhì)：PX(f)

0,并且PX(f)是實(shí)函數(shù)。

PX(f)＝PX(-f)，即PX(f)是偶函數(shù)。

【例2.7】設(shè)有一個(gè)二進(jìn)制數(shù)字信號(hào)x(t)，如圖所示，其振幅為+a或-a；在時(shí)間T內(nèi)其符號(hào)改變的次數(shù)k服從泊松分布式中，

是單位時(shí)間內(nèi)振幅的 符號(hào)改變的平均次數(shù)。試求其相關(guān)函數(shù)R(

)和功率譜密度P(f)。+a-ax(t)

tt0t-

86

解：由圖可以看出，乘積x(t)x(t-

)只有兩種可能取值：a2,或 -a2。因此，式

可以化簡(jiǎn)為：

R(

)=a2

[a2出現(xiàn)的概率]+(-a2)

[(-a2)出現(xiàn)的概率]

式中，“出現(xiàn)的概率”可以按上述泊松分布

P(k)計(jì)算。 若在

秒內(nèi)x(t)的符號(hào)有偶數(shù)次變化，則出現(xiàn)+a2;

若在

秒內(nèi)x(t)的符號(hào)有奇數(shù)次變化，則出現(xiàn)-a2。 因此， 用

代替泊松分布式中的T，得到87

由于在泊松分布中

是時(shí)間間隔，所以它應(yīng)該是非負(fù) 數(shù)。所以，在上式中當(dāng)

取負(fù)值時(shí)，上式應(yīng)當(dāng)改寫成 將上兩式合并，最后得到：

其功率譜密度P(f)可以由其自相關(guān)函數(shù)R(

)的傅里葉 變換求出：

P(f)和R(

)的曲線：88

【例2.8】設(shè)一隨機(jī)過程的功率譜密度P(f)如圖所示。試求其自相關(guān)函數(shù)R(

)。

解：

∵功率譜密度P(f)已知，

∴

式中，自相關(guān)函數(shù)曲線：89

【例2.9】試求白噪聲的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。

解：白噪聲是指具有均勻功率譜密度Pn(f)的噪聲，即

Pn(f)＝n0/2

式中，n0為單邊功率譜密度（W/Hz） 白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可以從它的功率譜密度求得:

由上式看出，白噪聲的任何兩個(gè)相鄰時(shí)間（即

0時(shí)）的抽樣值都是不相關(guān)的。

白噪聲的平均功率:

上式表明，白噪聲的平均功率為無窮大。Pn(f)n0/20fRn(

)n0/2

090帶限白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)帶限白噪聲：帶寬受到限制的白噪聲帶限白噪聲的功率譜密度： 設(shè)白噪聲的頻帶限制在(-fH,fH)之間，則有

Pn(f)=n0/2, -fH

<f<fH =0, 其他處 其自相關(guān)函數(shù)為：曲線：

n0/2Pn(f)0f-fHfHRn(

)

01/2fH-1/2fH912.7

高斯過程（正態(tài)隨機(jī)過程）定義：一維高斯過程的概率密度： 式中，a=E[X(t)]為均值

2=E[X(t)

-a]2為方差

為標(biāo)準(zhǔn)偏差∵高斯過程是平穩(wěn)過程，故 其概率密度pX(x,t1)與t1無關(guān)， 即，pX(x,t1)＝pX(x)pX(x)的曲線：92高斯過程的嚴(yán)格定義：任意n維聯(lián)合概率密度滿足： 式中，ak為xk的數(shù)學(xué)期望（統(tǒng)計(jì)平均值）；

k為xk的標(biāo)準(zhǔn)偏差；

|B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即

|B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子；

bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即93n維高斯過程的性質(zhì)pX(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)僅由各個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望ai、標(biāo)準(zhǔn)偏差

i和歸一化協(xié)方差bjk決定，因此它是一個(gè)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。若x1,x2,…,xn等兩兩之間互不相關(guān)，則有當(dāng)jk時(shí)，bjk=0。這時(shí)，即，此n維聯(lián)合概率密度等于各個(gè)一維概率密度的乘積。若兩個(gè)隨機(jī)變量的互相關(guān)函數(shù)等于零，則稱為兩者互不相關(guān)；若兩個(gè)隨機(jī)變量的二維聯(lián)合概率密度等于其一維概率密度之積，則稱為兩者互相獨(dú)立?；ゲ幌嚓P(guān)的兩個(gè)隨機(jī)變量不一定互相獨(dú)立。互相獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量則一定互不相關(guān)。高斯過程的隨機(jī)變量之間既互不相關(guān)，又互相獨(dú)立。

94正態(tài)概率密度的性質(zhì)p(x)對(duì)稱于直線x=a，即有：p(x)在區(qū)間(-

,a)內(nèi)單調(diào)上升，在區(qū)間(a,

)內(nèi)單調(diào)下降，并且在點(diǎn)a處達(dá)到其極大值

當(dāng)x

-

或x

+

時(shí)，p(x)

0。

若a=0,

=1，則稱這種分布為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布：

95正態(tài)分布函數(shù)將正態(tài)概率密度函數(shù)的積分定義為正態(tài)分布函數(shù)：式中，

(x)稱為概率積分函數(shù)：此積分不易計(jì)算，通常用查表方法計(jì)算。96用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布誤差函數(shù)定義：補(bǔ)誤差函數(shù)定義：

正態(tài)分布表示法：誤差函數(shù)和補(bǔ)誤差函數(shù)的值較難計(jì)算，通常用查表的方法取得其值。但是其近似值可以方便地計(jì)算出來（二維碼2.1）97頻率近似為fc2.8

窄帶隨機(jī)過程

2.8.1窄帶隨機(jī)過程的基本概念何謂窄帶？ 設(shè)隨機(jī)過程的頻帶寬度為

f，中心頻率為fc。若

f<<fc，則稱此隨機(jī)過程為窄帶隨機(jī)過程。窄帶隨機(jī)過程的波形和表示式波形和頻譜：98表示式

式中，aX(t)－窄帶隨機(jī)過程的隨機(jī)包絡(luò)；

X(t)

－窄帶隨機(jī)過程的隨機(jī)相位；

0

－

正弦波的角頻率。

上式可以改寫為： 式中， －X(t)的同相分量

－X(t)的正交分量

99 2.8.2窄帶隨機(jī)過程的性質(zhì)Xc(t)和Xs(t)的統(tǒng)計(jì)特性： 設(shè)X(t)是一個(gè)均值為0的平穩(wěn)窄帶高斯過程，則

Xc(t)和Xs(t)也是高斯過程；

Xc(t)和Xs(t)的方差相同，且等于X(t)的方差；在同一時(shí)刻上得到的Xc和Xs是不相關(guān)的和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。（證明見二維碼2.2）aX(t)和

X(t)的統(tǒng)計(jì)特性：窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程包絡(luò)aX(t)的概率密度等于：窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程相位

X(t)的概率密度等于：

1002.9

正弦波加窄帶高斯過程通信系統(tǒng)中的正弦波加窄帶高斯過程：正弦波加噪聲的表示式： 式中，A

－正弦波的確知振幅；

0

－正弦波的角頻率；

－正弦波的隨機(jī)相位；

n(t)－窄帶高斯噪聲。r(t)的包絡(luò)的概率密度：

式中，

2

－n(t)的方差；

I0(

)－零階修正貝塞爾函數(shù)。pr(x)稱為廣義瑞利分布，或稱萊斯(Rice)分布。

當(dāng)A=0時(shí)，

pr(x)變成瑞利概率密度。101r(t)的相位的條件概率密度：

式中，

－r(t)的相位，包括正弦波的相位

和噪聲的相位

pr(

/

)－給定

的條件下，r(t)的相位的條件概率密度r(t)的相位的概率密度:當(dāng)

=0時(shí)， 式中，102瑞利分布r概率密度包絡(luò)r(a)萊斯分布包絡(luò)的概率密度均勻相位相位概率密度(b)萊斯分布相位的概率密度萊斯分布的曲線當(dāng)A/

=0時(shí)， 包絡(luò)瑞利分布 相位均勻分布當(dāng)A/

很大時(shí)， 包絡(luò)正態(tài)分布 相位沖激函數(shù)1032.10

信號(hào)通過線性系統(tǒng)

2.10.1線性系統(tǒng)的基本概念線性系統(tǒng)的特性有一對(duì)輸入端和一對(duì)輸出端無源無記憶非時(shí)變有因果關(guān)系：當(dāng)前輸出只決定于當(dāng)前和過去的輸入有線性關(guān)系：滿足疊加原理 若當(dāng)輸入為xi(t)時(shí)，輸出為yi(t)，則當(dāng)輸入為

時(shí)，輸出為： 式中，a1和a2均為任意常數(shù)。104線性系統(tǒng)的示意圖2.10.2確知信號(hào)通過線性系統(tǒng)時(shí)域分析法 設(shè)h(t)－系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

x(t)－輸入信號(hào)波形

y(t)

－輸出信號(hào)波形 則有：（證明見二維碼2.3）線性系統(tǒng)輸入輸出x