2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——微分幾何在地理信息系統(tǒng)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述曲線的切向量、主法向量和副法向量的定義及其相互關(guān)系。2.解釋曲面在一點(diǎn)處的切平面和法向量的定義，并說明它們?cè)谖⒎謳缀沃械淖饔谩?.簡(jiǎn)述高斯曲率的定義及其物理意義。4.描述微分幾何在地圖投影中如何應(yīng)用，并舉例說明一種常見的地圖投影及其優(yōu)缺點(diǎn)。二、計(jì)算題（每題8分，共32分）1.給定空間曲線的參數(shù)方程為r(t)=(t^2,t^3,t)，計(jì)算該曲線在t=1處的切向量、主法向量和副法向量。2.給定曲面的參數(shù)方程為x(u,v)=(ucosv,usinv,v)，計(jì)算該曲面在(u,v)=(1,0)處的第一基本形式和第二基本形式。3.計(jì)算球面x^2+y^2+z^2=R^2在任意一點(diǎn)的高斯曲率。4.已知一種地圖投影的緯度變換公式為φ'=arctan(tanφ/cosλ)，經(jīng)度變換公式為λ'=λ，其中φ和λ分別為地理緯度和經(jīng)度，φ'和λ'分別為投影后的緯度和經(jīng)度。計(jì)算該投影在緯度φ=45°，經(jīng)度λ=30°處的經(jīng)向伸縮率和緯向伸縮率。三、應(yīng)用題（每題10分，共20分）1.微分幾何中的哪些概念可以用于分析地形數(shù)據(jù)？請(qǐng)舉例說明如何利用這些概念來分析一個(gè)實(shí)際的地形數(shù)據(jù)集。2.在地理信息系統(tǒng)中，路徑規(guī)劃是一個(gè)重要的功能。微分幾何中的哪些概念可以用于優(yōu)化路徑規(guī)劃算法？請(qǐng)舉例說明如何利用這些概念來設(shè)計(jì)一個(gè)更高效的路徑規(guī)劃算法。四、綜合題（12分）考慮一個(gè)地球模型，假設(shè)地球是一個(gè)半徑為R的球體。在地理信息系統(tǒng)中，經(jīng)常需要將地球表面上的點(diǎn)投影到平面上。請(qǐng)結(jié)合微分幾何的知識(shí)，分析不同地圖投影方法的優(yōu)缺點(diǎn)，并討論如何選擇合適的地圖投影方法來滿足不同的應(yīng)用需求。試卷答案一、簡(jiǎn)答題1.曲線的切向量：曲線r(t)在t=t0處的切向量定義為r'(t0)，其方向與曲線在該點(diǎn)的切線方向相同。主法向量是曲線在該點(diǎn)密切圓的的法向量，指向曲線的凹側(cè)。副法向量是切向量與主法向量的叉積，垂直于切向量。三者構(gòu)成一個(gè)正交基。2.曲面切平面和法向量：曲面S在一點(diǎn)P處的切平面是由過點(diǎn)P且在曲面S上所有曲線的切向量張成的平面。法向量是垂直于該切平面的向量，其方向由第二基本形式的符號(hào)決定。切平面和法向量用于描述曲面在一點(diǎn)處的局部形狀。3.高斯曲率：高斯曲率K是曲面在一點(diǎn)處兩個(gè)主曲率的乘積，K=k1*k2。它描述了曲面在該點(diǎn)處彎曲的程度，正值表示兩個(gè)主方向均彎曲，負(fù)值表示一個(gè)主方向彎曲而另一個(gè)反彎曲，零值表示曲面在該點(diǎn)處平坦。高斯曲率是刻畫曲面形狀的重要不變量。4.微分幾何在地圖投影中的應(yīng)用：微分幾何用于分析地圖投影中地球表面（通常視為球面或橢球面）到平面的變形。通過計(jì)算經(jīng)緯度坐標(biāo)的微分變換，可以得到經(jīng)向伸縮率、緯向伸縮率和角度變形等，這些參數(shù)用于評(píng)估投影的變形性質(zhì)。常見的地圖投影如墨卡托投影，利用微分幾何原理進(jìn)行設(shè)計(jì)，并分析其變形特性。二、計(jì)算題1.切向量：r'(t)=(2t,3t^2,1)。在t=1處，r'(1)=(2,3,1)。主法向量：首先計(jì)算Frenet-Serret標(biāo)架。單位切向量T=r'(1)/||r'(1)||=(2/√14,3/√14,1/√14)。計(jì)算曲率κ=||r''(1)||/||r'(1)||^3=||(2,6t,0)|_{t=1}||/||r'(1)||^3=√(2^2+6^2)/(√14)^3=√40/14√14=√10/7√7。副法向量B=T×r'(1)/||r'(1)||=(2/√14,3/√14,1/√14)×(2,3,1)/√14=(-3/7,2/7,-√14/7)。主法向量N=B×T=(-3/7,2/7,-√14/7)×(2/√14,3/√14,1/√14)=(-5/7,-2/7,13/(7√14))。2.第一基本形式：E=x_u^2+y_u^2+z_u^2=cos^2v+u^2sin^2v+1,F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v=-usinvcosv+usinvcosv+0=0,G=x_v^2+y_v^2+z_v^2=u^2cos^2v+u^2sin^2v+1=u^2+1。在(u,v)=(1,0)處，E=2,F=0,G=2。第一基本形式為I=2du^2+2dv^2。第二基本形式：計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)：x_u=(cosv,-usinv,0),x_v=(-usinv,cosv,1),xUU=(0,-sinv,0),xUV=(sinv,-cosv,0),xVV=(0,0,0)。計(jì)算L=xUU?x_u=0,M=xUV?x_u=-sinv,N=xVV?x_u=0。在(u,v)=(1,0)處，L=0,M=0,N=0。第二基本形式為II=0du^2+0dudv+0dv^2=0。3.高斯曲率：計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)：x_u=(2u,2v,0),x_v=(0,2u,2)。計(jì)算xUU=(2,0,0),xUV=(0,2,0),xVV=(0,0,2)。計(jì)算第一基本形式系數(shù)：E=4u^2+4v^2,F=0,G=4u^2+4v^2。計(jì)算xUU=(2,0,0),xUV=(0,2,0),xVV=(0,0,2)。計(jì)算第二基本形式系數(shù)：L=xUU?x_u/||x_u||=(2,0,0)?(2u,2v,0)/(2√(u^2+v^2))=2/√(u^2+v^2),M=xUV?x_u/||x_u||=(0,2,0)?(2u,2v,0)/(2√(u^2+v^2))=2/√(u^2+v^2),N=xVV?x_u/||x_u||=(0,0,2)?(2u,2v,0)/(2√(u^2+v^2))=2/√(u^2+v^2)。計(jì)算行列式det(xUU,xUV,xVV)=|200|=4。高斯曲率K=(LN-M^2)/(EG-F^2)=((2/√(u^2+v^2))*(2/√(u^2+v^2))-(2/√(u^2+v^2))^2)/((4u^2+4v^2)(4u^2+4v^2)-0)=(4/(u^2+v^2)-4/(u^2+v^2))/(16(u^2+v^2)^2)=0/(16(u^2+v^2)^2)=0。另一種方法是利用球面方程x^2+y^2+z^2=R^2，計(jì)算H=(eG-2fF+gE)/(2(EG-F^2))=(4u^2+4v^2-0+4u^2+4v^2)/(2(16(u^2+v^2)^2))=8(u^2+v^2)/(32(u^2+v^2)^2)=1/(4(u^2+v^2))。計(jì)算K=H^2-H=(1/(4(u^2+v^2)))^2-1/(4(u^2+v^2))=1/(16(u^2+v^2)^2)-1/(4(u^2+v^2))=1/(16(u^2+v^2)^2)-4/(16(u^2+v^2)^2)=-3/(16(u^2+v^2)^2)。在球面上，u^2+v^2=R^2cos^2φ，所以K=-3/(16(R^2cos^2φ)^2)=-3/(16R^4cos^4φ)。在赤道(φ=0)處，K=0；在北極或南極(φ=π/2)處，K=-3/(16R^4)。但通常指任意點(diǎn)的高斯曲率，應(yīng)使用前一種結(jié)果K=0。這里計(jì)算有誤，應(yīng)為K=(LN-M^2)/(EG-F^2)=((2/√(u^2+v^2))*(2/√(u^2+v^2))-(2/√(u^2+v^2))^2)/((4u^2+4v^2)(4u^2+4v^2)-0)=0。根據(jù)球面方程，正確的高斯曲率應(yīng)為K=1/R^2。4.伸縮率：經(jīng)向伸縮率m_φ=|?φ'/?φ|/|?φ/?φ|=|dφ'/dφ|=|(1/cosφ)/(cosφ)|=1/cos^2φ。緯向伸縮率m_λ=|?λ'/?λ|/|?λ/?λ|=|dλ'/dλ|=|λ|=1。在φ=45°,λ=30°處，cos45°=√2/2。經(jīng)向伸縮率m_φ=1/(cos^245°)=1/((√2/2)^2)=1/(1/2)=2。緯向伸縮率m_λ=1。三、應(yīng)用題1.微分幾何概念用于地形分析：曲率（主曲率）可以用于分析地形坡度變化，高斯曲率可以用于識(shí)別地形特征（如山頂、山谷）。曲率半徑可以用于分析地形平緩或陡峭的程度。測(cè)地線可以用于規(guī)劃最短或最直接的路徑。微分形式可以用于計(jì)算地形坡度和梯度。例如，利用地形數(shù)據(jù)計(jì)算曲率，可以識(shí)別陡峭區(qū)域和潛在的危險(xiǎn)地帶；利用測(cè)地線可以規(guī)劃避開障礙物的最佳路徑。2.微分幾何用于路徑規(guī)劃：曲率可以用于評(píng)估路徑的急轉(zhuǎn)彎程度。高斯曲率可以用于分析路徑所在地形表面的彎曲特性。測(cè)地線原理可以用于尋找大范圍內(nèi)最短路徑。Frenet-Serret標(biāo)架可以用于描述路徑的方向和姿態(tài)變化。例如，利用曲率信息可以避免路徑中出現(xiàn)過于急促的轉(zhuǎn)彎，利用測(cè)地線原理可以在全球范圍內(nèi)規(guī)劃大跨度飛行或航行的最優(yōu)路徑，利用地形的高斯曲率可以設(shè)計(jì)適應(yīng)復(fù)雜地形的路徑。四、綜合題地球模型為球體，微分幾何概念如球面坐標(biāo)系、曲率、測(cè)地線等是基礎(chǔ)。地圖投影是將球面（或橢球面）上的點(diǎn)映射到平面上，必然存在變形，包括長(zhǎng)度、面積、