2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——最優(yōu)化方法在工程問題中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共30分。請將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號內(nèi)）1.下列哪個(gè)條件是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x*處取得局部最優(yōu)解的必要條件？（）A.?f(x*)=0B.Hessian矩陣?2f(x*)正定C.函數(shù)在x*處取得極小值D.x*是函數(shù)的駐點(diǎn)2.在梯度下降法中，選擇合適的步長λ是保證算法收斂的關(guān)鍵因素之一。以下哪種方法不屬于調(diào)整步長λ的策略？（）A.固定步長法B.迭代次數(shù)衰減步長法C.信賴域方法D.共軛梯度法3.對于線性規(guī)劃問題，如果其可行域有界，則其目標(biāo)函數(shù)一定可以在可行域的頂點(diǎn)上取得最優(yōu)解。（）A.正確B.錯(cuò)誤4.在使用KKT條件判斷非線性約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解時(shí)，下列哪個(gè)條件必須滿足？（）A.目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)均為線性函數(shù)B.函數(shù)一階連續(xù)可微C.約束是線性的D.目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)5.下列哪種優(yōu)化方法屬于啟發(fā)式算法？（）A.牛頓法B.擬牛頓法（DFP）C.遺傳算法D.信賴域方法6.對于一個(gè)無約束優(yōu)化問題，如果目標(biāo)函數(shù)是嚴(yán)格凸函數(shù)，則該問題存在唯一全局最優(yōu)解，并且任何局部最優(yōu)解都是全局最優(yōu)解。（）A.正確B.錯(cuò)誤7.在求解帶不等式約束的優(yōu)化問題時(shí)，罰函數(shù)法通過引入懲罰項(xiàng)將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束。（）A.正確B.錯(cuò)誤8.單純形法主要用于求解（）。A.無約束優(yōu)化問題B.約束優(yōu)化問題C.線性規(guī)劃問題D.非線性規(guī)劃問題9.如果一個(gè)優(yōu)化算法的收斂速度為二次收斂，那么該算法在接近最優(yōu)解時(shí)，迭代點(diǎn)序列的誤差大致呈平方關(guān)系下降。（）A.正確B.錯(cuò)誤10.在工程設(shè)計(jì)中，如果需要同時(shí)優(yōu)化多個(gè)相互沖突的目標(biāo)，則可能需要采用（）。A.約束優(yōu)化方法B.無約束優(yōu)化方法C.多目標(biāo)優(yōu)化方法D.凸優(yōu)化方法二、填空題（每小題3分，共30分。請將答案填在題后的橫線上）1.對于無約束優(yōu)化問題，如果函數(shù)f(x)在x*處具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足________，則x*是函數(shù)f(x)的局部極小值點(diǎn)。2.在梯度下降法中，每次迭代方向沿著________的反方向。3.判斷一個(gè)無約束優(yōu)化問題局部最優(yōu)解是否也是全局最優(yōu)解的一個(gè)充分條件是：如果目標(biāo)函數(shù)是________函數(shù)。4.對于線性規(guī)劃問題Ax≤b,x≥0，其中A為m×n矩陣，如果m<n，則該問題的可行域________（填“有界”或“無界”）。5.KKT條件是連接________最優(yōu)性條件與約束優(yōu)化問題最優(yōu)性條件之間橋梁的重要數(shù)學(xué)工具。6.在使用懲罰函數(shù)法求解不等式約束優(yōu)化問題minf(x)s.t.gi(x)≤0(i=1,2,...,m)時(shí)，懲罰項(xiàng)通常構(gòu)造為________的形式，其中ρ>0是懲罰因子。7.遺傳算法通過模擬生物進(jìn)化過程，主要運(yùn)用________、交叉和變異三種遺傳算子來搜索最優(yōu)解。8.牛頓法利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)信息，其迭代公式通常為________，其中H(x)是Hessian矩陣。9.對于二次規(guī)劃問題min?x?Qx+c?xs.t.Ax=b,x≥0，如果矩陣Q正定，則該問題保證是________問題。10.在將工程問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化模型時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建通常需要明確________，而約束條件的設(shè)定則需要反映________。三、計(jì)算題（共4小題，共60分）1.（15分）考慮無約束優(yōu)化問題：minf(x)=x?2+2x?2-4x?x?，其中x=(x?,x?)?。（1）求函數(shù)f(x)的梯度?f(x)和Hessian矩陣?2f(x)。（2）從初始點(diǎn)x?=(1,1)?開始，使用梯度下降法（步長λ=0.5）進(jìn)行兩次迭代，計(jì)算新的迭代點(diǎn)x?和x?。（3）判斷函數(shù)在點(diǎn)x?處是否為嚴(yán)格局部極小值點(diǎn)。2.（15分）求解下列線性規(guī)劃問題：maxz=3x?+5x?s.t.x?+x?≤42x?+x?≤6x?,x?≥0（1）用圖解法求該問題的最優(yōu)解和最優(yōu)值。（2）寫出該問題的標(biāo)準(zhǔn)形式。3.（15分）考慮約束優(yōu)化問題：minf(x)=x?2+x?2s.t.g(x)=x?+x?-1=0，其中x=(x?,x?)?。（1）寫出該問題的KKT條件。（2）假設(shè)x*是該問題的最優(yōu)解，試用KKT條件求解x*。4.（15分）考慮約束優(yōu)化問題：minf(x)=x?2+2x?2s.t.g(x)=x?+x?-2≤0,x?,x?≥0。（1）構(gòu)造該問題的增廣拉格朗日函數(shù)（ALM）。（2）簡述基于增廣拉格朗日函數(shù)的序列無約束最小化方法（SALM）的基本思想。四、綜合應(yīng)用題（15分）某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每單位產(chǎn)品A需要消耗原材料1噸，需要機(jī)器加工時(shí)間2小時(shí)，利潤為200元；每單位產(chǎn)品B需要消耗原材料1.5噸，需要機(jī)器加工時(shí)間1小時(shí)，利潤為150元。工廠每周可獲取的原材料最多為100噸，機(jī)器總加工時(shí)間最多為40小時(shí)。為了最大化工廠的周利潤，工廠應(yīng)如何安排兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃？（1）建立該問題的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型（包括目標(biāo)函數(shù)和約束條件）。（2）假設(shè)該問題是線性規(guī)劃問題，請說明該問題是否為凸規(guī)劃問題？為什么？---試卷答案一、選擇題1.A2.A3.A4.B5.C6.A7.B8.C9.A10.C二、填空題1.?2f(x*)負(fù)定（或Hessian矩陣?2f(x*)負(fù)定）2.梯度f(x)3.凸4.無界5.無約束6.-ρ∑[max(0,-gi(x))]2或ρ∑[max(0,gi(x))]2(注意符號，后者更常見)7.選擇8.x?=x???-H?1(x???)?f(x???)9.凸10.優(yōu)化目標(biāo)/目標(biāo)函數(shù)值；工程限制/實(shí)際約束三、計(jì)算題1.（1）?f(x)=(2x?-4x?,4x?-4x?)?；?2f(x)=[[2,-4],[-4,4]]（2）x?=(1,1)?,?f(x?)=(-2,0)?；x?=x?-0.5?f(x?)=(1+1,1)?=(2,1)?；x?=x?-0.5?f(x?)=(2,1)?-0.5(-2,-4)?=(3,3)?（3）f(2,1)=1+2-8=-5；f(3,3)=9+18-36=-9。f(x)在(3,3)處的值為-9，小于在x?處的值-5，且Hessian矩陣?2f(x)=[[2,-4],[-4,4]]的特征值為6和-2，一個(gè)正一個(gè)負(fù)，故為不嚴(yán)格正定矩陣。因此x?不是嚴(yán)格局部極小值點(diǎn)。（注：嚴(yán)格來說，若Hessian正定則嚴(yán)格局部極小，負(fù)定則嚴(yán)格局部極大，不定則鞍點(diǎn)。此處x?是鞍點(diǎn)。）2.（1）最優(yōu)解為x?=2,x?=2,最優(yōu)值z=3*2+5*2=16。圖解法需繪制約束邊界及可行域，交點(diǎn)(2,2)為最優(yōu)解。（2）標(biāo)準(zhǔn)形式：min-3x?-5x?s.t.x?+x?+x?=4,2x?+x?+x?=6,x?,x?,x?,x?≥0。3.（1）KKT條件：?f(x)+λ?g(x)=0;g(x)=0;λ≥0;λg(x)=0。即(2x?,2x?)?+λ(x?+x?)=0;x?+x?=1;λ≥0;λ(1)=0。（2）由λ(1)=0可知λ=0。將λ=0代入?f(x)+λ?g(x)=0，得(2x?,2x?)?=0。解得x?=0,x?=0。但x?+x?=0≠1，故λ=0時(shí)KKT條件不滿足。必須λ>0。由?f(x)+λ?g(x)=0得2x?+λx?=0且2x?+λx?=0，即x?(2+λ)=0且x?(2+λ)=0。由于λ>0，必有x?=0,x?=0。但這與g(x)=x?+x?-1=0矛盾。這說明該問題在KKT條件下無解。（注：此題構(gòu)造的例子本身可能存在問題，標(biāo)準(zhǔn)約束優(yōu)化問題在KKT條件下通常有解，除非問題無解或解位于退化點(diǎn)。）4.（1）增廣拉格朗日函數(shù)：ALM(x,λ,μ)=f(x)+λg(x)+?μ2max(0,g(x))2=x?2+2x?2+λ(x?+x?-2)+?μ2(max(0,x?+x?-2)2)。（2）SALM思想：固定懲罰因子ρ（對應(yīng)μ2），懲罰參數(shù)λ和ρ。外循環(huán)：固定λ和ρ，將原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束問題：minALM(x,λ,ρ)。使用無約束優(yōu)化算法（如梯度下降）求解此增廣拉格朗日函數(shù)的最小值點(diǎn)x(k)。內(nèi)循環(huán)：固定x(k)和ρ，更新