2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在生態(tài)學(xué)與環(huán)境保護(hù)中的實(shí)踐應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述微分方程在描述種群增長過程中的作用，并說明邏輯斯蒂增長模型與指數(shù)增長模型的主要區(qū)別及其生態(tài)學(xué)意義。二、考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的生態(tài)網(wǎng)絡(luò)，包含捕食者A、被捕食者B和其食物C。假設(shè)存在A捕食B的相互作用，B消耗C的相互作用，但沒有A與C的直接相互作用。請(qǐng)嘗試用圖論的語言描述這個(gè)生態(tài)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，并解釋圖中節(jié)點(diǎn)和邊的含義。若要分析該網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征（如連通性、中心性等），可能會(huì)用到哪些數(shù)學(xué)工具？三、某區(qū)域水體中某種污染物的濃度隨時(shí)間變化符合如下一階線性微分方程模型：dy/dt+0.1y=0.05其中，y(t)表示t時(shí)刻的污染物濃度（單位：mg/L），初始時(shí)刻t=0時(shí)，水體中的污染物濃度為y(0)=10mg/L。（1）請(qǐng)建立該微分方程的通解表達(dá)式。（2）分析該模型的平衡解及其穩(wěn)定性，并解釋其生態(tài)或環(huán)境意義（例如，污染物濃度最終會(huì)趨于一個(gè)穩(wěn)定值嗎？）。四、為了研究某種珍稀鳥類的種群動(dòng)態(tài)，研究人員在不同年份對(duì)鳥巢數(shù)量進(jìn)行了調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下（假設(shè)時(shí)間序列為t=1,2,3,...,n）：巢數(shù)量：50,55,60,58,65,70,72,75,78請(qǐng)使用最小二乘法擬合一個(gè)線性回歸模型來描述鳥巢數(shù)量隨時(shí)間的變化趨勢(shì)。寫出回歸方程的一般形式，并說明回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。在描述該鳥類種群增長趨勢(shì)時(shí)，線性回歸模型有何局限性？五、在一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)內(nèi)，為了監(jiān)測(cè)某種入侵植物的生長擴(kuò)散情況，研究人員建立了如下的擴(kuò)散模型（二維偏微分方程）：?u/?t=D(?2u/?x2+?2u/?y2)+ru(1-u/K)其中，u(x,y,t)表示t時(shí)刻位置(x,y)處入侵植物的密度，D是擴(kuò)散系數(shù)，r是內(nèi)稟增長率，K是環(huán)境容納量。請(qǐng)解釋該模型中各項(xiàng)的物理或生態(tài)學(xué)意義。若要數(shù)值求解此模型，描述其基本思想，并說明需要確定的初始條件和邊界條件。六、假設(shè)某河流受到上游工廠排放的工業(yè)廢水污染。為了評(píng)估污染帶的擴(kuò)散范圍，建立了如下的一維污染擴(kuò)散模型：?C/?t=D?2C/?x2-v?C/?x其中，C(x,t)是t時(shí)刻距離排污口x處的水體污染物濃度，D是污染物的彌散系數(shù)，v是河流的流速。（1）請(qǐng)解釋模型中各項(xiàng)的含義。（2）若已知初始時(shí)刻（t=0）排污口附近污染物濃度很高，而下游較遠(yuǎn)處濃度為零，請(qǐng)用文字描述此初始條件。（3）簡(jiǎn)述如何定性分析該模型中污染物濃度峰值隨時(shí)間的變化趨勢(shì)（無需具體求解方程）。七、某漁業(yè)資源管理部門希望制定一個(gè)可持續(xù)的捕撈策略。已知某種魚類的種群增長符合邏輯斯蒂模型，且通過調(diào)查確定了該魚類的最大可持續(xù)產(chǎn)量（MSY）對(duì)應(yīng)的捕撈率等于內(nèi)稟增長率r。請(qǐng)基于此信息，推導(dǎo)出實(shí)現(xiàn)最大可持續(xù)產(chǎn)量的理想捕撈努力量（即捕撈強(qiáng)度）應(yīng)是多少？并說明如果捕撈強(qiáng)度超過這個(gè)理想值，對(duì)種群和環(huán)境可能產(chǎn)生什么影響。八、在評(píng)估一個(gè)生態(tài)恢復(fù)項(xiàng)目的效果時(shí)，研究人員收集了項(xiàng)目實(shí)施前后多個(gè)環(huán)境指標(biāo)的數(shù)據(jù)。為了量化項(xiàng)目帶來的變化，可以考慮使用以下幾種統(tǒng)計(jì)方法：（1）成對(duì)樣本t檢驗(yàn)（2）方差分析（ANOVA）（3）Spearman秩相關(guān)系數(shù)請(qǐng)簡(jiǎn)要說明在什么情況下適合選用上述方法之一，并解釋其基本原理（例如，該方法用于檢驗(yàn)什么問題？需要滿足哪些前提條件？）。試卷答案一、微分方程能夠描述種群數(shù)量隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化的關(guān)系，是研究生態(tài)學(xué)中種群增長、衰減、相互作用等過程的核心數(shù)學(xué)工具。邏輯斯蒂增長模型考慮了環(huán)境容納量K的限制，其方程為dN/dt=rN(1-N/K)，其中N為種群數(shù)量，r為內(nèi)稟增長率。它與指數(shù)增長模型（dN/dt=rN）的主要區(qū)別在于：指數(shù)增長模型假設(shè)資源無限，種群增長率恒定；而邏輯斯蒂增長模型則認(rèn)為隨著種群密度增加，增長速率會(huì)因環(huán)境阻力而下降。生態(tài)學(xué)意義在于，邏輯斯蒂模型更符合自然界中大多數(shù)種群的實(shí)際增長規(guī)律，揭示了種群增長并非無限，而是會(huì)趨于一個(gè)環(huán)境容納量的穩(wěn)定狀態(tài)。二、該生態(tài)網(wǎng)絡(luò)可以用一個(gè)有向圖G=(V,E)表示，其中V是節(jié)點(diǎn)集合，代表物種A、B、C；E是有向邊集合，代表物種間的相互作用。例如，若A捕食B，則有一條有向邊從節(jié)點(diǎn)B指向節(jié)點(diǎn)A（B->A）；若B消耗C，則有一條有向邊從節(jié)點(diǎn)C指向節(jié)點(diǎn)B（C->B）。節(jié)點(diǎn)表示物種，有向邊表示物種間的能量流動(dòng)或相互作用方向。分析該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可能用到的數(shù)學(xué)工具包括：圖論中的路徑分析（如食物鏈長度）、連通性分析（整個(gè)生態(tài)系統(tǒng)是否“一體化”）、中心性度量（如度中心性、接近中心性，識(shí)別關(guān)鍵物種）以及網(wǎng)絡(luò)韌性分析等。三、（1）通解表達(dá)式：dy/dt+0.1y=0.05是一階線性微分方程。使用積分因子法求解。積分因子μ(t)=e^(∫0.1dt)=e^(0.1t)。將方程兩邊乘以μ(t)：e^(0.1t)dy/dt+0.1e^(0.1t)y=0.05e^(0.1t)。左邊變?yōu)?e^(0.1t)y)'=0.05e^(0.1t)。對(duì)兩邊積分：∫(e^(0.1t)y)'dt=∫0.05e^(0.1t)dt。e^(0.1t)y=0.05*(e^(0.1t))/0.1+C=0.5e^(0.1t)+C。通解：y(t)=0.5+Ce^(-0.1t)。（2）平衡解與穩(wěn)定性：令dy/dt=0，得到0.1y=0.05，解得平衡解y*=0.5。將通解y(t)=0.5+Ce^(-0.1t)代入原方程的左邊：d/dt(0.5+Ce^(-0.1t))+0.1(0.5+Ce^(-0.1t))=0+0.05e^(-0.1t)+0.05+0.1Ce^(-0.1t)=0.05(1+e^(-0.1t))+0.1Ce^(-0.1t)。當(dāng)t→∞時(shí)，e^(-0.1t)→0，上式趨于0.05+0.1C*0=0.05≠0。因此，該平衡解y*=0.5不穩(wěn)定。若將y(t)=0.5+Ce^(-0.1t)代入原方程左邊，分析其隨時(shí)間衰減情況：d/dt(0.5+Ce^(-0.1t))+0.1(0.5+Ce^(-0.1t))=0.05e^(-0.1t)+0.05+0.1Ce^(-0.1t)=0.05(1+e^(-0.1t))+0.1Ce^(-0.1t)。當(dāng)t→∞時(shí)，該表達(dá)式中含有Ce^(-0.1t)項(xiàng)，該項(xiàng)隨時(shí)間指數(shù)衰減。如果初始條件C≠0，則該表達(dá)式不為零，但包含衰減項(xiàng)。更準(zhǔn)確的穩(wěn)定性分析應(yīng)考察特征方程或直接求解Lyapunov函數(shù)，但直觀上，由于增長項(xiàng)（ru(1-N/K)）在N略大于K時(shí)變?yōu)樨?fù)，平衡點(diǎn)K是穩(wěn)定的。此題模型形式為dy/dt=ay(1-y/K)，平衡解K是穩(wěn)定的。因此，原題模型平衡解0.5不穩(wěn)定推斷有誤，可能是模型形式記法或參數(shù)設(shè)置問題。若模型確為dy/dt+0.1y=0.05，則平衡解y*=0.5，且由于增長項(xiàng)始終為正，此平衡解是穩(wěn)定的。此處按原題問法，若需穩(wěn)定則平衡解應(yīng)為K。假設(shè)題目意圖平衡解為K=5，則需微分方程為dy/dt=0.1y(1-y/5)。按此穩(wěn)定平衡解K=5分析，其穩(wěn)定，意味著污染物濃度會(huì)趨于5mg/L。生態(tài)意義是存在一個(gè)環(huán)境容量或清除/排放與輸入達(dá)到平衡狀態(tài)。四、（1）線性回歸模型的一般形式為y=β?+β?x+ε，其中y是因變量（鳥巢數(shù)量），x是自變量（時(shí)間），β?是截距，β?是斜率（表示增長趨勢(shì)），ε是誤差項(xiàng)。最小二乘法擬合過程是找到β?和β?的估計(jì)值(β??,β??)，使得所有觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(x?,y?)到回歸直線的垂直距離平方和最小，即最小化∑(y?-(β??+β??x?))2。回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義：β??表示自變量x每變化一個(gè)單位時(shí)，因變量y的平均變化量。在時(shí)間序列中，β??表示單位時(shí)間（如一年）鳥巢數(shù)量的平均變化量。β??表示當(dāng)時(shí)間x=0時(shí)鳥巢數(shù)量的估計(jì)值。（2）線性回歸模型的局限性：該模型假設(shè)因變量與自變量之間存在線性關(guān)系。如果鳥巢數(shù)量隨時(shí)間的變化呈現(xiàn)非線性趨勢(shì)（如S形曲線、周期性波動(dòng)），則線性回歸可能無法準(zhǔn)確捕捉真實(shí)關(guān)系，導(dǎo)致預(yù)測(cè)誤差較大。此外，線性回歸假設(shè)誤差項(xiàng)ε服從正態(tài)分布，方差恒定，且不存在多重共線性等。在生態(tài)學(xué)數(shù)據(jù)中，這些假設(shè)可能并不總是滿足。五、該模型中各項(xiàng)的含義：*?u/?t：表示物種入侵植物的密度在位置(x,y)處隨時(shí)間t的變化率。*D(?2u/?x2+?2u/?y2)：表示由于濃度梯度導(dǎo)致的擴(kuò)散項(xiàng)。?2u/?x2和?2u/?y2分別是u在x和y方向上的二階空間導(dǎo)數(shù)，代表濃度在空間上的曲率。D是擴(kuò)散系數(shù)，衡量物質(zhì)擴(kuò)散的難易程度。整個(gè)擴(kuò)散項(xiàng)描述了污染物或物種因濃度差異而從高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域擴(kuò)散的過程。*ru(1-u/K)：表示物種自身的增長（或衰減）項(xiàng)。r是內(nèi)稟增長率，描述在沒有空間限制和競(jìng)爭(zhēng)的理想條件下種群的增長速率。u是當(dāng)前密度，u/K是相對(duì)密度。括號(hào)內(nèi)的(1-u/K)體現(xiàn)了環(huán)境容納量的影響，當(dāng)密度u遠(yuǎn)小于K時(shí)，該項(xiàng)接近1，增長接近指數(shù)；當(dāng)u接近K時(shí)，該項(xiàng)趨近于0，增長受到抑制。生態(tài)學(xué)上，這代表了物種在有限空間內(nèi)的增長邏輯斯蒂過程。初始條件：通常描述為u(x,y,0)=f(x,y)，表示t=0時(shí)刻，整個(gè)空間中各點(diǎn)入侵植物的初始密度分布。例如，f(x,y)=0(x,y)∈Ω'，(x,y)∈Ω''(Ω為研究區(qū)域，Ω'為初始污染/入侵區(qū)域，Ω''為其外)。邊界條件：描述在研究區(qū)域的邊界上u的行為。例如，固定邊界濃度：u|?Ω=g(x,y,t)(如假設(shè)在很遠(yuǎn)邊界處u=0)，或絕熱/無通量邊界：?u/?n|?Ω=0(在邊界上法向?qū)?shù)為零，表示物質(zhì)不通過邊界進(jìn)出)。六、（1）模型中各項(xiàng)的含義：*?C/?t：表示在位置x處水體污染物濃度C隨時(shí)間t的變化率。*D?2C/?x2：表示由于污染物濃度梯度導(dǎo)致的縱向擴(kuò)散項(xiàng)。?2C/?x2是污染物濃度沿河流方向（x方向）的二階空間導(dǎo)數(shù)。D是污染物的彌散系數(shù)，衡量污染物在橫向和縱向混合擴(kuò)散的能力。整個(gè)擴(kuò)散項(xiàng)描述了污染物在河流中因濃度差異而從高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域擴(kuò)散混合的過程。*-v?C/?x：表示由于河流流動(dòng)導(dǎo)致的對(duì)流（或平流）項(xiàng)。-v是河流在x方向的速度。?C/?x是污染物濃度沿河流方向的變化率。整個(gè)對(duì)流項(xiàng)描述了污染物被河流流動(dòng)帶著向下游遷移的過程。負(fù)號(hào)表示污染物隨時(shí)間推移向下游（x增大方向）移動(dòng)。（2）初始條件：u(x,0)=g(x)，描述t=0時(shí)刻，污染物濃度在空間上的分布。例如，假設(shè)排污口位于x=x?，且排污口附近污染物濃度很高，而下游較遠(yuǎn)處濃度為零，則初始條件可表示為：u(x,0)={C?,|x-x?|≤δ;0,|x-x?|>δ}，其中C?是高濃度，δ是排污口影響范圍。（3）定性分析污染物濃度峰值變化趨勢(shì)：對(duì)污染物濃度峰值C_peak(t)隨時(shí)間t的變化，可以考慮其時(shí)間導(dǎo)數(shù)dC_peak/dt。利用對(duì)流-擴(kuò)散方程，可以分析：dC_peak/dt≈D(?2C/?x2)?+(-v?C/?x)?其中(?2C/?x2)?和(-v?C/?x)?分別表示在峰值位置x_peak(t)處，擴(kuò)散項(xiàng)和對(duì)流項(xiàng)對(duì)濃度變化率的貢獻(xiàn)。*若擴(kuò)散項(xiàng)貢獻(xiàn)占主導(dǎo)且為正，峰值會(huì)逐漸“展寬”并可能降低。*若對(duì)流項(xiàng)貢獻(xiàn)占主導(dǎo)且為負(fù)，峰值會(huì)隨時(shí)間向下游移動(dòng)。綜合來看，污染物擴(kuò)散使其展寬，而河流流動(dòng)使其向下游移動(dòng)。峰值的具體形態(tài)和大小變化取決于D、v以及初始濃度的分布形狀。通常情況下，隨著時(shí)間的推移，污染帶會(huì)逐漸彌散，峰值濃度會(huì)下降，并向下遷移。七、對(duì)于邏輯斯蒂增長模型dN/dt=rN(1-N/K)，最大可持續(xù)產(chǎn)量（MSY）發(fā)生在種群增長率達(dá)到最大值時(shí)。種群增長率G(N)=rN(1-N/K)。對(duì)G(N)求導(dǎo)并令其為零：dG/dN=r(1-2N/K)=0。解得N=K/2。將N=K/2代入G(N)得到最大增長率：G_max=r(K/2)(1-K/2K)=r(K/2)(1/2)=rK/4。根據(jù)題意，MSY對(duì)應(yīng)的捕撈率等于內(nèi)稟增長率r，即捕撈率=r。當(dāng)捕撈率等于內(nèi)稟增長率時(shí)，凈增長率為零，即dN/dt=rN(1-N/K)-捕撈率=0。令捕撈率=r，得：rN(1-N/K)-r=0。N(1-N/K)=1。1-N/K=1/N。N2/K-N+1=0。此方程無正實(shí)數(shù)解。這意味著在邏輯斯蒂模型框架下，如果要求捕撈率等于內(nèi)稟增長率r來獲得MSY，是無法實(shí)現(xiàn)的。通常，MSY是在種群數(shù)量為環(huán)境容納量一半（N=K/2）時(shí)獲得的，此時(shí)理論最大可持續(xù)捕撈率是rK/2。如果題目意圖是捕撈率等于最大可能凈增長率（即rK/4），則對(duì)應(yīng)的理想捕撈努力量應(yīng)使總捕撈率等于rK/4。捕撈努力量與總捕撈率成正比，所以理想捕撈努力量為最大可能凈增長率對(duì)應(yīng)的捕撈努力量。如果題目意圖捕撈率等于最大瞬時(shí)增長率（rK/2），則此時(shí)的捕撈努力量對(duì)應(yīng)的種群數(shù)量為K/2。此時(shí)若捕撈率等于r，則N(r-N/K)