2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)與生物學(xué)的交叉應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、已知某種細(xì)菌種群數(shù)量\(N(t)\)隨時(shí)間\(t\)的變化符合Logistic模型：\[\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)\]其中\(zhòng)(r\)是內(nèi)稟增長率，\(K\)是環(huán)境容納量。若初始時(shí)刻\(t=0\)時(shí)種群數(shù)量為\(N(0)\)，求該細(xì)菌種群數(shù)量\(N(t)\)隨時(shí)間\(t\)的變化表達(dá)式。二、在一個(gè)包含A、B兩種基因型的隨機(jī)mating群體中，A基因型的頻率為\(p\)，B基因型的頻率為\(q=1-p\)。請(qǐng)推導(dǎo)子一代中雜合子AB的基因型頻率。三、考慮一個(gè)簡單的生態(tài)學(xué)模型，描述兩個(gè)捕食者（P1,P2）對(duì)其共同獵物（H）的捕食速率，假設(shè)獵物獨(dú)立增長，捕食者對(duì)獵物的捕食速率與獵物密度成正比，捕食者之間存在競爭關(guān)系。請(qǐng)嘗試建立一個(gè)描述該系統(tǒng)的常微分方程組。四、在一個(gè)基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)中，假設(shè)有三種蛋白質(zhì)A、B、C，它們之間的相互作用如下：蛋白質(zhì)A促進(jìn)蛋白質(zhì)B的產(chǎn)生，蛋白質(zhì)B抑制蛋白質(zhì)C的產(chǎn)生，蛋白質(zhì)C反過來抑制蛋白質(zhì)A的產(chǎn)生。請(qǐng)用微分方程（或邏輯方程）簡述這個(gè)調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的可能行為，并說明其中可能存在的正反饋或負(fù)反饋回路。五、給定數(shù)據(jù)點(diǎn)\((x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\)，我們希望找到一條直線\(y=wx+b\)來擬合這些數(shù)據(jù)，使得所有數(shù)據(jù)點(diǎn)到直線的垂直距離的平方和最小。請(qǐng)寫出該問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式（即目標(biāo)函數(shù)），并說明其屬于哪種優(yōu)化問題類型。六、在生物信息學(xué)中，常需要比對(duì)兩段DNA序列，以找出它們之間的相似性。一個(gè)簡單的比對(duì)方法是基于編輯距離（ED），即在將一個(gè)序列轉(zhuǎn)換為另一個(gè)序列的過程中，所需的最少單字符編輯操作（插入、刪除、替換）次數(shù)。請(qǐng)解釋編輯距離的基本思想，并說明如何使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想計(jì)算兩個(gè)長度分別為\(m\)和\(n\)的序列之間的編輯距離。七、設(shè)一個(gè)生物實(shí)驗(yàn)需要測(cè)量某個(gè)生理指標(biāo)，該指標(biāo)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，其中均值\(\mu\)是未知的，方差\(\sigma^2\)已知?，F(xiàn)獨(dú)立測(cè)量\(n\)次，得到樣本觀測(cè)值\(X_1,X_2,...,X_n\)。請(qǐng)寫出求該生理指標(biāo)均值\(\mu\)的最大似然估計(jì)量。八、考慮一個(gè)離散時(shí)間模型，描述一個(gè)物種的種群大小\(X_t\)在每一代的變化。假設(shè)每一代有比例\(p\)的個(gè)體存活到下一代，且每個(gè)存活的個(gè)體以概率\(q\)成功繁殖一個(gè)后代。請(qǐng)建立描述該種群動(dòng)態(tài)的遞推關(guān)系式，并分析當(dāng)\(t\to\infty\)時(shí)種群行為可能的長期趨勢(shì)（假設(shè)初始種群大小\(X_0>0\)）。試卷答案一、\[N(t)=\frac{KN(0)e^{rt}}{K+N(0)(e^{rt}-1)}\]解析：此題考查Logistic模型解的求解。首先分離變量：\[\frac{dN}{N(1-\frac{N}{K})}=r\,dt\]對(duì)兩邊積分。左側(cè)積分需要處理分母，分子視為1：\[\int\frac{1}{N(1-\frac{N}{K})}\,dN=\int\frac{1}{N}\,dN+\int\frac{1}{1-\frac{N}{K}}\,d(-\frac{N}{K})\]即：\[\int\frac{1}{N}\,dN+K\int\frac{1}{1-\frac{N}{K}}\,d(-\frac{N}{K})=\ln|N|-K\ln|1-\frac{N}{K}|=\ln\left|\frac{N}{1-\frac{N}{K}}\right|=\ln\left|\frac{KN}{K-N}\right|\]（注意：由于\(N>0,K>N\)，分母\(K-N\)始終為正，絕對(duì)值可去）右側(cè)積分：\[\intr\,dt=rt+C\]因此：\[\ln\left(\frac{KN}{K-N}\right)=rt+C\]指數(shù)化兩邊：\[\frac{KN}{K-N}=e^{rt+C}=e^Ce^{rt}\]令\(e^C=C_1\)，則：\[\frac{KN}{K-N}=C_1e^{rt}\]整理得到：\[N(K-N)=C_1Ke^{rt}\]\[KN-N^2=C_1Ke^{rt}\]\[N^2-KN+C_1Ke^{rt}=0\]這是一個(gè)關(guān)于\(N\)的二次方程。使用初始條件\(N(0)=N_0\)求解常數(shù)\(C_1\)：\[N_0^2-KN_0+C_1K=0\]\[C_1=\frac{KN_0-N_0^2}{K}=\frac{N_0(K-N_0)}{K}\]代入原方程：\[N^2-KN+\frac{N_0(K-N_0)}{K}Ke^{rt}=0\]\[N^2-KN+N_0(K-N_0)e^{rt}=0\]解此二次方程得\(N\)：\[N=\frac{K\pm\sqrt{K^2-4N_0(K-N_0)e^{rt}}}{2}\]由于\(N(t)\)隨時(shí)間增長且小于\(K\)，選擇負(fù)號(hào)根并簡化：\[N(t)=\frac{K-\sqrt{K^2-4N_0(K-N_0)e^{rt}}}{2}\]\[N(t)=\frac{K-\sqrt{K^2-4N_0K+4N_0^2e^{rt}}}{2}\]\[N(t)=\frac{K-\sqrt{(K-2N_0)^2e^{rt}}}{2}\]\[N(t)=\frac{K-(K-2N_0)e^{rt/2}}{2}\]\[N(t)=\frac{K-Ke^{rt/2}+2N_0e^{rt/2}}{2}\]\[N(t)=\frac{K(1-e^{rt/2})+2N_0e^{rt/2}}{2}\]\[N(t)=\frac{K+(2N_0-K)e^{rt/2}}{2}\]\[N(t)=\frac{K+N_0(e^{rt/2}-1)}{1+e^{rt/2}}\]\[N(t)=\frac{KN(0)e^{rt}}{K+N(0)(e^{rt}-1)}\]（此處用\(N_0\)代替\(N(0)\)以保持一致性）二、雜合子AB的基因型頻率為\(2pq\)。解析：此題考查哈迪-溫伯格平衡定律。在一個(gè)隨機(jī)mating的群體中，基因型頻率和等位基因頻率之間滿足：\[p^2+2pq+q^2=1\]\[p+q=1\]其中\(zhòng)(p\)是A基因型的頻率，\(q\)是B基因型的頻率。子一代中，等位基因A和B的頻率在隨機(jī)mating下保持不變，仍分別為\(p\)和\(q\)。雜合子AB是由一個(gè)A基因和一個(gè)B基因組成的個(gè)體。在子一代中，A基因可以與A基因或B基因結(jié)合，B基因可以與A基因或B基因結(jié)合。因此，產(chǎn)生AB后代的概率是：\[p\timesq+q\timesp=2pq\]由于子一代的基因型組合是獨(dú)立的，且每個(gè)組合出現(xiàn)的概率就是其基因型頻率，所以雜合子AB的基因型頻率就是\(2pq\)。三、一個(gè)可能的常微分方程組為：\[\frac{dH}{dt}=r_HH-\alpha_{P1}P_1H-\alpha_{P2}P_2H\]\[\frac{dP_1}{dt}=\beta_{P1}(\alpha_{P1}P_1H)-\delta_{P1}P_1\]\[\frac{dP_2}{dt}=\beta_{P2}(\alpha_{P2}P_2H)-\delta_{P1}P_2-\gammaP_1P_2\]其中\(zhòng)(H\)是獵物密度，\(P_1\)和\(P_2\)分別是兩種捕食者密度。\(r_H\)是獵物的內(nèi)稟增長率，\(K\)是環(huán)境容納量（未在方程中直接出現(xiàn)，但可能隱含在獵物增長項(xiàng)中，如\(r_HH(1-\frac{H}{K})\)）。\(\alpha_{P1}\),\(\alpha_{P2}\)分別是捕食者P1,P2對(duì)獵物的捕食率系數(shù)。\(\beta\)是捕食者成功轉(zhuǎn)化獵物為同種個(gè)體的效率。\(\delta_{P1}\),\(\delta_{P2}\)分別是P1,P2的死亡率。\(\gamma\)是P1和P2之間的競爭系數(shù)（表示P1對(duì)P2的抑制作用）。解析：此題考查建立生態(tài)學(xué)模型。首先建立獵物\(H\)的方程：獵物增長項(xiàng)：假設(shè)獵物獨(dú)立增長，可以設(shè)為\(r_HH\)或\(r_HH(1-\frac{H}{K})\)。捕食壓力項(xiàng)：每個(gè)P1捕食獵物的速率與獵物密度成正比，為\(\alpha_{P1}P_1H\)。每個(gè)P2也同理，為\(\alpha_{P2}P_2H\)。所以獵物方程為：\[\frac{dH}{dt}=r_HH-\alpha_{P1}P_1H-\alpha_{P2}P_2H\]其次建立捕食者P1的方程：增長項(xiàng)：P1通過捕食H增長。單位時(shí)間單位面積內(nèi)，P1捕食到的H數(shù)量是\(\alpha_{P1}P_1H\)。轉(zhuǎn)化為P1個(gè)體的效率為\(\beta\)。所以P1的增長項(xiàng)為\(\beta\alpha_{P1}P_1H\)。死亡率項(xiàng)：P1具有自然死亡率\(\delta_{P1}\)，所以死亡項(xiàng)為\(\delta_{P1}P_1\)。所以P1方程為：\[\frac{dP_1}{dt}=\beta_{P1}(\alpha_{P1}P_1H)-\delta_{P1}P_1\]最后建立捕食者P2的方程：增長項(xiàng)：同理，P2增長項(xiàng)為\(\beta_{P2}(\alpha_{P2}P_2H)\)。死亡項(xiàng)：P2具有自然死亡率\(\delta_{P2}\)，死亡項(xiàng)為\(\delta_{P2}P_2\)。競爭/抑制項(xiàng)：P1對(duì)P2存在競爭關(guān)系，即P1的存在會(huì)抑制P2的生存。這種抑制作用可以表示為P1和P2同時(shí)存在時(shí)，P2死亡率增加的量，與P1密度成正比，比例系數(shù)為\(\gamma\)。所以抑制項(xiàng)為\(-\gammaP_1P_2\)。所以P2方程為：\[\frac{dP_2}{dt}=\beta_{P2}(\alpha_{P2}P_2H)-\delta_{P2}P_2-\gammaP_1P_2\]四、該網(wǎng)絡(luò)可能存在負(fù)反饋回路。例如，蛋白質(zhì)C抑制蛋白質(zhì)A的產(chǎn)生（A->B->C->A的負(fù)反饋），這有助于維持系統(tǒng)的穩(wěn)定性。具體行為取決于各蛋白濃度、相互作用強(qiáng)度以及初始條件。如果正反饋存在（例如A促進(jìn)C，C促進(jìn)A），則可能導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)在兩種或多種穩(wěn)定狀態(tài)之間切換。解析：此題考查基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)分析。分析網(wǎng)絡(luò)中的相互作用：1.A促進(jìn)B：A+->B2.B抑制C：B+->C(抑制意味著箭頭指向C的負(fù)效應(yīng))3.C抑制A：C+->A(抑制意味著箭頭指向A的負(fù)效應(yīng))現(xiàn)在分析信號(hào)流向：*A通過B->C的路徑最終回到A，形成一個(gè)閉環(huán)：A+->B+->C+->A。這是一個(gè)典型的負(fù)反饋回路。負(fù)反饋通常起到穩(wěn)定系統(tǒng)、防止過度的作用。例如，當(dāng)A的水平過高時(shí)，通過B和C的作用，最終會(huì)抑制A的產(chǎn)生。*網(wǎng)絡(luò)中沒有明顯的正反饋回路（即信號(hào)不斷增強(qiáng)的回路）。如果存在正反饋（例如A促進(jìn)C，C促進(jìn)A），則可能導(dǎo)致系統(tǒng)在開關(guān)狀態(tài)之間切換。因此，該網(wǎng)絡(luò)主要包含一個(gè)負(fù)反饋回路（A->B->C->A），這可能有助于穩(wěn)定基因表達(dá)水平。系統(tǒng)的具體行為（如振蕩或穩(wěn)定狀態(tài)）取決于動(dòng)力學(xué)方程的詳細(xì)形式（如速率常數(shù)）和初始條件。五、目標(biāo)函數(shù)（最小化誤差平方和）為：\[S(w,b)=\sum_{i=1}^{n}(y_i-(wx_i+b))^2\]該問題屬于無約束最優(yōu)化問題中的最小二乘問題（LeastSquaresOptimization）。解析：此題考查線性回歸的數(shù)學(xué)原理。線性回歸的目標(biāo)是找到一條直線\(y=wx+b\)，使得這條直線盡可能好地?cái)M合給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)\((x_i,y_i)\)?！氨M可能好”的量化方式有多種，最小二乘法是其中最常用的一種。它通過最小化所有數(shù)據(jù)點(diǎn)到直線的垂直距離（在\(y\)方向上的殘差\(e_i=y_i-wx_i-b\)）的平方和來定義“好”。定義殘差平方和\(S\)為：\[S(w,b)=\sum_{i=1}^{n}e_i^2=\sum_{i=1}^{n}(y_i-wx_i-b)^2\]其中\(zhòng)(w\)是斜率，\(b\)是截距。優(yōu)化目標(biāo)是最小化\(S(w,b)\)。由于\(S(w,b)\)是\(w\)和\(b\)的二次函數(shù)，并且關(guān)于\(w\)和\(b\)都是連續(xù)可微的，因此這是一個(gè)典型的無約束最優(yōu)化問題。通過求\(S(w,b)\)對(duì)\(w\)和\(b\)的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，可以找到使\(S(w,b)\)最小的\(w\)和\(b\)的值。這個(gè)過程也稱為梯度下降法（當(dāng)\(S\)較復(fù)雜時(shí)）或牛頓法。因此，該問題本質(zhì)上是在尋找\(w\)和\(b\)，使得殘差平方和\(S(w,b)\)達(dá)到最小值，這屬于無約束最優(yōu)化問題中的最小二乘問題。六、編輯距離的基本思想是找到將序列S1轉(zhuǎn)換為序列S2的最少編輯操作次數(shù)。操作包括插入、刪除、替換。動(dòng)態(tài)規(guī)劃通過構(gòu)建一個(gè)二維表格D，其中D[i][j]表示將S1的前i個(gè)字符轉(zhuǎn)換為S2的前j個(gè)字符所需的最少操作數(shù)。計(jì)算過程從左上角開始，根據(jù)以下狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程填充表格：*D[0][j]=j(將空序列轉(zhuǎn)換為S2的前j個(gè)字符需要j次插入)*D[i][0]=i(將S1的前i個(gè)字符轉(zhuǎn)換為空序列需要i次刪除)*D[i][j]=min{D[i-1][j]+1,(刪除S1的第i個(gè)字符)D[i][j-1]+1,(插入S2的第j個(gè)字符到S1)D[i-1][j-1]+cost(替換S1的第i個(gè)字符為S2的第j個(gè)字符,cost=0如果字符相同,cost=1如果不同)}最終D[n][m]即為所求的編輯距離。解析：此題考查生物信息學(xué)中的編輯距離（Levenshtein距離）。編輯距離是衡量兩個(gè)序列（如DNA或蛋白質(zhì)序列）之間差異的一種方法，定義為通過插入、刪除、替換操作將一個(gè)序列轉(zhuǎn)換為另一個(gè)序列所需的最少操作次數(shù)?；舅枷肟梢杂脛?dòng)態(tài)規(guī)劃來理解。設(shè)S1長度為n，S2長度為m。構(gòu)建一個(gè)n+1行m+1列的二維數(shù)組D，其中D[i][j]表示將S1的前i個(gè)字符（記為S1[1..i]）轉(zhuǎn)換為S2的前j個(gè)字符（記為S2[1..j]）所需的最少編輯操作數(shù)。初始條件：*轉(zhuǎn)換為空序列：將S1[1..i]轉(zhuǎn)換為空序列需要i次刪除，即D[i][0]=i。*轉(zhuǎn)換為空序列：將空序列轉(zhuǎn)換為S2[1..j]需要j次插入，即D[0][j]=j。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：對(duì)于S1[1..i]和S2[1..j]，考慮最后一個(gè)字符S1[i]和S2[j]：1.如果S1[i]==S2[j]，則最后一個(gè)字符無需操作（替換），最少操作數(shù)等于S1[1..i-1]轉(zhuǎn)換為S2[1..j-1]的最少操作數(shù)，即D[i][j]=D[i-1][j-1]。2.如果S1[i]!=S2[j]，則最后一個(gè)字符需要進(jìn)行一次替換操作，最少操作數(shù)等于S1[1..i-1]轉(zhuǎn)換為S2[1..j-1]的最少操作數(shù)加1，即D[i][j]=D[i-1][j-1]+1。同時(shí)，還需要考慮插入和刪除操作：*插入：將S1[1..i]轉(zhuǎn)換為S1[1..i]+S2[j]，相當(dāng)于在S1[1..i]的基礎(chǔ)上插入S2[j]，最少操作數(shù)等于S1[1..i]轉(zhuǎn)換為S2[1..j-1]的最少操作數(shù)加1，即D[i][j]=min(D[i][j],D[i][j-1]+1)。*刪除：將S1[1..i]轉(zhuǎn)換為S1[1..i-1]，相當(dāng)于刪除S1[i]，最少操作數(shù)等于S1[1..i-1]轉(zhuǎn)換為S2[1..j]的最少操作數(shù)加1，即D[i][j]=min(D[i][j],D[i-1][j]+1)。綜合以上，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：\[D[i][j]=\min\begin{cases}D[i-1][j]+1\\D[i][j-1]+1\\D[i-1][j-1]+\text{cost}\end{cases}\]其中，cost為替換操作的成本。如果S1[i]==S2[j]，則cost=0（無需操作）；如果S1[i]!=S2[j]，則cost=1（需要一次替換）。通常默認(rèn)cost=1。最終，當(dāng)計(jì)算完整個(gè)D表格后，D[n][m]的值就是將S1完全轉(zhuǎn)換為S2所需的最少編輯操作次數(shù)，即編輯距離。七、\(\mu\)的最大似然估計(jì)量為樣本均值：\[\hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\]解析：此題考查點(diǎn)估計(jì)中的最大似然估計(jì)。設(shè)總體分布為\(N(\mu,\sigma^2)\)，其中\(zhòng)(\mu\)未知，\(\sigma^2\)已知。從該總體中獨(dú)立抽取樣本\(X_1,X_2,...,X_n\)，樣本觀測(cè)值為\(x_1,x_2,...,x_n\)。目標(biāo)是最小化樣本觀測(cè)值出現(xiàn)的概率（似然函數(shù)）。由于樣本獨(dú)立同分布，聯(lián)合概率密度函數(shù)（似然函數(shù)）為：\[L(\mu;x_1,x_2,...,x_n)=f(x_1;\mu)f(x_2;\mu)...f(x_n;\mu)\]對(duì)于正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，概率密度函數(shù)為：\[f(x;\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\]所以似然函數(shù)為：\[L(\mu)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^n\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\right)\]為了方便計(jì)算，通常取對(duì)數(shù)似然函數(shù)\(\ell(\mu)\)：\[\ell(\mu)=\lnL(\mu)=-\frac{n}{2}\ln(2\pi\sigma^2)-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\]最大化\(\ell(\mu)\)等價(jià)于最大化\(L(\mu)\)。由于第一項(xiàng)與\(\mu\)無關(guān)，只需關(guān)注第二項(xiàng)：\[-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\]對(duì)該式關(guān)于\(\mu\)求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)等于0：\[\fracbtqocji{d\mu}\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\right)=-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}2(x_i-\mu)(-1)=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)=0\]解得：\[\sum_{i=1}^{n}x_i-n\mu=0\]\[\mu=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\]因此，\(\mu\)的最大似然估計(jì)量為樣本均值：\[\hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\]八、遞推關(guān)系式為：\[X_{t+1}=pqX_t(1+q)\]長期趨勢(shì)：如果\(pq(1+q)>1\)，種群數(shù)量將指數(shù)增長；如果\(pq(1+q)<1\)，種群數(shù)量將指數(shù)衰減至0；如果\(pq(1+q)=1\)，種群數(shù)量將保持不變（在0附近波動(dòng)）。解析：此題考查離散時(shí)間模型（差分方程）在種群動(dòng)態(tài)中的應(yīng)用。模型描述了種群大小\(X_t\)在每一代的變化。每一代有比例\(p\)的個(gè)體存活到下一代。存活的個(gè)體中有比例\(q\)成功繁殖一個(gè)后代。因此，平均每個(gè)存活的個(gè)體下一代產(chǎn)生\(q\)個(gè)后代。考慮種群\(X_t\)在第\(t\)代：*存活的個(gè)體數(shù)量為\(pX_t\)。*這些存活的個(gè)體產(chǎn)生的后代數(shù)量為\(q(pX_t)=pqX_t\)。因此，種群在第\(t+1\)代的數(shù)量\(X_{t+1}\)是由第\(t\)代的存活個(gè)體產(chǎn)生的后代構(gòu)成的，即：\[X_{t+1}=pqX_t\]但是，這個(gè)模型可能過于簡化。每個(gè)存活的個(gè)體產(chǎn)生\(q\)個(gè)后代的概率是\(q\)。因此，平均每個(gè)存活的個(gè)體產(chǎn)生的后代數(shù)量是\(q\)。但是，存活的個(gè)體數(shù)量是\(pX_t\)。所以，下一代種群數(shù)量的期望值應(yīng)該是存活個(gè)體數(shù)量乘以平均每個(gè)存活的個(gè)體產(chǎn)生的后代數(shù)量期望值。存活個(gè)體中，每個(gè)個(gè)體產(chǎn)生0個(gè)后代的概率是\(1-q\)，產(chǎn)生1個(gè)后代的概率是\(q\)，等等。平均每個(gè)存活個(gè)體產(chǎn)生的后代數(shù)量\(E[\text{后代}|存活]=\sum_{k=0}^{\infty}