揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題易錯(cuò)專題一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1．（操作）如圖①，在矩形中，為對(duì)角線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），將沿射線方向平移到的位置，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．已知（不需要證明）．（探究）過圖①中的點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，其它條件不變，如圖②．求證：．（拓展）將圖②中的沿翻折得到，連接，其它條件不變，如圖③．當(dāng)最短時(shí)，若,，直接寫出的長(zhǎng)和此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)．解析：探究：見解析；拓展：四邊形的周長(zhǎng)為【分析】探究：證明四邊形EGBC是平行四邊形，推出EG=BC，利用SAS證明三角形全等即可．拓展：如圖3中，連接BD交AC于點(diǎn)O，作BK⊥AC于K，F(xiàn)′H⊥BC于H．由題意四邊形AGFC是平行四邊形，推出GF=AC=，由BF=BF′，可以假設(shè)BF=x，則BG=利用相似三角形的性質(zhì)，求出BH，HF′，利用勾股定理求出GF′，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出GF′的值最小時(shí)BF′的值，推出BF′=此時(shí)點(diǎn)F′與O重合，由此即可解決問題．【詳解】解：探究：由平移，∴，即又∵，∴四邊形為平行四邊形∴∵，∴∠CBF=∠ACB，∵∴∠AEG=∠ACB，∴∠AEG=∠CBF∴．拓展：如圖3中，連接BD交AC于點(diǎn)O，作BK⊥AC于K，F(xiàn)′H⊥BC于H．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AB=4，BC=2，∴∵∴，∴由題意四邊形AGFC是平行四邊形，∴GF=AC=，∵BF=BF′，可以假設(shè)BF=x，則BG=∵AC∥GF，∴∠BOK=∠HBF′，∵∠BKO=∠F′HB=90°，∴△F′HB∽△BKO，∴∴∴∴∵＞0，∴當(dāng)時(shí)，GF′的值最小，此時(shí)點(diǎn)F′與O重合，由對(duì)折得：由矩形的性質(zhì)得：四邊形BFCF′是菱形，四邊形BFCF′的周長(zhǎng)為，且與互相平分，由勾股定理得：【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考?jí)狠S題．2．（了解概念）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，組成圖形的各點(diǎn)中，與點(diǎn)Р所連線段最短的點(diǎn)叫做點(diǎn)Р關(guān)于這個(gè)圖形的短距點(diǎn)，這條最短線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)Р到這個(gè)圖形的短距．（理解運(yùn)用）（1）已知點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，l為半徑作，則點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）如圖，點(diǎn)，等邊三角形OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)B在第一象限，判斷點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；（拓展提升）（3）已知，，，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，且，，若點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．解析：（1）(-1，0)；（2）點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)的個(gè)數(shù)有3個(gè)；（3）當(dāng)p＜-或2＜p＜4或p＞6+時(shí)，點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2．【分析】（1）連接PO，交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即是點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)題意得點(diǎn)P是三角形OAB的中心，進(jìn)而即可求解；（3）由題意得點(diǎn)P，A，B在直線y=-x+6上，以點(diǎn)P為圓心，半徑長(zhǎng)為2畫圓，分3種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，圓P過點(diǎn)B時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，圓P與BC相切于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，③當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，圓P過點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，分別求解，即可得到答案．【詳解】解：（1）連接PO，交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即是點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)，∵，、的半徑為1，∴M(-1，0)，故答案是：(-1，0)；（2）∵點(diǎn)，等邊三角形OAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)P是三角形OAB的中心，∴點(diǎn)P到OA，OB，OC的三條垂線段最短，三條垂線段都等于，∴點(diǎn)Р關(guān)于的短距點(diǎn)的個(gè)數(shù)有3個(gè)；（3）∵，，，∴點(diǎn)P，A，B在直線y=-x+6上，∴∠ABO=∠BAO=45°，∵點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，且，，∴∠ABC=75°-45°=30°，以點(diǎn)P為圓心，半徑長(zhǎng)為2畫圓，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，圓P過點(diǎn)B時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，∵PB=2，∠PBM=45°，∴PM=2×=，∴p＜-時(shí)，點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2；①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，圓P與BC相切于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，則BP=2PN=2×2=4，PM=BP×=2，②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，圓P與OA相切于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，則AP=PN=2，BP=AB-AP=6-2=4，PM=BP×=4×=4，∴2＜p＜4時(shí)，點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2；③當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，圓P過點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，則PM=（6+2）×=6+，∴p＞6+時(shí)，點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2；綜上所述：當(dāng)p＜-或2＜p＜4或p＞6+時(shí)，點(diǎn)Р到四邊形OACB的短距大于2．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形與坐標(biāo)以及圓的綜合題，根據(jù)題意畫出圖形，掌握?qǐng)A與直線相切的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（了解概念）在凸四邊形中，若一邊與它的兩條鄰邊組成的兩個(gè)內(nèi)角相等，則稱該四邊形為鄰等四邊形，這條邊叫做這個(gè)四邊形的鄰等邊．（理解運(yùn)用）（1）在鄰等四邊形中，，，若是這個(gè)鄰等四邊形的鄰等邊，則的度數(shù)為__________；（2）如圖，凸四邊形中，P為邊的中點(diǎn)，，判斷四邊形是否為鄰等四邊形，并證明你的結(jié)論；（拓展提升）（3）在平面直角坐標(biāo)系中，為鄰等四邊形的鄰等邊，且邊與x軸重合，已知，，，若在邊上使的點(diǎn)P有且僅有1個(gè)，則m的值是__________．解析：（1）130°；（2）四邊形ABCD是鄰等四邊形，理由見解析；（3）﹣5±4【分析】（1）根據(jù)鄰等四邊形的定義即可求解；（2）由△ADP∽△PDC，可得，∠DAP＝∠DPC，∠APD＝∠PCD，由P為AB的中點(diǎn)，可得AP＝BP，則，可證△BPC∽△ADP，由相似三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠B即可；（3）①若點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，如圖，由AB為鄰等邊，則有∠DAB＝∠ABC＝∠DPC，可證△ADP∽△BPC，可得＝，設(shè)點(diǎn)P（n，0），由等腰直角三角形可求∠BAD＝45°，可求B、C橫坐標(biāo)之差為3，B（m+3，0），將AP，BP，AD，BC，代入得：，整理可得：﹣n2+（m+1）n+2m﹣18＝0，由題意可知n只有一個(gè)解，可求得m＝﹣5+4；②若點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，可求得∠BAD＝135°，可證△ADP∽△BPC，可得＝，可求得B、C橫坐標(biāo)之差為3，，可求得m＝﹣5﹣4．【詳解】解：（1）∵CD為鄰等邊，∴∠C＝∠D，又∵，，∴∠C＝∠D＝（360°﹣∠A﹣∠B）÷2＝130°，∴∠C＝130°．故答案為：130°；（2）四邊形ABCD是鄰等四邊形，理由如下：∵△ADP∽△PDC，∴，∠DAP＝∠DPC，∠APD＝∠PCD，∠ADP＝∠PDC，又∵P為AB的中點(diǎn)，∴AP＝BP，∴，∴，∵∠APD+∠BPC＝180°﹣∠DPC，∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠DPC，且∠APD＝∠PCD，∴∠BPC＝∠PDC，∵∠ADP＝∠PDC，∴∠ADP＝∠BPC，∴△BPC∽△ADP，∴∠B＝∠A，∴四邊形ABCD為鄰等四邊形；（3）若點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，如圖，∵AB為鄰等邊，則有∠DAB＝∠ABC＝∠DPC，又∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，∴∠DAB＝∠DPC，∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，設(shè)點(diǎn)P（n，0），∵A（﹣2，0），D（2，4），∴∠BAD＝45°，∴∠ABC＝45°，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，則∠CEB＝90°，∠BCE＝∠ABC＝45°，∴CE＝BE，∵點(diǎn)C（m，3），∴CE＝3，∴BE＝3，∴B（m+3，0），∴AP＝n+2，BP＝m+3﹣n，∴AD＝＝，BC＝＝，代入＝得：，整理可得：﹣n2+（m+1）n+2m﹣18＝0，由題意可知n只有一個(gè)解，∴△＝（m+1）2+4（2m﹣18）＝0，解得：m＝﹣5±4，又∵點(diǎn)C在點(diǎn)D右側(cè)，∴m＝﹣5+4；②若點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，如圖，此時(shí)，∵A（﹣2，0），D（2，4），∴∠OAD＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠DPC＝135°，∵∠ADP+∠DPA＝180°﹣∠DAB，∠BPC+∠DPA＝180°﹣∠DPC，∴ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，由①得：B（m+3，0），C（m，3），P（n，0），AP＝﹣2﹣n，BP＝n﹣m﹣3，AD＝，BC＝，∴，解得：m＝﹣5±4，又∵點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)，∴m＝﹣5﹣4；綜上所述：m＝﹣5±4．【點(diǎn)睛】本題是相似綜合題，考查新定義圖形，仔細(xì)閱讀題目，抓住定義中的性質(zhì)，會(huì)驗(yàn)證新定義圖形，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于n的一元二次方程是解題關(guān)鍵．4．情境觀察：將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是▲，∠CAC′=▲°．問題探究：如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.拓展延伸：如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H.若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.解析：情境觀察：AD（或A′D），90問題探究：EP=FQ.證明見解析結(jié)論：HE=HF.證明見解析【詳解】情境觀察AD（或A′D），90問題探究結(jié)論：EP=FQ.證明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP.∴AG=EP.同理AG=FQ.∴EP=FQ拓展延伸結(jié)論：HE=HF.理由：過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q.∵四邊形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，同理△ACG∽△FAQ，∵AB=kAE，AC=kAF，∴EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH.∴HE=HF5．平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖擺放，分別延長(zhǎng)DA和QP交于點(diǎn)O，且∠BOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1．讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針方向形如旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤60°）．發(fā)現(xiàn)（1）當(dāng)α＝0°，即初始位置時(shí)，點(diǎn)P____直線AB上．（填“在”或“不在”）求當(dāng)α是多少時(shí)，OQ經(jīng)過點(diǎn)B？（2）在OQ旋轉(zhuǎn)過程中．簡(jiǎn)要說明α是多少時(shí)，點(diǎn)P，A間的距離最小？并指出這個(gè)最小值：（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時(shí)．求α及S陰影．拓展如圖．當(dāng)線段OQ與CB邊交于點(diǎn)M，與BA邊交于點(diǎn)N時(shí)，設(shè)BM＝x（x＞0），用含x的代數(shù)式表示BN的長(zhǎng)，并求x的取值范圍．探究當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時(shí)，求sinα的值．解析：發(fā)現(xiàn)：（1）在，15°；（2）當(dāng)α=60°時(shí)，最小距離為1；（3）30°，．拓展：x的范圍是；探究：sinα的值為或或．【詳解】解：發(fā)現(xiàn)（1）在；當(dāng)OQ過點(diǎn)B時(shí)，在Rt△OAB中，AO＝AB，得∠DOQ＝∠ABO＝45°，∴α＝60°－45°＝15°．（2）如圖3．連AP，有OA＋AP≥OP，當(dāng)OP過點(diǎn)A，即α＝60°時(shí)等號(hào)成立．∴AP≥OP－OA＝2－1＝1．∴當(dāng)α＝60°時(shí)．P，A間的距離最小．∴PA的最小值為1．（3）如圖3，設(shè)半圓K與PC交點(diǎn)為R，連接RK，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)R作RE⊥KQ于點(diǎn)E．在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2，∴∠POH＝30°，∴α＝60°－30°＝30°．由AD//BC知，∠RPQ＝∠POH＝30°．∴∠RKQ＝2×30°＝60°．，在Rt△RKE中，，，；拓展如圖5，∠OAN＝∠MBN＝90°，∠ANO＝∠BNM，所以△AON∽△BMN．∴，即，∴．如圖4，當(dāng)點(diǎn)Q落在BC上時(shí)，x取最大值，作QF⊥AD于點(diǎn)F．．∴x的范圍是．【注：如果考生答“或”均不扣分】探究半圓與矩形相切，分三種情況：①如圖5，半圓K與BC切于點(diǎn)T，設(shè)直線KT與AD和OQ的初始位置所在直線分別交于S，O′，則∠KSO＝∠KTB＝90°，作KG⊥OO′于點(diǎn)G．Rt△OSK中，．Rt△OSO′中，，．Rt△KGO′中，∠O′=30°，KG=Rt△OGK中，②半圓K與AD切于點(diǎn)T，如圖6，同理可得．③當(dāng)半圓K與CD相切時(shí)，成Q與點(diǎn)D重合，且為切點(diǎn)．∴α＝60°，∴．綜上述，sinα的值為或或．考點(diǎn)：圓，直線與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，相似，三角形法則求最值6．如圖，已知和均為等腰三角形，，，將這兩個(gè)三角形放置在一起．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖①，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、、在同一直線上，連接，則的度數(shù)為__________，線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是__________；（2）拓展探究如圖②，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、、在同一直線上，連接．請(qǐng)判斷的度數(shù)及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）解決問題如圖③，，，，連接、，在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)解析：（1）；（2）；（3）或．【分析】（1）證明△ACE≌△ABD，得出CE=AD，∠AEC=∠ADB，即可得出結(jié)論；（2）證明△ACE∽△ABD，得出∠AEC=∠ADB，，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，再求出，①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，先判斷出四邊形APDE是矩形，求出AP=DP=AE=2，再根據(jù)勾股定理求出，BP=6，得出BD=4；②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方時(shí)，同①的方法得，AP=DP=AE=1，BP=4，進(jìn)而得出BD=BP+DP=8，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）在△ABC為等腰三角形，AC=BC，∠ACB=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=AB，∠CAB=60°，同理：AE=AD，∠ADE=∠EAD=60°，∴∠EAD=∠CAB，∴∠EAC=∠DAB，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE=AD，∠AEC=∠ADB，∵點(diǎn)B、D、E在同一直線上，∴∠ADB=180°-∠ADE=120°，∴∠AEC=120°，∴∵DE=AE，∴BE=DE+BD=AE+CE，故答案為60°，BE=AE+CE；（2）．理由如下：和均為等腰三角形，，，，，，點(diǎn)、、在同一直線上，，．；（3）由（2）知，△ACE∽△ABD，∴，在Rt△ABC中，，∴；①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，如圖③，過點(diǎn)A作AP⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于P，∵DE⊥BD，∴∠PDE=∠AED=∠APD，∴四邊形APDE是矩形，∵AE=DE，∴矩形APDE是正方形，∴AP=DP=AE=2，在Rt△APB中，根據(jù)勾股定理得，∴BD=BP-AP=4，∴；②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方時(shí)，如圖④，同①的方法得，AP=DP=AE=2，BP=4，∴BD=BP+DP=8，∴，即：CE的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，判斷出△ACE∽△ABD是解本題的關(guān)鍵．7．觀察猜想：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在斜邊AB上，連接DE，且DE＝AE，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF，則＝______，sin∠ADE＝________，探究證明：（2）在（1）中，如果將點(diǎn)D沿CA方向移動(dòng)，使CD＝AC，其余條件不變，如圖2，上述結(jié)論是否保持不變？若改變，請(qǐng)求出具體數(shù)值：若不變，請(qǐng)說明理由．拓展延伸（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，點(diǎn)D在邊AC的延長(zhǎng)線上，E是AB上任意一點(diǎn)，連接DE．ED＝nAE，將線段DE繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)F，連接EF．求和sin∠ADE的值分別是多少？（請(qǐng)用含有n，a的式子表示）解析：（1）；；（2）不變；（3）＝；sin∠ADE＝．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定得到∠A＝∠ACE＝30°，△BEC是等邊三角形，據(jù)此求得CE的長(zhǎng)度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)來求EF的長(zhǎng)度，易得答案；（2）不變．理由：如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BC交AB于點(diǎn)G，構(gòu)造直角三角形：△ADG，結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合方程求得答案；（3）如圖3，過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義列出方程并解答．【詳解】（1）如圖1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°．又CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝30°，∴∠BCE＝60°，∴△BEC是等邊三角形，∴BE＝CE．∴AE＝CE＝BE．∴AD＝AB＝CE．又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：FC＝EC，∠FCE＝90°，∴EF＝CE，∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．故答案是：；；（2）不變，理由：如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BC交AB于點(diǎn)G，則△ADG是直角三角形．∵∠DAG＝30°，DE＝AE，設(shè)DG＝x，∴∠AED＝30°，AD＝x，∠DEG＝∠DGE＝60°．∴DE＝DF＝x，sin∠ADE＝．∵∠EDF＝90°，∴EF＝x．∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．（3）過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，設(shè)AE＝x，則DE＝nx．∵∠CAB＝a，∴AG＝cosα?x，EG＝sinα?x．∴DG＝＝?x．∴AD＝cosα?x+?x．∵∠EDF＝90°，DE＝DF，∴EF＝DE＝nx．∴＝＝，sin∠ADE＝＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，作輔助線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解．8．在中，，過點(diǎn)作直線，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是），射線分別交直線于點(diǎn)．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，若與重合，則的度數(shù)為_________________（2）類比探究：如圖2，所示，設(shè)與的交點(diǎn)為M，當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)分別在的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究四邊形的面積是否存在最小值，若存在，直接寫出四邊形的最小面積；若不存在，請(qǐng)說明理由解析：（1）60°；（2）；（3）存在，【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2，進(jìn)而得到BC=，依據(jù)∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB=，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根據(jù)M為A'B'的中點(diǎn)，即可得出∠A=∠A'CM，進(jìn)而得到PB=，依據(jù)tan∠BQC=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，進(jìn)而得出PQ=PB+BQ=；（3）依據(jù)S四邊形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，利用幾何法或代數(shù)法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B′Q=3-．【詳解】解（1）由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，；(2)因?yàn)镸是中點(diǎn)，所以，，，，．∵∠PCQ=∠PBC=90°，∴∠BQC+∠BPC=∠BCP+∠BPC=90°，∴∠BQC=∠BCP=∠A，，，；(3)，最小，即最小，，取PQ的中點(diǎn)G，，即PQ=2CG，當(dāng)最小時(shí)，最小，，與重合，最小，∵的最小值為，．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形以及直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)注意：旋轉(zhuǎn)變換中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．9．如圖1，在正方形中，點(diǎn)分別在邊上，且，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，連接．（特例感知）（1）圖1中與的數(shù)量關(guān)系是______________．（結(jié)論探索）（2）圖2，將圖1中的繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，連接，此時(shí)與還存在（1）中的數(shù)量關(guān)系嗎？判斷并說明理由．（拓展應(yīng)用）（3）在（2）的條件下，若，當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．解析：(1)=，(2)存在，證明見解析，（3）或或16或4．【分析】(1)連接GC，證△CDG≌△CBE，得出△GCE為等腰直角三角形即可；(2)類似（1）的方法，先證△AFD≌△AEB，再證△CDG≌△CBE，得出△GCE為等腰直角三角形即可；(3)根據(jù)E、F是直角頂點(diǎn)分類討論，結(jié)合（2）中結(jié)論，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：(1)連接GC，∵AE=AF，AD=AB，∴DF=BE，∵，∴DG=BE，∵∠GDC=∠B=90°，DC=BC，∴△CDG≌△CBE，∴CE=CG，∠GCD=∠ECB，∵∠ECB+∠DCE=90°，∴∠GCE=∠GCD+∠DCE=90°，∴=；故答案為：=；(2)存在，連接GC，∵AE=AF，AD=AB，∠FAE=∠DAB=90°，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD≌△EAB，∴FD=EB=GD，∠FDA=∠EBA，∵∠GDC+∠FDA=90°，∠EBC+∠EBA=90°，∴∠GDC=∠EBC，∵DC=BD，∴△CDG≌△CBE，與（1）同理，=；(3)當(dāng)∠FEG=90°時(shí)，如圖1，因?yàn)椤螰EA=∠GEC=45°，所以，A、E、C在一條直線上，∵AB=5，∴AC=5,CE=5-3=2,GE=EC=4；如圖2，E在CA延長(zhǎng)線上，同理可得，EC=8，GE=EC=16；當(dāng)∠EFG=90°時(shí)，如圖3，∠AFD=∠EFG+∠AFE=135°，由（2）得，∠AFD=∠AEB=135°，DF=BE，所以，B、E、F在一條直線上，作AM⊥EF，垂足為M，∵，∴EF=6，AM=ME=MF=3，，BE=DF=1,FG=2，；如圖4，同圖3，BE=DF=7，F(xiàn)G=14，EF=6，，綜上，的長(zhǎng)為或或16或4．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)倪B接輔助線，構(gòu)造全等三角形；會(huì)分類討論，結(jié)合題目前后聯(lián)系，解決問題．10．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在和中，，，，連接交于點(diǎn).填空：①的值為______；②的度數(shù)為______．（2）類比探究如圖2，在和中，，，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).請(qǐng)判斷的值及的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，將繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，所在直線交于點(diǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在同一條直線上時(shí)的長(zhǎng)．解析：（1）①1；②；（2），．理由見解析；（3）2或4．【分析】（1）①證明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值為1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理先求∠OAB+∠OBA的值，再求∠AMB的值即可；（2）根據(jù)銳角三角比可得，根據(jù)兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD，根據(jù)相似撒尿性的性質(zhì)求解即可；（3）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在同一條直線上，有兩種情況：如圖3和圖4，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，可得AD的長(zhǎng)．【詳解】（1）①∵，∴∠BOD=∠AOC，又∵，，∴△BOD≌△AOC，∴BD=AC，∴=1；②∵，∴∠OAB+∠OBA=140°，∵△BOD≌△AOC，∴∠CAO=∠DBO，∴∠CAO+∠OAB+∠ABM=∠DBO+∠OAB+∠ABM=∠OAB+∠OBA=140°，∴∠AMB=；（2）如圖2，，．理由如下：中，，，，同理得：，，，，，，∠CAO=∠DBO，∵∠BEO+∠DBO=90°，∴∠CAE+∠AEM=90°，∴∠AMB=90°；（3）∵∠A=30°，，∴OA==3．如圖3，當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)A在點(diǎn)O的同側(cè)時(shí)，∵，∴AD=3-2=2；如圖4，當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)A在點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí)，∵，，OA=3∴AD=3+1=4．綜上可知，AD的長(zhǎng)是2或4．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是能得出：△AOC∽△BOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，并運(yùn)用類比的思想解決問題，本題是一道比較好的題目．11．?dāng)?shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了完全平方公式之后，針對(duì)兩個(gè)正數(shù)之和與這兩個(gè)正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，請(qǐng)閱讀以下探究過程并解決問題．猜想發(fā)現(xiàn)：由；；；；；猜想：如果，，那么存在（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．猜想證明：∵∴①當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，∴；②當(dāng)，即時(shí)，，∴．綜合上述可得：若，，則成立（當(dāng)日僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．猜想運(yùn)用：（1）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)的值最??？最小值是多少？變式探究：（2）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)的值最??？最小值是多少？拓展應(yīng)用：（3）疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題．高速公路榆測(cè)站入口處，檢測(cè)人員利用檢測(cè)站的一面墻（墻的長(zhǎng)度不限），用63米長(zhǎng)的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長(zhǎng)方形隔離房，如圖．設(shè)每間離房的面積為（米2）．問：每間隔離房的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，可使每間隔離房的面積最大？最大面積是多少？解析：（1），函數(shù)的最小值為2；（2），函數(shù)的最小值為5；（3）每間隔離房長(zhǎng)為米，寬為米時(shí)，的最大值為【分析】猜想運(yùn)用：根據(jù)材料以及所學(xué)完全平方公式證明求解即可；變式探究：將原式轉(zhuǎn)換為，再根據(jù)材料中方法計(jì)算即可；拓展應(yīng)用：設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為米，與墻垂直的邊為米，依題意列出方程，然后根據(jù)兩個(gè)正數(shù)之和與這兩個(gè)正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系探究最大值即可．【詳解】猜想運(yùn)用：∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，只取，即時(shí)，函數(shù)的最小值為2．變式探究：∵，∴，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴，（舍去），即時(shí)，函數(shù)的最小值為5.拓展應(yīng)用：設(shè)每間隔離房與墻平行的邊為米，與墻垂直的邊為米，依題意得：，即，∵，，∴，即，整理得：，即，∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，即每間隔離房長(zhǎng)為米，寬為米時(shí)，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)完全平方公式探究?jī)蓚€(gè)正數(shù)之和與這兩個(gè)正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系，熟練運(yùn)用完全平方公式并參照材料中步驟進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵，屬于創(chuàng)新探究題．12．如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn).（1）觀察猜想圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明把繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出面積的最大值.解析：（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由詳見解析；（3）.【詳解】試題分析：(1)已知點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理可得,,,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DPM=∠DCE，∠NPD=∠ADC，在中，，，，可得BD=EC，∠DCE+∠ADC=90°，即可得PM=PN，∠DPM+∠NPD=90°，即；（2）是等腰直角三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證△BAD≌△CAE，即可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，根據(jù)三角形的中位線定理及平行線的性質(zhì)（方法可類比（1）的方法）可得PM="PN,"∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，所以∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN，即可得∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN為等腰直角三角形；（3）把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，此時(shí)PN=(AD+AB)="7,"PM=(AE+AC)=7,且PN、PM的值最長(zhǎng)，由（2）可知PM=PN，，所以面積的最大值為.試題解析：（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)可得∠BAD=∠CAE，又AB=AC,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)∴PM是△DCE的中位線∴PM=CE，且,同理可證PN=BD，且∴PM="PN,"∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN，∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN為等腰直角三角形.(3).考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)和三角形的綜合題.13．（探究函數(shù)y=x+的圖象與性質(zhì)）（1）函數(shù)y=x+的自變量x的取值范圍是；（2）下列四個(gè)函數(shù)圖象中函數(shù)y=x+的圖象大致是；（3）對(duì)于函數(shù)y=x+，求當(dāng)x＞0時(shí)，y的取值范圍．請(qǐng)將下列的求解過程補(bǔ)充完整．解：∵x＞0∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+∵（﹣）2≥0∴y≥．[拓展運(yùn)用]（4）若函數(shù)y=，則y的取值范圍．解析：（1）x≠0；（2）C（3）4；4；（4）y≥13【解析】試題分析：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.試題解析：（1）函數(shù)y=x+的自變量x的取值范圍是x≠0；（2）函數(shù)y=x+的圖象大致是C；（3）解：∵x＞0∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+4∵（﹣）2≥0∴y≥4．（4）y==x+﹣5═（）2+（）2﹣5=（+）2+13∵（﹣）2≥0，∴y≥13．考點(diǎn)：1.反比例函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì).14．《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)片段展示：（問題）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x﹣2）2﹣經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，則a=．（操作）將圖①中拋物線在x軸下方的部分沿x軸折疊到x軸上方，將這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成的新圖象記為G，如圖②．直接寫出圖象G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．（探究）在圖②中，過點(diǎn)B（0，1）作直線l平行于x軸，與圖象G的交點(diǎn)從左至右依次為點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，如圖③．求圖象G在直線l上方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)y隨x增大而增大時(shí)x的取值范圍．（應(yīng)用）P是圖③中圖象G上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，連接PD，PE．直接寫出△PDE的面積不小于1時(shí)m的取值范圍．解析：【問題】：a=；【操作】：y=；【探究】：當(dāng)1＜x＜2或x＞2+時(shí)，函數(shù)y隨x增大而增大；【應(yīng)用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．【詳解】試題分析：【問題】：把（0，0）代入可求得a的值；【操作】：先寫出沿x軸折疊后所得拋物線的解析式，根據(jù)圖象可得對(duì)應(yīng)取值的解析式；【探究】：令y=0，分別代入兩個(gè)拋物線的解析式，分別求出四個(gè)點(diǎn)CDEF的坐標(biāo)，根據(jù)圖象呈上升趨勢(shì)的部分，即y隨x增大而增大，寫出x的取值；【應(yīng)用】：先求DE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積求高的取值h≥1；分三部分進(jìn)行討論：①當(dāng)P在C的左側(cè)或F的右側(cè)部分時(shí)，設(shè)P[m，]，根據(jù)h≥1，列不等式解出即可；②如圖③，作對(duì)稱軸由最大面積小于1可知：點(diǎn)P不可能在DE的上方；③P與O或A重合時(shí)，符合條件，m=0或m=4．試題解析：【問題】∵拋物線y=a（x﹣2）2﹣經(jīng)過原點(diǎn)O，∴0=a（0﹣2）2﹣，a=；【操作】：如圖①，拋物線：y=（x﹣2）2﹣，對(duì)稱軸是：直線x=2，由對(duì)稱性得：A（4，0），沿x軸折疊后所得拋物線為：y=﹣（x﹣2）2+如圖②，圖象G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=；【探究】：如圖③，由題意得：當(dāng)y=1時(shí)，（x﹣2）2﹣=0，解得：x1=2+，x2=2﹣，∴C（2﹣，1），F(xiàn)（2+，1），當(dāng)y=1時(shí)，﹣（x﹣2）2+=0，解得：x1=3，x2=1，∴D（1，1），E（3，1），由圖象得：圖象G在直線l上方的部分，當(dāng)1＜x＜2或x＞2+時(shí)，函數(shù)y隨x增大而增大；【應(yīng)用】：∵D（1，1），E（3，1），∴DE=3﹣1=2，∵S△PDE=DE?h≥1，∴h≥1；①當(dāng)P在C的左側(cè)或F的右側(cè)部分時(shí)，設(shè)P[m，]，∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，（m﹣2）2≥10，m﹣2≥或m﹣2≤﹣，m≥2+或m≤2﹣，②如圖③，作對(duì)稱軸交拋物線G于H，交直線CD于M，交x軸于N，∵H（2，），∴HM=﹣1=＜1，∴當(dāng)點(diǎn)P不可能在DE的上方；③∵M(jìn)N=1，且O（0，0），a（4，0），∴P與O或A重合時(shí)，符合條件，∴m=0或m=4；綜上所述，△PDE的面積不小于1時(shí)，m的取值范圍是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．15．（問題）如圖1，在中，，過點(diǎn)作直線平行于．，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)，另一邊與交于點(diǎn)，研究和的數(shù)量關(guān)系．（探究發(fā)現(xiàn)）（1）如圖2，某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到使點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，通過推理就可以得到，請(qǐng)寫出證明過程；（數(shù)學(xué)思考）（2）如圖3，若點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），受（1）的啟發(fā)，這個(gè)小組過點(diǎn)作交于點(diǎn)，就可以證明，請(qǐng)完成證明過程；（拓展引申）（3）如圖4，在（1）的條件下，是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），是射線上一點(diǎn)，且，連接與交于點(diǎn)，這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過多次取點(diǎn)反復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)在某一位置時(shí)的值最大．若，請(qǐng)你直接寫出的最大值．解析：【探究發(fā)現(xiàn)】（1）見解析；【數(shù)學(xué)思考】（2）見解析；【拓展引申】（3）時(shí)，有最大值為2．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行的定義即可解得根據(jù)證明即可推出過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，可證明，再推出即可得=，則.【詳解】證明：【探究發(fā)現(xiàn)】（1）∵∴∵∴，且∴∴即【數(shù)學(xué)思考】（2）∵∴∴，∵∴，且，∴∴【拓展引申】（3）如圖4，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，∵，∴∵∴∴∴，且∴∴∵，∴∴∴∴∴∵∴點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，∴∴，且∴∴∴∴∴時(shí)，有最大值為2．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形，解題關(guān)鍵在于熟練掌握等腰三角形的性質(zhì).16．如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形．探究發(fā)現(xiàn)（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請(qǐng)說明理由．拓展運(yùn)用（2）若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長(zhǎng)．（3）若B、C、E三點(diǎn)在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長(zhǎng)分別為1和2，求△ACD的面積及AD的長(zhǎng)．解析：（1）全等，理由見解析；（2）BD＝；（3）△ACD的面積為，AD＝．【分析】（1）依據(jù)等式的性質(zhì)可證明∠BCD＝∠ACE，然后依據(jù)SAS可證明△ACE≌△BCD；（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng)，可得BD的長(zhǎng)；（3）過點(diǎn)A作AF⊥CD于F，先根據(jù)平角的定義得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函數(shù)可得AF的長(zhǎng)，由三角形面積公式可得△ACD的面積，最后根據(jù)勾股定理可得AD的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）如圖3，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，∵△DCE都是等邊三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，∴，∴BD＝；（3）如圖2，過點(diǎn)A作AF⊥CD于F，∵B、C、E三點(diǎn)在一條直線上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，∴AF＝AC×sin∠ACF＝，∴S△ACD＝，∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×，F(xiàn)D＝CD﹣CF＝，在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝，∴AD＝．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，第（3）小題巧作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．如圖1，在等腰三角形中，點(diǎn)分別在邊上，連接點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．（1）觀察猜想圖1中，線段的數(shù)量關(guān)系是____，的大小為_____；（2）探究證明把繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請(qǐng)求出面積的最大值．解析：（1）相等，；（2）是等邊三角形，理由見解析；（3）面積的最大值為.【分析】（1）根據(jù)＂點(diǎn)分別為的中點(diǎn)＂，可得MNBD，NPCE，根據(jù)三角形外角和定理，等量代換求出．（2）先求出，得出，根據(jù)MNBD，NPCE，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代換求出，即可求解．（3）根據(jù)，可知BD最大值，繼而求出面積的最大值．【詳解】由題意知：AB=AC，AD=AE，且點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，∴BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=EC∴MN=NP又∵M(jìn)NBD，NPCE，∠A=，AB=AC，∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C=根據(jù)三角形外角和定理，得∠ENP=∠NBP+∠NPB∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB，∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE，∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C=∠ABC+∠C=．是等邊三角形．理由如下：如圖，由旋轉(zhuǎn)可得在ABD和ACE中．點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，是的中位線，且同理可證且．在中∵∠MNP=，MN=PN是等邊三角形．根據(jù)題意得:即，從而的面積．∴面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中點(diǎn)的性質(zhì)、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)；正確掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩要互相垂直的線段做了如下探究：（觀察與猜想）（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別是，上的兩點(diǎn)，連接，，，則的值為__________；（2）如圖2，在矩形中，，