知識點14：接觸式連接體模型的動力學問題考點一：接觸式連接體模型的動力學計算問題【知識思維方法技巧】應(yīng)用動力學觀點解決連接體問題的思維是：使用整體法與隔離法確定研究對象后，再應(yīng)用正交分解法或分配原則法解題。題型一：2個接觸式物體動力學的計算問題【知識思維方法技巧】可以直接用質(zhì)量正比例分配原則法處理同條件同速度連接體的動力學計算的問題。力的質(zhì)量正比例分配原則法：一起加速運動的問題，物體間的相互作用力按質(zhì)量正比例分配。與有無摩擦無關(guān)（若有摩擦，兩物體與接觸面間的動摩擦因數(shù)必須相同），與兩物體間有無連接物、何種連接物（輕繩、輕桿、輕彈簧）無關(guān)，而且物體系統(tǒng)處于平面、斜面、豎直方向此分配原則都成立。（1）若外力F作用于m1上，則m1和m2的相互作用力F12＝eq\f(m2F,m1＋m2)；（2）若外力F作用于m2上，則m1和m2的相互作用力F12＝eq\f(m1F,m1＋m2)；【典例1基礎(chǔ)題】（多選）如圖所示，物塊A、B質(zhì)量相等，在恒力F作用下，在水平面上做勻加速直線運動。若物塊與水平面間接觸面光滑，物塊A的加速度大小為a1，物塊A、B間的相互作用力大小為N1；若物塊與水平面間接觸面粗糙，且物塊A、B與水平面間的動摩擦因數(shù)相同，物塊B的加速度大小為a2，物塊A、B間的相互作用力大小為N2，則以下判斷正確的是()A．a(chǎn)1＝a2B．a(chǎn)1>a2C．N1＝N2D．N1<F【典例1基礎(chǔ)題】【答案】BCD【解析】接觸面光滑時，整體分析，由牛頓第二定律可得：F＝(mA＋mB)a1，可得：a1＝eq\f(F,mA＋mB)＝eq\f(F,2m)；對B受力分析，由牛頓第二定律可得：N1＝mBa1＝eq\f(F,2)。接觸面粗糙時，整體分析，由牛頓第二定律可得：F－f＝(mA＋mB)a2，可得a2＝eq\f(F－f,mA＋mB)＝eq\f(F,2m)－eq\f(f,2m)；對B受力分析：N2＝mBa2＋eq\f(f,2)＝eq\f(F,2)，所以A錯誤，B、C、D正確。【典例1基礎(chǔ)題對應(yīng)練習】(多選)質(zhì)量為2m的物塊A和質(zhì)量為m的物塊B相互接觸放在水平地面上，如圖所示，若對A施加水平推力F，兩物塊沿水平方向做勻加速運動，關(guān)于A對B的作用力，下列說法中正確的是()A．若水平地面光滑，物塊A對B的作用力大小為FB．若水平地面光滑，物塊A對B的作用力大小為eq\f(F,3)C．若物塊A與地面間無摩擦，B與地面間的動摩擦因數(shù)為μ，則物塊A對B的作用力大小為μmgD．若物塊A與地面間無摩擦，B與地面間的動摩擦因數(shù)為μ，則物塊A對B的作用力大小為eq\f(F＋2μmg,3)【典例1基礎(chǔ)題對應(yīng)練習】【答案】BD【解析】若水平地面光滑，將A、B看做一個整體有：a＝eq\f(F,2m＋m)＝eq\f(F,3m)，由于兩物塊一起運動，所以加速度相同，故將B隔離有：a＝eq\f(FA,m)，所以FA＝ma＝eq\f(1,3)F，A錯誤，B正確；若物塊A與地面間無摩擦，B與地面間的動摩擦因數(shù)為μ，將A、B看做一個整體有：a′＝eq\f(F－μmg,3m)，將B隔離有：a′＝eq\f(F′A－μmg,m)，解得F′A＝eq\f(F＋2μmg,3)，C錯誤，D正確．題型二：多個接觸式物體動力學的計算問題題型三：滑塊斜面體模型動力學的計算問題【知識思維方法技巧】類型一：滑塊斜體一起運動模型【典例3a基礎(chǔ)題】如圖所示，一質(zhì)量為M＝2kg、傾角為θ＝45°的斜面體放在光滑水平地面上，斜面上疊放一質(zhì)量為m＝1kg的光滑楔形物塊，物塊在水平恒力F的作用下與斜面體一起恰好保持相對靜止地向右運動。重力加速度取g＝10m/s2。下列判斷正確的是()A．物塊對斜面的壓力大小FN＝5eq\r(2)NB．斜面體的加速度大小為a＝10m/s2C．水平恒力大小F＝15ND．若水平作用力F作用到M上系統(tǒng)仍保持相對靜止，則F將變小【典例3a基礎(chǔ)題】【答案】C【解析】對M、m整體分析，受重力、支持力和推力，根據(jù)牛頓第二定律可得，水平方向：F＝(M＋m)a；豎直方向：N＝(M＋m)g；再對M分析，受重力、壓力FN、支持力，根據(jù)牛頓第二定律可得，水平方向：FNsinθ＝Ma；豎直方向：FNcosθ＋Mg＝N；聯(lián)立解得：a＝eq\f(mgtanθ,M)＝5m/s2；F＝eq\f(M＋mmgtanθ,M)＝15N；FN＝eq\f(mg,cosθ)＝10eq\r(2)N，故A、B錯誤，C正確；若水平作用力F作用到M上系統(tǒng)仍保持相對靜止，則對整體：F＝(M＋m)a′；對m：mgtan45°＝ma′，解得F＝(M＋m)g＝30N，即F變大，故D錯誤?！镜淅?a基礎(chǔ)題對應(yīng)練習】(多選)小物塊m與各面均光滑的斜面體M，疊放在光滑水平面上，如圖所示，在水平力F1(圖甲)作用下保持相對靜止，此時m、M間作用力為N1；在水平力F2(圖乙)作用下保持相對靜止，此時m、M間作用力為N2.則下列說法正確的是()A．若m＝M，則有F1＝F2 B．若m＝M，則有N1>N2C．若m<M，則有F1<F2 D．若m<M，則有N1＝N2【典例3a基礎(chǔ)題對應(yīng)練習】【答案】ACD【解析】由整體法可知，甲的加速度a1＝eq\f(F1,M＋m)，乙的加速度a2＝eq\f(F2,M＋m)，對甲圖，隔離M，有N1sinθ＝Ma1，隔離m，有N1cosθ＝mg得a1＝eq\f(m,M)gtanθ，則F1＝(M＋m)a1＝eq\f(m,M)(m＋M)gtanθ，∴N1＝eq\f(mg,cosθ)，對乙圖中m有：N2sinθ＝mgtanθ＝ma2得N2＝eq\f(mg,cosθ)，F(xiàn)2＝(M＋m)gtanθ若m＝M，則F1＝F2，若m<M，F(xiàn)1<F2，故A、C正確；無論m，M關(guān)系如何N1＝N2，故D正確．類型二：滑塊斜面體一動一靜模型【知識思維方法技巧】滑塊開始作勻速運動后來加力模型的處理技巧：（1）等效法：物體對另一個物體彈力與摩擦力的合力等效為一個作用力（2）結(jié)論法：自由釋放的滑塊在斜面體上勻速下滑時，斜面體對水平地面的靜摩擦力為零，這一過程中再在滑塊上加上任何方向的作用力，（在滑塊停止運動前）斜面體對水平地面的靜摩擦力依然為零?！镜淅?b基礎(chǔ)題】如圖所示，一質(zhì)量為m的物體A恰能在傾角為α的斜面體上勻速下滑．若用與水平方向成θ角、大小為F的力推A，使A加速下滑，斜面體始終靜止．下列關(guān)于斜面體受地面的摩擦力的說法正確的是（重力加速度為g）()A．方向水平向右，大小為mgcosαsinαB．方向水平向左，大小為mgcosαsinαC．方向水平向左，大小為FcosθD．大小為0【典例3b基礎(chǔ)題】【答案】D【解析】勻速下滑時對A受力分析，受重力、支持力、滑動摩擦力，根據(jù)平衡條件：摩擦力與支持力的合力應(yīng)該與重力等大反向，即斜面對物體A的作用力方向豎直向上，根據(jù)牛頓第三定律，物體A對斜面體的作用力方向豎直向下；當用與水平方向成θ角、大小為F的力推A，A所受斜面的支持力增大，摩擦力Ff＝μFN也增大，但是支持力FN與摩擦力Ff仍然成比例的增大，其合力的方向仍然豎直向上，則物體A對斜面體的作用力的方向仍然豎直向下，只是數(shù)值變大，故斜面體沒有相對地面運動的趨勢，不受地面的摩擦力，故D正確，A、B、C錯誤．【典例3b基礎(chǔ)題對應(yīng)練習】傾角為的斜面體靜止放在粗糙水平地面上，其斜面也是粗糙的。已知質(zhì)量為的物塊恰可沿其斜面勻速下滑。今對下滑的物塊施加一個向左的水平拉力，物塊仍沿斜面向下運動，斜面體始終保持靜止。則此時（）A．物塊下滑的加速度等于B．物塊下滑的加速度大于C．水平面對斜面體M的靜摩擦力方向水平向右D．水平面對斜面體M的靜摩擦力大小為零【典例3b基礎(chǔ)題對應(yīng)練習】【答案】BD【解析】AB．由題意知，物塊自己能夠沿斜面勻速下滑，得施加拉力F后解得所以A錯誤，B正確；以斜面體為研究對象，受物塊的摩擦力沿斜面向下為正壓力，又，把摩擦力和壓力求和，方向豎直向下，所以斜面體在水平方向沒有運動的趨勢，故不受地面的摩擦力，所以D正確，C錯誤。故選BD。題型四：類滑塊斜面體模型動力學的計算問題【知識思維方法技巧】【典例4a基礎(chǔ)題】如圖所示，質(zhì)量為M、中空為半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑凹槽內(nèi)有一質(zhì)量為m的小鐵球，現(xiàn)用一水平向右的推力F推動凹槽，小鐵球與光滑凹槽相對靜止時，凹槽圓心和小鐵球的連線與豎直方向成α角．重力加速度為g，則下列說法正確的是()A．小鐵球受到的合外力方向水平向左B．凹槽對小鐵球的支持力為eq\f(mg,sinα)C．系統(tǒng)的加速度為a＝gtanαD．推力F＝Mgtanα【典例4a基礎(chǔ)題】【答案】C【解析】根據(jù)小鐵球與光滑凹槽相對靜止可知，系統(tǒng)有向右的加速度a＝gtanα，小鐵球受到的合外力方向水平向右，凹槽對小鐵球的支持力為eq\f(mg,cosα)，推力F＝(M＋m)gtanα，選項A、B、D錯誤，C正確．【典例4a基礎(chǔ)題對應(yīng)練習】如圖所示，質(zhì)量均為m的兩個木塊P、Q疊放在水平地面上，P、Q接觸面的傾角為θ，現(xiàn)在Q上加一水平推力F，使P、Q保持相對靜止一起向左做勻加速直線運動，下列說法中錯誤的是() A．物體Q對地面的壓力一定為2mgB．若Q與地面間的動摩擦因數(shù)為μ，則μ＝eq\f(F,2mg)C．若P、Q之間光滑，則加速度a＝gsinθD．若運動中逐漸減小F，則地面與Q間的摩擦力也逐漸減小【答案】BCD【解析】木塊P和Q組成的整體在豎直方向上受力平衡，所以地面對物體Q的支持力為2mg，又由牛頓第三定律可知物體Q對地面的壓力一定為2mg，故選項A對．物體Q與地面間的滑動摩擦力Ff＝2μmg，由于P、Q一起向左做勻加速直線運動，則F>Ff，μ<eq\f(F,2mg)，故選項B錯．若P、Q之間光滑，木塊P只受重力mg和 支持力FN作用，考點二：接觸式連接體模型的動力學圖象問題【知識思維方法技巧】連接體動力學圖象問題的解題方法：（1）函數(shù)斜率面積法：先由牛頓運動定律推導出兩個物理量間的函數(shù)表達式，再根據(jù)函數(shù)表達式的斜率、截距的意義求出相應(yīng)的問題，特別是解決對于不太熟悉的如eq\f(x,t)－t、x－v2、a-t、F-t、F-a圖像等要注意這種轉(zhuǎn)化。①x－t圖象的斜率表示速度的大小及方向，縱軸截距表示t＝0時刻的初始位置，橫軸截距表示位移為零的時刻。②v－t圖線(或切線)的斜率表示物體的加速度，v－t圖線(或切線)的斜率表示物體的加速度。③a－t圖線與t軸所圍的“面積”代表速度改變量。④由x＝v0t＋eq\f(1,2)at2可得eq\f(x,t)＝v0＋eq\f(1,2)at，由此知eq\f(x,t)－t圖象的斜率為eq\f(1,2)a，縱軸截距為v0。⑤由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，故v2－x圖象斜率為2a，縱軸截距為v02。⑥由v2－veq\o\al(2,0)＝2ax得x＝eq\f(1,2a)v2－eq\f(1,2a)veq\o\al(2,0)，故x－v2圖象斜率為1/2a，縱軸截距為eq\f(1,2a)v02。⑦由x＝eq\f(1,2)at2，可知x－t2圖線的斜率表示eq\f(1,2)a。（2）函數(shù)數(shù)據(jù)代入法：先由牛頓運動定律推導出兩個物理量間的函數(shù)表達式，再把圖像中的特殊數(shù)據(jù)代入函數(shù)公式進行計算。題型一：根據(jù)動力學情境選擇接觸式連接體動力學圖象的問題【典例1基礎(chǔ)題】如圖所示，在光滑水平面上有一質(zhì)量為m1的足夠長的木板，其上疊放一質(zhì)量為m2的木塊．假定木塊和木板之間的最大靜摩擦力和滑動摩擦力相等．現(xiàn)給木塊施加一隨時間t增大的水平力F＝kt(k是常數(shù))，木板和木塊加速度的大小分別為a1和a2.下列反映a1和a2的變化的圖線中正確的是()．【典例1基礎(chǔ)題】【答案】A【解析】在木板與木塊相對滑動前，F(xiàn)＝kt＝(m1＋m2)a，a與t成正比關(guān)系，a－t關(guān)系圖線的斜率為eq\f(k,m1＋m2)，當m1與m2相對滑動后，木板受的摩擦力是Ff21＝μm2g＝m1a1，a1＝eq\f(μm2g,m1)為一恒量，對木塊有F－μm2g＝m2a2，得a2＝eq\f(kt,m2)－μg，斜率為eq\f(k,m2)，可知A正確，B、C、D錯誤．題型二：根據(jù)運動學圖象分析計算接觸式連接體模型的動力學問題【典例2基礎(chǔ)題】兩物塊A、B并排放在水平地面上，且兩物塊接觸面為豎直面，現(xiàn)用一水平推力F作用在物塊A上，使A、B由靜止開始一起向右做勻加速運動，如圖甲所示，在A、B的速度達到6m/s時，撤去推力F.已知A、B質(zhì)量分別為mA＝1kg、mB＝3kg，A與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.3，B與地面沒有摩擦，物塊B運動的v－t圖象如圖乙所示．g取10m/s2，求：（1）推力F的大?。唬?）物塊A剛停止運動時，物塊A、B之間的距離．【典例2基礎(chǔ)題】【答案】(1)15N(2)6m【解析】圖象得，a＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(6,2)m/s2＝3m/s2對于A、B整體，由牛頓第二定律有F－μmAg＝(mA＋mB)a，代入數(shù)據(jù)解得F＝15N.(2)設(shè)物塊A做勻減速運動的時間為t，撤去推力F后，A、B兩物塊分離，A在摩擦力作用下做勻減速運動，B做勻速運動，對A，由－μmAg＝mAaA，解得aA＝－μg＝－3m/s2t＝eq\f(0－v0,aA)＝eq\f(0－6,－3)s＝2s物塊A通過的位移xA＝eq\f(v0,2)t＝6m物塊B通過的位移xB＝v0t＝6×2m＝12m則物塊A剛停止運動時，物塊A、B間的距離為：Δx＝xB－xA＝6m.題型三：根據(jù)動力學圖象分析計算接觸式連接體模型的動力學問題【典例3基礎(chǔ)題】如圖甲所示，長木板B靜置于光滑水平面上，其上放置物塊A。木板B受到水平拉力F作用時，其加速度a與拉力F的關(guān)系圖像如圖乙所示，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則物塊A的質(zhì)量為()A．4kgB．3kgC．2kgD．1kg【典例3基礎(chǔ)題】【答案】B【解析】當F≤4N時，A、B一起向右加速運動，F(xiàn)＝(mA＋mB)a，由圖乙知mA＋mB＝4kg；當F>4N時，A、B相對滑動，B向右做加速直線運動，F(xiàn)－μmAg＝mBaB，即aB＝eq\f(1,mB)F－eq\f(μmAg,mB)，由圖乙知mB＝1kg，所以mA＝3kg，選項B正確，A、C、D錯誤?！镜淅?基礎(chǔ)題對應(yīng)練習】（多選）如圖甲所示，A、B兩個物體靠在一起，靜止在光滑的水平面上，它們的質(zhì)量分別為mA＝2kg、mB＝4kg，現(xiàn)用水平力FA推A，用水平力FB拉B，F(xiàn)A和FB隨時間t變化的關(guān)系圖象如圖乙所示。則()A、B脫離之前，它們一直做勻加速運動B．t＝4s時，A、B脫離C．A、B脫離時，它們的位移為4mD．A、B脫離后，A做減速運動，B做加速運動【典例3基礎(chǔ)題對應(yīng)練習】【答案】AC【解析】0～4s內(nèi)，F(xiàn)A＋FB＝12N，若AB一起運動，對AB整體有FA＋FB＝(mA＋mB)a，解得a＝2m/s2；對B有N＋FB＝mBa，當N＝0時，F(xiàn)B＝8N，對應(yīng)的時刻為2s末，由上知，A、B分離前一直做勻加速運動，t＝2s時，A、B脫離，故選項A正確，B錯誤；A、B脫離時，t＝2s，則它們的位移x＝eq\f(1,2)at2，解得x＝4m，故選項C正確；A、B脫離后，A做加速度減小的加速運動，B做加速度增大的加速運動，故選項D錯誤。考點三：接觸式連接體模型的動力學臨界極值問題【知識思維方法技巧】（1）臨界或極值條件的關(guān)鍵詞①題目中“剛好”“恰好”“正好”等關(guān)鍵詞，明顯表明題述的過程存在著臨界點。②題目中“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述過程存在著“起止點”，而這些“起止點”一般對應(yīng)臨界狀態(tài)。③題目中“最大”“最小”“至多”“至少”等詞語，表明題述的過程存在著極值，極值點往往是臨界點。（2）常見臨界問題的條件①接觸與脫離的臨界條件：彈力FN＝0。②相對滑動的臨界條件：靜摩擦力達到最大值。題型一：物體接觸與脫離的臨界極值問題【知識思維方法技巧】兩物體相接觸或脫離，臨界條件是：剛好脫離時物體間的彈力恰好為零，兩物體此時的速度、加速度均相同?！镜淅?基礎(chǔ)題】一輛貨車運載著圓柱形光滑的空油桶。在車廂底，一層油桶平整排列，相互緊貼并被牢牢固定。上一層只有一只桶C，自由地擺放在A、B之間，和汽車一起保持靜止，如圖所示，當C與車共同向左加速時()A.A對C的支持力變大B.B對C的支持力不變C.當向左的加速度達到eq\f(\r(3),2)g時，C將脫離AD.當向左的加速度達到eq\f(\r(3),3)g時，C將脫離A【典例1基礎(chǔ)題】【答案】D【解析】對C進行受力分析，如圖所示，設(shè)B對C的支持力與豎直方向的夾角為θ，根據(jù)幾何關(guān)系可得sinθ＝eq\f(R,2R)＝eq\f(1,2)，所以θ＝30°；同理可得，A對C的支持力與豎直方向的夾角也為30°；原來C處于靜止狀態(tài)，根據(jù)平衡條件可得FNBsin30°＝FNAsin30°；令C的加速度為a，根據(jù)正交分解以及牛頓第二定律有FNB′sin30°－FNA′sin30°＝ma，可見A對C的支持力減小、B對C的支持力增大，故A、B錯誤；當A對C的支持力為零時，根據(jù)牛頓第二定律可得mgtan30°＝ma，解得a＝eq\f(\r(3),3)g，則C錯誤，D正確。題型二：接觸式連接體相對滑動的臨界極值問題【知識思維方法技巧】相對滑動的臨界極值條件：靜摩擦力達到最大值。判斷滑塊與滑板之間是否發(fā)生相對滑動的方法：假設(shè)兩物體保持相對靜止先用整體法求整體的加速度，再用隔離法求滑塊滑板之間的摩擦力，再比較所求摩擦力與最大靜摩擦力的大小，判定運動狀態(tài)。類型一：2個接觸式連接體在光滑水平面運動模型【典例2a基礎(chǔ)題】如圖所示，光滑水平面上放置質(zhì)量分別為m、2m的A、B兩個物體，A、B間的最大靜摩擦力為μmg，現(xiàn)用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度運動，則拉力F的最大值為()．A．μmgB．2μmgC．3μmgD．4μmg【典例2a基礎(chǔ)題】【答案】C【解析】當A、B之間恰好不發(fā)生相對滑動時力F最大，此時，對于A物體所受的合外力為μmg由牛頓第二定律知aA＝eq\f(μmg,m)＝μg對于A、B整體，加速度a＝aA＝μg由牛頓第二定律得F＝3ma＝3μmg.【典例2a基礎(chǔ)題對應(yīng)練習】如圖所示，物體A疊放在物體B上，B置于光滑水平面上，A、B質(zhì)量分別為mA＝6kg、mB＝2kg，A、B之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，開始時F＝10N，此后逐漸增加，在增大到45N的過程中，則()A．當拉力F<12N時，物體均保持靜止狀態(tài)B．兩物體開始沒有相對運動，當拉力超過12N時，開始相對滑動C．兩物體從受力開始就有相對運動D．兩物體始終沒有相對運動【典例2a基礎(chǔ)題對應(yīng)練習】【答案】D【解析】A、B一起加速運動是因為A對B有靜摩擦力，但由于靜摩擦力存在最大值，所以B的加速度有最大值，可以求出此加速度下拉力的大小，如果拉力再增大，則物體間就會發(fā)生相對滑動，所以這里存在一個臨界點，就是A、B間靜摩擦力達到最大值時拉力F的大小。以A為研究對象進行受力分析，受水平向右的拉力和水平向左的靜摩擦力，有F－f＝mAa；再以B為研究對象，受水平向右的靜摩擦力f＝mBa，當f為最大靜摩擦力時，解得a＝eq\f(f,mB)＝eq\f(μmAg,mB)＝eq\f(12,2)m/s2＝6m/s2，有F＝48N。由此可以看出，當F<48N時，A、B間的摩擦力達不到最大靜摩擦力，也就是說，A、B間不會發(fā)生相對運動，故選項D正確。類型二：2個接觸式連接體在粗糙水平面運動模型【典例2b基礎(chǔ)題】(多選)如圖所示，長木板放置在水平面上，一小