c第三章平穩(wěn)時間序列模型的特性第一節(jié)格林函數(shù)和平穩(wěn)性一、線性常系數(shù)差分方程及其解的一般形式任何一個ARMA模型都是一個線性差分方程。因此，ARMA模型的性往往取決于差分方程程根的性質(zhì)。線性定常離散時間系統(tǒng)的主要數(shù)學工具是常系數(shù)差分方程:(3.1.1)

上式是普通的n階差分方程，其中為系統(tǒng)參數(shù)的函數(shù)，當其為常數(shù)時,就是常系數(shù)n階差分方程，是個離散序列,也叫做驅(qū)動函數(shù)；是系統(tǒng)的響應。時,為齊次差分方程.2求解n階齊次差分方程就是在給定輸出時間序列n個初始條件

下，求出輸出時間序列…來。當然，最好是求出一般解。ARMA模型完全等價于一個差分方程，驅(qū)動函數(shù)可以看作是(3.1.2)那么，如何求解差分方程呢?與微分方程一樣，先求相應的齊次方程的通解，然后求一個原方程的特解，原方程的解等于通解與特解的線性組合。3首先設

,則(3.1.2)的特征方程為(3.1.3)(3.1.3)左端為特征多項式，多項式的根為特征根。如果能求出特征方程(3.1.3)的n個特征根就可求得n階齊次差分方程的通解為其中，為任意實數(shù)，既可能是實數(shù)，也可能是復數(shù)，如果,則表示差分方程有重根。求特解，要根據(jù)驅(qū)動函數(shù)的具體形式而定，一般令y(k)=i常數(shù)即可。4例3.1

顯然是一個一階非齊次差分方程。解：求相應的齊次差分方程的通解，設,則有∴是相應的齊次方程的通解。下面求特解，設常數(shù)，則故原方程的通解為5例3：

解：本例是一個二階齊次方程。為求其通解，同樣設則有顯然有重根則方程的通解為為任意實數(shù)，其中6二、AR(1)系統(tǒng)的格林函數(shù)

格林函數(shù)就是描述系統(tǒng)記憶擾動程度的函數(shù)。AR(1)模型為

（3.1.4）

由于在動態(tài)條件下，…………7依次推下去，并代入(3.1.4)式，可得到：

(3.1.5)將(3.1.5)代入(3.1.4)式，得方程的解(3.1.5)式是驅(qū)動函數(shù)的一個線性組合，方程解的系數(shù)函數(shù)客觀地描述了該系統(tǒng)的動態(tài)性，故這個系數(shù)函數(shù)就叫做記憶函數(shù)，也叫格林函數(shù)(Green'sfunction)

82.AR(1)模型的后移算子表達式及格林函數(shù)

為更方便的描述線性差分方程，需要引入后移算子B的概念。后移算子B，就是“Back”算子，B的次數(shù)表示后移期數(shù)。如:這樣，AR(1)可寫成它的解為93.格林函數(shù)的意義

(1)是前j個時間單位以前進入系統(tǒng)的擾動對系統(tǒng)現(xiàn)在行為(響應)影響的權數(shù)。(2)客觀地刻畫了系統(tǒng)動態(tài)響應衰減的快慢程度。(3)是系統(tǒng)動態(tài)的真實描述。系統(tǒng)的動態(tài)性就是蘊含在時間序列中的數(shù)據(jù)依存關系。(4)格林函數(shù)所描述的動態(tài)性完全取決于系統(tǒng)參數(shù).10三、根據(jù)格林函數(shù)形成系統(tǒng)響應(時間序列)

1．根據(jù)生成序列:說明實例見下表3.1

11各個擾動對系統(tǒng)后繼行為的作用描述在圖3.1(b)~(g)中。

122.根據(jù)

生成序列13各個擾動對系統(tǒng)后繼行為的作用描述在圖3.2中。143.1系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)響應的影響(1)取負值時，響應波動較大。(2)取正值時，響應變得平坦。(3)越大，系統(tǒng)響應回到均衡圖3.1、圖3.2可以知道:面的序列分將別利用和成了兩個序列，分別描繪在圖3.2和圖3.3中，通過比較位置的速度越慢，時間越長。對此我們用實例加以說明，對前15四、AR(1)系統(tǒng)的平穩(wěn)性1.系統(tǒng)穩(wěn)定性與非穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性是指系統(tǒng)受擾后達到任意初始狀態(tài)，由此出發(fā)的狀態(tài)向量都隨時間的增長而趨于平衡狀態(tài)。漸近穩(wěn)定系統(tǒng)一定是平穩(wěn)的。而系統(tǒng)的不穩(wěn)定性則是指，如果系統(tǒng)受擾后達到任意初始狀態(tài)，由此出發(fā)的狀態(tài)向量將隨時間而趨向無窮。不穩(wěn)定系統(tǒng)一定是非平穩(wěn)的。如果系統(tǒng)受擾后達到任意初始狀態(tài)，由此出發(fā)的狀態(tài)向量隨時間的增長既不回到均衡位置，又不趨于無窮，這就是系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定性。本書以后所討論的平穩(wěn)系統(tǒng)就是指漸近穩(wěn)定系統(tǒng)。162.AR(1)系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件

對于AR(1)系統(tǒng)來說，如果系統(tǒng)受擾后，該擾動的作用漸漸減小，直至趨于零，即系統(tǒng)響應隨著時間的增長回到均衡位置，那么，該系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的，也就是平穩(wěn)的。相對于格林函數(shù)來說，就是隨著j→∞，擾動的權數(shù),由于故必有,

顯然，這就是AR(1)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定條件，也就是平穩(wěn)性條件。17五、格林函數(shù)與Wold分解所謂Wold分解也叫正交分解，其核心就是把一個平穩(wěn)過程分解成不相關的隨機變量的和.正交和不相關是一致的。由于這一思想是由Wold引入(1938年)到時序分析中的，故叫做Wold分解。他認為可以用線性空間來解釋ARMA模型的解。如果用線性空間的觀點來看AR(1)模型的解由于是相互獨立的，可看作線性空間的基(或無限維坐標軸)，顯然可由線性表示，其系數(shù)就是對于的坐標，因而上式也叫做Wold分解式，其系數(shù)叫Wold系數(shù)。18六、ARMA(2，1)系統(tǒng)的格林函數(shù)

1．ARMA(2，1)系統(tǒng)的格林函數(shù)的隱式我們可以利用比較系數(shù)法來求得ARMA(2，1)模型的格林函數(shù)。具體推導如下：ARMA(2，1)模型是一個二階非齊次差方程:(3.1.11)設該二階非齊次差分方程的解為,為方便用B算子式(3.1.12)(3.1.13)19(3.1.14)由B的同次冪的系數(shù)必相等，于是有：20將上式變形得

利用B算子式得這樣,在已知系統(tǒng)參數(shù)的情況下，我們便可遞推地計算出所有的。當j充分大時，格林函數(shù)滿足(3.1.11)式自回歸部分相應的差分方程。212.ARMA(n,n-1)系統(tǒng)的格林函數(shù)的隱式與ARMA(2，1)系統(tǒng)相類似，將代入ARMA

模型，展開并整理對比B的同次冪系數(shù)得B的冪指數(shù),得:這樣，便可遞推地計算出出格林函數(shù)223.ARMA(2，1)系統(tǒng)的格林函數(shù)的顯式

ARMA(2，1)系統(tǒng)的特征多項式是個二次多項式,設兩個特征根分別為,則通解為,其中是任意常數(shù),其值由初始條件唯一地確定。這里的初始條件為：于是有而,所以,即：23解得則ARMA(2，1)系統(tǒng)的格林函數(shù)為：24例如，

,用顯式求格林函數(shù)。解：求特征根，即求的根即于是，格林函數(shù)為254．AR(2)和ARMA(1，1)系統(tǒng)的格林函數(shù)

AR(2)和ARMA(1，1)模型是ARMA(2，1)模型的特殊形式，ARMA(2，1)的格林函數(shù)AR(2)系統(tǒng)動態(tài)性的格林函數(shù)，即ARMA(1，1)系統(tǒng)的格林函數(shù)為：265.ARMA(n,n-1)系統(tǒng)的格林函數(shù)

比較AR(1)和ARMA(2，1)可以發(fā)現(xiàn)，動態(tài)性增加，是通過把一個帶有適當系數(shù)的項加到AR(1)系統(tǒng)的格林函數(shù)之上實現(xiàn)的，那么，與此相類似，ARMA(n,n-1)系統(tǒng)的格林函數(shù)則為27七、ARMA(2，1)系統(tǒng)的平穩(wěn)性1.用特征根表示的平穩(wěn)性條件對于ARMA(2，1)模型格林函數(shù)為：顯然，只有當時，才能使得這就是ARMA(2，1)系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件，即也就是，特征方程的特征根的模在單位圓內(nèi)。對于ARMA(n,n-1)模型，類似地有282.用自回歸系數(shù)表示的平穩(wěn)性條件：

ARMA(2，1)系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件的系統(tǒng)參數(shù)形式為：這說明系統(tǒng)的平穩(wěn)性僅與自回參數(shù)有關，而與移動平均參數(shù)無關。特征值的表示形式也說明了這一點，由于特征值僅與自回參數(shù)有關，而與移動平均參數(shù)無關，所以，一切ARMA(2，m)系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件均為上式。293.ARMA(2，m)系統(tǒng)的平穩(wěn)區(qū)域平穩(wěn)性條件的幾何圖，即平穩(wěn)區(qū)域如圖3.5所示。(1)當時,平穩(wěn)區(qū)域為1，2，3。(2)當時,平穩(wěn)區(qū)域為4，5，6。(3)當時，平穩(wěn)區(qū)域為1，4。(4)當時,平穩(wěn)區(qū)域為2，3，5，6。30

第二節(jié)逆函數(shù)和可逆性

用過去的的一個線性組合來逼近系統(tǒng)現(xiàn)在時刻的行為。我們把這種表達形式稱為的“逆轉(zhuǎn)形式”。其中的系數(shù)函數(shù)稱為逆函數(shù)?？梢娝且粋€無窮階的自回歸模型。一個過程是否具有逆轉(zhuǎn)形式，也就是說逆函數(shù)是否存在的性質(zhì)，通常稱為過程是否具有可逆性，如果一個過程可以用一個無限階的自回歸模型逼近，即逆函數(shù)存在，我們就稱該過程具有可逆性，也就是可逆的，否則，就是不可逆的。31AR(1)模型和MA(1)模型的逆函數(shù)

1.AR(1)模型的逆函數(shù)由上面的分析，AR(n)模型本身就是一個逆轉(zhuǎn)形式，并且故AR(1)模型和AR(2)模型的逆轉(zhuǎn)形式分別為和顯然，322.MA(1)模型的逆函數(shù)：

對于MA(1)模型：,由于由可得模型的逆轉(zhuǎn)形式為33第三節(jié)自協(xié)方差函數(shù)一、自協(xié)方差函數(shù)客觀地描述了系統(tǒng)響應的分布特征1.直觀解釋若前k期的行為對現(xiàn)在時刻行為有一定的影響作用，則與可能是相關的而不是無關的，其作用程度具體表現(xiàn)為相關程度的高低；相關程度高，影響作用大，反之亦然。若某一時刻的值對其k期以后的值沒有影響作用，則在數(shù)值上應該表現(xiàn)為毫無關系，即不相關的?？梢?，系統(tǒng)的動態(tài)性完全可用自相關函數(shù)來刻化。342.理論依據(jù)

可以用的線性組合表出，而則是一個正態(tài)過程，此時是一個嚴平穩(wěn)正態(tài)過程，因而它的概率特性完全由自協(xié)方差函數(shù)來描述，顯然也是一個正態(tài)過程，它的特性也完全取決于自協(xié)方差函數(shù)。35二、理論自相關函數(shù)和樣本自相關函數(shù)

對于ARMA系統(tǒng)來說，設為零均值序列，則自協(xié)方差函數(shù)自相關函數(shù)362.樣本自相關函數(shù)樣本自相關函數(shù)有373．格林函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)之間的關系

（1）AR（1）模型的自協(xié)方差函數(shù)AR(1)自相關函數(shù)為，即其中AR(n)序列的自協(xié)方差函數(shù)和自相關函數(shù)是拖尾的，這是AR(n)序列的重要特征。38（2）MA(1)模型的自協(xié)方差函數(shù)

MA(n)模型為由白噪聲序列的定義知，當時，有MA(n)序列的充分必要條件是其自協(xié)方差函數(shù)和自相關函數(shù)是n步截尾的，這是MA(n)序列的本質(zhì)特征。394.偏自相關函數(shù)

對于考察由對即選擇系數(shù)作最小線性方差估計，，使得達到極小值，則稱系數(shù)為偏自相關函數(shù)?？梢姡韵嚓P系數(shù)就是使殘差的方差達到極小的階自回歸模型