1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、幾何意義.2.靈活應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn平方差公式(a+b)(a－b)=a2+b2？一般形式特殊形式這節(jié)課我們一起來學(xué)習(xí)另一種特殊形式.回

顧m2－4m+4(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=

；(2)(m+2)2=(_____)(_____)=

；(3)(p－1)2=(_____)(_____)=

；(4)(m－2)2=(_____)(_____)=

.p2－2p+1探

究

計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？m+2m+2p－1p－1m－2m－2p2+2p+1m2+4m+4①積為二次三項(xiàng)式.②積中兩項(xiàng)為兩數(shù)的平方和.③另一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍，且與兩數(shù)中間的符號(hào)相同.上面的幾個(gè)運(yùn)算都是形如(a±b)2的多項(xiàng)式相乘，因?yàn)?a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ab+b2=a2－2ab+b2歸納總結(jié)所以，對(duì)于具有與此相同形式的多項(xiàng)式相乘，我們可以直接寫出運(yùn)算結(jié)果，即(a+b)2=a2+2ab+b2(a－b)2=a2－2ab+b2也就是說，兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.這兩個(gè)公式叫作(乘法的)完全平方公式.(a+b)2=a2+2ab+b2是多項(xiàng)式乘法(a+b)·(p+q)中p=a，q=b的特殊情形.(a+b)2=a2+2ab+b2(a－b)2=a2－2ab+b2公式特征：1.積為二次三項(xiàng)式；2.積中兩項(xiàng)為兩數(shù)的平方和；3.另一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍，且與兩數(shù)中間的符號(hào)相同；4.公式中的字母a，b可以表示數(shù)，單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.歸納總結(jié)口訣：首平方加尾平方，首尾乘積二倍放中央思

考

你能根據(jù)圖(1)、圖(2)中圖形的面積說明完全平方公式嗎?圖(1)圖(2)分析：

S總

=S①+S②+S③+S④.①②③④=+++a2ababb2=(a+b)2(a+b)2=

.和的完全平方公式：a2+2ab+b2圖(1)分析：

S①

=S總－S②

－S③+S④.=－－＋a2ababb2=(a－b)2(a－b)2=

.差的完全平方公式：a2－2ab+b2圖(2)①④②③例1計(jì)算：(1)(4m+n

)2；

(2)

解：(1)(4m+n

)2

=(4m)2+2·(4m)·n+n2

=16m2+8mn+n2；(2)A．3B．±3C．6D．±6變

式

若(x＋3)2＝x2＋ax＋9，則a的值為(

)C解：(1)102

2=(100+2)2

=1002+2×100×2+22

=10404；例2運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)102

2；

(2)99

2.

(2)992=(100－1)2

=1002－2×100×1+12

=9801.拓展思考

表示陰影部分的面積，并得出等式.ab方法一：S陰影部分=S小正方形=(a－b)2方法二：S陰影部分=S大正方形－4·S小長(zhǎng)方形=(a+b)2－4ab所以得到等式(a－b)2=(a+b)2－4ab歸納總結(jié)①a2＋b2型a2＋b2＝(a＋b)2－2ab

＝(a－b)2＋2ab③(a±b)2型(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab(a－b)2＝(a＋b)2－4ab完全平方公式的變形：拓展變形②ab型ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]÷2

＝[(a2＋b2)－(a－b)2]÷2ab＝[(a＋b)2－(a－b)2]÷4思

考

(1)(a+b)2與(－a－b)2相等嗎?(2)(a－b)2與(b－a)2相等嗎?方法一：(－a－b)2=(－a)2－2·(－a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2；方法二：(－a－b)2=[－(a+b)]2=(－1)2(a+b)2=(a+b)2.相等，證明過程如下：方法一：(b－a)2=b2－2ba+a2=a2－2ab+b2=(a－b)2；方法二：∵(b－a)=－(a－b)∴(b－a)2=[－(a－b)]2=(－1)2(a－b)2=(a－b)2.相等，證明過程如下：(3)(a－b)2與a2－b2相等嗎?(a－b)2與a2－b2不一定相等，因?yàn)榍罢呤峭耆椒?，后者是平方?只有當(dāng)b=0或a=b時(shí)，

(a－b)2=a2－b2

.

1.(2024呼和浩特)下列運(yùn)算正確的是()A.(3x)3=9x3

B.(x－2)2=x2－4C.(－2ab2)2=4a2b4D.3a+4b=7abC2.如圖，在一塊邊長(zhǎng)為a的正方形花圃中，兩縱兩橫的4條寬度為b的人行道把花圃分成9塊，下面是四種計(jì)算種花部分土地總面積的代數(shù)式：①(a－2b)2；②a2－4ab；③a2－4ab+b2；

④a2－4ab+4b2.其中正確的有()A.②

B.①③

C.①④

D.④

C(1)已知a－b=3，ab=10，a2+b2=______.(2)已知a＋b=5，a－b=3，ab=______.3.填空：2944.如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB=8，兩正方形的面積和S?+S?=40，則圖中陰影部分面積為

.65.

計(jì)算.(1)(ab+1)2－(ab－1)2；(2)(a+b+c)2；解：(1)(ab＋1)2－(ab－1)2＝(a2b2＋2ab＋1)－(a2b2－2ab＋1)＝a2b2＋2ab＋1－a2b2＋2ab－1＝4ab；(2)(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；5.

計(jì)算.(3)982－101×99；(4)20222－2022×4042+20212.(3)982－101×99＝(100－2)2－(100+1)(100－1)

＝1002－400+4－1002+1

＝－395；(4)20222－2022×4042+20212＝

20222－2×2022×2021+20212

＝

(2022－2021)2

＝1.6.【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．如圖①，在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(a＞b)，把余下的部分沿虛線剪開拼成如圖②的一個(gè)長(zhǎng)方形．圖①中陰影部分面積可表示為a2－b2，圖②中陰影部分面積可表示為(a＋b)(a－b)，因?yàn)閮蓚€(gè)圖中的陰影部分面積是相同的，所以可得到的等式為a2－b2＝(a＋b)(a－b).【類比應(yīng)用】圖③是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖④的形狀拼成一個(gè)正方形．(1)用兩種不同方法表示圖④中陰影部分面積：方法1：__________________，方法2：____________________；(2)由(1)可得到一個(gè)等量關(guān)系式為_________________________；(3)若m＋n＝5，m2＋n2＝20，求(m－n)2的值；(a－b)2(a＋b)2－4ab(a＋b)2－4ab=

(a－b)2解：(3)由(2)可得(m－n)2＝(m＋n)2－4mn，因?yàn)閙＋n＝5，m2＋n2＝20，所以(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝25，所以2mn＝5，所以4mn＝10，所以(m－n)2＝25－10＝15.(4)如圖⑤，小明家打算在自家長(zhǎng)方形土地(即長(zhǎng)方形ABCD)旁邊，以AB、AD為邊分別向外用籬笆圍出正方形ABEF、正方形ADGH兩塊空地(不包含長(zhǎng)方形ABCD的邊長(zhǎng))，并在兩塊正方形空地上種植不同品種的農(nóng)作物，已知籬笆一共長(zhǎng)210m，其種植面積和為2500m2，求長(zhǎng)方形土地ABCD的面