模擬信號數(shù)字化6.2抽樣定理6.2.1低通信號抽樣定理

定理：一個頻帶限制在(0，fH

)Hz內(nèi)的時間連續(xù)信號m(t)，如果以不低于2fH次/秒的速率fs對m(t)進(jìn)行抽樣，則m(t)可由抽得的樣值完全確定。要點：1.m(t)是低通信號，其最高頻率為fH。2.定理中提到的“抽樣”是等間隔的抽樣，所以該定理稱為均勻抽樣定理。3.該定理中“以不低于2fH

次/秒的速率對m(t)進(jìn)行抽樣”也可以說，“在信號最高頻率分量的每一個周期內(nèi)至少應(yīng)抽樣兩次”。

6.2.1低通信號抽樣定理定理的證明:設(shè)δT(t)為周期性沖擊函數(shù)，其周期為Ts。將m(t)和δT(t)相乘，得到的信號便是均勻間隔為Ts秒的沖擊序列，表示對m(t)的抽樣。

假設(shè)m(t)、δT(t)和ms(t)的頻譜分別為M

(ω)、δT(ω)、Ms(ω)。根據(jù)卷積定理，時域的乘積等于頻域的卷積，可得ms(t)的付氏變換

6.2.1低通信號抽樣定理Return因為

所以

6.2.1低通信號抽樣定理6.2.1低通信號抽樣定理

由圖可知：用截止角頻率為ωH的理想低通濾波器可從ms(t)的頻譜Ms(ω)中濾出原基帶信號的頻譜M(ω)，即其中即6.2.1低通信號抽樣定理所以由上式可知，任何一個帶限的連續(xù)信號完全可以用其抽樣值表示。從而證明了低通抽樣定理。但實際中，由于不存在嚴(yán)格的帶限信號和理想的低通濾波器，因此實際的抽樣頻率一般都大于2fH

。

定理：一個頻帶限制在fL和fH之間的帶通信號m(t)，如果以如下的抽樣速率進(jìn)行抽樣

那么，m(t)可完全由其抽樣值確定。此時頻譜空隙最小，且頻譜不重疊。式中，B=fH-fL為帶通信號的帶寬；k=fH/B-n，n是小于fH/B的最大正整數(shù)。由此可知，必有0≤k<1。

6.2.2帶通信號抽樣定理6.3脈沖振幅調(diào)制(PAM)

PAM是脈沖載波的振幅隨基帶信號變化的一種調(diào)制方式。如果載波是由沖激脈沖序列組成，則按抽樣定理得到的信號ms(t)就是一個PAM信號。需要指出，用沖激脈沖序列進(jìn)行抽樣是一種理想情況，是不可能實現(xiàn)的。即使能實現(xiàn)，由于抽樣后信號的頻譜為無限寬，對有限帶寬的信道而言也無法傳輸。因此，在實際中通常采用有限寬度的窄脈沖序列近似代替沖激脈沖序列。常見的兩種基本抽樣形式是自然抽樣和平頂抽樣。6.3.1自然抽樣

設(shè)抽樣脈沖s(t)為矩形脈沖序列，其脈沖寬度為τ秒、幅度為A、重復(fù)周期為Ts秒。那么自然抽樣就可通過s(t)與信號m(t)直接相乘來實現(xiàn)。

時域表示式為

頻域表示式為

6.3.1自然抽樣6.3.2平頂抽樣

平頂抽樣也稱為瞬時抽樣，其特點是抽樣以后的信號脈沖序列有一定寬度，且具有相同的形狀，而不是隨信號m(t)變化，它的幅度正比于信號m(t)的瞬時抽樣值。

數(shù)學(xué)模型、時域波形與頻域波形如下圖所示:

6.3.2平頂抽樣6.3.2平頂抽樣平頂抽樣信號的時域表示式為

頻域表示式為6.3.2平頂抽樣

為了消除由H(ω)引起的頻率失真，可在低通濾波器之前用傳輸函數(shù)為1/H(ω)的網(wǎng)絡(luò)加以修正，則低通濾波器輸入信號的頻譜變成

這樣低通濾波器便能無失真地恢復(fù)出M(ω)。6.4脈沖編碼調(diào)制(PCM)PCM主要由抽樣、量化、編碼三個部分組成。PCM系統(tǒng)方框圖如下圖所示。6.4.1量化1.均勻量化

如果采用相等的量化間隔對抽樣得到的信號進(jìn)行量化，稱為均勻量化。其特點是：量化間隔是一個常數(shù)，它的大小由輸入信號的變化范圍和量化電平數(shù)決定。當(dāng)信號的取值范圍和量化電平數(shù)確定之后，量化間隔也就確定了。

1.均勻量化

量化器是將隨機(jī)信號m(t)進(jìn)行抽樣后的模擬信號ms(t)=m(kTs)，變換成M個量化電平q1、q2、…、qM之一，即有

當(dāng)

抽樣值和量化值之間存在一定的誤差。這種舍零取整造成的誤差叫做量化誤差，并且把量化誤差產(chǎn)生的噪聲叫做量化噪聲。這種噪聲在接收端無論用什么辦法也不能消除。在電聲系統(tǒng)中量化噪聲表現(xiàn)為一些沙沙聲；在圖像傳輸中，量化噪聲會使連續(xù)變化的灰度值出現(xiàn)不連續(xù)的情況。1.均勻量化量化誤差為

若采用四舍五入的量化方法，則量化誤差的范圍是：

Δv/2≤eq(t)≤Δv/2。1.均勻量化

下面我們來分析均勻量化時的量化噪聲和量化信噪比。

設(shè)輸入信號m(t)在[a,b]范圍內(nèi)取值，并被劃分為M個量化級，量化間隔為Δv，可以得到量化噪聲功率為1.均勻量化量化器輸出的信號功率為

若已知信號m(t)振幅的概率密度函數(shù)，便可計算出量化器輸出信噪比Sq/Nq

。

均勻量化的主要缺點是：因為均勻量化的間隔是固定不變的，與輸入信號樣值的大小無關(guān)，于是信號的動態(tài)范圍受到較大的限制，使小信號時Sq/Nq變小，難以滿足信噪比的要求。要改善小信號時的量化信噪比，可采用非均勻量化。2.非均勻量化

實際中，非均勻量化及編碼可以采用壓縮、均勻量化及編碼來實現(xiàn)，接收端則要采用譯碼、擴(kuò)張才能恢復(fù)信號。下圖為非均勻量化的PCM系統(tǒng)框圖。2.非均勻量化

為了進(jìn)一步理解壓縮與擴(kuò)張的原理，請參見下圖所示的壓縮與擴(kuò)張?zhí)匦郧€。2.非均勻量化

世界各國廣泛采用的兩種對數(shù)壓縮律是μ壓縮律和A壓縮律。ITU—T在G.711建議中給出了這兩種壓縮率的標(biāo)準(zhǔn)，并規(guī)定國際間通信一律采用A律。

μ律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為A律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為2.非均勻量化

CCITT建議采用的有13折線A律(A=87.6)和15折線μ律(μ=255)。15折線μ律(μ=255)主要用于美國、加拿大等國的PCM24路基群中；13折線A律(A=87.6)主要用于英國、法國、德國等歐洲各國的PCM30/32路基群中，我國的PCM30/32路基群也采用A律13折線壓縮律。下面對A律13折線法加以說明。

2.非均勻量化下圖是A律(A=87.6)13折線壓縮特性曲線

2.非均勻量化段落12345678X1/1281/1281/641/321/161/81/41/2y1/81/81/81/81/81/81/81/8y/x161684211/21/4量化間隔(以△計)△△2△4△8△16△32△64△6.4.2編碼和譯碼1.常用的二進(jìn)制碼型樣值脈沖極性自然二進(jìn)碼格雷二進(jìn)碼折疊二進(jìn)碼量化值正極性部分11111110110111001011101010011000100010011011101011101111110111001111111011011100101110101001100015141312111098負(fù)極性部分011101100101010000110010000100000100010101110110001000110001000000000001001000110100010101100111765432106.4.2編碼和譯碼2.碼位數(shù)的選擇與安排

C7：極性碼，表示信號樣值的極性。正極性時C7=1，負(fù)極性時C7=0。

C6C5C4：段落碼，表明信號樣值被歸入哪一段，并指出8個段落的起點電平。

C3C2C1C0：段內(nèi)碼，代表每一段落中的

16個均勻劃分的量化級。6.4.2編碼和譯碼表6.3段落碼、段內(nèi)碼及相應(yīng)電平值的關(guān)系段落序號段落碼段落起點電平(△)段內(nèi)碼對應(yīng)電平(△)段內(nèi)量化級數(shù)(△)量化間隔(△)C6C5C4C3C2C1C0100008421161200116842116130103216842322401164321684644510012864321681288610125612864321625616711051225612864325123281111024512256128641024643.逐次比較型編碼原理

編碼器的任務(wù)就是根據(jù)輸入的樣值脈沖變換成相應(yīng)的8位二進(jìn)制代碼。在這8位代碼中，除了第1位作為極性碼之外，其余7位二進(jìn)代碼是通過逐次與預(yù)先規(guī)定好的標(biāo)準(zhǔn)電流(或電壓)進(jìn)行比較而確定的。這些標(biāo)準(zhǔn)電流(或電壓)稱為權(quán)值電流(或電壓)，用符號Iw表示。下圖為逐次比較型編碼器的原理框圖。它由抽樣保持、整流、極性判決、比較器及本地譯碼器等組成。

3.逐次比較型編碼原理

3.逐次比較型編碼原理

IS>

Iw=128△？ (是)C6=1樣值在5~8段(否)C6=0樣值在1~4段IS>Iw=512△？IS>Iw=32△？(是)C5=1樣值在7、8段(否)C5=0樣值在5、6段(是)C5=1樣值在3、4段(否)C5=0樣值在1、2段IS>Iw=1024△？IS>Iw=256△？IS>Iw=64△？IS>Iw=16△？(是)C4=1樣值在8段(否)C4=0樣值在7段(是)C4=1樣值在6段(否)C4=0樣值在5段(是)C4=1樣值在4段(否)C4=0樣值在3段(是)C4=1樣值在2段(否)C4=0樣值在1段表6-4段落碼的編碼過程段內(nèi)碼的編碼方法與段落碼類似，同樣可確定C3C2C1C03.逐次比較型編碼原理[例6.4.2]設(shè)輸入信號抽樣值為+436△，若進(jìn)行PCM編碼，求所編的8位碼。解：(1)確定極性碼C7由于+436為正，所以極性碼C7=1。(2)確定段落碼C6C5C4(參見表6—4)第一次比較，取Iw=128△。因為Is=436△>Iw=128△,故C6=1，樣值在5~8段。第二次比較，取Iw=512△。因為Is=436△<Iw=512△,故C5=0，樣值在5~6段。第三次比較，取Iw=256△。因為Is=436△>Iw=256△,故C4=1，樣值在6段。3.逐次比較型編碼原理(3)確定段內(nèi)碼C3C2C1C0(參見表6—3)

段內(nèi)碼是在已確定輸入信號所處段落的基礎(chǔ)上，用來表示輸入樣值信號處于該段的哪一量化級上。上面已經(jīng)確定輸入信號處于第6段，該段有16個量化級。由表6.3可知，該段的量化間隔為16△。故C3的標(biāo)準(zhǔn)電流應(yīng)選為

Iw=段落起點電平+8×(該段量化間隔)=256△+8×16△=384△3.逐次比較型編碼原理第四次比較，Is=436△>Iw=384△，故C3=1，說明樣值處于第6段的后8級(9-16級)。同理，C2的標(biāo)準(zhǔn)電流應(yīng)選為

Iw=段落起點電平+12×(該段量化間隔)=256△+12×16△=448△第五次比較，Is=436△<Iw=448△，故C2=0，樣值處于第6段的前4級(9~12級)。

C1的標(biāo)準(zhǔn)電流應(yīng)選為

Iw=段落起點電平+10×(該段量化間隔)=256△+10×16△=416△3.逐次比較型編碼原理第六次比較，Is=436△>Iw=416△，故C1=1，說明樣值處于第6段的11-12級。C0的標(biāo)準(zhǔn)電流應(yīng)選為

Iw=段落起點電平+11×(該段量化間隔)=256△+11×16△=432△第七次比較，Is=436△>Iw=432△，故C0=1，說明樣值處于第6段的第12級。經(jīng)過七次比較，最后得到+436的編碼為C7C6C5C4C3C2C1C0=11011011，它位于第6段第12量化級。還可計算出436對應(yīng)的11位線性編碼為00110110100。3.逐次比較型編碼原理[例6.4.3]設(shè)碼組的8位編碼為01011001，求量化電平為多少？解：C7=0，說明抽樣值為負(fù)極性。段落碼為101，說明在第6段。第6段的段落起點電平為256個量化單位。段內(nèi)碼為1001，段內(nèi)電平為128+16=144個量化單位，故該8位非線性碼所代表的信號抽樣量化值為256+144=400個量化單位。6.4.4PCM系統(tǒng)的抗噪聲性能

PCM系統(tǒng)存在兩種噪聲，一種是在量化過程中形成的量化噪聲nq(t)；另一種是在傳輸過程中經(jīng)信道混入的加性高斯白噪聲ne(t)。這樣，在接收端低通濾波器的輸出中，除了有輸出信號m0(t)成分外，還存在上面所述的兩種噪聲，即

為了衡量PCM系統(tǒng)的抗噪聲性能，通常將系統(tǒng)輸出端總的信噪比定義為6.4.4PCM系統(tǒng)的抗噪聲性能量化噪聲的影響求得PCM系統(tǒng)輸出端平均信號量化噪聲功率比為式中，二進(jìn)碼位數(shù)N與量化級數(shù)M的關(guān)系為M=2N。6.4.4PCM系統(tǒng)的抗噪聲性能

加性噪聲對PCM系統(tǒng)的影響表現(xiàn)在PCM譯碼的錯誤，即造成誤碼。誤差的大小對各碼位來說是不均勻的。在一個長為N位的自然編碼組中，假定自最低位到最高位的權(quán)值分別為20、21、22、…、2i—1、2i、…、2N-1，量化間隔為Δv，則第位碼對應(yīng)的抽樣值為2i-1Δv。若第i位碼發(fā)生了誤碼，則其誤差為±(2i-1Δv)。這樣，如果誤碼發(fā)生在最低位，則誤差只為一個Δv，而如果誤碼發(fā)生在最高位，則造成的誤差最大，為±(2N-1Δv)。

6.4.4PCM系統(tǒng)的抗噪聲性能

得到僅考慮信道加性噪聲時PCM系統(tǒng)的輸出信噪比為

前面已經(jīng)指出，傳輸模擬信號的PCM系統(tǒng)的性能用接收端輸出的平均信噪比來度量。

上式說明，在誤碼率較低時，PCM系統(tǒng)輸出的信噪比S0/N0主要取決于量化信噪比的大小，而與加性噪聲的影響幾乎無關(guān)。這說明PCM系統(tǒng)抗加性噪聲的能力是非常強(qiáng)的。6.5增量調(diào)制（△M）系統(tǒng)◆增量調(diào)制簡稱ΔM或DM。是另一種模擬信號數(shù)字化的方法；◆在PCM中，用一個碼組來表示抽樣，碼組位數(shù)大于1；而ΔM僅使用一位碼組來表示抽樣；◆ΔM又可以看成DPCM的特例，即量化電平取兩個，且預(yù)測器是一個延遲為T的延遲線的DPCM系統(tǒng)調(diào)制系統(tǒng)；◆由DPCM的一般原理框圖簡化可以得到增量調(diào)制ΔM的原理框圖；6.5.1增量調(diào)制的基本原理

定義：所謂增量調(diào)制就是將信號瞬時值與前一個抽樣時刻的量化值之差進(jìn)行量化，而且只對這個差值的符號進(jìn)行編碼。因此量化只限于正和負(fù)兩個電平，也就是說用一位碼來傳輸一個抽樣值。如果差值為正，則發(fā)“1”碼；如果差值為負(fù)，則發(fā)“0”碼。顯然，數(shù)碼“1”和“0”只是表示信號相對于前一時刻的增減，而不代表信號值的大小。6.5.1增量調(diào)制的基本原理6.5.1增量調(diào)制的基本原理6.5.1增量調(diào)制的基本原理

如圖6-18所示，接收端的譯碼器由積分器和低通濾波器組成，其中的積分器與編碼器中的積分器完全相同。ΔM譯碼器的工作過程如下：積分器遇到“1”碼(即有+E脈沖電壓)，就以固定斜率上升一個ΔE，并讓ΔE=σ；遇到“0”碼(即有-E脈沖電壓)，就以固定斜率下降一個ΔE。圖6—19表示了積分器的輸入與輸出波形。由圖可以看到，積分器的輸出波形并不是階梯波形，而是一個斜變波形。但因ΔE=σ，故在所有抽樣時刻ti上斜變波形與階梯波形有完全相同的值。因而，斜變波形與原來的模擬信號相似。積分器輸出的斜變波經(jīng)低通濾波器之后就變得十分接近于信號m(t)。

6.5.1增量調(diào)制的基本原理6.5.2增量調(diào)制系統(tǒng)中量化噪聲和過載噪聲的影響

1.量化噪聲由于ΔM信號是按臺階σ來量化的，因而也必然存在量化誤差eq(t)，也就是所謂的量化噪聲。量化誤差可以表示為

在正常情況下，eq(t)在(-σ,+σ)范圍內(nèi)變化?，F(xiàn)假設(shè)隨時間變化的eq(t)在區(qū)間(-σ,+σ)上均勻分布，則eq(t)的一維概率密度fq(e)可表示為6.5.2增量調(diào)制系統(tǒng)中量化噪聲和過載噪聲的影響因而eq(t)的平均功率可表示成6.5.2增量調(diào)制系統(tǒng)中量化噪聲和過載噪聲的影響

需要指出的是，上述的量化噪聲功率并不是系統(tǒng)最終輸出的量化噪聲功率。這是因為eq(t)的最小周期等于抽樣周期Ts，即其最高頻率為fs。但eq(t)的最大周期可以是任意大，亦即其最低頻率可為任意小。所以從頻譜角度來看，eq(t)的頻譜將從很低的頻率一直延伸到fs。為便于分析，我們假設(shè)量化誤差的功率譜密度Gq(f)在0-fs之間均勻分布，則可得到Gq(f)的表示式為：6.5.2增量調(diào)制系統(tǒng)中量化噪聲和過載噪聲的影響

經(jīng)截止頻率為fm的低通濾波器之后的量化噪聲功率為

由此可見，ΔM系統(tǒng)輸出的量化噪聲功率與量化臺階σ及比值(fm/fs)有關(guān)。因此若要想減小Nq，就應(yīng)減小量化臺階σ和比值(fm/fs)。6.5.2增量調(diào)制系統(tǒng)中量化噪聲和過載噪聲的影響2.過載噪聲

在ΔM系統(tǒng)中，還存在一種噪聲—斜率過載噪聲。它的產(chǎn)生原因與PCM系統(tǒng)不同。在PCM系統(tǒng)中過載是由于輸入信號幅度超出量化范圍引起的。而在ΔM系統(tǒng)中，過載卻是由于譯碼器輸出的斜變波形m?(t)跟不上輸入模擬信號m(t)的變化所引起的(如下圖所示)。這是因為在ΔM系統(tǒng)中，量化臺階σ取的是固定值，而每秒中的臺階數(shù)為fs=1/Δt(fs實際上就是抽樣頻率)也是固定值，所以譯碼器輸出信號m?(t)的斜率K為6.5.2增量調(diào)制系統(tǒng)中量化噪聲和過載噪聲的影響

通過對量化噪聲和過載噪聲的分析可知，量化臺階σ大，則產(chǎn)生的量化噪聲大，σ小，則產(chǎn)生的噪聲??；采用大的σ能減小過載噪聲，但σ的增大卻使得量化噪聲增加了。因此，σ值應(yīng)適當(dāng)選取。由上述分析可知，要想避免發(fā)生過載噪聲，必須使信號的最大可能斜率小于斜變波的斜率，即要求6.5.2增量調(diào)制系統(tǒng)中量化噪聲和過載噪聲的影響當(dāng)輸入為單音頻信號m(t)=Asinωkt時，有為了不發(fā)生過載現(xiàn)象，必須滿足

6.5.2增量調(diào)制系統(tǒng)中量化噪聲和過載噪聲的影響

需要特別指出的是，當(dāng)輸入信號m(t)為零，或為某一個固定電平時，ΔM系統(tǒng)的發(fā)送端將輸出“0”、“1”交替碼。從理論上講，即使輸入信號不是直流，只要信號變化范圍不超過σ/2，ΔM系統(tǒng)仍輸出“0”、“1”交替碼，即對于變化非常緩慢的輸入信號，ΔM系統(tǒng)的編碼輸出不會有所反映。我們把這種失真稱為空載失真。當(dāng)輸入信號為正弦音頻信號時，不出現(xiàn)ΔM空載失真的條件為6.5.2增量調(diào)制系統(tǒng)中量化噪聲和過載噪聲的影響

綜上所述，為了不產(chǎn)生過載失真和空載失真，對于正弦音頻輸入信號而言，應(yīng)要求其輸入信號的幅度滿足下列關(guān)系6.5.4PCM和ΔM的性能比較1）無誤碼或誤碼率極低時二者的性能比較

在相同的信道傳輸速率下，如果PCM系統(tǒng)的編碼位數(shù)N小于4，則它的性能比fk=1kHz，fm=3kHz的ΔM系統(tǒng)差；如果N大于4，PCM的性能超過ΔM系統(tǒng)，且隨N的進(jìn)一步增大，其性能越來越好。2）考慮信道誤碼影響時二者的性能比較

由于在ΔM系統(tǒng)中，一個碼元只代表一個量階，所以一個碼元的誤碼只損失一個增量，這就是說它對誤碼不太敏感，故對信道誤碼率的要求較低，一般為10—3~10—4。對于PCM系統(tǒng)而言，誤碼的影響要嚴(yán)重得多，尤其高位碼元，錯一位將造成許多量階的損失，所以對信道誤碼率的要求較高，一般為10-5---10-6。

6.5.4PCM和ΔM的性能比較3）從設(shè)備的復(fù)雜程度來比較二者的性能

ΔM系統(tǒng)最突出的優(yōu)點是設(shè)備簡單，特別是在單路應(yīng)用時不需要收發(fā)同步設(shè)備。但多路應(yīng)用時，ΔM每路需要一套調(diào)制和解調(diào)設(shè)備，所以路數(shù)增多時設(shè)備成倍增加。而在PCM系統(tǒng)中，即使是單路應(yīng)用，為了區(qū)分碼元在碼組中的位置，也需要同步設(shè)備。因此單路PCM比ΔM復(fù)雜得多。但是PCM多路傳輸時可共用一套A/D和D/A變換器，故多路PCM比單路PCM增加設(shè)備不多。因此，路數(shù)多時用PCM合適，路數(shù)少時用ΔM較合適。6.5.4PCM和ΔM的性能比較

不過，隨著集成電路的發(fā)展，ΔM的優(yōu)點已不再是關(guān)鍵因素。在傳輸語音信號時，ΔM的話音清晰度和自然度方面都不如PCM。因此目前在通用多路系統(tǒng)中很少用或不用ΔM。ΔM一般用于通信容量小和質(zhì)量要求不十分高的場合。6.6幾種改進(jìn)型增量調(diào)制6.6.1總和增量調(diào)制(Δ-∑M)