2025年名校高三數(shù)學(xué)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2-ax+a-1=0\}\)，若\(A\capB=B\)，則實(shí)數(shù)\(a\)的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或22.函數(shù)\(y=\log_2(x^2-4x+3)\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((3,+\infty)\)B.\((-\infty,1)\)C.\((2,+\infty)\)D.\((1,2)\)3.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})\)的值為（）A.\(\frac{1}{7}\)B.7C.\(-\frac{1}{7}\)D.-74.若直線(xiàn)\(ax+by=1\)與圓\(x^2+y^2=1\)相切，則實(shí)數(shù)\(ab\)的最大值為（）A.1B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.\(\frac{1}{4}\)5.已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(S_3=7\)，\(S_6=\frac{63}{2}\)，則\(a_1\)的值為（）A.1B.2C.3D.46.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的圖象向右平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位后得到的函數(shù)圖象的解析式為（）A.\(y=\sin2x\)B.\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)C.\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)D.\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6})=\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)7.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x\)，則當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(f(x)\)的解析式為（）A.\(f(x)=-x^2-2x\)B.\(f(x)=-x^2+2x\)C.\(f(x)=x^2+2x\)D.\(f(x)=x^2-2x\)8.已知\(a=\log_23\)，\(b=\log_34\)，\(c=\log_45\)，則（）A.\(a\gtb\gtc\)B.\(a\ltb\ltc\)C.\(a=b=c\)D.\(a\gtc\gtb\)9.若\(x\)，\(y\)滿(mǎn)足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，則\(z=2x-y\)的最大值為（）A.1B.2C.3D.410.已知雙曲線(xiàn)\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的離心率為\(2\)，則其漸近線(xiàn)方程為（）A.\(y=\pm\sqrt{3}x\)B.\(y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x\)C.\(y=\pm2x\)D.\(y=\pm\frac{1}{2}x\)答案：1.C2.A3.A4.B5.B6.A7.B8.A9.C10.A二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=x^3\)B.\(y=x^{\frac{2}{3}}\)C.\(y=x^{\frac{3}{2}}\)D.\(y=x^{-2}\)2.已知\(\alpha\)，\(\beta\)是兩個(gè)不同的平面，\(m\)，\(n\)是兩條不同的直線(xiàn)，則下列命題中正確的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，則\(m\paralleln\)B.若\(\alpha\perp\beta\)，\(m\subset\alpha\)，\(n\subset\beta\)，則\(m\perpn\)C.若\(m\perp\alpha\)，\(m\paralleln\)，\(n\subset\beta\)，則\(\alpha\perp\beta\)D.若\(\alpha\parallel\beta\)，\(m\subset\alpha\)，\(n\subset\beta\)，則\(m\paralleln\)3.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(a_1=1\)，\(S_3=6\)，則（）A.\(a_n=n\)B.\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\)C.\(a_3=3\)D.\(S_5=15\)4.已知函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)(A\gt0,\omega\gt0,|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)的部分圖象如圖所示，則（）A.\(A=2\)B.\(\omega=2\)C.\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)D.\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)5.已知點(diǎn)\(P(x,y)\)在圓\(x^2+y^2=1\)上運(yùn)動(dòng)，則\((x-1)^2+(y-1)^2\)的最大值為（）A.\(2+2\sqrt{2}\)B.\(2-2\sqrt{2}\)C.\(2\)D.\(2\sqrt{2}\)6.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)，則（）A.\(f(x)\)是偶函數(shù)B.\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減C.\(f(x)\)的值域是\((0,1]\)D.\(f(x)\)的圖象關(guān)于直線(xiàn)\(x=0\)對(duì)稱(chēng)7.已知直線(xiàn)\(l\)過(guò)點(diǎn)\((1,0)\)且傾斜角為\(\alpha\)，在直角坐標(biāo)系\(xOy\)中，以\(O\)為極點(diǎn)，\(x\)軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)\(C\)的極坐標(biāo)方程為\(\rho=4\cos\theta\)，若直線(xiàn)\(l\)與曲線(xiàn)\(C\)相切，則\(\alpha\)的值為（）A.\(\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{2\pi}{3}\)D.\(\frac{5\pi}{6}\)8.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為實(shí)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)B.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)C.若\(a\gtb\)，則\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)D.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(ac\gtbd\)9.已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\\log_2x,x\gt0\end{cases}\)，則（）A.\(f(f(\frac{1}{4}))=-4\)B.若\(f(a)=2\)，則\(a=4\)C.\(f(x)\)的值域是\((-\infty,+\infty)\)D.\(f(x)\)在\(R\)上單調(diào)遞增10.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點(diǎn)分別為\(F_1\)，\(F_2\)，點(diǎn)\(P\)在橢圓上，若\(|PF_1|=2|PF_2|\)，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A.\((0,\frac{1}{3}]\)B.\([\frac{1}{3},1)\)C.\((0,\frac{1}{2}]\)D.\([\frac{1}{2},1)\)答案：1.B2.C3.ABCD4.ABD5.A6.ABD7.AD8.無(wú)正確選項(xiàng)9.A10.B三、判斷題1.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上單調(diào)遞增，則\(f^\prime(x)\gt0\)在\([a,b]\)上恒成立。（）2.若向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)滿(mǎn)足\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)。（）3.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，則\(a_n=a_1q^{n-1}\)。（）4.若函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象關(guān)于點(diǎn)\((a,b)\)對(duì)稱(chēng)，則\(f(a+x)+f(a-x)=2b\)。（）5.若直線(xiàn)\(l_1\)：\(A_1x+B_1y+C_1=0\)與直線(xiàn)\(l_2\)：\(A_2x+B_2y+C_2=0\)平行，則\(A_1B_2-A_2B_1=0\)。（）6.若\(x\gt0\)，則\(x+\frac{1}{x}\geq2\)。（）7.若函數(shù)\(y=f(x)\)是奇函數(shù)，則\(f(0)=0\)。（）8.若圓\(x^2+y^2=r^2\)與直線(xiàn)\(Ax+By+C=0\)相切，則圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即\(\frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=r\)。（）9.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）10.若函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)有極值點(diǎn)，則\(f^\prime(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)有零點(diǎn)且\(f^\prime(x)\)在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)。（）答案：1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.×8.√9.×10.√四、簡(jiǎn)答題1.已知函數(shù)\(f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx\)，求\(f(x)\)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間。2.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，\(a_1=1\)，\(S_{n+1}=4a_n+2\)，求\(a_n\)。3.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，短軸長(zhǎng)為\(2\)，求橢圓的方程。4.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([-1,3]\)上的最大值和最小值。答案：1.\(f(x)=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}\)，最小正周期\(T=\pi\)。由\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x-\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，得單調(diào)遞增區(qū)間為\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}]\)，\(k\inZ\)。2.由\(S_{n+1}=4a_n+2\)可得\(S_{n+2}=4a_{n+1}+2\)，兩式相減得\(a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n\)，構(gòu)造等比數(shù)列可得\(a_n=(3n-1)\cdot2^{n-2}\)。3.因?yàn)殡x心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(2b=2\)，又\(a^2=b^2+c^2\)，解得\(a^2=4\)，\(b^2=1\)，橢圓方程為\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)。4.\(f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，可得極值點(diǎn)\(x=0\)，\(x=2\)。\(f(-1)=-2\)，\(f(0)=2\)，\(f(2)=-2\)，\(f(3)=2\)，所以最大值為\(2\)，最小值為\(-2\)。五、討論題1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的單調(diào)性和值域。2.討論橢圓和雙曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。3.討論數(shù)列通項(xiàng)公式的求法有哪些，并