八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第十五章分式》15.3分式方程知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一分式方程的概念◆1、分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．◆2、分式方程的解：求出使分式方程中等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．【方法總結(jié)】判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是看分母中是否含有未知數(shù)(注意：π是常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二分式方程的解法◆1、解分式方程的基本思路：是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母.這也是解分式方程的一般方法.◆2、“去分母法”解分式方程的步驟（1）在方程的兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程；（2）解這個(gè)整式方程；（3）把整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解，否則該解須舍去；（4）寫(xiě)出原方程的解.簡(jiǎn)記為：“一化二解三檢驗(yàn)”.◆3、檢驗(yàn)方法：將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解就不是原分式方程的解.◆4、分式方程的增根增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三分式方程的應(yīng)用◆列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：1.審清題意；2.設(shè)出未知數(shù)；3.找相等關(guān)系；4.列出方程；5.解這個(gè)分式方程；6.檢驗(yàn)(包括兩方面：一驗(yàn)是否是分式方程的根，二驗(yàn)是否符合題意)；7.作答.題型一題型一分式方程的概念【例題1】（2022秋?西豐縣期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．13+x2=1 B．x+1x=2 C．2x＝解題技巧提煉分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．判斷一個(gè)方程是否為分式方程主要是看這個(gè)方程的分母中是否含有未知數(shù)．【變式1-1】（2022秋?綏中縣期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．13+x2=1 B．x+1x=2 C．3x＝【變式1-2】（2023春?渠縣校級(jí)期末）下列各式中為分式方程的是（）A．x+1x B．C．x+23=5 【變式1-3】（2023春?蘇家屯區(qū)期中）在①x2﹣x+1x，②1a?3＝a+4，③x2+5xA．1 B．2 C．3 D．4【變式1-4】（2023春?宜賓月考）在方程1x+1=3y?2，3+1x=2，x【變式1-5】下列方程：①3?x7=2，②xπ=3，③4x?13?x+12=54，④題型二題型二解分式方程【例題2】（2022春?濮陽(yáng)期末）解分式方程xx?3A．x＝5﹣2（x﹣3） B．x＝﹣5﹣2（x﹣3） C．x＝5﹣2（3﹣x） D．﹣x＝﹣5+2（3﹣x）解題技巧提煉1、解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．2、解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．【變式1-1】關(guān)于x的分式方程mx?5A．方程的解是x＝m+5 B．m＞﹣5時(shí)，方程的解是正數(shù) C．m＜﹣5時(shí)，方程的解為負(fù)數(shù) D．無(wú)法確定【變式1-2】（2022春?南岸區(qū)期末）解分式方程x?1x?2解：方程兩邊都乘x（x﹣2），得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1①去括號(hào)，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1②解這個(gè)方程，得x＝1③檢驗(yàn)：將x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④以上解答過(guò)程中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是（）A．① B．② C．③ D．④【變式1-3】（2023?高新區(qū)校級(jí)模擬）解分式方程x2x?1A．x+2＝3 B．x﹣2＝3 C．x+2＝3（2x﹣1） D．x﹣2＝3（2x﹣1）【變式1-4】（2023秋?昌黎縣期中）分式31?x與2x互為相反數(shù)，則A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【變式1-5】（2023秋?長(zhǎng)沙期中）解分式方程：（1）1m+2+1m?4=【變式1-6】（2023秋?武岡市期中）解方程：（1）2xx?2?2【變式1-7】（2023秋?寧遠(yuǎn)縣期中）解方程：（1）2x=3x+1；題型三題型三用換元法解分式方程【例題3】（2022秋?仁壽縣校級(jí)月考）若4x2?A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2解題技巧提煉1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)．【變式3-1】（2023春?萬(wàn)源市校級(jí)期末）用換元法解方程x2?12x?A．y?1y?3＝0 B．y?4y?3＝0 C．y?【變式3-2】（2023春?松江區(qū)期末）解方程x?1x?2xx?1=3時(shí)，設(shè)A．y?2y=3 B．y2﹣2y＝3 C．y2﹣3y﹣2＝0 D．y2【變式3-3】（2023春?虹口區(qū)期末）用換元法解分式方程時(shí)x?1x?2xx?1+1=0，如果設(shè)A．y2+y﹣2＝0 B．y2﹣2y+1＝0 C．2y2﹣y+1＝0 D．2y2﹣y﹣1＝0【變式3-4】（2022秋?湘潭縣期末）閱讀下面材料，解答后面的問(wèn)題．解方程：x?1x解：設(shè)y=x?1x，則原方程化為：y方程兩邊同時(shí)乘y得：y2﹣4＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣2．經(jīng)檢驗(yàn)：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y?4當(dāng)y＝2時(shí)，x?1x=2，解得：當(dāng)y＝﹣2時(shí)，x?1x=?2，解得：x經(jīng)檢驗(yàn)：x1＝﹣1或x2=1∴原分式方程的解為x1＝﹣1或x2=1上述這種解分式方程的方法稱(chēng)為換元法．問(wèn)題：（1）若在方程x?14x?xx?1=0中，設(shè)y（2）若在方程x?1x+1?4x+4x?1=0中，設(shè)y（3）模仿上述換元法解方程：x?1x+2【變式3-5】在一次數(shù)學(xué)興趣小組的活動(dòng)課上，有下面的一段對(duì)話(huà)，請(qǐng)你閱讀完后再解答問(wèn)題．老師：同學(xué)們，今天我們來(lái)探索如下方程的解法：（xx?1）2﹣4（x學(xué)生甲：老師，原方程可整理為x2老師：很好，當(dāng)然可以這樣做．再仔細(xì)觀察，看看這個(gè)方程有什么特點(diǎn)？還可以怎樣解答？學(xué)生乙：老師，我發(fā)現(xiàn)xx?1老師：很好，我們把xx?1看成一個(gè)整體，用y表示，即可設(shè)xx?1=y，那么原方程就變?yōu)閥2全體學(xué)生：噢，等號(hào)左邊是一個(gè)完全平方式？！方程可以變形成（y﹣2）2＝0老師：大家真會(huì)觀察和思考，太棒了！顯然y2﹣4y+4＝0的根是y＝2，那么就有xx?1學(xué)生丙：對(duì)啦，再解這兩個(gè)方程，可得原方程的根x＝2，再驗(yàn)根就可以了！老師：同學(xué)們，通常我們把這種方法叫做換元法，這是一種重要的轉(zhuǎn)化方法．全體同學(xué)：OK，換元法真神奇！現(xiàn)在，請(qǐng)你用換元法解下列分式方程（組）：（1）（2xx?1）2?（2）6x?y題型四題型四用分式方程的解確定字母的值【例題4】（2022春?鹽城期末）若x＝4是分式方程a?2x=1A．3 B．4 C．5 D．6解題技巧提煉把分式方程的解代入到原方程中，得到關(guān)于某個(gè)字母的分式方程，然后解分式方程求出字母的值即可.【變式4-1】（2023?淄博）已知x＝1是方程m2?x?1A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【變式4-2】（2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬）已知x＝1是分式方程2ax+3a?x=3A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【變式4-3】（2023?錦江區(qū)模擬）若關(guān)于x的分式方程mx?2?x?12?x=3A．1 B．2 C．3 D．5【變式4-4】（2023?駐馬店二模）若關(guān)于x的分式方程m+xx?1=mA．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【變式4-5】已知方程1x?1=ax+1的解為【變式4-6】（2022秋?岳陽(yáng)樓區(qū)月考）已知關(guān)于x的分式方程2x+4=mx與分式方程32x=題型五題型五用分式方程的解確定字母的取值范圍【例題5】（2023春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）若關(guān)于x的分式方程mx?2?x?1A．m＞﹣5 B．m＞﹣5且m≠﹣1 C．m＞﹣3 D．m＞﹣3且m≠﹣1解題技巧提煉先解分式方程，方程的解用含字母的式子表示，然后根據(jù)題中的條件得出關(guān)于這個(gè)字母的不等式，然后解不等式，從而確定字母的取值范圍,同時(shí)要注意排除增根.【變式5-1】（2023春?蓮池區(qū)校級(jí)期末）若關(guān)于x的分式方程2x?ax?2=1A．a(chǎn)≥23 B．a(chǎn)C．a(chǎn)≥23且a≠4 D．a(chǎn)≤2【變式5-2】（2022秋?新?lián)釁^(qū)期末）若關(guān)于x的方程mx+1?2是（）A．m＜2 B．m＜3 C．m＜2且3m≠1 D．m＜3且m≠2【變式5-3】（2023秋?渝中區(qū)校級(jí)期中）若整數(shù)a使關(guān)于x的不等式組2x?7≥x?8a?6x整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程ay?3+33?y=?1為（）A．8 B．6 C．10 D．7【變式5-4】（2022秋?芝罘區(qū)期中）已知關(guān)于x的分式方程k2x?4?1=x【變式5-5】若關(guān)于x的方程xx?4?3=a【變式5-6】（2022秋?石家莊期末）若關(guān)于x的分式方程xx?2=2?m題型六題型六利用分式方程的增根確定字母的取值【例題6】（2022秋?益陽(yáng)期末）已知關(guān)于x的方程kx?3+3=x?4解題技巧提煉1.增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．2.檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．【變式6-1】（2022秋?芝罘區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程1x?2=mA．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或2【變式6-2】（2023秋?慈利縣期中）若關(guān)于x的分式方程2x?4=3?mA．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【變式6-3】（2022秋?武岡市期末）關(guān)于x的方程：ax+1x?1?2【變式6-4】（2022秋?婁星區(qū)校級(jí)期中）若關(guān)于x的分式方程xx+1?m+1【變式6-5】（2023春?宜賓月考）已知關(guān)于x的方程xx?3（1）m為何值時(shí)，這個(gè)方程的解是5？（2）m為何值時(shí)，這個(gè)方程有增根？題型七題型七利用分式方程的無(wú)解確定字母的取值【例題7】（2022秋?泰山區(qū)校級(jí)期末）若關(guān)于x的分式方程xx?3+3aA．1 B．1或12C．﹣1或12 解題技巧提煉分式方程的無(wú)解有兩種情況：一是分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程無(wú)解；二是分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程有解，但這個(gè)分式方程的最簡(jiǎn)公分母為0.【變式7-1】（2023秋?海陽(yáng)市期中）若分式方程2+1?kxx?2=A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2【變式7-2】（2023?洪雅縣模擬）若關(guān)于x的方程2x=mA．0 B．4或6 C．4 D．0或4【變式7-3】（2022秋?岱岳區(qū)期末）關(guān)于x的分式方程7xx?1+5=2m?1x?1無(wú)解，則m【變式7-4】（2023春?灌云縣期末）已知關(guān)于x的分式方程x?ax?2（1）若分式方程有增根，求a的值；（2）若分式方程無(wú)解，求a的值．【變式7-5】（2023秋?冷水灘區(qū)期中）已知關(guān)于x的方程3x（1）當(dāng)a＝6，b＝1時(shí)求分式方程的解；（2）當(dāng)a＝6時(shí)，求b為何值時(shí)，分式方程3x題型八分式方程的應(yīng)用題型八分式方程的應(yīng)用一是分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程無(wú)解；二是分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程有解，但這個(gè)分式方程的最簡(jiǎn)公分母為0.【例題8】（2022秋?巧家縣期末）某中學(xué)在校內(nèi)勞動(dòng)基地開(kāi)展了一堂特殊的勞動(dòng)課，計(jì)劃九（1）班共采摘100千克蔬菜，在實(shí)際采摘之前將班級(jí)10名同學(xué)調(diào)往其他勞動(dòng)區(qū)域，這樣剩余同學(xué)實(shí)際平均每人需要采摘的重量是原計(jì)劃全班學(xué)生平均每人需要采摘重量的43倍，設(shè)九（1）班學(xué)生的人數(shù)為xA．100x?10×43C．100x?10=100解題技巧提煉1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：審題、找等量關(guān)系、設(shè)未知數(shù)、列分式方程、解答、檢驗(yàn)、作答．2、要掌握常見(jiàn)問(wèn)題中的基本關(guān)系，如行程問(wèn)題：路程＝速度×?xí)r間；工作量問(wèn)題：工作總量＝工作效率×工作時(shí)間；商品銷(xiāo)售問(wèn)題：總價(jià)=單價(jià)×銷(xiāo)量．【變式8-1】（2022秋?大洼區(qū)期末）某快遞公司為提高配送效率，引進(jìn)了甲、乙兩種型號(hào)的“分揀機(jī)器人”，已知甲型號(hào)每小時(shí)分揀數(shù)量比乙型號(hào)每小時(shí)分揀數(shù)量多50件，且甲型號(hào)分揀1000件與乙型號(hào)分揀800件所用時(shí)間相同．若設(shè)甲型號(hào)每小時(shí)分揀數(shù)量為x件，則可列方程為（）A．1000x?50?800xC．1000x=800【變式8-2】（2023春?余杭區(qū)月考）某班同學(xué)假日活動(dòng)去博物館參觀，博物館距離學(xué)校10千米．一部分同學(xué)騎自行車(chē)先出發(fā)，其余同學(xué)20分鐘后乘汽車(chē)出發(fā)，兩批同學(xué)同時(shí)到達(dá)．已知乘車(chē)速度是騎車(chē)速度的2倍，設(shè)騎車(chē)速度為xkm/h，則可列方程．【變式8-3】【變式8-4】（2023?曹縣二模）在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受人民青睞．甲、乙兩騎行愛(ài)好者約定從A地沿相同路線騎行去距離30千米的B地，已知甲騎行的平均速度是乙騎行平均速度的1.2倍，若乙先騎行20分鐘，然后甲從A地出發(fā)，則甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)B地，求甲騎行的平均速度是每分鐘多少千米？【變式8-5】（2023秋?海陽(yáng)市期中）科研機(jī)構(gòu)試驗(yàn)采集的某樣本須在4小時(shí)內(nèi)（含采集時(shí)問(wèn)）送達(dá)檢測(cè)中心，使超過(guò)時(shí)問(wèn)，樣本就會(huì)失效．已知甲、乙兩科研機(jī)構(gòu)到檢測(cè)中心的路程分別為30千米，36千米，兩科研機(jī)構(gòu)的送檢車(chē)有如圖所示的信息．根據(jù)信息，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：信息一：乙科研機(jī)構(gòu)送檢車(chē)的平均速度是甲科研機(jī)構(gòu)送檢車(chē)的1.2倍．信息二：甲、乙兩科研機(jī)構(gòu)送檢車(chē)行駛的總時(shí)間為2小時(shí)．（1）求甲科研機(jī)構(gòu)送檢車(chē)的平均速度；（2）若乙科研機(jī)構(gòu)從開(kāi)始采集樣本到送檢車(chē)出發(fā)用了3.2小時(shí)，則它采集的樣本會(huì)不會(huì)失效？【變式8-6】（2023秋?婁底期中）2020年11月20日，婁底市榮獲“第六屆全國(guó)文明城市”稱(chēng)號(hào)．為鞏固“國(guó)家文明城市”創(chuàng)建成果，共享文明健康美好生活，我市政府?dāng)M對(duì)城區(qū)部分路段的人行道地磚、綠化帶、排水管等公用設(shè)施全面更新改造．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)有意承包這項(xiàng)工程，經(jīng)調(diào)查知道，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程的時(shí)間是甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程時(shí)間的2倍．若甲、乙兩工程隊(duì)合作只需要10天完成．求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需多少天？【變式8-7】（2023秋?冷水灘區(qū)期中）某淘寶服裝店購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種款式時(shí)尚T恤衫，甲種款式共用了7800元，乙種款式共用了6400元，甲種款式的件數(shù)是乙種款式件數(shù)的1.5倍，甲種款式每件進(jìn)價(jià)比乙種款式每件進(jìn)價(jià)少30元．（1）甲、乙兩種款式的T恤衫各購(gòu)進(jìn)了多少件？（2）該網(wǎng)店在兩種服裝進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上都提高m%銷(xiāo)售，一段時(shí)間后，甲種款式全部售完，乙種款式還剩一半，商家決定對(duì)余下的乙種款式按標(biāo)價(jià)的五折出售，售完后共獲利4700元，求m的值．【變式8-8】（2023?西峽縣二模）為創(chuàng)建宜居環(huán)境，某市正在建設(shè)若干街心花園，某工程隊(duì)負(fù)責(zé)在街心花園種植A、B兩種樹(shù)木，已知A種樹(shù)木的單價(jià)比B種樹(shù)木的單價(jià)貴20元．工程隊(duì)在第一批購(gòu)買(mǎi)中，購(gòu)買(mǎi)A樹(shù)木花費(fèi)2400元，購(gòu)買(mǎi)B樹(shù)木花費(fèi)1200元，且所購(gòu)買(mǎi)A樹(shù)木的數(shù)量是B樹(shù)木的數(shù)量的1.5倍．（1）求第一批購(gòu)買(mǎi)時(shí)，A、B兩種樹(shù)木的單價(jià)各是多少元？（2）工程隊(duì)計(jì)劃第二批購(gòu)買(mǎi)A、B兩種樹(shù)木的總數(shù)量是第一批總數(shù)量的2倍，此次購(gòu)買(mǎi)時(shí)兩種樹(shù)木的單價(jià)沒(méi)有變化，本次購(gòu)買(mǎi)預(yù)算總費(fèi)用不超過(guò)7200元，A種樹(shù)苗最多可以購(gòu)買(mǎi)多少棵？

八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第十五章分式》15.3分式方程知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一分式方程的概念◆1、分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．◆2、分式方程的解：求出使分式方程中等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．【方法總結(jié)】判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是看分母中是否含有未知數(shù)(注意：π是常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二分式方程的解法◆1、解分式方程的基本思路：是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母.這也是解分式方程的一般方法.◆2、“去分母法”解分式方程的步驟（1）在方程的兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程；（2）解這個(gè)整式方程；（3）把整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解，否則該解須舍去；（4）寫(xiě)出原方程的解.簡(jiǎn)記為：“一化二解三檢驗(yàn)”.◆3、檢驗(yàn)方法：將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解就不是原分式方程的解.◆4、分式方程的增根增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三分式方程的應(yīng)用◆列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：1.審清題意；2.設(shè)出未知數(shù)；3.找相等關(guān)系；4.列出方程；5.解這個(gè)分式方程；6.檢驗(yàn)(包括兩方面：一驗(yàn)是否是分式方程的根，二驗(yàn)是否符合題意)；7.作答.題型一題型一分式方程的概念【例題1】（2022秋?西豐縣期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．13+x2=1 B．x+1x=2 C．2x＝【分析】根據(jù)分式方程的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、該方程是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B、該方程符合分式方程的定義，故本選項(xiàng)符合題意；C、該方程是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D、該方程是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式方程的定義，即分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．解題技巧提煉分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．判斷一個(gè)方程是否為分式方程主要是看這個(gè)方程的分母中是否含有未知數(shù)．【變式1-1】（2022秋?綏中縣期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．13+x2=1 B．x+1x=2 C．3x＝【分析】根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．該方程是一元一次方程，不符合題意；B．該方程是分式方程，符合題意；C．該方程是一元一次方程，不符合題意；D．該方程是二元一次方程，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春?渠縣校級(jí)期末）下列各式中為分式方程的是（）A．x+1x B．C．x+23=5 【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷．【解答】解：A、x+1B、方程1x+1=1C、方程x+23D、方程1π故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的定義．判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．【變式1-3】（2023春?蘇家屯區(qū)期中）在①x2﹣x+1x，②1a?3＝a+4，③x2+5xA．1 B．2 C．3 D．4【分析】分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．【解答】解：①x2﹣x+1②1a?3＝a+4是關(guān)于③x2+5④2xx?3=1是關(guān)于故關(guān)于x的分式方程只有一個(gè)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是分式方程的定義，掌握分式方程的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2023春?宜賓月考）在方程1x+1=3y?2，3+1x=2，x【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷．【解答】解：在方程1x+1=3y?2，3+1x=2，x3?故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的定義．判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．【變式1-5】下列方程：①3?x7=2，②xπ=3，③4x?13?x+12=54，④【分析】根據(jù)分式方程的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：方程①3?x7=2、②xπ=3、③4x?1⑤1x+2所以分式方程有⑤．故答案為：⑤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的定義，能熟記分式方程的定義（分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程）是解此題的關(guān)鍵．題型二題型二解分式方程【例題2】（2022春?濮陽(yáng)期末）解分式方程xx?3A．x＝5﹣2（x﹣3） B．x＝﹣5﹣2（x﹣3） C．x＝5﹣2（3﹣x） D．﹣x＝﹣5+2（3﹣x）【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)解決此題．【解答】解：xx?3去分母，得x＝﹣5﹣2（x﹣3）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．2、解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．【變式1-1】關(guān)于x的分式方程mx?5A．方程的解是x＝m+5 B．m＞﹣5時(shí)，方程的解是正數(shù) C．m＜﹣5時(shí)，方程的解為負(fù)數(shù) D．無(wú)法確定【分析】先按照一般步驟解方程，用含有m的代數(shù)式表示x，然后根據(jù)x的取值討論m的范圍，即可作出判斷．【解答】解：方程兩邊都乘以x﹣5，去分母得：m＝x﹣5，解得：x＝m+5，∴當(dāng)x﹣5≠0，把x＝m+5代入得：m+5﹣5≠0，即m≠0，方程有解，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)x＞0且x≠5，即m+5＞0，解得：m＞﹣5，則當(dāng)m＞﹣5且m≠0時(shí)，方程的解為正數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)x＜0，即m+5＜0，解得：m＜﹣5，則m＜﹣5時(shí)，方程的解為負(fù)數(shù)，故選項(xiàng)C正確；顯然選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題在判斷方程的解是正數(shù)時(shí)，容易忽視m≠0的條件．【變式1-2】（2022春?南岸區(qū)期末）解分式方程x?1x?2解：方程兩邊都乘x（x﹣2），得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1①去括號(hào)，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1②解這個(gè)方程，得x＝1③檢驗(yàn)：將x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④以上解答過(guò)程中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】按照解分式方程的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：x?1x?2方程兩邊都乘x（x﹣2），得：x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）①，以上解答過(guò)程中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是：①，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023?高新區(qū)校級(jí)模擬）解分式方程x2x?1A．x+2＝3 B．x﹣2＝3 C．x+2＝3（2x﹣1） D．x﹣2＝3（2x﹣1）【分析】首先根據(jù)x2x?1+21?2x=3【解答】解：∵x2x?1∴x2x?1方程兩邊同時(shí)乘（2x﹣1），可得：x﹣2＝3（2x﹣1）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解分式方程，解答此題的關(guān)鍵是要明確等式的性質(zhì)的應(yīng)用．【變式1-4】（2023秋?昌黎縣期中）分式31?x與2x互為相反數(shù)，則A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零，可得關(guān)于x的分式方程，解分式方程即可．【解答】解：由題意得31?x去分母3x+2（1﹣x）＝0，解得x＝﹣2．經(jīng)檢驗(yàn)得x＝﹣2是原方程的解．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相反數(shù)的意義及解分式方程，記憶解分式方程的步驟是解題關(guān)鍵．結(jié)果要檢驗(yàn)．【變式1-5】（2023秋?長(zhǎng)沙期中）解分式方程：（1）1m+2+1m?4=【分析】（1）先去分母，方程兩邊同乘以（m+2）（m﹣4）得到m﹣4+m＝2＝0，解得m＝1，然后檢驗(yàn)：把m＝1代入（m+2）（m﹣4）進(jìn)行計(jì)算即可得到原方程的解；（2）方程兩邊同乘以（x﹣2）（x+2）得到（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝16，解得x＝﹣2，然后進(jìn)行檢驗(yàn)得到x＝﹣2是原方程的增根，于是原方程無(wú)解．【解答】解：（1）方程兩邊同乘以（m+2）（m﹣4）得，m﹣4+m+2＝0，解得m＝1，經(jīng)檢驗(yàn)m＝1是原方程的解，所以原方程的解為m＝3；（2）方程兩邊同乘以（x﹣2）（x+2）得，（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝16，解得x＝﹣2，經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣2是原方程的增根，所以原方程無(wú)解．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程：解分式方程的基本步驟為①找出最簡(jiǎn)公分母，去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程；②解一元一次方程；③檢驗(yàn)；④確定分式方程的解．【變式1-6】（2023秋?武岡市期中）解方程：（1）2xx?2?2【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：2x+2＝x﹣2，解得：x＝﹣4，經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣4是分式方程的解；（2）去分母得：x2+2x+1﹣4﹣x2+1＝0，解得：x＝1，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1不是原方程的解，方程無(wú)解．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程時(shí)注意不要忘了檢驗(yàn)．【變式1-7】（2023秋?寧遠(yuǎn)縣期中）解方程：（1）2x=3x+1；【分析】（1）按照解分式方程的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）按照解分式方程的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）2x2（x+1）＝3x，解得：x＝2，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝2時(shí)，x（x+1）≠0，∴x＝2是原方程的根；（2）3x+23（x﹣2）+4（x+2）＝16，解得：x＝2，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝2時(shí)，（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝2是原方程的增根，∴原方程無(wú)解．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn)．題型三題型三用換元法解分式方程【例題3】（2022秋?仁壽縣校級(jí)月考）若4x2?A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【分析】根據(jù)用換元法解分式方程即可．【解答】解：設(shè)1x=a，則1x原方程可變形為4a2﹣4a＝﹣1，所以4a2﹣4a+1＝0，所以（2a﹣1）2＝0，解得a=1所以x＝2，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2是原方程的根．所以2x故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，熟練掌握換元法解分式方程是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)．【變式3-1】（2023春?萬(wàn)源市校級(jí)期末）用換元法解方程x2?12x?A．y?1y?3＝0 B．y?4y?3＝0 C．y?【分析】把y=x【解答】解：設(shè)x2?12則原方程可化為：y?1y=3，即故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查換元法解分式方程，用換元法解一些復(fù)雜的分式方程是比較簡(jiǎn)單的一種方法，根據(jù)方程特點(diǎn)設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，解方程能夠使問(wèn)題簡(jiǎn)單化．【變式3-2】（2023春?松江區(qū)期末）解方程x?1x?2xx?1=3時(shí)，設(shè)A．y?2y=3 B．y2﹣2y＝3 C．y2﹣3y﹣2＝0 D．y2【分析】先將x?1x=y代入原方程，通過(guò)去分母，將原方程化為關(guān)于【解答】解：解方程x?1x?2xx?1原方程可化為y?去分母，得y2﹣2＝3y即y2﹣3y﹣2＝0故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了換元法解分式方程，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，有時(shí)需要通過(guò)變形才能換元．【變式3-3】（2023春?虹口區(qū)期末）用換元法解分式方程時(shí)x?1x?2xx?1+1=0，如果設(shè)A．y2+y﹣2＝0 B．y2﹣2y+1＝0 C．2y2﹣y+1＝0 D．2y2﹣y﹣1＝0【分析】先換元，再化成整式方程．【解答】解：設(shè)x?1x=y?2∴y2+y﹣2＝0．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查換元法，確定新未知數(shù)與方程中代數(shù)式的關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2022秋?湘潭縣期末）閱讀下面材料，解答后面的問(wèn)題．解方程：x?1x解：設(shè)y=x?1x，則原方程化為：y方程兩邊同時(shí)乘y得：y2﹣4＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣2．經(jīng)檢驗(yàn)：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y?4當(dāng)y＝2時(shí)，x?1x=2，解得：當(dāng)y＝﹣2時(shí)，x?1x=?2，解得：x經(jīng)檢驗(yàn)：x1＝﹣1或x2=1∴原分式方程的解為x1＝﹣1或x2=1上述這種解分式方程的方法稱(chēng)為換元法．問(wèn)題：（1）若在方程x?14x?xx?1=0中，設(shè)y（2）若在方程x?1x+1?4x+4x?1=0中，設(shè)y（3）模仿上述換元法解方程：x?1x+2【分析】（1）將所設(shè)的y代入原方程即可；（2）將所設(shè)的y代入原方程即可；（3）利用換元法解分式方程，設(shè)y=x?1x+2，將原方程化為y?1y=0【解答】解：（1）將y=x?1x代入原方程，則原方程化為故答案為：y4（2）將y=x?1x+1代入方程，則原方程可化為故答案為：y?4（3）原方程化為：x?1x+2設(shè)y=x?1x+2，則原方程化為：方程兩邊同時(shí)乘y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，經(jīng)檢驗(yàn)：y＝±1都是方程y?1當(dāng)y＝1時(shí)，x?1x+2當(dāng)y＝﹣1時(shí)，x?1x+2=?1，解得：經(jīng)檢驗(yàn)：x=?1∴原分式方程的解為x=?1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解法，掌握換元法解分式方程是關(guān)鍵．【變式3-5】在一次數(shù)學(xué)興趣小組的活動(dòng)課上，有下面的一段對(duì)話(huà)，請(qǐng)你閱讀完后再解答問(wèn)題．老師：同學(xué)們，今天我們來(lái)探索如下方程的解法：（xx?1）2﹣4（x學(xué)生甲：老師，原方程可整理為x2老師：很好，當(dāng)然可以這樣做．再仔細(xì)觀察，看看這個(gè)方程有什么特點(diǎn)？還可以怎樣解答？學(xué)生乙：老師，我發(fā)現(xiàn)xx?1老師：很好，我們把xx?1看成一個(gè)整體，用y表示，即可設(shè)xx?1=y，那么原方程就變?yōu)閥2全體學(xué)生：噢，等號(hào)左邊是一個(gè)完全平方式？！方程可以變形成（y﹣2）2＝0老師：大家真會(huì)觀察和思考，太棒了！顯然y2﹣4y+4＝0的根是y＝2，那么就有xx?1學(xué)生丙：對(duì)啦，再解這兩個(gè)方程，可得原方程的根x＝2，再驗(yàn)根就可以了！老師：同學(xué)們，通常我們把這種方法叫做換元法，這是一種重要的轉(zhuǎn)化方法．全體同學(xué)：OK，換元法真神奇！現(xiàn)在，請(qǐng)你用換元法解下列分式方程（組）：（1）（2xx?1）2?（2）6x?y【分析】（1）設(shè)2xx?1=y，則原方程變形為：y2﹣2y+1＝0，求得y的值，繼而可得關(guān)于x的方程，即可求得（2）設(shè)1x?y=u，1x+y=v，將原方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于u、v的方程組求得u、v的值，繼而可得關(guān)于【解答】解：（1）設(shè)2xx?1=y，則原方程變形為：y2﹣2即（y﹣1）2＝0，故y＝1，則：2xx?1解得：x＝﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝﹣1是原方程的解．（2）設(shè)1x?y=u，1則原方程組化為：6u+4v=39u?v=1解得：u=1所以x+y=2x?y=6解得：x=4y=?2經(jīng)檢驗(yàn)，x=4y=?2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查換元法解方程或方程組，解方程或方程組是基本技能，要熟練掌握其基本步驟和方法，將合適的整體設(shè)為新元是換元法的關(guān)鍵．題型四題型四用分式方程的解確定字母的值【例題4】（2022春?鹽城期末）若x＝4是分式方程a?2x=1A．3 B．4 C．5 D．6【分析】將x＝4代入分式方程，得到關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可求得答案．【解答】解：將x＝4代入分式方程可得，a?24解得：a＝6，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式方程及其算法，關(guān)鍵在于正確運(yùn)算解答答案．解題技巧提煉把分式方程的解代入到原方程中，得到關(guān)于某個(gè)字母的分式方程，然后解分式方程求出字母的值即可.【變式4-1】（2023?淄博）已知x＝1是方程m2?x?1A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【分析】將x＝1代入原方程即可求出m的值．【解答】解：將x＝1代入方程，得：m2?1解得：m＝2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的解，解題的關(guān)鍵是將x＝1代入原方程中得到關(guān)于m的方程．【變式4-2】（2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬）已知x＝1是分式方程2ax+3a?x=3A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【分析】把x＝1代入分式方程2ax+3a?x=34就得到關(guān)于【解答】解：把x＝1代入分式方程2ax+3a?x=3去分母得：8a+12＝3a﹣3，解得：a＝﹣3，∵a﹣1＝﹣4≠0，∴a的值為﹣3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】考查了分式方程的解，本題含有一個(gè)未知的系數(shù)．根據(jù)已知條件求未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，在以后的學(xué)習(xí)中，常用此法求函數(shù)解析式．【變式4-3】（2023?錦江區(qū)模擬）若關(guān)于x的分式方程mx?2?x?12?x=3A．1 B．2 C．3 D．5【分析】根據(jù)題意可得：把x＝3代入方程mx?2?x?1【解答】解：由題意得：把x＝3代入方程mx?2m3?2∴m+2＝3，解得：m＝1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解的意義是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2023?駐馬店二模）若關(guān)于x的分式方程m+xx?1=mA．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【分析】將x＝2代入原方程解答即可．【解答】解：∵關(guān)于x的分式方程m+xx?1∴m+22?1∴m＝﹣4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解的意義是解題的關(guān)鍵．【變式4-5】已知方程1x?1=ax+1的解為【分析】先把x＝2代入即可得出a的值，再化簡(jiǎn)aa?1?1a2【解答】解：把x＝2代入1x?1=a∴原式==(a+1)(a?1)=a+1當(dāng)a＝3時(shí)，原式=a+1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解，以及分式的化簡(jiǎn)求值，把分式化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式4-6】（2022秋?岳陽(yáng)樓區(qū)月考）已知關(guān)于x的分式方程2x+4=mx與分式方程32x=【分析】先求出分式方程的解，再把x的值代入2x+4=mx，求出m，再把m的值代入m【解答】解：32x3（x﹣1）＝2x，解得x＝3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝3時(shí)，2x（x﹣1）≠0，∴x＝3是此方程的解；把x＝3代入2x+4得23+4解得m=6把m=67代入m2﹣2m=(6【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程解，熟練掌握分式方程解的步驟是解題關(guān)鍵．題型五題型五用分式方程的解確定字母的取值范圍【例題5】（2023春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）若關(guān)于x的分式方程mx?2?x?1A．m＞﹣5 B．m＞﹣5且m≠﹣1 C．m＞﹣3 D．m＞﹣3且m≠﹣1【分析】先解分式方程，使方程的解大于零，再使分式方程有意義即可．【解答】解：mx?2m+（x﹣1）＝3（x﹣2），m+x﹣1＝3x﹣6，m﹣1+6＝3x﹣x，2x＝m+5，x=m+5∵分式方程的解為正數(shù)，即x=m+5∴m＞﹣5，又∵使分式方程有意義，x﹣2≠0，∴m+52∴m≠﹣1，綜上：m＞﹣5且m≠﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程，掌握使分式方程解大于零且分式方程有意義是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉先解分式方程，方程的解用含字母的式子表示，然后根據(jù)題中的條件得出關(guān)于這個(gè)字母的不等式，然后解不等式，從而確定字母的取值范圍,同時(shí)要注意排除增根.【變式5-1】（2023春?蓮池區(qū)校級(jí)期末）若關(guān)于x的分式方程2x?ax?2=1A．a(chǎn)≥23 B．a(chǎn)C．a(chǎn)≥23且a≠4 D．a(chǎn)≤2【分析】表示出分式方程的解，由解為非負(fù)數(shù)確定出a的范圍即可．【解答】解：去分母得：6x﹣3a＝x﹣2，解得：x=3a?2由分式方程的解為非負(fù)數(shù)，得到3a?25≥0，且解得：a≥23且故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，注意對(duì)分式方程增根的討論是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022秋?新?lián)釁^(qū)期末）若關(guān)于x的方程mx+1?2是（）A．m＜2 B．m＜3 C．m＜2且3m≠1 D．m＜3且m≠2【分析】先銀分式方程求得解為x＝m﹣3，再根據(jù)方程銀為負(fù)數(shù)和分式有意義條件列不等式求解即可．【解答】解：mx+1?2x+1=1，m﹣2＝x∵原方程解為負(fù)數(shù)，∴m﹣3＜0，∴m＜3，∵x+1≠0，∴m﹣3+1≠0，∴m≠2，∴m＜3且m≠2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解分式方程，熟練掌握根據(jù)分式方程解的情況求參是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023秋?渝中區(qū)校級(jí)期中）若整數(shù)a使關(guān)于x的不等式組2x?7≥x?8a?6x整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程ay?3+33?y=?1為（）A．8 B．6 C．10 D．7【分析】分別解不等式組和分式方程，確定a的取值范圍，進(jìn)而求解即可．【解答】解：不等式組2x?7≥x?8a?6x4＞?2的解集是﹣1≤∵該不等式組有且只有3個(gè)整數(shù)解，∴1＜a+86≤分式方程ay?3+33?y=?1的解是y∵y＜7，即6﹣a＜7，解得a＞﹣1，且a≠3．綜上，﹣1＜a≤4（a為整數(shù)），且a≠3，∴a＝0，1，2，4，∴0+1+2+4＝7．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程、一元一次不等式組等，熟練掌握它們的解法是本題的關(guān)鍵．【變式5-4】（2022秋?芝罘區(qū)期中）已知關(guān)于x的分式方程k2x?4?1=x【分析】根據(jù)分式方程的解法求出x的表達(dá)式，然后利用題意列出關(guān)于k的不等式即可求出答案．【解答】解：k2x?4去分母得：k﹣2x+4＝2x，解得：x=k+4∵x﹣2≠0，∴k+44≥0且解得：k≥﹣4且k≠4．所以k的取值范圍為：k≥﹣4且k≠4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的解，正確進(jìn)行分式的計(jì)算是解題關(guān)鍵．【變式5-5】若關(guān)于x的方程xx?4?3=a【分析】根據(jù)解分式方程，可得關(guān)于a的表達(dá)式，根據(jù)解不等式，可得答案．【解答】解：兩邊都乘（x﹣4），得x﹣3（x﹣4）＝a，解得x=12?a由關(guān)于x的方程xx?412?a2解得a≤8，a的取值范圍是a≤8且a≠4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解，利用方程的解不小于2得出不等式是解題關(guān)鍵．【變式5-6】（2022秋?石家莊期末）若關(guān)于x的分式方程xx?2=2?m【分析】根據(jù)分式方程的一般解法得到方程xx?2=2?m2?x的解為x＝4﹣m；由于該方程的解為正數(shù)，則x＞0，由于要使方程有意義，則x≠2，至此可得4﹣m＞0且4﹣m≠2；根據(jù)所得的方程，求出m的值，結(jié)合題意【解答】解：∵xx?2=2∴xx?2=2x?mx?2x﹣m＝2（x﹣2），解得x＝4﹣m．∵原分式方程的解為正數(shù)，∴x＞0且x≠2，即4﹣m＞0且4﹣m≠2，∴m的取值范圍為m＜4且m≠2．∵m為正整數(shù)，∴m的值為1，3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的解法，解題的關(guān)鍵是求出m的范圍，本題屬于中等題型．題型六題型六利用分式方程的增根確定字母的取值【例題6】（2022秋?益陽(yáng)期末）已知關(guān)于x的方程kx?3+3=x?4【分析】有增根是原方程化為整式方程后，產(chǎn)生的使原分式方程分母為0的根．在本題中，應(yīng)先確定增根是3，然后代入化成整式方程的方程中，求得k的值．【解答】解：∵關(guān)于x的方程kx?3∴x﹣3＝0，則x＝3，∵原方程可化為4x＝13﹣k，將增根x＝3代入得k＝1．【點(diǎn)評(píng)】增根問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行：①確定增根的值；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．解題技巧提煉1.增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．2.檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．【變式6-1】（2022秋?芝罘區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程1x?2=mA．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或2【分析】增根就是分母為零的x值，所以對(duì)分式方程去分母，得m＝x﹣3，將增根x＝2代入即可解得m值．【解答】解：分式方程去分母，得：1＝﹣m+2﹣x，∴m＝x﹣3，∵方程有增根，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，將x＝2代入m＝x﹣3中，得：m＝2﹣3＝﹣1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的解，解答的關(guān)鍵是理解分式方程有增根的原因．【變式6-2】（2023秋?慈利縣期中）若關(guān)于x的分式方程2x?4=3?mA．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．讓最簡(jiǎn)公分母x﹣4＝0，得到x＝4．【解答】解：分式方程2x?4=3?m2＝3（x﹣4）﹣m，由分式方程的最簡(jiǎn)公分母是x﹣4，∴分式方程的增根是x＝4．把x＝4代入2＝3（x﹣4）﹣m，∴m＝﹣2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的增根，增根問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【變式6-3】（2022秋?武岡市期末）關(guān)于x的方程：ax+1x?1?2【分析】先將分式方程化為整式方程，再根據(jù)增根的定義得出x的值，最后將x的值代入整式方程求解即可．【解答】解：方程兩邊同時(shí)乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，即（a﹣1）x＝﹣4，當(dāng)a≠1時(shí)，若原方程有增根，則x﹣1＝0，解得：x＝1，將x＝1代入整式方程得：a﹣1＝﹣4，解得：a＝﹣3，綜上，a的值為﹣3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的增根，解題的關(guān)鍵是確定增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【變式6-4】（2022秋?婁星區(qū)校級(jí)期中）若關(guān)于x的分式方程xx+1?m+1【分析】增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根．把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程兩邊都乘x（x+1），得x2﹣（m+1）＝（x+1）（x+1）∵原方程增根為x＝0或x＝﹣1，∴把x＝0代入整式方程，得m＝﹣2，把x＝﹣1代入整式方程，得m＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【變式6-5】（2023春?宜賓月考）已知關(guān)于x的方程xx?3（1）m為何值時(shí)，這個(gè)方程的解是5？（2）m為何值時(shí)，這個(gè)方程有增根？【分析】（1）把x＝5代入，然后解關(guān)于m的方程即可；（2）去分母化為整式方程，再求出方程有增根時(shí)x的值，代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：（1）∵方程的解是5，∴把x＝5代入xx?355?3解得m＝3；（2）xx?3兩邊都乘以（x﹣3）（x﹣4），得x（x﹣4）﹣（x﹣3）（x﹣4）＝m，整理得3x﹣12＝m，∵方程有增根，∴x＝3或x＝4，當(dāng)x＝3時(shí)，m＝3×3﹣12＝﹣3，當(dāng)x＝4時(shí)，m＝3×4﹣12＝0，∴m的值為﹣3或0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解，以及分式方程的增根，熟練掌握當(dāng)分母等于0時(shí)分式方程有增根是解答本題關(guān)鍵．題型七題型七利用分式方程的無(wú)解確定字母的取值【例題7】（2022秋?泰山區(qū)校級(jí)期末）若關(guān)于x的分式方程xx?3+3aA．1 B．1或12C．﹣1或12 【分析】根據(jù)分式方程“無(wú)解”，考慮兩種情況：第一種是分式方程化為整式方程時(shí)，整式方程有解，但是整式方程的解會(huì)使最簡(jiǎn)公分母為0，產(chǎn)生了增根．第二種情況是化為整式方程時(shí)，整式方程無(wú)解，則原分式方程也無(wú)解．綜合兩種情況求解即可．【解答】解：xx?3分式方程兩邊同乘以（3﹣x）得：﹣x+3a＝2a（3﹣x），（2a﹣1）x＝3a，要使原分式方程無(wú)解，則有以下兩種情況：當(dāng)2a﹣1＝0時(shí)，即a=1整式方程無(wú)解，原分式方程無(wú)解，當(dāng)2a﹣1≠0時(shí)，則x=3a令最簡(jiǎn)公分母為0，即x﹣3＝0，解得x＝3，∴當(dāng)3a2a?1=3，即綜上所述可得：a＝1或12故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解，掌握分式方程的解法，根據(jù)分式方程無(wú)解，分兩種情況進(jìn)行討論是關(guān)鍵．解題技巧提煉分式方程的無(wú)解有兩種情況：一是分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程無(wú)解；二是分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程有解，但這個(gè)分式方程的最簡(jiǎn)公分母為0.【變式7-1】（2023秋?海陽(yáng)市期中）若分式方程2+1?kxx?2=A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2【分析】先去分母，方程兩邊同時(shí)乘x﹣2，解方程把x的值用k表示出來(lái)，然后根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的k值，進(jìn)行判斷方程有解無(wú)解，從而得到正確的答案．【解答】解：2+1?kx去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，2x﹣4+1﹣kx＝﹣1，2x﹣kx＝2，（2﹣k）x＝2，∵分式方程2+1?kx∴x﹣2＝0，x＝2，2﹣k＝0，k＝2，當(dāng)k＝1時(shí)，原方程為：2+1?x2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1，2x﹣4+1﹣x+1＝0，x＝2，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝2時(shí)，x﹣2＝0，∴k＝1時(shí)，原方程無(wú)解；綜上可知：分式方程2+1?kxx?2=故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的解，解題關(guān)鍵是熟練掌握分式方程有解和無(wú)解的判斷方法．【變式7-2】（2023?洪雅縣模擬）若關(guān)于x的方程2x=mA．0 B．4或6 C．4 D．0或4【分析】先將分時(shí)方程化為整式方程，再根據(jù)方程無(wú)解的情況分類(lèi)討論，當(dāng)m﹣4＝0時(shí)，當(dāng)m﹣4≠0時(shí)，x＝0或2x+1＝0，進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：2x方程兩邊同乘x（2x+1）得：2（2x+1）＝mx，整理得：（m﹣4）x＝2，∵原方程無(wú)解，∴當(dāng)m﹣4＝0時(shí)，即m＝4，當(dāng)m﹣4≠0時(shí)，x＝0或2x+1＝0，此時(shí)，x=2解得：x＝0或x=?1當(dāng)x＝0時(shí)，x=2當(dāng)x=?12時(shí)，解得：m＝0．綜上，m的值為0或4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程無(wú)解的情況，即分式方程有增根，分兩種情況，分別是最簡(jiǎn)公分母為0和化成的整式方程無(wú)解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022秋?岱岳區(qū)期末）關(guān)于x的分式方程7xx?1+5=2m?1x?1無(wú)解，則m【分析】解分式方程，用含m的代數(shù)式表示出x，根據(jù)方程無(wú)解即可判斷．【解答】解：去分母，得7x+5（x﹣1）＝2m﹣1，整理，得6x＝m+2，解得x=m+2∵方程無(wú)解，則x＝1，m+26解得m＝4．故答案為：m＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程，正確記憶無(wú)解的條件是分母等于0是解題關(guān)鍵．【變式7-4】（2023春?灌云縣期末）已知關(guān)于x的分式方程x?ax?2（1）若分式方程有增根，求a的值；（2）若分式方程無(wú)解，求a的值．【分析】（2）原方程整理得（a+3）x＝10，由分式有增根，則x（x﹣2）＝0，得到x＝0或x＝2，分兩種情況分別求解即可；（3）由（2）可知，（a+3）x＝10，分a+3＝0和a+3≠0兩種情況分別求解即可．【解答】解：（1）兩邊都乘以x（x﹣2）得，x（x﹣a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），整理得，（a+3）x＝10，由分式有增根，則x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x＝2，把x＝0代入（a+3）x＝10，a的值不存在，把x＝2代入2（a+3）＝10，解得a＝2，綜上可知，a＝2；（2）由（1）可知，（a+3）x＝10，當(dāng)a+3＝0時(shí)，方程無(wú)解，即a＝﹣3，當(dāng)a+3≠0時(shí)，要使方程無(wú)解，則分式方程有增根，由（2）知a＝2，綜上可知，a＝﹣3或a＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的增根和無(wú)解，理解分式方程有增根和無(wú)解的含義是解題的關(guān)鍵．【變式7-5】（2023秋?冷水灘區(qū)期中）已知關(guān)于x的方程3x（1）當(dāng)a＝6，b＝1時(shí)求分式方程的解；（2）當(dāng)a＝6時(shí)，求b為何值時(shí)，分式方程3x【分析】（1）去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，化系數(shù)為1，最后不要忘了檢驗(yàn)；（2）整理得，（9﹣b）x＝3+b，分兩種情形：當(dāng)整式方程無(wú)解時(shí)，9﹣b＝0，b＝9，當(dāng)分式方程產(chǎn)生增根時(shí)，增根為x＝0或x＝1，分別求解．【解答】解：（1）當(dāng)a＝6，b＝1時(shí)，分式方程為3x去分母得：3（x﹣1）+6x＝x+1，解得：x=1經(jīng)經(jīng)驗(yàn)x=1（2）當(dāng)a＝6時(shí)，分式方程為3x去分母得：3（x﹣1）+6x＝bx+b，整理得，（9﹣b）x＝3+b，（1）當(dāng)整式方程無(wú)解時(shí)，9﹣b＝0，b＝9，（2）當(dāng)分式方程產(chǎn)生增根時(shí)，增根為x＝0或x＝1，①當(dāng)x＝0時(shí)，（9﹣b）×0＝3+b，b＝﹣3，②當(dāng)x＝1時(shí)，（9﹣b）×1＝3+b，b＝3，綜上所述，當(dāng)b＝﹣3或3或9時(shí)原方程無(wú)解．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的步驟．題型八分式方程的應(yīng)用題型八分式方程的應(yīng)用一是分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程無(wú)解；二是分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程有解，但這個(gè)分式方程的最簡(jiǎn)公分母為0.【例題8】（2022秋?巧家縣期末）某中學(xué)在校內(nèi)勞動(dòng)基地開(kāi)展了一堂特殊的勞動(dòng)課，計(jì)劃九（1）班共采摘100千克蔬菜，在實(shí)際采摘之前將班級(jí)10名同學(xué)調(diào)往其他勞動(dòng)區(qū)域，這樣剩余同學(xué)實(shí)際平均每人需要采摘的重量是原計(jì)劃全班學(xué)生平均每人需要采摘重量的43倍，設(shè)九（1）班學(xué)生的人數(shù)為xA．100x?10×43C．100x?10=100【分析】根據(jù)剩余同學(xué)實(shí)際平均每人需要采摘的重量是原計(jì)劃全班學(xué)生平均每人需要采摘重量的43【解答】解：設(shè)九（1）班學(xué)生的人數(shù)為x名，則實(shí)際采摘人數(shù)為（x﹣10）名同學(xué)，根據(jù)題意有100x?10故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列分式方程，讀懂題意理解其中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：審題、找等量關(guān)系、設(shè)未知數(shù)、列分式方程、解答、檢驗(yàn)、作答．2、要掌握常見(jiàn)問(wèn)題中的基本關(guān)系，如行程問(wèn)題：路程＝速度×?xí)r間；工作量問(wèn)題：工作總量＝工作效率×工作時(shí)間；商品銷(xiāo)售問(wèn)題：總價(jià)=單價(jià)×銷(xiāo)量．【變式8-1】（2022秋?大洼區(qū)期末）某快遞公司為提高配送效率，引進(jìn)了甲、乙兩種型號(hào)的“分揀機(jī)器人”，已知甲型號(hào)每小時(shí)分揀數(shù)量比乙型號(hào)每小時(shí)分揀數(shù)量多50件，且甲型號(hào)分揀1000件與乙型號(hào)分揀800件所用時(shí)間相同．若設(shè)甲型號(hào)每小時(shí)分揀數(shù)量為x件，則可列方程為（）A．1000x?50?800xC．1000x=800【分析】根據(jù)兩種型號(hào)的機(jī)器人工作效率間的關(guān)系，可得出乙型機(jī)器人每小時(shí)分揀（x﹣50）件快遞，利用工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率，結(jié)合甲型號(hào)分揀1000件與乙型號(hào)分揀800件所用時(shí)間相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：1000x故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春?余杭區(qū)月考）某班同學(xué)假日活動(dòng)去博物館參觀，博物館距離學(xué)校10千米．一部分同學(xué)騎自行車(chē)先出發(fā)，其余同學(xué)20分鐘后乘汽車(chē)出發(fā)，兩批同學(xué)同時(shí)到達(dá)．已知乘車(chē)速度是騎車(chē)速度的2倍，設(shè)騎車(chē)速度為xkm/h，則可列方程．【分析】關(guān)鍵描述語(yǔ)：“過(guò)了20分鐘后，其余同學(xué)乘汽車(chē)出發(fā)，兩批同學(xué)同時(shí)到達(dá)”；等量關(guān)系為：騎自行車(chē)同學(xué)所用時(shí)間﹣乘車(chē)同學(xué)所用時(shí)間=20【解答】解：設(shè)騎車(chē)速度為xkm/h，則乘車(chē)速度為2xkm/h，根據(jù)題意，列方程得10x故答案為：10x【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式8-3】【分析】設(shè)原計(jì)劃每天植樹(shù)x棵，則實(shí)際每天植樹(shù)（1+25%）x棵，根據(jù)工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率，結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前3天完成任務(wù)，列出分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出x的值，再將其代入（1+25%）x中即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天植樹(shù)x棵，則實(shí)際每天植樹(shù)（1+25%）x棵，依題意得：2000x解得：x＝100，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝100是原方程的解，且符合題意，∴（1+25%）x＝125，即實(shí)際每天植樹(shù)125棵，故答案為：125．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式8-4】（2023?曹縣二模）在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受人民青睞．甲、乙兩騎行愛(ài)好者約定從A地沿相同路線騎行去距離30千米的B地，已知甲騎行的平均速度是乙騎行平均速度的1.2倍，若乙先騎行20分鐘，然后甲從A地出發(fā)，則甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)B地，求甲騎行的平均速度是每分鐘多少千米？【分析】設(shè)乙騎行的平均速度是每分鐘x千米，則甲騎行的平均速度是每分鐘1.2x千米，根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度，結(jié)合乙先騎行20分鐘，甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)B地，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)乙騎行的平均速度是每分鐘x千米，則甲騎行的平均速度是每分鐘1.2x千米，由題意得：30x解得：x＝0.25，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝0.25是原方程的解，且符合題意，∴1.2x＝1.2×0.25＝0.3，答：甲騎行的平均速度是每分鐘0.3千米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式8-5】（2023秋?海陽(yáng)市期中）科研機(jī)構(gòu)試驗(yàn)采集的某樣本須在4小時(shí)內(nèi)（含采集時(shí)問(wèn)）送達(dá)檢測(cè)中心，使超過(guò)時(shí)問(wèn)，樣本就會(huì)失效．已知甲、乙兩科研機(jī)構(gòu)到檢測(cè)中心的路程分別為30千米，36千米，兩科研機(jī)構(gòu)的送檢車(chē)有如圖所示的信息．根據(jù)信息，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：信息一：乙科研機(jī)