第七章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二重積分Advancedmathematics高等數(shù)學(xué)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

編e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C1.曲頂柱體的體積2.二重積分的定義3.二重積分的存在性4.二重積分的幾何意義一、二重積分的概念目錄/Contents第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)二、二重積分的性質(zhì)第七章二重積分圖7.1D一、二重積分的概念1.曲頂柱體的體積曲頂柱體是指以曲面為頂，以區(qū)域?yàn)榈祝缘倪吔绠a(chǎn)生的柱面為側(cè)面所圍成的立體.見圖7.1.設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，且，過區(qū)域邊界上每一點(diǎn)，作平行于軸的直線，這些直線構(gòu)成一個(gè)曲面，稱此曲面為由邊界產(chǎn)生的柱面.下面我們仿照求曲邊梯形面積的方法來求曲頂柱體的體積.（1）分割則以

表示以

為底的第

個(gè)小曲頂柱體的體積,，一、二重積分的概念把區(qū)域任意分割成個(gè)小區(qū)域,,…,，且仍以表示第個(gè)小區(qū)域的面積，柱體。分成個(gè)小曲頂這樣就把曲頂柱體(2)近似圖7.2一、二重積分的概念在每個(gè)小區(qū)域（)上任取一點(diǎn)，并以值為高，為底的平頂柱體的體積作為的近似值(見圖7.2)，即一、二重積分的概念(3)求和這個(gè)小平頂柱體的體積相加，就得到所求的曲頂柱體體積的近似值，即(4)取極限當(dāng)區(qū)域分得越細(xì)，則上式右端的和式就越接近于曲頂柱體的體積.用表示小區(qū)域上任意兩點(diǎn)間的最大距離，稱為該小區(qū)域的直徑，令.當(dāng)時(shí)，上述和式的極限存在，則這個(gè)極限值就是所求的曲頂柱體的體積，即一、二重積分的概念2.二重積分的定義定義7.1設(shè)是定義在有界閉區(qū)域上的有界二元函數(shù)，將區(qū)域任意分割成個(gè)小區(qū)域，，…，，并仍以表示第個(gè)小區(qū)域的面積，為區(qū)域的直徑,,在每個(gè)小區(qū)域上任取一點(diǎn)，作乘積（）,并求和當(dāng)時(shí)，這個(gè)和式的極限存在，則稱函數(shù)在區(qū)域上可積,稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的二重積分，記作

即證明略.一、二重積分的概念3.二重積分的存在性其中，稱為被積函數(shù)，“”稱為二重積分符號(hào)，稱為積分區(qū)域，稱為面積元素，稱為積分變量.定理7.1如果二元函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則二重積分存在，即在區(qū)域上可積.一、二重積分的概念4.二重積分的幾何意義（1）如果在有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)，積分的值等于以積分區(qū)域?yàn)榈?，連續(xù)曲面為頂?shù)那斨w的體積，（2）如果在有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)，積分區(qū)域積分的值等于以為底，連續(xù)曲面為頂?shù)那斨w的體積的相反數(shù)，則二重即則二重即一、二重積分的概念（3）如果在有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)既取得正值,又取得負(fù)值時(shí)，則二重積分的值等于以積分區(qū)域?yàn)榈?，以連續(xù)曲面為頂?shù)那斨w體積的代數(shù)和。e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C1.曲頂柱體的體積2.二重積分的定義3.二重積分的存在性4.二重積分的幾何意義一、二重積分的概念目錄/Contents第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)二、二重積分的性質(zhì)第七章二重積分二、二重積分的性質(zhì)

二重積分與一元函數(shù)的定積分具有相似的性質(zhì)，下面涉及的函數(shù)均假定性質(zhì)7.1若在區(qū)域

上有

，

是

的面積，則性質(zhì)7.2常數(shù)因子可提到積分號(hào)外面，即

為常數(shù)）.

（在上可積.性質(zhì)7.3函數(shù)的代數(shù)和的積分等于各個(gè)函數(shù)積分的代數(shù)和，性質(zhì)7.4（二重積分的積分區(qū)域可加性）圖7.3若區(qū)域

被一連續(xù)曲線分成二、二重積分的性質(zhì)和，見圖7.3，即則性質(zhì)7.5

（比較性質(zhì)）特別地，由于所以性質(zhì)7.6（估值定理）設(shè)

分別是函數(shù)

在有界閉區(qū)域

上的最大值和最小值，若在區(qū)域

上，有

，則

由此，若在區(qū)域

上，有

，則二、二重積分的性質(zhì)

是

的面積，則性質(zhì)7.7（二重積分的中值定理）二、二重積分的性質(zhì)設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，是區(qū)域的面積，則在上至少存在一點(diǎn)，使得二重積分中值定理的幾何意義是：在區(qū)域上以曲面()為頂?shù)那斨w的體積，等于區(qū)域上以某一點(diǎn)的函數(shù)值為高的平頂柱體的體積.（1）設(shè)（2）設(shè)（3）設(shè)【例1】

計(jì)算二重積分故解（1）

是長(zhǎng)為6，寬為4的矩形，其面積二、二重積分的性質(zhì)故故其面積其面積（3）

是由半徑為2和1的兩個(gè)同心圓圍成的圓環(huán)，（2）

是第一象限的三角形，

軸，

軸上的截距均為6，二、二重積分的性質(zhì)【例2】比較二重積分

與

的大小,從而

，解

在積分區(qū)域

內(nèi)，由于

，所以二、二重積分的性質(zhì)其中

由直線,與

所圍.故即所以解

在積分區(qū)域

內(nèi)，被積函數(shù)

，二、二重積分的性質(zhì)估計(jì)二重積分

的取值范圍，其中【例3】

積分區(qū)域

的面積為

，e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC0