2025年大學《數(shù)學與應用數(shù)學》專業(yè)題庫——離散動力系統(tǒng)的演化規(guī)律考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、定義離散動力系統(tǒng)。設映射f:?→?定義為f(x)=x^2-2x+2。求該映射的平衡點，并判斷每個平衡點的穩(wěn)定性。二、解釋什么是倍周期分岔?？紤]離散映射g(x)=4x(1-x)，討論參數(shù)x在區(qū)間[0,1]內(nèi)變化時，映射g(x)的平衡點數(shù)量和穩(wěn)定性如何變化？請描述系統(tǒng)行為隨參數(shù)變化的演變過程。三、設離散動力系統(tǒng)由映射h(x)=ax+b定義，其中a,b為常數(shù)。討論該系統(tǒng)展現(xiàn)混沌行為的必要條件是什么？請給出你的理由。四、計算映射φ(x)=x+sin(x)在點x?=0處的一階和二階近似（線性化）。判斷點x?=0是否為局部穩(wěn)定點？說明你的推理過程。五、已知一個生態(tài)模型由離散方程X_{n+1}=rX_n(1-X_n)表示，其中X_n表示第n代種群數(shù)量，r為生長率。討論r取不同值時（例如r=2.5,r=3.5,r=3.99），系統(tǒng)行為（穩(wěn)定、周期振蕩、混沌）的變化特征。請描述這些變化對應的數(shù)學現(xiàn)象（如平衡點、周期解、分岔）。六、證明：如果一個離散映射f在某個區(qū)間I上是連續(xù)的，并且存在一個點x?∈I，使得序列{x_n}={f(x_{n-1})}(n≥1)對于所有n≥1都收斂于x?，那么x?是f在區(qū)間I上的一個平衡點。七、考慮映射T(x)=x^2。分析該映射在區(qū)間[0,1]上的行為。是否存在周期為2的點？該系統(tǒng)是否表現(xiàn)出混沌特征？請簡要說明理由。八、設離散映射F(x)=x^3-3x+1。求該映射的所有平衡點。對每個平衡點，計算其局部穩(wěn)定性（是否穩(wěn)定、不穩(wěn)定或鞍點）。是否存在周期為2的解？如果存在，請嘗試找出至少一個。試卷答案一、定義：離散動力系統(tǒng)通常指形如X_{n+1}=f(X_n)的迭代過程，其中X_n是狀態(tài)變量，f是定義在某個狀態(tài)空間上的映射。解：平衡點滿足f(x)=x。令x^2-2x+2=x，得x^2-3x+2=0，解得x?=1,x?=2。計算f'(x)=2x-2。在x?=1處，f'(1)=2*1-2=0。此方法無法直接判斷穩(wěn)定性。改用f(x)-x=x^2-3x+2，其根為x?=1,x?=2。f(x)-x在x?=1處的值不為0，在x?=2處的值為0。根據(jù)不動點指數(shù)理論或直接考察，x?=1為鞍點（不穩(wěn)定）。在x?=1附近，若x>1，f(x)<x；若x<1，f(x)>x。若x<x?=2，f(x)>x；若x>x?=2，f(x)<x。因此，x?=1不穩(wěn)定，x?=2是穩(wěn)定平衡點。穩(wěn)定性判斷：x?=2是穩(wěn)定平衡點。二、倍周期分岔：指系統(tǒng)在參數(shù)變化過程中，其穩(wěn)定周期解的周期翻倍的現(xiàn)象。初始的穩(wěn)定周期解變得不穩(wěn)定，同時產(chǎn)生一個穩(wěn)定的新周期解，其周期是原周期解的兩倍。這個過程會不斷重復，參數(shù)繼續(xù)變化時，系統(tǒng)可能經(jīng)歷4周期、8周期等分岔，最終可能進入混沌狀態(tài)。討論：映射g(x)=4x(1-x)=4x-4x^2。平衡點滿足g(x)=x，即4x-4x^2=x，得4x^2-3x=0，解得x=0或x=3/4。計算g'(x)=4-8x。在x=0處，g'(0)=4。由于|g'(0)|=4>1，該平衡點不穩(wěn)定。在x=3/4處，g'(3/4)=4-8*(3/4)=-2。由于|g'(3/4)|=2>1，該平衡點也不穩(wěn)定。此時系統(tǒng)無穩(wěn)定平衡點?？紤]周期解。周期為1的解滿足g(x)=x且g(g(x))=x。即4x(1-x)=x且4(4x(1-x))(1-4x(1-x))=x。解得x=0或x=3/4（這些解仍不穩(wěn)定）。考慮周期為2的解，滿足g(x)≠x且g(g(x))=x。設周期為2的解為a，則g(a)=b,g(b)=a。且a≠b。在區(qū)間[0,1]內(nèi)，嘗試x=1/2，g(1/2)=4*(1/2)*(1-1/2)=1。g(g(1/2))=g(1)=4*1*(1-1)=0。但0≠1/2。嘗試x=1/4，g(1/4)=4*(1/4)*(1-1/4)=3/4。g(g(1/4))=g(3/4)=4*(3/4)*(1-3/4)=3/4。且1/4≠3/4。因此，x=1/4和x=3/4是周期為2的解。計算g'(x)在周期為2解處的值：g'(1/4)=4-8*(1/4)=0，g'(3/4)=4-8*(3/4)=-2。由于g'(1/4)=0，該周期解是穩(wěn)定的。而g'(3/4)=-2，該周期解是不穩(wěn)定的。行為演變：當參數(shù)（本例中未顯式出現(xiàn)參數(shù)，但g(x)=4x(1-x)可視為r=4的Logistic映射）變化時，系統(tǒng)從無平衡點、無穩(wěn)定周期解（只有不穩(wěn)定平衡點和非穩(wěn)定周期解）的狀態(tài)，通過倍周期分岔，進入存在一個穩(wěn)定周期為2的解的狀態(tài)。三、必要條件：一個離散動力系統(tǒng)(X_{n+1}=f(X_n))展現(xiàn)混沌行為，通常需要滿足以下條件之一（根據(jù)不同混沌定義）：1.Li-Yorke混沌定義：在狀態(tài)空間中存在兩個點x,y，使得d(x_n,y_n)→0(n→∞)且存在一個點z，使得d(z_n,y_n)≠0對所有n≥0成立。這意味著系統(tǒng)對初值敏感，存在收斂點和不收斂點。2.Devaney混沌定義：映射f滿足：a)f是連續(xù)的。b)f的周期點密度為0（即任何開集都包含非周期點）。c)對任意點x和任意ε>0，存在點y使得d(x_n,y_n)>ε對所有n≥0成立（即系統(tǒng)對初值敏感）。條件解釋：Li-Yorke混沌的核心是對初值的極端敏感性，即軌道要么收斂，要么永遠保持有距離。Devaney混沌則更形式化地要求連續(xù)性、無周期點（或周期點密度為0）以及對初值的敏感性。這些條件共同描述了混沌狀態(tài)的關鍵特征。證明系統(tǒng)混沌通常需要驗證這些條件之一。四、一階近似（線性化）：在x?=0處，h(x)=ax+b的導數(shù)為h'(x)=a。因此，一階近似（線性化映射）為L(x)=h'(x?)x=ax。計算：L(x)=a*x。二階近似：h''(x)=0。因此，二階近似為L?(x)=h'(x?)x+h''(x?)/2*x2=ax+0=ax。判斷穩(wěn)定性：根據(jù)線性化方法，判斷x?是否穩(wěn)定取決于線性化映射L(x)=ax在x?處的值。如果L(x?)=a*0=0，線性化方法失效。需要更高階近似或使用其他方法。另一種方法是直接考察原映射：h(x)-x=ax+b-x=(a-1)x+b。此多項式在x?=0處的值為b。*如果b≠0，那么h(x)-x在x?=0處不為0。根據(jù)不動點指數(shù)理論，x?=0不是h(x)的不動點（更不是穩(wěn)定平衡點）。*如果b=0，那么h(x)-x=(a-1)x。此時x?=0是一個平衡點。其穩(wěn)定性取決于a-1的符號：*若a-1>0(即a>1)，則x_n=(a-1)^n*x?，當n→∞時，x_n→∞。x?=0不穩(wěn)定。*若a-1<0(即a<1)，則x_n=(a-1)^n*x?，當n→∞時，x_n→0。x?=0穩(wěn)定。*若a-1=0(即a=1)，則x_n=b=0對所有n成立。x?=0是一個穩(wěn)定平衡點（也是超穩(wěn)定平衡點）。結(jié)論：僅根據(jù)一階和二階近似無法判斷x?=0的穩(wěn)定性，除非b=0且a≠1。在b=0,a=1的情況下，x?=0是穩(wěn)定平衡點。在其他情況下，僅憑近似無法確定其穩(wěn)定性。五、討論：*r=2.5：此時方程變?yōu)閄_{n+1}=2.5X_n(1-X_n)。容易驗證X=0是平衡點。計算Jacobian：X'=2.5(1-2X)。在X=0處，X'(0)=2.5>1。因此X=0是不穩(wěn)定平衡點。對于X>1，X'>0；對于0<X<1，X'<0。對于X<0，X'>0。系統(tǒng)行為將遠離X=0。此時系統(tǒng)可能表現(xiàn)出穩(wěn)定的不動點（如果初始值接近不動點）或周期解，但根據(jù)r=2.5在Logistic模型中的行為，通常系統(tǒng)會進入一個穩(wěn)定的周期解狀態(tài)（周期為2）。*r=3.5：此時方程變?yōu)閄_{n+1}=3.5X_n(1-X_n)。X=0仍是平衡點，且X'(0)=3.5>1，不穩(wěn)定。此時系統(tǒng)可能表現(xiàn)出更復雜的周期解行為，例如周期為4的解可能出現(xiàn)。*r=3.99：此時方程變?yōu)閄_{n+1}=3.99X_n(1-X_n)。X=0仍是不穩(wěn)定平衡點，X'(0)=3.99>1。對于X>1，X'<0；對于0<X<1，X'>0。對于X<0，X'<0。系統(tǒng)行為將遠離X=0。此時系統(tǒng)很可能表現(xiàn)出混沌行為，軌道對初始值高度敏感，呈現(xiàn)復雜的、看似隨機的變化模式。變化特征總結(jié)：隨著r從2.5增加到3.5再到3.99，系統(tǒng)行為經(jīng)歷了從不穩(wěn)定平衡點附近振蕩（可能為周期2）->出現(xiàn)更復雜周期解（如周期4）->進入混沌狀態(tài)的變化過程。數(shù)學現(xiàn)象對應：r=2.5附近，可能為穩(wěn)定的周期2解；r=3.5附近，可能為穩(wěn)定的周期4解；r=3.99附近，系統(tǒng)進入混沌區(qū)，表現(xiàn)出對初值的極端敏感性。六、證明：需要證明：若f:I→I連續(xù)，且存在序列{x_n}(n≥1)收斂于x?∈I，使得x_n=f(x_{n-1})(n≥1)，則x?是f在區(qū)間I上的平衡點。證明：由序列定義，x_n→x?(n→∞)。由于{x_n}是由遞推關系x_n=f(x_{n-1})定義的，我們可以寫出x_n=f(x_{n-1})=f(f(x_{n-2}))=...=f^{(n)}(x_0)，其中f^{(k)}表示f的k次復合?？紤]極限n→∞：lim_{n→∞}x_n=lim_{n→∞}f^{(n)}(x_0)=x?。由于f是連續(xù)的，復合映射f^{(n)}也是連續(xù)的（有限次復合連續(xù)映射仍連續(xù)）。因此，可以對極限號與f^{(n)}交換：x?=lim_{n→∞}f^{(n)}(x_0)=f(lim_{n→∞}f^{(n-1)}(x_0))=f(lim_{n→∞}x_{n-1})。由于lim_{n→∞}x_n=x?，所以lim_{n→∞}x_{n-1}=x?。因此，x?=f(x?)。這正是平衡點的定義。所以，x?是f在區(qū)間I上的平衡點。七、分析：映射T(x)=x^2在區(qū)間[0,1]上。平衡點：解T(x)=x，即x^2=x。得x=0或x=1。在區(qū)間[0,1]上，平衡點為x=0和x=1。穩(wěn)定性：計算導數(shù)T'(x)=2x。在x=0處，T'(0)=2*0=0。線性化方法失效?？疾霻(x)-x=x^2-x=x(x-1)。在x?=0附近，若0<x<1，則T(x)-x>0(T(x)>x)；若x>1，則T(x)-x<0(T(x)<x)。因此，x?=0是一個鞍點，不穩(wěn)定。在x=1處，T'(1)=2*1=2。由于|T'(1)|=2>1，該平衡點不穩(wěn)定。周期為2的點：尋找滿足T(T(x))=x且T(x)≠x的x。計算T(T(x))=(x^2)^2=x^4。解方程x^4=x且x^2≠x。得x=0或x=1。但這兩個點都不滿足T(x)≠x的條件（T(0)=0,T(1)=1）。結(jié)論：在區(qū)間[0,1]上，映射T(x)=x^2沒有穩(wěn)定平衡點，也沒有周期為2的解。系統(tǒng)行為將根據(jù)初始值的不同，最終收斂到1（如果初始值x?>0），或者保持為0（如果初始值x?=0）。該系統(tǒng)不表現(xiàn)出混沌特征，因為它缺乏復雜的周期解結(jié)構(gòu)和對初值的極端敏感性。八、解：1.求平衡點：平衡點滿足F(x)=x。令x^3-3x+1=x，得x^3-4x+1=0。嘗試有理根：±1。F(1)=1-4+1=-2≠0。F(-1)=-1+4+1=4≠0。無簡單有理根。無法直接因式分解?？梢允褂脭?shù)值方法或高等代數(shù)技巧（如求導數(shù)、利用判別式等）尋找根，但此處假設可以解得所有根（設為x?,x?,x?）。2.求局部穩(wěn)定性：計算導數(shù)F'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。*在x?=1處，F(xiàn)'(1)=3(1-1)(1+1)=0。線性化方法失效。需要更高階近似或直接考察F(x)-x=x^3-4x+1。在x=1處，值為0。根據(jù)更高階項x^3的主導作用，可以推斷x=1附近行為，但簡單判斷其穩(wěn)定性較復雜。*在x?=-1處，F(xiàn)'(-1)=3((-1)-1)((-1)+1)=3*(-2)*0=0。線性化方法失效?？疾霧(x)-x=x^3-4x+1。在x=-1處，值為-1-(-4)+1=4≠0。根據(jù)不動點指數(shù)理論，x?=-1不是平衡點。*在x?處（假設為實根，且x?≠±1），F(xiàn)'(x?)=3(x?-1)(x?+1)。如果x?>1，則F'(x?)>0；如果-1<x?<1，則F'(x?)<0；如果x?<-1，則F'(x?)>0。因此，需要知道x?的具體值才能判斷其穩(wěn)定性。假設x?>1，則F'(x?)>1，x?不穩(wěn)定。假