2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——時間序列分析與預測考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項的字母填在題干后的括號內(nèi)）1.時間序列數(shù)據(jù)按其值隨時間變化的方式不同，可以分為（）。A.平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列B.確定性序列和隨機性序列C.時間序列和截面數(shù)據(jù)D.季節(jié)性序列和非季節(jié)性序列2.若一個時間序列的值圍繞一個固定的均值波動，且波動的方差和自協(xié)方差僅依賴于時間間隔而與時間起點無關，則該序列是（）。A.馬爾可夫過程B.白噪聲過程C.平穩(wěn)時間序列D.非平穩(wěn)時間序列3.對于一個平穩(wěn)的AR(1)模型Y_t=φY_(t-1)+ε_t，若|φ|<1，則該模型是（）。A.濾波器模型B.平穩(wěn)的C.非平穩(wěn)的D.齊次的4.在自回歸模型AR(p)中，其自相關函數(shù)（ACF）和偏自相關函數(shù)（PACF）的特性是（）。A.ACF和PACF均逐漸衰減至零B.ACF和PACF均逐漸截尾C.ACF逐漸衰減至零，PACF在p階截尾D.ACF在p階截尾，PACF逐漸衰減至零5.移動平均模型MA(q)的隨機項ε_t通常被假設服從（）。A.正態(tài)分布B.二元分布C.瑞利分布D.泊松分布6.當一個非平穩(wěn)時間序列通過差分運算變?yōu)槠椒€(wěn)序列時，該序列被稱為（）。A.差分序列B.平穩(wěn)序列C.積分序列D.平穩(wěn)積分序列7.ARIMA(p,d,q)模型中，參數(shù)d代表的是（）。A.模型的階數(shù)B.需要差分的次數(shù)C.模型的自回歸階數(shù)D.模型的移動平均階數(shù)8.對于一個擬合良好的時間序列模型，其殘差序列應近似滿足（）。A.自相關性B.異方差性C.非正態(tài)性D.白噪聲特性9.指數(shù)平滑法中，Holt-Winters方法適用于包含（）的時間序列。A.趨勢成分B.季節(jié)成分C.趨勢和季節(jié)成分D.隨機波動成分10.若兩個非平穩(wěn)時間序列的長期均值存在某種穩(wěn)定關系，則它們之間存在（）。A.平行關系B.獨立關系C.協(xié)整關系D.相關關系二、填空題（每小題2分，共20分。請將答案填在題干后的橫線上）1.時間序列的平穩(wěn)性包括均值不變和______不變兩個基本條件。2.檢驗時間序列數(shù)據(jù)是否具有平穩(wěn)性的常用統(tǒng)計檢驗方法是______檢驗。3.自相關函數(shù)（ACF）描述了時間序列與其自身______滯后項之間的線性相關程度。4.對于MA(q)模型，其自相關函數(shù)（ACF）通常在______階及其以后截尾。5.在ARIMA模型中，若d=0，則該模型簡化為______模型。6.模型診斷中，常用的殘差分析工具包括______圖和______檢驗。7.進行時間序列預測時，預測值通常由模型的______和______共同決定。8.指數(shù)平滑法中，Holt方法同時考慮了______和______兩個成分。9.若一個時間序列是ARIMA(0,1,1)過程，則其相當于一個______模型。10.協(xié)整理論主要用于研究______時間序列之間的長期均衡關系。三、判斷題（每小題2分，共20分。請將“正確”或“錯誤”填在題干后的括號內(nèi)）1.時間序列分析只適用于經(jīng)濟數(shù)據(jù)，不適用于自然科學數(shù)據(jù)。（）2.所有的時間序列模型都可以用于預測未來值。（）3.自回歸模型AR(p)的隨機項ε_t是白噪聲過程。（）4.移動平均模型MA(q)的階數(shù)q表示其依賴的過去觀測值的個數(shù)。（）5.差分運算可以消除時間序列的非平穩(wěn)性。（）6.ARIMA(1,1,1)模型一定是一個非平穩(wěn)模型。（）7.模型擬合優(yōu)度越高，預測結果的可靠性就一定越大。（）8.指數(shù)平滑法屬于參數(shù)模型方法。（）9.季節(jié)性ARIMA模型SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s中，(P,D,Q)s代表季節(jié)性部分的模型階數(shù)。（）10.如果時間序列的自相關函數(shù)是拖尾的，那么它的偏自相關函數(shù)一定是截尾的。（）四、簡答題（每小題5分，共25分）1.簡述平穩(wěn)時間序列與非平穩(wěn)時間序列的區(qū)別。2.請解釋自相關函數(shù)（ACF）和偏自相關函數(shù)（PACF）的定義及其主要用途。3.ARIMA模型中參數(shù)p,d,q的物理意義是什么？4.簡述時間序列模型診斷的主要目的和方法。5.簡要說明Holt-Winters指數(shù)平滑法適用于哪種類型的時間序列，并指出其核心思想。五、計算題（共15分）假設某時間序列的數(shù)據(jù)如下：3,6,7,9,12,15,18。計算其一階差分序列{Y'_t}的值，并計算差分序列的前三個自相關函數(shù)（ACF_1,ACF_2,ACF_3）的估計值（提示：可使用樣本自協(xié)方差除以總離差平方和的方法近似計算，不考慮季節(jié)性因素）。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.B4.C5.A6.D7.B8.D9.C10.C二、填空題1.方差2.單位根3.同4.q5.ARMA6.殘差自相關7.估計參數(shù)，模型項8.趨勢，季節(jié)9.樸素10.非平穩(wěn)三、判斷題1.錯誤2.錯誤3.正確4.錯誤5.錯誤6.錯誤7.錯誤8.錯誤9.正確10.錯誤四、簡答題1.解析思路：區(qū)分核心定義。平穩(wěn)序列的統(tǒng)計特性（均值、方差、自協(xié)方差）不隨時間變化。非平穩(wěn)序列至少有一個統(tǒng)計特性隨時間變化（如均值趨勢、方差波動、自協(xié)方差衰減緩慢）。答案：平穩(wěn)時間序列是指其統(tǒng)計特性（如均值、方差、自協(xié)方差函數(shù)）不隨時間推移而變化的序列。具體來說，均值恒定，方差有限且不變，自協(xié)方差僅依賴于滯后時間間隔而與實際時間點無關。非平穩(wěn)時間序列則至少有一個統(tǒng)計特性隨時間變化，例如均值存在明顯趨勢、方差隨時間增大或減小，或者自協(xié)方差不隨時間衰減。2.解析思路：解釋ACF和PACF的定義。ACF衡量序列與自身所有滯后值的線性關系；PACF衡量序列與自身某個滯后值的線性關系，排除了中間滯后值的影響。用途上，ACF和PACF是識別ARMA模型階數(shù)p和q的重要依據(jù)。答案：自相關函數(shù)（ACF）是時間序列與其自身k階滯后序列的協(xié)方差與其自身方差之比，衡量了序列與其自身所有滯后項之間的線性相關程度。偏自相關函數(shù)（PACF）是在排除了中間滯后項影響的情況下，時間序列與其自身k階滯后序列的線性相關程度。ACF和PACF的主要用途是幫助識別時間序列模型中自回歸階數(shù)p和移動平均階數(shù)q。3.解析思路：分別解釋p,d,q的含義。p是自回歸項數(shù)，反映序列對自身滯后值的依賴程度；d是差分階數(shù)，用于將非平穩(wěn)序列轉換為平穩(wěn)序列；q是移動平均項數(shù)，反映序列對隨機擾動項的依賴程度。答案：ARIMA模型中參數(shù)p,d,q分別代表：p是自回歸（Autoregressive）階數(shù)，表示模型中包含的當前值對過去p個觀測值的線性依賴關系；d是差分（Differencing）階數(shù)，表示需要做多少次差分才能將非平穩(wěn)序列轉換成平穩(wěn)序列；q是移動平均（MovingAverage）階數(shù)，表示模型中包含的當前值對過去q個隨機擾動項的線性依賴關系。4.解析思路：闡述診斷目的（檢驗模型假設，確認模型適用性）和常用方法（殘差圖觀察，白噪聲檢驗，正態(tài)性檢驗等）。答案：時間序列模型診斷的主要目的是檢驗所擬合模型的殘差序列是否滿足基本假設（如白噪聲特性），從而確認模型是否恰當。常用方法包括：繪制殘差自相關圖（ACF圖和PACF圖）觀察殘差是否存在自相關性；進行白噪聲檢驗（如Ljung-Box檢驗）；檢驗殘差的正態(tài)性（如Q-Q圖、Shapiro-Wilk檢驗）；檢查是否存在異常值等。5.解析思路：指出適用類型（同時含趨勢和季節(jié)成分），核心思想（加權平均，賦予近期數(shù)據(jù)更高權重，并分別考慮趨勢和季節(jié)成分的演變）。答案：Holt-Winters指數(shù)平滑法適用于同時包含明顯趨勢成分和季節(jié)成分的時間序列。其核心思想是使用加權平均來更新對序列水平的估計，并分別跟蹤趨勢和季節(jié)成分。它引入了平滑系數(shù)α,β,γ來分別更新水平、趨勢和季節(jié)指數(shù)，使得預測能夠同時適應數(shù)據(jù)的水平和季節(jié)性變化。五、計算題解析思路：1.差分計算：一階差分Y'_t=Y_t-Y_(t-1)。逐項計算。2.ACF計算：*計算樣本均值μ。*計算樣本方差S^2。*計算樣本自協(xié)方差γ_k=(1/n)*Σ(t=1ton-k)[Y_t-μ](Y_(t+k)-μ)。*計算樣本自相關函數(shù)估計值ρ_k=γ_k/S^2。*分別計算k=1,2,3時的γ_k和ρ_k。注意樣本量n=7。計算過程：1.原序列：Y=[3,6,7,9,12,15,18]。一階差分序列Y'=[Y_t-Y_(t-1)]=[6-3,7-6,9-7,12-9,15-12,18-15]=[3,1,2,3,3,3]。2.樣本均值μ=(3+1+2+3+3+3)/6=17/6。3.樣本方差S^2=[(3-17/6)^2+(1-17/6)^2+(2-17/6)^2+(3-17/6)^2+(3-17/6)^2+(3-17/6)^2]/6=[(11/6)^2+(-5/6)^2+(-1/6)^2+(1/6)^2+(1/6)^2+(1/6)^2]/6=(121/36+25/36+1/36+1/36+1/36+1/36)/6=(151/36)/6=151/216。4.計算自協(xié)方差γ_k：*γ_0=S^2=151/216。*γ_1=(1/6)*[(3-17/6)(1-17/6)+(1-17/6)(2-17/6)+(2-17/6)(3-17/6)+(3-17/6)(3-17/6)+(3-17/6)(3-17/6)+(3-17/6)(3-17/6)]=(1/6)*[(-11/6)(-5/6)+(-5/6)(-1/6)+(-1/6)(1/6)+(1/6)(1/6)+(1/6)(1/6)+(1/6)(1/6)]=(1/6)*[(55/36)+(5/36)+(-1/36)+(1/36)+(1/36)+(1/36)]=(1/6)*[61/36]=61/216。*γ_2=(1/6)*[(3-17/6)(2-17/6)+(1-17/6)(3-17/6)+(2-17/6)(3-17/6)+(3-17/6)(3-17/6)+(3-17/6)(3-17/6)+(3-17/6)(3-17/6)]=(1/6)*[(-11/6)(-1/6)+(-5/6)(1/6)+(-1/6)(1/6)+(1/6)(1/6)+(1/6)(1/6)+(1/6)(1/6)]=(1/6)*[(11/36)+(-5/36)+(-1/36)+(1/36)+(1/36)+(1/36)]=(1/6)*[7/36]=7/216。5.計算自相關函數(shù)估計值ρ_k：*ρ_0=γ_0/S^2=(151/216)