2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)模型解析社會問題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項：本試卷共五個大題，滿分100分。作答時請仔細(xì)閱讀題目要求，確保答案符合題目條件。一、某城市人口增長模式近似符合Logistic增長模型。假設(shè)該城市當(dāng)前人口為100萬，最大承載能力估計為1000萬。若年自然增長率為5%，求：1.建立描述該城市人口數(shù)量P(t)隨時間t變化的微分方程模型。2.求解該微分方程，并確定該城市人口達(dá)到最大承載能力一半時所需的時間（假設(shè)從100萬開始計算）。二、假設(shè)一個地區(qū)的能源消耗量E（單位：焦耳/年）與該地區(qū)的人均GDPg（單位：元/人）以及人口數(shù)量N（單位：萬人）之間存在如下關(guān)系：E=k*g^α*N^β，其中k為常數(shù)，α,β為待定參數(shù)?，F(xiàn)收集到該地區(qū)兩個不同年份的數(shù)據(jù)如下：1.當(dāng)年人均GDP為2萬元，人口為100萬時，能源消耗量為1.2×10^18焦耳。2.當(dāng)年人均GDP為3萬元，人口為110萬時，能源消耗量為1.65×10^18焦耳。試建立方程組求解參數(shù)α和β的值（可以保留k）。3.若預(yù)計未來該地區(qū)人口將保持每年增加1萬人的速度，人均GDP每年增長5%，試定性分析未來五年內(nèi)該地區(qū)能源消耗量的變化趨勢。三、某公共衛(wèi)生策略旨在降低某種傳染病的感染率。假設(shè)在沒有干預(yù)措施的情況下，感染人數(shù)I=I?。1.分別建立實施干預(yù)措施前后，感染人數(shù)I(t)滿足的微分方程。2.求解這兩個微分方程，比較在相同時間段內(nèi)，實施干預(yù)措施后感染人數(shù)的最大值相比未干預(yù)情況的變化。四、某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每單位產(chǎn)品A的利潤為20元，每單位產(chǎn)品B的利潤為30元。生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品需要消耗兩種資源X和Y。已知生產(chǎn)每單位產(chǎn)品A需要消耗資源X為2單位，資源Y為1單位；生產(chǎn)每單位產(chǎn)品B需要消耗資源X為1單位，資源Y為3單位。目前公司每周可獲取資源X共100單位，資源Y共90單位。1.建立以周利潤最大化為目標(biāo)，且滿足資源約束的線性規(guī)劃模型。2.若公司決定購買更多資源X以擴大生產(chǎn)，試分析增加資源X對最大周利潤的影響（無需求解，只需分析）。五、某環(huán)境科學(xué)研究機構(gòu)收集了某河流過去十年中每年監(jiān)測到的污染物濃度數(shù)據(jù)（單位：mg/L），數(shù)據(jù)如下：8.2,8.5,8.7,9.0,9.3,9.6,9.8,10.1,10.4,10.7。1.建立描述污染物濃度C(t)隨時間t（t=1代表第一年）變化的線性回歸模型（即找到形如C(t)=a+bt的模型）。2.利用你所建立的模型，預(yù)測第11年的污染物濃度。3.分析該模型預(yù)測結(jié)果的合理性，并指出其可能存在的局限性。試卷答案一、1.dP/dt=rP(1-P/K)，其中P(t)為時間t時的人口數(shù)量，r為自然增長率，K為最大承載能力。代入r=0.05，K=1000萬，得dP/dt=0.05*P*(1-P/1000萬)。2.解微分方程：dP/dt=0.05P(1-P/1000萬)。分離變量并積分：∫(1/P)*dP=∫0.05(1-P/1000萬)*dt。得ln|P|=0.05t-0.05P/1000萬+C。整理得P=Ce^(0.05t)*(1-P/1000萬)。初始條件P(0)=100萬，代入得100萬=Ce^0*(1-100萬/1000萬)，解得C=100萬/(1-0.1)=111.111萬。所以P(t)=111.111萬*e^(0.05t)/(1+e^(0.05t))=111.111萬/(1+e^(-0.05t))。達(dá)到最大承載能力一半即P=500萬時，500萬=111.111萬/(1+e^(-0.05t))。解得e^(-0.05t)=0.5。取對數(shù)得-0.05t=ln(0.5)。所以t=-ln(0.5)/0.05=ln(2)/0.05≈13.86年。二、1.由題意E=k*g^α*N^β。代入第一組數(shù)據(jù)：1.2×10^18=k*(2×10^4)^α*(100×10^4)^β。取對數(shù)得ln(1.2×10^18)=ln(k)+αln(2×10^4)+βln(100×10^4)。代入第二組數(shù)據(jù)：1.65×10^18=k*(3×10^4)^α*(110×10^4)^β。取對數(shù)得ln(1.65×10^18)=ln(k)+αln(3×10^4)+βln(110×10^4)。建立方程組：ln(1.2×10^18)=ln(k)+α(ln(2)+ln(10^4))+β(ln(100)+ln(10^4))ln(1.65×10^18)=ln(k)+α(ln(3)+ln(10^4))+β(ln(110)+ln(10^4))令A(yù)=ln(1.2×10^18),B=ln(k)+αln(10^4)+βln(10^4),C=ln(2),D=ln(3),E=ln(100),F=ln(110)。則方程組為：A=B+Cα+EβB+Dα+Fβ=ln(1.65×10^18)2.解參數(shù)α,β：(A-B)/(C-D)=α+Eβ/(C-D)(B-ln(1.65×10^18))/(D-C)=α+Fβ/(D-C)將B視為未知數(shù)，聯(lián)立解α,β：α=(A-B-Eβ)/(C-D)將α代入第二個方程：(B-ln(1.65×10^18))/(D-C)=[(A-B-Eβ)/(C-D)]+Fβ/(D-C)(B-ln(1.65×10^18))*(C-D)=(A-B-Eβ)(D-C)+Fβ(C-D)展開整理后求解β，再將β代回求解α。最終得到α≈0.5,β≈1.5（保留k）。3.預(yù)測未來五年能源消耗量變化：E(t+1)=k*g(t+1)^α*N(t+1)^β=k*(g(t)*1.05)^α*(N(t)+1)^β。由于α≈0.5,β≈1.5，g增長和N增長對E的影響不同。g增長對E的貢獻(xiàn)率(0.5*1.05^0.5)略小于g本身的增長率1.05，N增長對E的貢獻(xiàn)率(1.5*1.01^1.5)大于N本身的增長率1.01。因此，盡管人均GDP和人口都在增長，但由于資源消耗強度（β>1）和人均消耗強度（α<1）的共同作用，預(yù)計能源消耗量仍將呈增長趨勢，但增速可能放緩。三、1.未干預(yù)時：dI/dt=rI(1-I/K)。干預(yù)后傳染率降為0.8r，易感者數(shù)量（總?cè)丝跍p去感染者）變化不大，設(shè)干預(yù)后易感者比例為(1-I'/N)，則I'*dI'/dt≈r(1-I'/N)I'。若總?cè)丝贜基本不變，可簡化為dI'/dt≈0.8r*I'*(1-I'/N)。2.求解未干預(yù)模型：dI/dt=rI(1-I/K)。通解為I(t)=K/(1+C*exp(-rt))。初始I(0)=I?，得C=(K-I?)/I?。最大感染量發(fā)生在t=ln(I?/K)/r時，為K/(1+1/C)=K/2。設(shè)干預(yù)后模型最大感染量為I_max'，發(fā)生在t'=ln(I?'/I_max')/(0.8r)。由于0.8r<r，ln(I?'/I_max')<ln(I?/K)，故t'<t。且在相同時間段內(nèi)，由于初始感染相同，但干預(yù)后感染增長速率減慢，因此干預(yù)后的感染者總量在任何時刻都不會超過未干預(yù)情況下的最大值K/2。比較的是達(dá)到最大值所需時間及最大值本身。所需時間縮短，最大峰值（K/2）不變，但峰值出現(xiàn)更早。由于模型是近似的，實際干預(yù)效果可能更好，且峰值后下降更快，故干預(yù)后達(dá)到峰值后感染者總量可能更少。四、1.目標(biāo)函數(shù)：MaxZ=20x+30y。約束條件：2x+y≤100(資源X約束)x+3y≤90(資源Y約束)x≥0(非負(fù)約束)y≥0(非負(fù)約束)2.分析增加資源X的影響：增加資源X意味著約束2x+y≤100中的常數(shù)項100增大。在坐標(biāo)平面上，這條約束線向右平移。根據(jù)線性規(guī)劃理論，增加一個約束條件的右側(cè)常數(shù)項，如果新約束線在可行域的邊界上，則最優(yōu)解可能會改變，最大目標(biāo)值可能增加。在本題中，增加資源X（即增大2x+y=100這條線的截距），可能導(dǎo)致最優(yōu)解從原來的某個頂點移動到新的頂點。新的頂點可能是原可行域的內(nèi)部點，也可能是新的邊界點。例如，如果原最優(yōu)解在點(0,30)，則增加X后，最優(yōu)解可能移動到點(50,0)，此時最大利潤為20*50+30*0=1000元，比原來的900元增加。因此，增加資源X對最大周利潤有正向影響，但影響的程度取決于增加的量以及最優(yōu)解的移動情況。如果增加的量不足以改變最優(yōu)頂點，則利潤不變；如果改變最優(yōu)頂點，則利潤會增加。五、1.設(shè)污染物濃度模型為C(t)=a+bt。計算均值：C?=(8.2+8.5+...+10.7)/10=9.95。中心化數(shù)據(jù)：d?=C?-C?。計算Σd?2=(8.2-9.95)2+...+(10.7-9.95)2=30.49。計算Σd?d?(i≠j)：(8.2-9.95)*(8.5-9.95)+...+(9.8-9.95)*(10.7-9.95)=16.45。n=10。計算b=nΣd?d?/Σd?2=10*16.45/30.49≈5.411。計算a=C?-b*10=9.95-5.411*1=4.539。線性回歸模型為C(t)=4.539+0.541t。2.預(yù)測第11年，即t=11時：C(11)=4.539+0.541*11≈4.539+5.951=10.49(mg/L)。3.合理性分析：線性模型假設(shè)污染物濃度隨時間線性增長。觀察原始數(shù)據(jù)：8.2,8.5,8.7,9.0,9.3,9.6,9.8,10.1,10.4