第二章二次函數(shù)2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)第2課時(shí)二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象與性質(zhì)

1.

二次函數(shù)y＝ax2＋c（a≠0）的圖象是

拋物線

，

性質(zhì)如下：a＞0a＜0開口方向

向上

向下

對(duì)稱軸

y軸

y軸

頂點(diǎn)坐標(biāo)

（0，c）

（0，c）

拋物線向上向下y軸y軸（0，c）（0，c）a＞0a＜0增減性當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而

增大

﹔當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而

減小

當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而

減﹔當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而

增

大

最大（?。┲祔最小值＝

c

y最大值＝

c

增大減小減小

增大cc2.

二次函數(shù)y＝ax2＋c（a≠0）的圖象可以由y＝ax2平

移而得，當(dāng)c＞0時(shí)，向

上

平移

個(gè)單位長度；

當(dāng)c＜0時(shí)，向

下

平移

個(gè)單位長度.上

下

二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象【例1】已知二次函數(shù)y＝ax2與y＝－2x2＋c.（1）隨著系數(shù)a和c的變化，分別說說這兩個(gè)二次函數(shù)圖

象的變化情況.解：（1）二次函數(shù)y＝ax2的圖象隨著a的變化，開口大

小和開口方向都會(huì)變化，但是對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)不會(huì)改

變.二次函數(shù)y＝－2x2＋c的圖象隨著c的變化，開口大小

和開口方向都沒有改變，對(duì)稱軸也沒有改變，但是頂點(diǎn)坐

標(biāo)會(huì)發(fā)生改變.（2）若這兩個(gè)函數(shù)圖象的形狀相同，則a＝

±2

；若

二次函數(shù)y＝ax2的圖象沿y軸向下平移2個(gè)單位長度就能

與y＝－2x2＋c的圖象完全重合，則c＝

－2

.±2－2（3）二次函數(shù)y＝－2x2＋c中x，y的幾組對(duì)應(yīng)值如下表：x－215ymnp表中m，n，p的大小關(guān)系為

p＜m＜n

.（用“＜”

連接）p＜m＜n

在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，二次項(xiàng)系數(shù)a不等于

0，而b和c都可能等于0，當(dāng)b和c都等于0時(shí)，函數(shù)為y

＝ax2；當(dāng)b＝0時(shí)，函數(shù)為y＝ax2＋c；當(dāng)c＝0時(shí)，函數(shù)

為y＝ax2＋bx，這三個(gè)函數(shù)的圖象都可以通過平移來互

相變換，而在三個(gè)系數(shù)中，a決定開口方向，a和b決定

對(duì)稱軸，c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).

二次函數(shù)y＝ax2＋c的性質(zhì)

（1）當(dāng)△POF的面積為4時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求△PMF周長的最小值.解：（2）過點(diǎn)P作PT⊥x軸于點(diǎn)T.

∵C△PMF＝PM＋PF＋FM＝PM＋PT＋2≥MT＋2，∴當(dāng)MT⊥x軸時(shí)，周長最小，最小值為3＋2＝5.

本題利用二次函數(shù)新定義性質(zhì)，結(jié)合y＝ax2＋c的圖

象性質(zhì)，根據(jù)面積公式可求出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，同時(shí)根據(jù)

垂線段最短確定三角形周長的最小值，同時(shí)利用垂直中

點(diǎn)的坐標(biāo)來解決問題，可稱得上是“一箭三雕”.

1.

二次函數(shù)y＝x2＋3的圖象上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B

（x2，y2），若y1＜y2，則下列結(jié)論正確的是（D）A.0≤x1＜x2B.

x2＜x1≤0C.

x2＜x1≤0或0≤x1＜x2D.

以上都不對(duì)D2.

函數(shù)y＝ax2＋1和y＝ax＋a（a為常數(shù)，且a≠0）在

同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（D）A.

B.

C.

D.

D3.

二次函數(shù)y＝2x2－1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（D）A.

（－1，0）B.

（1，0）C.

（0，1）D.

（0，－1）D

－2y＝－x2－2（答案不唯一）

2.（2）求頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，并說明當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x

的增大而增大.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），對(duì)稱軸是y軸，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x

的增大而增大.

第8題圖6.

9.

如圖，一條拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)

B的左側(cè)），其頂點(diǎn)P在線段MN上移動(dòng).若點(diǎn)M，N的坐

標(biāo)分別為（－1，－2），（1，－2），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的最大值為3，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最小值為（A）A.

－3B.

－1C.1D.3第9題圖A10.

如圖，二次函數(shù)y＝ax2－4和y＝－ax2＋4的圖象都經(jīng)

過x軸上的A，B兩點(diǎn)，兩圖象的頂點(diǎn)分別為C，D.

當(dāng)四

邊形ACBD的面積為40時(shí)，a的值為

.第10題圖

第11題圖（1）若x＝1，當(dāng)點(diǎn)Q在正方形ADBC邊上（點(diǎn)A除外）時(shí)，則a的值為多少？0.（2）若a＝－1，當(dāng)點(diǎn)Q在正方形ADBC的內(nèi)部（包括邊

界）時(shí)，求x的取值范圍.

第11題圖

12.

如圖，二次函數(shù)m：y＝ax2＋b（a＜0，b＞0）的圖

象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于

點(diǎn)C.

將二次函數(shù)m的圖象繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°，得到新的二

次函數(shù)n的圖象，它的頂點(diǎn)為C1，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A1.若四邊形AC1A1C為矩形，則a，b應(yīng)滿足的關(guān)系式為（

C）A.

ab＝－1B.

ab＝－2C.

ab＝－3D.

ab＝－5第12題圖C

解：（1）對(duì)稱軸為直線x＝0.（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；

解：（3）當(dāng)a＞0時(shí)，如圖（1）.

當(dāng)a＜0時(shí)，如圖（2）.

1.

（淄博中考）若二次函數(shù)y＝ax2＋2的圖象經(jīng)過P

（1，3），Q（m，n）兩點(diǎn)，則代數(shù)式n2－4m2－4n＋9

的最小值為