2/2第十五章軸對稱單元檢測卷建議用時：120分鐘，滿分：120分選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列平面圖形中，是軸對稱圖形的是（

）A． B．

C．

D．

【答案】A【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義，根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】A．是軸對稱圖形，故此選項符合題意；B．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；故選：A．2．觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段一定是的（

）A．角平分線 B．高線 C．中位線 D．中線【答案】B【分析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據(jù)作圖痕跡可得，從而可得答案．【詳解】解：由作圖可得：，∴線段一定是的高線；故選B3．已知是等腰三角形，若，則的頂角度數(shù)是（）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】分兩種情況：當為頂角時，當為底角時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：分兩種情況：當為頂角時，頂角為，當為底角時，頂角為，故選：B．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，注意分情況討論是解題的關(guān)鍵．4．若點與點關(guān)于軸對稱，則的值是（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【分析】本題考查坐標與圖形軸對稱變換，根據(jù)關(guān)于y軸對稱的兩點的縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)列方程求得m、n值，進而代值求解．【詳解】解：∵點與點關(guān)于軸對稱，∴，，解得，，∴，故選：C．5．如圖，射線平分，，于點D，，等于5，等于（

）A．5 B．10 C． D．【答案】B【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，過點作，得到，平行線的性質(zhì)，得到，進而得到即可．【詳解】過點作，∵射線平分，，，∴，∵，∴，∴；故選B．6．如圖，在中，若過頂點B的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個是等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為在關(guān)于點B的二分割線．例如：如圖（1）在中，，則直線是關(guān)于點B的二分割線．如圖（2），已知，鈍角同時滿足兩個條件①為最小的角，②存在關(guān)于點B的二分割線，當時，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了新定義，直角三角形，等腰三角形的定義，正確地理解“的關(guān)于點B的二分割線”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)關(guān)于點B的二分割線的定義即可得到結(jié)論．【詳解】如圖所示：作于點D，∵，∴，∴為等腰三角形，為直角三角形，∴為在關(guān)于點B的二分割線．∵，∴．故選C．7．如圖，在等腰中，，點D為邊的中點，點E在邊上，．若點P是等腰的腰上的一點，當為等腰三角形時，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，過D作，易證，，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可得到答案．【詳解】解：連接，∵，∴，∵點P是等腰的腰上的一點，，D為的中點，∴，過D作，，，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，同理可得∴，∴，綜上，的度數(shù)是或，故選：D．8．如圖，已知中，，點為的中點，如果點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點以的速度運動．經(jīng)過(

)秒后，與全等．A．2 B．3 C．2或 D．無法確定【答案】A【分析】本題考查了全等三角形全等的判定及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)題意分量種情況討論；進而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，列出方程即可求解．【詳解】解：中，，．如圖，設(shè)，兩點分別從，兩點同時出發(fā)運動時，則，，，，是中點，①當時，，即，解得：，此時，不符合題意，舍去，②當時，，即，解得：，此時，符合題意，綜上可知：，故選：A．9．如圖，的面積為，平分，于點P，連結(jié)，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中線，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關(guān)鍵．延長，交于點，先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，再根據(jù)三角形的中線性質(zhì)可得，由此即可得．【詳解】解：如圖，延長，交于點，∵平分于點，∴，∴，∴，，，則的面積為，故選：C．10．如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交、于點、，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點，則下列說法①是的平分線②③點在的垂直平分線上④其中正確的個數(shù)是(

)A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】①根據(jù)作圖的過程可以判定是的角平分線；②利用角平分線的定義可以推知，則由直角三角形的性質(zhì)來求的度數(shù)；③利用等角對等邊可以證得的等腰三角形，由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可以證明點在的中垂線上；④根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，進而可得出結(jié)論．【詳解】解：①根據(jù)作圖的過程可知，是的平分線．故①正確；②如圖，在中，，，，又是的平分線，，，即故②正確；③，，點在的中垂線上．故③正確；，，點在的中垂線上，，，故④正確．故正確的有4個，故選：A．【點睛】本題考查了作角平分線，垂直平分線的判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．為了打造城市“綠洲”，某市計劃在一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮，以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價為元，則購買這種草皮需元．【答案】【分析】作邊的高，設(shè)與的延長線交于點，則，由，即可求出，然后根據(jù)三角形的面積公式即可推出的面積為，最后根據(jù)每平方米的售價即可推出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作邊的高，設(shè)與的延長線交于點，，，，，，，，每平方米售價元，購買這種草皮的價格為元．故答案為：．【點睛】本題主要考查三角形的面積公式，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于做出邊上的高，根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)推出高的長度，正確的計算出的面積．12．《蝶幾圖》是明朝人戈汕所作的一部組合家具的設(shè)計圖（如圖，）．圖為某蝶幾設(shè)計圖，其中與為兩個全等的等腰直角三角形，已知點與點關(guān)于直線對稱，連接，．若，則=．

【答案】【分析】由點與點關(guān)于直線對稱求出，再由和為兩個全等的等腰直角三角形，求出，進而計算出，最后利用等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和即可求解．【詳解】∵點與點關(guān)于直線對稱，，∴，，∵和為兩個全等的等腰直角三角形，∴，，∴，∵，，∴，即是等腰三角形，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了關(guān)于直線對稱、全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)，找出對應(yīng)邊和對應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在中，垂直平分交于點D，交于點E．若，，則的周長cm．【答案】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得，即可求解．【詳解】解：∵垂直平分∴的周長，故答案為：【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．14．如圖，在中，，．點、、分別為邊、、上的點，且為等邊三角形，若．則的值為．

【答案】【分析】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，設(shè)，則，利用三角形外角性質(zhì)推出，在上截取，證明，得到，推出，即可求出的長度，由此得到答案，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】設(shè)，則，∵，∴，在上截取∵∴∴∴∴，∴，∴，故答案為：．

15．如圖，在中，，的垂直平分線交于點，交于點，連接，，的周長為18．若點在直線上，連接、，則，的最大值為．【答案】88【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先找出的長，再確定的取得最大值為的長即可．【詳解】解：∵的垂直平分線交于點F，交于點E，∴，∵的周長是18，，∴的周長，點P在直線上，如圖，連接，

∵點P在的垂直平分線上，∴，∴，故的最大值為8，此時點P是直線與直線的交點．故答案為：8，8．三、解答題（共9小題，共75分）16．如圖，在中，，D為邊上一點，過點D作于點D，作于點E，若，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，根據(jù)垂線定義得出，，根據(jù)，求出，求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和求出．【詳解】解：∵，，∴，，∵，且，∴，∴，∵，∴，∵，∴．17．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的三個頂點均在格點上，直線經(jīng)過網(wǎng)格格點．請完成下列各題：(1)畫出關(guān)于直線的對稱的；(2)的面積等于．(3)利用網(wǎng)格，在直線上畫出點P，使．同時，在直線上畫出點Q，使的值最?。敬鸢浮?1)畫圖見解析(2)(3)畫圖見解析【分析】本題考查了兩點之間線段最短，運用網(wǎng)格求三角形面積，垂直平分線的性質(zhì)，軸對稱作圖，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）分別作出點再依次連接，即可作答．（2）運用割補法求三角形面積，即可作答．（3）結(jié)合網(wǎng)格特征，作出線段的垂直平分線，與直線的交點，即為點P，結(jié)合（1），連接，與直線的交點，即為點Q，即可作答．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：；（3）解：畫的垂直平分線交直線于點P，則，如圖所示：連接交直線上于點Q，則，則的值最小，如圖所示：18．如圖，已知和都是等邊三角形，點、、在同一直線上，延長交邊于點，聯(lián)結(jié)、．(1)試說明的理由；(2)延長交于點，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)60°【分析】（1）證是等邊三角形，得，，再證，則，然后證，進而證；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，再證，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：和都是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，，，即，，即，，，，在和中，，；（2）解：由（1）得：，，，，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．19．如圖，點P在內(nèi)部，點P關(guān)于、對稱的點分別為C、D，連接交于點R，連接交于點T，連接，交于點M，交于點N，連接、．

(1)若，求的周長；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)18cm(2)【分析】（1）證明，，可得△PMN的周長，從而可得答案；（2）證明，，可得，，，可得．【詳解】（1）解：∵點P關(guān)于，的對稱點分別為C、D，∴，．

∴△PMN的周長．（2）∵，，∴．

∵，，，，∴，，

∴．【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記軸對稱的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．20．已知中，，，直角頂點在軸上，一銳角頂點在軸上．(1)如圖①若軸，垂足為點，點坐標是，點的坐標是，且滿足，請直接寫出：______；_____；點的坐標為_____．(2)如圖②，若點在軸上滑動，點在軸上滑動，且軸恰好平分，與軸交于點，過點作軸于，請猜想與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)；；(2)，證明見解析【分析】本題考查坐標與圖形、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、非負數(shù)性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和判定定理是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)算術(shù)平方根和平方的非負數(shù)性質(zhì)可得出，，根據(jù)同角的余角相等得出，利用可證明，即可得出，，進而求出，即可得答案；（2）延長和交于點，同（1）的方法可證明，得出，利用三角形內(nèi)角和定理得出，根據(jù)等角對等邊得出，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得出，即可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，，∴，，解得：，，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵點在第二象限，∴點的坐標為（2）解：，理由如下：延長和交于點，，，，軸，，，，在和中，，，，軸平分，，∵，，，，．21．若△ABC和△ADE均為等腰三角形，且，當互余時，稱互為“底余等腰三角形”，的邊上的高叫做的“余高”．如圖，互為“底余等腰三角形”．(1)若連接，判斷是否互為“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；(2)當時，若的“余高”，則______；(3)當時，判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)是(2)14(3)；理由見解析【分析】（1）連接、，由，得，即可由，推導(dǎo)出，所以，則互為“底余等腰三角形”．（2）當時，則都是等腰直角三角形，先證明，再證明，則．（3）作于點F，由，得，再證明，得，則．【詳解】（1）解：如圖1，連接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴互為“底余等腰三角形”，故答案為：是．（2）解：如圖2，，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：14；（3）解：；理由如下：如圖3，作于點F，，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，同角的余角相等，新定義問題的求解等知識與方法．22．在中，，為的中點，分別為、上的點．(1)如圖1，于，于，求證：；(2)如圖2，，請判斷和有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由；(3)如圖3，點與點重合，點為上的一點，且，求的值．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）連接，由，為的中點，得平分，再由于，于得；（2）過點作，根據(jù)同角的補角相等得到，由，為的中點，得平分，再由得，，從而得到，即可得證；（3）連接，過點作，通過證明，得到，再通過邊和角的轉(zhuǎn)換即可得到答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，是等腰三角形，為的中點，平分，，；（2）解：，理由如下：如圖，過點作，，，，是等腰三角形，為的中點，平分，，，在和中，，，；（3）解：如圖，連接，過點作，

，，，，，，，，，，，，，，，，

．【點睛】本題是三角形的幾何綜合題，考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，作出恰當輔助線是解題的關(guān)鍵．23．如圖，與中，，，，，，連接、．

(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，平分，求證：；(3)如圖3，與的延長線交于點，若，延長與交于點，在上有一點，且，連接，請猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想．【答案】(1)(2)見解析(3)，證明見解析【分析】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．（1）先證明，可得，由，，得，，再結(jié)合即可求解；（2）延長交于，在上取，連接，由題意可得，，，進而可得，由平分，可知，易證，可得，則，可知，可證，由，即可證明結(jié)論；（3）如圖，結(jié)論：．如圖過點作交的延長線于．證明，，利用全等三角形的性質(zhì)，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，即，∴，又∵，，∴∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴；（2）證明：延長交