2/215.1.2（第1課時）線段的垂直平分線目錄TOC\o"1-3"\h\u類型一、線段垂直平分線的性質(zhì) 1類型二、線段垂直平分線的判定 7類型三、逆命題 13TOC\o"1-3"\h\u類型一、線段垂直平分線的性質(zhì)1．如圖，已知線段，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點，作直線交于點E，在直線上任取一點F，連接，．若，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本題考查了線段的垂直平分線性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解線段的垂直平分線性質(zhì)．直接利用線段的垂直平分線性質(zhì)求解．【詳解】解：∵垂直平分線段，在直線上任取一點F，，∴，故選：C．2．銀川市是著名的“中國葡萄酒之都”，得益于賀蘭山東麓的優(yōu)越氣候和土壤條件，形成了世界級的葡萄種植與釀酒產(chǎn)業(yè)帶．如圖，三條公路將閩寧鎮(zhèn)、玉泉營、黃羊灘三個核心葡萄種植區(qū)連接成三角形區(qū)域．當?shù)赜媱澰诖藚^(qū)域內(nèi)建設(shè)一個國際葡萄交易中心，要求交易中心到三個種植區(qū)的距離相等．這個交易中心應(yīng)建在（）A．三角形的三條中線的交點處B．三角形的三條角平分線的交點處C．三角形的三條垂直平分線的交點處D．三角形的三條高線的交點處【答案】C【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理，即可求解．【詳解】解：∵線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，且交易中心到到三個種植區(qū)的距離相等，∴這個交易中心應(yīng)建在三角形的三條垂直平分線的交點處．故選：C．3．下列說法正確的是（

）A．三角形的角平分線是射線B．線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等C．三角形的高線交于一點D．三角形的三條中線交于一點，這一點有可能在三角形外【答案】B【分析】本題主要考查了三角形的角平分線、垂直平分線的性質(zhì)、三角形的中線、高線等知識點，根據(jù)三角形的角平分線、垂直平分線的性質(zhì)、三角形的中線、高線逐項判斷即可．【詳解】解：A．三角形的角平分線是線段，故本選項錯誤，不符合題意；B．線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等，說法正確，符合題意；C．銳角三角形和直角三角形的高線交于一點，鈍角三角形的高線不相交，故本選項錯誤，不符合題意；D．三角形的三條中線交于一點，這一點不可能在三角形外，故本選項錯誤，不符合題意．故選：B．4．如圖，在中，，的垂直平分線分別交、于點D、E，的垂直平分線分別交、于點F、G，則的周長為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，再由三角形的周長公式計算即可得解，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵垂直平分，垂直平分，∴，，∴的周長為，故選：C．5．如圖，點、在直線上，點、在直線上，于點，連接、、、，，若，則的長為（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】A【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的判定定理，根據(jù)題意可證明垂直平分，則由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：∵，∴點P在線段的垂直平分線上，又∵，∴垂直平分，∴，故選：A．6．如圖，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，則的周長為（

）A．24 B．22 C．20 D．18【答案】B【分析】此題考查了垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，，，進而求解即可．【詳解】∵垂直平分，∴∵垂直平分，∴，∴的周長為．故選：B．7．如圖，在中，邊的垂直平分線交于點E，垂足為D，若的周長為，的周長為，則的長為．【答案】/4厘米【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，由垂直平分，可得，，結(jié)合的周長為，的周長為，即可求解．【詳解】解：垂直平分，，，的周長為，，的周長為，，，，故答案為：．8．如圖，在△中，的垂直平分線分別與、交于點、，的垂直平分線分別與、交于點，，若，則的周長是．【答案】18【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，熟記線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，，再根據(jù)三角形周長公式計算，得到答案．【詳解】解：是的垂直平分線，，是的垂直平分線，，的周長，故答案為：18．9．如圖，在中，垂直平分邊，若的周長為，則的長為．【答案】【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形周長計算公式可得，進而可推出，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵垂直平分邊，∴，∵的周長為，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：．10．如圖，在中，是線段的垂直平分線，點是線段的中點，其中，，則的周長為．【答案】【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形中線的定義，根據(jù)三角形中線的定義可得的長，根據(jù)相等垂直平分線的性質(zhì)可得，據(jù)此根據(jù)三角形周長計算公式求解即可．【詳解】解：∵點是線段的中點，，∴，∵是線段的垂直平分線，∴，∴的周長，故答案為：．11．如圖，直線是線段的垂直平分線，垂足為O，若，則．【答案】10【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，由此即可得到答案．【詳解】解：∵直線是線段的垂直平分線，垂足為O，∴，∴．故答案為：10．12．如圖，將三角形紙片的一角沿的垂直平分線翻折，折痕為，點B與點A重合，已知的周長是20，，則的周長是．【答案】32【分析】本題考查了垂直平分線性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得到，再結(jié)合求解，即可解題．【詳解】解：為的垂直平分線，，，，則；故答案為：．類型二、線段垂直平分線的判定13．如圖，，，下列結(jié)論一定正確的是（

）A．平分 B．垂直平分C．垂直平分 D．與互相垂直平分【答案】C【分析】本題考查垂直平分線的判定定理，根據(jù)垂直平分線的判定定理直接可得結(jié)論【詳解】解：∵，，∴點A、B在的垂直平分線上，∴垂直平分，故選：C14．到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的（

）A．三條中線的交點 B．三條高的交點C．三條邊的垂直平分線的交點 D．三條角平分線的交點新增選項【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定定理，到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，據(jù)此解答即可求解，掌握線段垂直平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵到三角形的一邊的兩端點距離相等的點在這邊的垂直平分線上，∴到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，故選：．15．如圖，在中，邊的垂直平分線交于點P，求證：點P在線段的垂直平分線上．【答案】見解析【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等；線段垂直平分線的判定：到線段兩個端點的距離相等的點在線段垂直平分線上．先由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，則，再由線段垂直平分線的判定即可證明．【詳解】證明：∵邊的垂直平分線交于點P，∴．∴．∴點P必在的垂直平分線上．16．如圖，在中，是邊上的高，的垂直平分線交于點，且，求證：．【答案】見解析【分析】連接，根據(jù)垂直平分線的判定和性質(zhì)，證明即可．本題考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：連接，∵，，∴直線是線段的垂直平分線，∴，∵的垂直平分線交于點，∴，∴，∵，∴．．17．如圖，在中，，．線段的垂直平分線交于點，交于點，連接．試問：線段與的長相等嗎？請說明理由．【答案】相等，理由見解析【分析】本題考查中垂線的判定和性質(zhì)，連接，中垂線的性質(zhì)，推出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：相等，理由如下：連接，∵，∴垂直平分，∴，∵線段的垂直平分線交于點，∴，∴．18．如圖，已知，與相交于點E．(1)請你添加一個條件使，并加以證明，(2)在第（1）問的條件下延長、交于點P，直線是線段的垂直平分線嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由．【答案】(1)添加條件為：，證明見解析(2)是，證明見解析【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂直平分線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．（1）添加條件為：，然后證明出即可；（2）延長、交于點P，根據(jù)題意證明出，得到，，判斷出點E在的垂直平分線上，然后證明出，得到，判斷出點P在的垂直平分線上，即可證明直線是線段的垂直平分線．【詳解】（1）添加條件為：∵，，∴；（2）是，證明如下：如圖所示，延長、交于點P，∵∴∵，∴∴，∴點E在的垂直平分線上∴∵∴∵∴∴∴點P在的垂直平分線上∴直線是線段的垂直平分線．19．“風箏飛滿天，笑語樂無邊”，由喜聞樂見的風箏可以抽象得到一種特殊的四邊形—箏形．如圖，在四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．初步認識箏形后，數(shù)學活動小組的同學通過觀察、測量、折紙等方法猜想箏形有什么性質(zhì)，小明觀察后認為垂直平分，請你幫助小明從幾何證明的角度說明這一箏形性質(zhì)．已知：在四邊形（箏形）中，__________，__________，求證：__________（請把橫線上的“已知”“求證”內(nèi)容補充完成，并完成后續(xù)相應(yīng)證明過程）【答案】，，垂直平分，證明見解析【分析】此題考查了垂直平分線的判定，根據(jù)，，得到點均在線段的垂直平分線上，即可證明結(jié)論成立．【詳解】已知：在四邊形（箏形）中，，，求證：垂直平分證明：∵，，∴點均在線段的垂直平分線上，∴垂直平分；故答案為：，，垂直平分20．如圖，在中，是的平分線，于點E，于點F．求證∶垂直平分．【答案】見詳解【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)，并靈活應(yīng)用．根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，證明出，得到，利用到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵是的平分線，且，，∴，∴點在線段的垂直平分線上，又∵，∴，，∴點在線段的垂直平分線上，∴垂直平分．21．已知：如圖，，．求證：直線AM是線段BC的垂直平分線．【答案】詳見解析【分析】本題考查線段垂直平分線的判定，三角形全等的判定和性質(zhì)．熟練掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理，線段垂直平分線的判定定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意易證，得出，即又可證，得出，，說明直線是線段的垂直平分線．【詳解】證明：如圖，設(shè)，交于點O，∵，，，∴，∴，又∵，∴，∴，，即，∴直線是線段的垂直平分線．類型三、逆命題22．下列關(guān)于命題“對頂角相等”的判斷正確的是（

）①其逆命題：如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角；②其逆命題成立A．①和②都正確 B．①和②都不正確C．只有①不正確 D．只有②不正確【答案】D【分析】本題考查了原命題與逆命題，判斷逆命題的真假，解題的關(guān)鍵是熟練掌握命題的結(jié)構(gòu)．根據(jù)原命題，寫出逆命題，判斷逆命題的真假即可．【詳解】解：∵命題“對頂角相等”可以寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”，∴其逆命題為“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”，∴①正確，∵如果兩個角相等，這兩個角不一定是對頂角，比如，等腰三角形的兩個底角相等，但這兩個角不是對頂角，∴②不正確，∴只有②不正確，故選：．23．下列命題的逆命題正確的是（）A．全等三角形的面積相等 B．全等三角形的周長相等C．兩個銳角互余的三角形是直角三角形 D．如果，那么【答案】C【分析】本題考查了求一個命題的逆命題，判斷命題的真假，熟練掌握求一個命題的逆命題及判斷命題的真假是解題的關(guān)鍵．分別寫出各選項的逆命題，并判斷其真假即可．【詳解】解：A.原命題：全等三角形面積相等；逆命題：面積相等的三角形全等；面積相等不一定全等，所以逆命題錯誤，選項A不符合題意；B.原命題：全等三角形周長相等；逆命題：周長相等的三角形全等；周長相等不一定全等，所以逆命題錯誤，選項B不符合題意；C.原命題：直角三角形的兩個銳角互余；逆命題：兩個銳角互余的三角形是直角三角形；逆命題正確，所以選項C符合題意；D.原命題：如果，那么；逆命題：如果，那么；逆命題錯誤，所以選項D不符合題意．故選：C．24．下列各命題的逆命題不成立的是（

）A．同位角相等，兩直線平行B．如果兩個實數(shù)相等，那么它們的立方相等C．對頂角相等D．三邊分別相等的兩個三角形全等【答案】C【分析】分別寫出各選項的逆命題，然后判斷正誤即可．本題考查了逆命題，平行線的判定，全等三角形的判定，對頂角相等，實數(shù)等知識．正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意知，A中逆命題為兩直線平行，同位角相等，正確，故不符合要求；B中逆命題為實數(shù)的立方相等，這兩個實數(shù)相等，正確，故不符合要求；C中逆命題為相等的角是對頂角，錯誤，故符合要求；D中逆命題為兩個全等三角形的三邊分別相等，正確，故不符合要求；故選：C．25．下列命題的逆命題是真命題的是（

）A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補． B．五邊形是多邊形C．如果，，則． D．兩個全等三角形的面積相等【答案】A【分析】本題考查了命題的相關(guān)概念、平行線的性質(zhì)、多邊形的概念、有理數(shù)的運算、全等三角形的判定定理，正確寫出各選項的逆命題是解題關(guān)鍵．先寫各選項的逆命題，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、多邊形的概念、有理數(shù)的運算、全等三角形的判定定理逐項判斷即可．【詳解】解：A、逆命題：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．由平行線的判定可知，逆命題正確，是真命題；B、逆命題：多邊形是五邊形．多邊形不一定是五邊形，逆命題錯誤，則是假命題；C、逆命題：如果，則，．逆命題錯誤，則是假命題；D、逆命題：面積相等的兩個三角形是全等三角形．由三角形全等的判定定理可知，逆命題錯誤，是假命題；故選：A．26．命題“如果，那么”的逆命題是．命題（填“真”或“假”）【答案】真【分析】本題考查了互逆命題的知識、不等式的性質(zhì)，熟知兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．把已知命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，再判斷命題的真假即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：命題“如果，那么”的逆命題是“如果，那么”，∴該命題是真命題．故答案為：真．27．命題“如果互為相反數(shù)，那么．”的逆命題是命題．（填“真”或“假”）【答案】真【分析】本題考查了命題的逆命題、判斷命題真假，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．先寫出命題的逆命題，再判定命題真假即可得出答案．【詳解】解：命題“如果互為相反數(shù)，那么．”的逆命題是“如果，那么互為相反數(shù)．”，所以原命題的逆命題是真命題．故答案為：真．28．寫出命題“兩個全等三角形的面積相等”的逆命題．【答案】兩個三角形面積相等則這兩個三角形全等【分析】本題考查了命題的逆命題，掌握逆命題的書寫方法是關(guān)鍵．對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另外一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，確定條件和結(jié)論，根據(jù)逆命題的書寫方法即可求解．【詳解】解：“兩個全等三角形的面積相等”的條件是“兩個三角形全等”，結(jié)論是“這兩個三角形的面積相等”，∴逆命題為：兩個三角形面積相等則這兩個三角形全等，故答案為：兩個三角形面積相等則這兩個三角形全等．1．如圖，在中，，的垂直平分線交邊于點，交邊于點．若與的周長分別是、，則．【答案】【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，由線段垂直平分線的性質(zhì)得，，，進而由的周長是可得，再根據(jù)的周長是得到，進而即可求解，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，，∵的周長是，∴，∴，即，又∵的周長是，∴，∴，∴，∴，故答案為：．2．如圖，已知線段，以點，點為圓心，取大于長為半徑，作兩條相交的弧，交點記為．作直線，連接．則下列說法：①四邊形是軸對稱圖形；②平分；③直線垂直平分線段；④是等邊三角形；其中正確的有．（填序號）【答案】①②③【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定，軸對稱圖形的識別，根據(jù)題意可得，據(jù)此可判斷①；可證明，得到四邊形是軸對稱圖形，，據(jù)此可判斷②③；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明是等邊三角形，據(jù)此可判斷④．【詳解】解：由題意得，，∴直線垂直平分線段，故③正確；又∵，∴，∴四邊形是軸對稱圖形，，故①正確；∴平分，故②正確；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明是等邊三角形，故④錯誤，故答案為：①②③．3．如圖，在中，垂直平分，連接，，延長交的延長線于點F，，過點D作于點E，．(1)請判定與是否相等？為什么？(2)與互補嗎？請說明理由．【答案】(1)，見解析(2)與互補，見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵。（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再證明，則可證明．（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，由平角的定義可得，則，即與互補．【詳解】（1）解：，理由如下：∵垂直平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：與互補，理由如下：∵，∴，∴，∴，即與互補．4．如圖，是的角平分線，，，垂足分別是，，連接，與交于點．(1)求證：是的垂直平分線；(2)若，，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定等知識，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)證明，得出，，然后根據(jù)線段垂直平分線的判定即可得證；（2）根據(jù)求解即可．【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，∴，∵，，∴，又，∴，∴，，∴A、D都在的垂直平分線上，∴是的垂直平分線；（2）解：∵，，，∴．5．如圖，已知：，，點E在的延長線上．(1)求證：垂直平分；(2)求證：【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】本題考查全等三角形的判定，線段垂直平分線的性質(zhì)性質(zhì)．（1）由線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理，即可證明問題;（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)定理推出，即可證明．【詳解】（1）證明：∵，，∴點A和D都在線段的垂直平分線上，∴垂直平分；（2）證明：由（1）知垂直平分，∴，在和中，，∴．1．如圖，在中，的垂直平分線與，分別交于點，，的垂直平分線與，分別交于點，，已知，，則的周長為．【答案】11【分析】本題考查了線