2/2專題全等三角形中動點與新定義型問題目錄A題型建模?專項突破TOC\o"1-2"\h\u題型一、利用全等三角形的性質(zhì)求時間的多解問題 1題型二、利用全等三角形的性質(zhì)求速度的多解問題 4題型三、利用全等三角形的性質(zhì)求動點中的最值問題 9題型四、利用全等三角形的性質(zhì)解決動點綜合問題 12題型五、利用全等三角形的性質(zhì)解決新定義型綜合問題 16B綜合攻堅?能力躍升題型一、利用全等三角形的性質(zhì)求時間的多解問題1.如圖，中，，，，直線經(jīng)過點且與邊相交．動點從點出發(fā)沿路徑向終點運動；動點從點出發(fā)沿路徑向終點運動．點和點的速度分別為和，兩點同時出發(fā)并開始計時，當點到達終點時計時結(jié)束．在某時刻分別過點和點作于點，于點，設運動時間為秒，則當為（

）秒時，與全等．A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12【答案】D【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應用，以及分類討論的數(shù)學思想，掌握全等三角形的對應邊相等是解題的關(guān)鍵．分點Q在上，點P在上；點P與點Q重合；Q與A重合三種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式計算即可．【詳解】解：①如圖1，Q在上，點P在上時，作，由題意得，，∵，∴，∵，∴，∴，當時，則，即，解得：；②如圖2，當點P與點Q重合時，由題意得，，∵，∴，當，則，∴，解得：；③如圖3，當點Q與A重合時，由題意得，，∵，∴，∵，∴，當，則，即，解得：；當綜上所述：當秒或秒或12秒時，與全等，故選D．2.如圖，在長方形中，，延長到點E，使，連接，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿向終點A運動，設點P的運動時間為t秒，當t的值為秒時，與全等．【答案】1或7【分析】本題考查了全等三角形的判定，判定方法有：．根據(jù)題意，分兩種情況進行討論，根據(jù)題意得出和即可求得．【詳解】解：由題意得：，若，根據(jù)證得，，即，若，根據(jù)證得，，即．當t的值為1或7秒時．與全等．故答案為：1或7．3.如圖，，垂足為點，米，米，射線，垂足為點，動點從點出發(fā)以2米/秒沿射線運動，點為射線上一動點，隨著點運動而運動，且始終保持，當點經(jīng)過秒時（不包括0秒），由點組成的三角形與全等．【答案】秒或秒或【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，分四種情況：當點在線段上，時，；當在上，時，；當在線段上，時；當在上，時，；分別利用三角形全等的性質(zhì)進行求解即可，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：當點在線段上，時，，，，，點的運動時間為（秒）；當在上，時，，，，，點的運動時間為（秒）；當在線段上，時，此時在點未動，時間為秒，不符合題意；當在上，時，，，，，點的運動時間為（秒）；綜上所述，當點經(jīng)過秒或秒或秒時（不包括0秒），由點組成的三角形與全等，故答案為：秒或秒或．題型二、利用全等三角形的性質(zhì)求速度的多解問題4．如圖，在長方形中，，，延長至點使，連接，動點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線運動．當點運動秒時，和全等．【答案】或【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，①點在上時，由全等三角形的性質(zhì)，即可求解；②點在上時，同理可求；掌握全等三角形的性質(zhì)，能根據(jù)點的位置進行分類討論是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①點在上時，如圖，，，運動秒；②點在上時，如圖，，，，的運動路程為：，，運動秒；運動或秒；故答案為：或．5．如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)，以的速度沿邊向點運動，到達點停止，同時，點從點出發(fā)，以的速度沿邊向點運動，到達點停止，規(guī)定其中一個動點停止運動時，另一個動點也隨之停止運動．當為時，與全等．【答案】2或【分析】可分兩種情況：①得到，，②得到，，然后分別計算出的值，進而得到的值．【詳解】解：①當，時，，，，，，解得：，，，解得：；②當，時，，，，，解得：，，，解得：，綜上所述，當或時，與全等，故答案為：2或．【點睛】主要考查了全等三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．6．在中，，，，，動點P從點A出發(fā)，沿運動，回到點A停止，速度為．（1）如圖1，當點P到，的距離與相等時，；（2）如圖2，在中，，，，．在中，若另外有一個動點Q與點P同時出發(fā)，從點A沿著運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某時刻，恰好，則點Q的運動速度為．【答案】3或或或【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定；解題的關(guān)鍵是注意分類討論．（1）連接，證明，得出，根據(jù)即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題意分四種情況進行分析，利用全等三角形的性質(zhì)得出點所走的路程，進而可求出的運動時間，即的運動時間，再利用速度路程時間求解即可．【詳解】解：（1）連接，如圖所示：∵點P到，的距離與相等，∴平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故答案為：3．（2）設點的運動速度為，①當點在上，點在上，時，，∴運動時間為。則，解得；②當點在上，點在上，時，，∴運動時間為，則，解得：；③當點P在上，點在上，時，，∴點P的路程為，點Q的路程為，∴此時運動時間為，則，解得；④當點P在上，點Q在上，時，∴點P的路程為，點Q的路程為，∴此時運動時間為，則，解得；∴運動的速度為或或或．故答案為：或或或．題型三、利用全等三角形的性質(zhì)求動點中的最值問題7．（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，是的角平分線，點E、F分別是上的動點，若，當?shù)闹底钚r，的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)等知識．過點作于點，交于點，過點作于點，與交于點，連接，可證得，同理，可知，，，進而可知，即，在上時最?。墒堑慕瞧椒志€，可知，由“直角三角形兩銳角互余”可得，則，由此可得結(jié)論．【詳解】解：在上，作于點，交于點，過點作于點，與交于點，連接，，如圖，則，

∵平分，∴，∵，，∴，同理，∴，，，∴，即：，在上時最?。堑慕瞧椒志€，，∵，，則，．故選C．8.如圖，鈍角的面積為12，最長邊，平分，點M、N分別是上的動點，則的最小值是．【答案】3【分析】本題考查了軸對稱—最短路線問題，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．過點C作于點E，交于點M，過點M作于N，則當點C，M，N三點重合時，取得最小值，最小值為的長．再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，即可．【詳解】解：過點C作于點E，交于點M，過點M作于N，∵平分，，，∴，∴，即當點C，M，N三點重合時，取得最小值，最小值為的長．∵的面積為12，最長邊，∴，即，∴即的最小值為3．故答案為：3．9.如圖，在中，，，，，點D是上一點，連接，點D到的距離等于的長，P、Q分別是上的動點，連接，則的最小值是．【答案】//【分析】本題考查角平分線判定及性質(zhì)定理，最短路徑，垂線段最短．根據(jù)題意可知是的平分線，過點作交于點，再過點作交于點，此時有最小值．【詳解】解：點D到的距離等于的長，∴是的平分線，過點作交于點，再過點作交于點，∴，∵，∴此時有最小值，∵中，，，，，∴，∴，故答案為：．題型四、利用全等三角形的性質(zhì)解決動點綜合問題10．如圖，點為外一動點，連接并延長至點，連接交于點．過點作的垂線于點，，已知．證明：為的平分線．【答案】見解析【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的判定．過作于點，于點，利用定理證明，得到，再證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；【詳解】證明：如圖，過作于點，于點，∵，，，∴，在和中，，∴．∴，在和中，，∴，∴，∴為的平分線．11．如圖，在中，，點是線段上的一動點（不與點、重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．(1)求證：；(2)設，．當點在線段上，時，請你探究寫出與之間的數(shù)量關(guān)系是多少？【答案】(1)見解析(2)，理由見解析．【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．（1）證明，利用全等三角形的對應邊相等可得結(jié)論；（2）證明，利用全等三角形的對應角相等得到，進而利用三角形的內(nèi)角和定理和等量代換進行角度運算可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，即，在和中，，；（2）解：，理由如下：，，，在和中，，，，，．12．在中，，，是直線上的一個動點，連接，過點作的垂線，垂足為點，過點作的平行線交直線于點．(1)基礎探究：如圖1，當點為的中點時，請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系．(2)能力提升：如圖2，當點在線段上（不與重合）時，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系（要求：寫出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并說明理由）．(3)拓展探究：如圖3，當點在線段或者的延長線上運動時，分別畫出圖形并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)，理由見詳解(3)圖見詳解，當點在線段的延長線上運動時：，當點在線段的延長線上運動時：【分析】（1）根據(jù)證明，則可得，由點為的中點，可得，則可得，由可得；（2）同（1）證法相同，先證，則可得，由，，可得；（3）①當點在線段的延長線上運動時，同（1）得，由，可得；②當點在線段的延長線上運動時，同（1）得，由，可得．【詳解】（1）解：，理由如下：∵中，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，∴，∴，∵點為的中點，∴，∴，∴．（2）解：當點在線段上（不與重合）時，線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為，理由如下：∵中，，，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴．（3）解：①如圖，當點在線段的延長線上運動時，同（1）得，∴∵，，∴；②如圖，當點在線段的延長線上運動時，同（1）得，∴，∵，，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、余角性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．題型五、利用全等三角形的性質(zhì)解決新定義型綜合問題13.新定義：如果兩個三角形不全等但面積相等，那么這兩個三角形叫做積等三角形．【初步嘗試】（1）如圖1，在中，，P為邊上一點，若與是積等三角形，求的長；【理解運用】（2）如圖2，與為積等三角形，若，且線段的長度為正整數(shù)，求的長．【綜合應用】（3）如圖3，在中，過點C作，點是射線上一點，以為邊作，連接．請判斷與是否為積等三角形，并說明理由．【答案】（1）2；（2）2；（3）是積等三角形，證明見解析【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的中線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題.（1）利用三角形的中線的性質(zhì)即可解決問題；（2）證明，推出，利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題；（3）過過點作于點，先證明則，然后再依據(jù)積等三角形的定義進行證明即可.【詳解】（1）解：過點作于，與是積等三角形，，，，；（2）解：如圖2，延長至，使，連接，與為積等三角形，在和中，，在中為正整數(shù)，；（3）是積等三角形證明：如圖3，過點作于點，

在和中，，與為積等三角形．14.定義：頂角相等且頂點重合的兩個等腰三角形叫做“同源三角形”，我們稱這兩個頂角為“同源角”．如圖，和為“同源三角形”，，，與為“同源角”．(1)如圖1，和為“同源三角形”，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，若“同源三角形”和上的點，，在同一條直線上，且，則______°．(3)如圖3，和為“同源三角形”，且“同源角”的度數(shù)為時，分別取，的中點，，連接，，，試說明是等腰直角三角形．【答案】(1)，詳見解析(2)45(3)見解析【分析】本題考查了新定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理等知識，（1）由“同源三角形”的定義可證，然后根據(jù)證明即可；（2）由“同源三角形”的定義和可求出，由（1）可知，得，然后根據(jù)“8”字形圖形即可求出的度數(shù)；（3）由（1）可知，可得，根據(jù)證明，可得，進而可證結(jié)論成立；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）．理由：∵和是“同源三角形”，∴，∴．在和中，，∴，∴．（2）∵和是“同源三角形”，∴．∵，∴．由（1）可知，∴．∵，∴．故答案為：45；（3）由（1）可知，∴，．，的中點分別為，∴．在和中，，∴，∴，．∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．15.【閱讀理解】定義：在同一平面內(nèi)，點A，B分別在射線，上，過點A垂直的直線與過點B垂直的直線交于點Q，則我們把稱為的“邊垂角”．【遷移運用】(1)如圖1，，分別是的兩條高，兩條高交于點F，根據(jù)定義，我們知道是的“邊垂角”或是的“邊垂角”，的“邊垂角”是______；(2)若是的“邊垂角”，則與的數(shù)量關(guān)系是______；(3)若是的“邊垂角”，且．如圖2，交于點E，點C關(guān)于直線對稱點為點F，連接，，且，求證：．【答案】(1)(2)或(3)見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，四邊形內(nèi)角和定理：（1）根據(jù)“邊垂角”的定義即可得到答案；（2）分兩種情況畫出圖形，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理以及等角的余角相等即可得出結(jié)論；（3）延長交于點，先證明，再證明，依據(jù)題意得出，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)“邊垂角”的定義，的“邊垂角”是；（2）解：若是的“邊垂角”，分兩種情況①如圖，是的“邊垂角”，，，，，

②如圖，是的“邊垂角”，，，，，

綜上所述，與的數(shù)量關(guān)系是或；（3）解：延長交于點，是的“邊垂角”，∴，，，，，，，，，，，，，點關(guān)于直線對稱點為點，，，；一、單選題1．如圖，在四邊形中，，點是邊上的動點，連接，若平分，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)定理、垂線段最短，過A作于，則的長為的最小值，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理求得即可．【詳解】解：過A作于，則的長為的最小值，∵平分，，，，∴，即的最小值為2，故選：B．2．題目：“如圖，已知，，，動點以的速度從點出發(fā)沿邊向終點移動，動點以的速度從點出發(fā)沿邊向終點勻速移動，動點從點出發(fā)沿對角線向終點移動，三點同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，其余兩點也停止運動．連接，求動點的速度為多少時，存在某個時刻，使得以為頂點的三角形與全等（點與點是對應點）．”甲答：，乙答：，丙答：，則正確的是（

）

A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整C．只有乙的答案正確 D．三人的答案合在一起才完整【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的應用，由題意可得，，，即得，又由可得，然后分和兩種情況根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可求解，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，，，∴，∵，∴，當時，則，，∴，，∴，∴此時點的速度為；當時，則，，∴，即，∴，∴，∴此時點的速度為；綜上，動點的速度為或，故選：．3．如圖，點是射線上的動點，的平分線和的平分線所在直線相交于點D，連接，若的大小為（

）A． B．C． D．隨2點的移動而變化【答案】C【分析】該題主要考查了角平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．根據(jù)題意得出，過點作交于點，作交于點，作交于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，證明，得出，證明，得出是的角平分線，算出，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵的平分線和的平分線所在直線相交于點D，∴，∵過點作交于點，作交于點，作交于點，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的角平分線，∵，∴，∴，∴，故選：C．二、填空題4．如圖，平分，于點，點是射線上一個動點，若，則的最小值為．【答案】3【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)；垂線段最短，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出的長即可．【詳解】解：作于，∵平分，，又∵點是射線上一個動點，，∴，最小值為3，故答案為：3．5．如圖，在中，，，，AD平分交BC于點D，過點D作交AB于點E，點P是DE上的動點，點Q是BD上的動點，則的最小值為．【答案】10【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱，角平分線的定義，過點D作于H，并延長，先判斷出，再判斷出，在上取一點，使，連接，進而判斷出，得出，即可判斷出時，最小，即可求出答案．【詳解】解：如圖，過點D作于H，并延長，∴，∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在上取一點，使，連接，∵，∴，∴，∴（假設點Q是定點，點共線時，取最小），∵點Q是動點，∴當時，即點與點H重合，的最小值為，故答案為：10．6．如圖，在中，，，為射線上一動點，連結(jié)，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至交直線于點，若，則．【答案】3或7【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．分兩種情況討論，當為線段上時，作于點，證明，求得，，，再證明，求得，即可求解的長；當為線段上時，同理求解即可．【詳解】解：當為線段上時，作于點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，∵，∴，∴，∴，，，∵，，，∴，∴，∴；當為線段上時，作交延長線于點，同理，∴，，，∵，，，∴，∴，∴；綜上，的長為3或7．故答案為：3或7．三、解答題7．新定義：我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形，與為偏等積三角形，如圖，，且線段的長度為正整數(shù)，過點作交的延長線于點．(1)求證：(2)求的長度．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系等知識點，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)與為偏等積三角形，得到，由得，又，證得，所以；（2）由（1）知，得，，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得，所以，再根據(jù)線段的長度為正整數(shù)，即可得的長度．【詳解】（1）解：與為偏等積三角形，，，，，，；（2）解：由（1）知，，，，，，，的長度為正整數(shù)，，．8．如圖，直線，平分，過點作交于點；動點、同時從點出發(fā)，其中動點以的速度沿射線方向運動，動點以的速度沿直線上運動；已知，設動點，的運動時間為．(1)若，試求動點的運動時間的值；(2)試問當動點，在運動過程中，是否存在某個時間，使得與全等？若存在，請求出時間的值；若不存在，請說出理由．【答案】(1)動點的運動時間或；(2)或時，與全等．【分析】本題是三角形綜合題，考查等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學會構(gòu)建方程解決問題．（1）作，則，根據(jù)可得的值，分別用表示，即可求得的值，即可解題；（2）當點在點上方時，易得時，，分別用表示，即可求得的值；當點在點下方時，進行求解即可．【詳解】（1）解：作，，則，，，當點在點左側(cè)時，∴,即，解得：；當點在點右側(cè)時，，∴，解得，綜上動點的運動時間或；（2）當點在點上方時，，，∴當時，，即或，解得：或（舍去），當點在點下方時，，∴，，∴；答：或時，與全等．9．定義：若兩個三角形，有兩邊相等且其中一組等邊所對的角對應相等，我們就稱這兩個三角形為珺琟友誼三角形．(1)若兩個三角形全等，它們_____（填是或否）珺琟友誼三角形；(2)如圖1，在四邊形中，平分，，與是珺琟友誼三角形，請?zhí)骄颗c之間的關(guān)系；(3)如圖2，在四邊形中，，求證：與是珺琟友誼三角形．【答案】(1)是(2)∠B+∠D＝180°(3)證明見解析【分析】本題主要考查了新定義、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理等知識點，理解珺琟友誼三角形的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；（2）如圖1中，在上取一點H，使得．再證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等量代換即可解答；（3）如圖2中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得，如圖：延長到點G，連接，使，易證可得，再結(jié)合為公共邊以及珺琟友誼三角形的定義即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：∵全等三角形的對應邊相等，對應角相等，∴兩個三角形全等，必有有兩邊相等且其中一組等邊所對的角對應相等，∴若兩個三角形全等，它們是珺琟友誼三角形．故答案為：是．（2）解：∵平分，∴，∵，與是珺琟友誼三角形，∴，如圖1中，在上取一點H，使得．在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（3）證明：如圖2中，∵，∴，如圖：延長到點G，連接，使，∵，∴，∴，∴，∴,∵，∴，在和中，∴，∴，∵為公共邊，∴與是珺琟友誼三角形．10．定義：有一組對角互補的四邊形叫做“對補四邊形”，例如1，在四邊形中，若或，則四邊形是“對補四邊形”．(1)如圖2，四邊形是“對補四邊形”，是四邊形的一個外角，求證：；(2)在（1）的條件下，，，在上取點E，使，在上取點F，使，連接，點G是的中點，過點E作與的延長線相交于點H，連接，，探索與的關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)，，見解析【分析】本題考查四邊形的外角，全等三角形的判定與性質(zhì)；（1）根據(jù)“對補四邊形”可得，再結(jié)合外角可得，即可得到；（2）先證明，得到，再證明得到，，最后根據(jù)，得到．【詳解】（1）證明：∵四邊形是“對補四邊形”∴，∵，∴；（2）解：，，證明如下：∵G為的中點，∴，∵，∴，，在和中，∴，∴，∵，∴，由（1）知，∴在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴．∴．．11．知識再現(xiàn)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等，如圖①，是的平分線上任意一點，若，，垂足分別為，，則．從運動角度看：如圖①，射線是的平分線，，，分別是，，上的動點，若，則．(1)初