2/214.3（第1課時(shí)）角的平分線目錄TOC\o"1-3"\h\u類型一、利用角的平分線的性質(zhì)求角度或線段長(zhǎng) 1類型二、利用角的平分線的性質(zhì)求面積 7類型三、角的平分線的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用 12類型四、與角的平分線有關(guān)的尺規(guī)作圖 13類型五、利用角的平分線的性質(zhì)證明 16TOC\o"1-3"\h\u類型一、利用角的平分線的性質(zhì)求角度或線段長(zhǎng)1．如圖，平分，于點(diǎn)C，點(diǎn)D在上．若，的面積為9，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】A【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)三角形面積公式求出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出得到答案．熟知角平分線的性質(zhì)定理是關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，平分，，，，，，，，．故選：A．2．如圖，在四邊形中，，連接，．若是邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的長(zhǎng)不可能是（）A． B．3 C． D．4【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)H，

，，又，，，，，是的角平分線，又，，又，，又∵點(diǎn)D是直線上一點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)H重合時(shí)最短，其長(zhǎng)度為的長(zhǎng)，即的長(zhǎng)最小值為3，，的長(zhǎng)不可能是，故選：A．3．如圖，點(diǎn)是的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，若面積為，點(diǎn)到邊的距離是，則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．作，，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，即可得解．【詳解】解：作，，，點(diǎn)是的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，，點(diǎn)到邊的距離是，面積為，即，，，即的周長(zhǎng)為．故選：．4．如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，且，則的度數(shù)為．【答案】32.5【分析】本題主要考查了角平分線的判定及性質(zhì)，熟悉掌握判定方法是解題的關(guān)鍵．利用角平分線的判定方法判定出平分，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴平分，∴．故答案為：．5．如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是．【答案】【分析】本題主要考查了三角形外角性質(zhì)，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，然后證明是的平分線，進(jìn)而可得的度數(shù)，再求出的度數(shù)，從而可得答案，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．【詳解】解：延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，的外角的平分線與內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，，，，是的平分線，∵，∴，∴，平分，平分，，，，，，；故答案為：．6．如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，在，上分別截取線段，，使；分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，在內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)P，作射線，交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)N．若，則．【答案】9【分析】本題考查了尺規(guī)作圖-作已知角的平分線，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)作圖步驟可判斷平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出，結(jié)合已知即可求解．【詳解】解∶由作圖知∶平分，∵，，，∴，又，∴，∴，故答案為∶9．7．如圖，直線，直線分別與，交于點(diǎn)，，小明同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟作圖：（1）點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)；（2）分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；（3）作射線交直線于點(diǎn)；若，則度．【答案】58【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖-基本作圖以及平行線的性質(zhì).由作圖得平分，再根據(jù)平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”易得，即可獲得答案．【詳解】解：由作圖得：平分，∴，∵，∴，∴．故答案為：．8．如圖，在四邊形中，，，平分交于點(diǎn)E，連接，若點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，求的度數(shù)．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，利用角的平分線的性質(zhì)和判定解答即可．本題考查了角的平分線的性質(zhì)和判定，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如解圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，∵，平分，∴，∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴平分，∴．9．如圖，在中，，平分，交于點(diǎn)，若，求點(diǎn)到的距離．【答案】6【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是關(guān)鍵，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，得到即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵平分，，∴根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，∴，即點(diǎn)到的距離為．類型二、利用角的平分線的性質(zhì)求面積10．如圖，在中，，平分，，，垂足分別為E，F(xiàn)，已知，．求陰影部分面積為（）

A．12 B．24 C．18 D．20【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．在上取點(diǎn)G，使得，連結(jié)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證明，得到，再證明，即可根據(jù)三角形面積公式求解．【詳解】解：在上取點(diǎn)G，使得，連結(jié)，，，，，，平分，，，，，，，，，，，，，即陰影部分面積為12．故選：A．11．如圖，中，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，若，，則的面積為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)可得，由線段中點(diǎn)可得，再利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，平分，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，，的面積，故選：A．12．如圖，在中，平分，則的面積為（

）A．7 B．10 C．12 D．14【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積公式，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．由角平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖：∵平分，∴，∵，∴，故選：A．13．如圖，在中，，以頂點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線交邊于點(diǎn)D，若，，則的面積是．【答案】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，作于，由作圖可得平分，由角平分線的性質(zhì)可得，最后由三角形的面積公式計(jì)算即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作于，，由作圖可得：平分，∵，，∴，∴的面積是，故答案為：．14．如圖，在中，與的角平分線相交于點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在邊上，且，連接，若的周長(zhǎng)為4，則的面積為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于，于，于，在上截取，連接，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，證明得到，證明得到，證明，得到，再證明，得到．則可求出，設(shè)，根據(jù)，可得；根據(jù)，可得，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，于，于，在上截取，連接，平分，，同理可得，，在和中，，，，同理可得，，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，（平行線間間距相等），，，在和中，，，．的周長(zhǎng)，∴，設(shè)，∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴，∴的面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．類型三、角的平分線的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用15．三條公路將A，B，C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建的位置是（）．A．三條高線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的應(yīng)用．根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”，即可獲得答案．【詳解】解：要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建的位置是三條角平分線的交點(diǎn)．故選：C．16．如圖，直線，，表示三條公路．現(xiàn)要建造一個(gè)中轉(zhuǎn)站，使到三條公路的距離都相等，則中轉(zhuǎn)站可選擇的點(diǎn)有（

）A．一處 B．二處 C．三處 D．四處【答案】D【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)．到三條相互交叉的公路距離相等的地點(diǎn)應(yīng)是三條角平分線的交點(diǎn)．把三條公路的中心部位看作三角形，那么這個(gè)三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)以及三個(gè)外角兩兩平分線的交點(diǎn)都滿足要求．【詳解】解：滿足條件的有：（1）三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，共一處；（2）三個(gè)外角任意兩條平分線的交點(diǎn)，共三處．綜上，可選擇的點(diǎn)有四處．故選：D．17．如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在．【答案】三條角平分線的交點(diǎn)處【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，∴涼亭的位置應(yīng)選在三條角平分線的交點(diǎn)處．故答案為：三條角平分線的交點(diǎn)處．類型四、與角的平分線有關(guān)的尺規(guī)作圖18．如圖，在中，．(1)請(qǐng)用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)作的平分線，與邊交于點(diǎn)（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)在（1）的作圖下，若的面積是24，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)圖見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作角平分線，角平分線的性質(zhì)，等積法求出線段的長(zhǎng)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的方法，作圖即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到到的距離等于的長(zhǎng)，分割法求三角形的面積，進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）解：由題意，作圖如下：（2）∵平分，，∴點(diǎn)到的距離相等，均為的長(zhǎng)，∵，，∴.19．如圖，在中，，，請(qǐng)用尺規(guī)在邊上作一點(diǎn)D，點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合，使的三個(gè)內(nèi)角分別為，，．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了作角平分線．作的平分線交于點(diǎn)，連接，則即為所求．【詳解】解：如圖即為所求∵，平分，∴，∴，（畫(huà)法不唯一，也可作的垂直平分線）20．如圖，已知，點(diǎn)在邊上．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在的內(nèi)部求作一點(diǎn)，使得，且．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】作圖見(jiàn)解析【分析】本題考查尺規(guī)基本作圖—作角的平分線，作一角等于已知角，平行線的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)基本作圖是解題的關(guān)鍵．先作的平分線，再在同側(cè)作，使，交于P即可．【詳解】解：如圖，點(diǎn)即為所求；理由如下：由作圖可知：是的平分線，∴，∵，∴，∴點(diǎn)即為所求．21．如圖，已知中，于D．(1)尺規(guī)作圖，作的角平分線交于點(diǎn)；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)角的平分線的基本作圖解答即可．（2）根據(jù)角的平分線，高線，三角形內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】（1）解：根據(jù)角的平分線的基本作圖，畫(huà)圖如下：則即為所求．（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線的基本作圖，高線，三角形內(nèi)角和定理，角的平分線的應(yīng)用，熟練掌握定理，基本作圖是解題的關(guān)鍵．類型五、利用角的平分線的性質(zhì)證明22．如圖，在中，為邊上的高，是的角平分線，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接．(1)求證：平分；(2)連接交于點(diǎn)，若，求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先由角平分線定義得到，再由三角形外角性質(zhì)得到，則，從而推出即可得證；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，如圖所示，先由角平分線的性質(zhì)得到，由三角形面積公式得到，接著證明，得到，數(shù)形結(jié)合，由角度之間的關(guān)系得到即可得證．【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵為邊上的高，∴，∴，∴，∴平分；（2）證明：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，如圖所示：∵平分，，∴，∵，即，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查幾何綜合，涉及角平分線定義、三角形外角性質(zhì)、角平分線的判定、角平分線的性質(zhì)定理、三角形面積公式、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟記相關(guān)幾何判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合找準(zhǔn)相關(guān)角度之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．23．如圖，是內(nèi)部的一條射線，點(diǎn)D在上，連接、，，過(guò)點(diǎn)P作，，M，N分別是垂足，且，求證：平分．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定定理，熟練掌握角平分線的判定定理是解題關(guān)鍵；先由角平分線的性質(zhì)定理得到，再證明，得到，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：，，，為的角平分線，，，在和中，，，平分．24．如圖，，，點(diǎn)P為中點(diǎn)，平分．求證：平分．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用各圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)P作于E，由角平分線性質(zhì)得，進(jìn)而可得，根據(jù)角平分線的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)P作于E，，，，即，平分，，，，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，，，又，，平分．25．如圖，已知中，平分，且，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．(1)求證：；(2)判斷的形狀并說(shuō)明理由．(3)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)是等腰三角形(3)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)角平分線的定義可得，，進(jìn)而結(jié)合已知條件根據(jù)證明即可；（2）過(guò)作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，證明，便可得出結(jié)論；（3）設(shè)，證明，用表示，進(jìn)而表示，再由線段和差求得結(jié)果．【詳解】（1）證明：平分，，在和中，，，（2）是等腰三角形．證明：過(guò)作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，如圖，，，，，，，平分，，，，在和中，，，，是等腰三角形；（3）設(shè)，，，，，在和中，，，，，．1．如圖所示，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，交的平分線于點(diǎn)，于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）如圖所示，連接，，先利用證明得到，再由角平分線的性質(zhì)得到，即可利用證明則；（）證明，得到，由（）得，則，據(jù)此求出的長(zhǎng)，即可求出的長(zhǎng)；【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，，∵是的中點(diǎn)，，∴，，又∵，∴，∴，∵平分，，，∴，，又∵，∴，∴；（2）解：在和中，∴，∴，由（）得，∴，∴，∵，，∴，∴．2．如圖，是的角平分線，，垂足為，，．(1)與的面積之比為_(kāi)___________；(2)若的面積為，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的面積公式即可求出與的面積之比；（2）根據(jù)（1）求出的與的面積之比，得到的面積，根據(jù)三角形的面積公式即可求出．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作于，∵平分，，，∴，∴，∴與的面積之比為，故答案為：；（2）解：∵，∴，∵，∴．3．如圖，在四邊形中，平分，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，于點(diǎn)N．(1)請(qǐng)說(shuō)明的理由；(2)若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，利用“”可得結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的判定得出，得出，結(jié)合圖形及線段間的數(shù)量關(guān)系即可求解【詳解】（1）證明：∵平分，，，∴，在和中，，∴，∴；（2）∵，，∴，由（1）得，∵，∴，∴，由（1）得，∴，∴，∴．1．如圖，在銳角三角形中，的面積15，平分交于點(diǎn)D，若M、N分別是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】本題考查三角形中的最短路徑，角平分線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是理解的長(zhǎng)度即為最小值．過(guò)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，則即為的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，即為的最小值．【詳解】解：過(guò)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，如圖：

∵平分于點(diǎn)于，∴，∴是最小值，此時(shí)與重合與重合，∵三角形的面積為，∴，∴，即的最小值為6．故選：B．2．如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)O作于D，下列三個(gè)結(jié)論：①；②若，則；③當(dāng)時(shí)，．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形全等的判定與性質(zhì)以，角平分線的性質(zhì)與判定等知識(shí)，由角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理得與的關(guān)系，判定①正確；過(guò)作于點(diǎn)于點(diǎn)，由三角形的面積證得②正確；在上取一點(diǎn)，使，證，得，再證，得，判定③正確，即可得出結(jié)論，正確作出輔助線證得是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①∵和的平分線相交于點(diǎn)，，，∴，故①符合題意；②過(guò)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖：和的平分線相交于點(diǎn)，∴點(diǎn)在的平分線上，，，故②符合題意；③∵，∴，∵分別是與的平分線，，∴，∴，∴，如圖，在上取一點(diǎn)，使，連接，∵是的角平分線，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故③符合題意；故選：D．3．如圖，已知四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，且，，．過(guò)頂點(diǎn)作于，則的值為．【答案】7【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，求出和的長(zhǎng)度，即可解決問(wèn)題，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，，，，，平分，，四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，，，，在和中，，，，，，，，，故答案為：74．如圖，點(diǎn)為的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且與互補(bǔ)．若在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩條邊分別與，相交于，兩點(diǎn)．則以下結(jié)論：①的值不變；②；③的長(zhǎng)度不變；④四邊形的面積不變；其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②④【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．作于，于，如圖所示，根據(jù)題中條件，只要證明，，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到結(jié)論，逐項(xiàng)判斷即可得到答案．【詳解】解：作于，于，如圖所示：，，，，，平分，于，于，，在和中，，∴，，在和中，，，，，，為定值，故①正確，∵，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，故②正確；∵，，定值，故④正確，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是頂角不變的等腰三角形，的長(zhǎng)度是變化的，的長(zhǎng)度是變化的，故③錯(cuò)誤；則正確的有①②④．故答案為：①②④．5．如圖①是一個(gè)平分角的儀器，其中，．(1)如圖②，將儀器放置在上，使點(diǎn)與頂點(diǎn)A重合，分別在邊上，沿畫(huà)一