2/2專題三角形中的倒角模型之雙角平分線和高線模型目錄A題型建模?專項(xiàng)突破TOC\o"1-2"\h\u題型一、三角形中的倒角模型之雙內(nèi)角角平分線模型 1題型二、三角形中的倒角模型之一內(nèi)角一外角雙角平分線模型 4題型三、三角形中的倒角模型之雙外角角平分線模型 8題型四、三角形中的倒角模型之高線與角平分線分線模型 12B綜合攻堅(jiān)?能力躍升題型一、三角形中的倒角模型之雙內(nèi)角角平分線模型1．如圖，在三角形中，平分平分，其角平分線相交于D，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，理解三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理即可求得．【詳解】解：，，平分，平分，，．故選：C．2.如圖1，在中，是的角平分線；(1)填寫下面的表格．的度數(shù)的度數(shù)(2)試猜想與之間存在一個怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【知識點(diǎn)】與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，得到，逐一進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；填表如下：的度數(shù)的度數(shù)（2），證明如下：∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴．3.模型認(rèn)識：我們學(xué)過三角形的內(nèi)角和等于，又知道角平分線可以把一個角分成大小相等的兩部分，接下來我們就利用上述知識進(jìn)行下面的探究活動．如圖①，在中，、分別是和的角平分線．解決問題：(1)若，，則______；（直接寫出答案）(2)若，求出的度數(shù)；拓展延伸：(3)如圖②，在四邊形中，、分別是和的角平分線，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC的度數(shù)；（2）根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC的度數(shù)；（3）根據(jù)角平分線的定義和四邊形內(nèi)角和定理可得∠BPC與∠A+∠D的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∠ABC=40°，∠ACB=80°，∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°．∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°；故答案為：120°；（2）∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB．∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+∠BAC，∵∠BAC=100°，∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°；（3）∵BP、CP分別是∠ABC和∠DCB的角平分線，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB．∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和公式，此類題目根據(jù)同一個解答思路求解是解題的關(guān)鍵．題型二、三角形中的倒角模型之一內(nèi)角一外角雙角平分線模型4．如圖，點(diǎn)D為邊的延長線上一點(diǎn)，若，，的角平分線與的角平分線交于點(diǎn)M，則度．【答案】30【分析】本題考查了三角形的外角定理，與角平分線有關(guān)的計(jì)算．解題的關(guān)鍵是掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，以及角平分線的定義．先根據(jù)，，求出，進(jìn)而得出，最后根據(jù)三角形的外角定理即可解答．【詳解】解：∵，∴∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，故答案為：30．5．如圖、在四邊形中、平分，且與四邊形的外角的角平分線交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查三角形外角的定義和性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等，延長交于點(diǎn)，先根據(jù)計(jì)算出的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，根據(jù)角平分線的定義可得，進(jìn)而可得．【詳解】解∶如圖，延長交于點(diǎn)．，．．，又平分平分，，．6．他閱讀下面的材料，并解決問題(1)在中，，圖1，是兩內(nèi)角平分線的夾角：圖2，是內(nèi)角和外角角平分線的夾角；圖3，是兩外角平分線的夾角，請直接寫出的度數(shù)．如圖1，如圖2，；如圖3，；如圖4，和的三等分線相交于點(diǎn)，則．(2)如圖5所示，在中，的三等分線、和的平分線相交于點(diǎn)和點(diǎn)，，度，求的度數(shù)．【答案】(1)；；；或(2)【分析】（1）如圖1，由角平分線的定義得出，，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理得出，計(jì)算即可得解；如圖2，由角平分線的定義得出，，再結(jié)合三角形外角的定義及性質(zhì)計(jì)算即可得解；如圖3，由角平分線的定義得出，，由鄰補(bǔ)角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出，從而得出，再由三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得解；分兩種情況：當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，分別計(jì)算即可得解；（2）由題意得出，，，，由三角形外角的定義及性質(zhì)得出，從而得出，再由三角形內(nèi)角和定理得出，即可得出，最后再由三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：如圖1：∵平分，平分，∴，，∴；如圖2：∵平分，平分，∴，，∵，∴；如圖3，∵平分，平分，∴，，∵，，∴，∴，∴；∵和的三等分線相交于點(diǎn)，∴當(dāng)，時(shí)，，∴；當(dāng)，時(shí)，，∴；故和的三等分線相交于點(diǎn)，則或；（2）解：∵的三等分線、和的平分線相交于點(diǎn)和點(diǎn)，∴，，，，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義及性質(zhì)、角平分線的定義、鄰補(bǔ)角等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．題型三、三角形中的倒角模型之雙外角角平分線模型7．（24-25八年級上·廣東廣州·期中）如圖所示，在中，和的角平分線交于點(diǎn)O，和的角平分線交于點(diǎn)D，和的角平分線交于點(diǎn)E，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線定義、三角形外角的應(yīng)用等知識點(diǎn)，熟知三角形的外角性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義有、得，根據(jù)外角的性質(zhì)進(jìn)而完成解答．【詳解】解：平分，平分的外角，∴、，，∴，∵，．故選：C．8．（24-25七年級下·福建泉州·期末）如圖①，在中，與的平分線相交于點(diǎn)．(1)如果，求的度數(shù)；(2)如圖②，作外角，的角平分線交于點(diǎn)，探索、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．（1）由三角形內(nèi)角和定理可求出，再根據(jù)角平分線的定義可得出，，從而可求出，最后再次利用三角形內(nèi)角和定理即可求出；（2）由三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義可求出，再根據(jù)角平分線的定義得出，從而可求出，最后再次利用三角形內(nèi)角和定理即可求出．由此可得．【詳解】（1）解：在中，，；平分平分；；；；（2）平分平分；設(shè)；；得：；平分平分；設(shè)；，，，；；；；，、之間的數(shù)量關(guān)系為．9．如圖①，在中，與的平分線相交于點(diǎn)P．(1)若，則的度數(shù)是；(2)如圖②，作外角，的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索，之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，延長線段，交于點(diǎn)E，在中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，請直接寫出的度數(shù)是．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)或或或【分析】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理，角平分線定義．（1）根據(jù)角平分線定義及三角形內(nèi)角和定理得，則，再根據(jù)可得的度數(shù)；（2）由三角形的外角定理及三角形三角形內(nèi)角和定理得，再由角平分線定義得，由此得，之間的數(shù)量關(guān)系；（3）先求出，根據(jù)得，然后分四種情況討論如下：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，④當(dāng)時(shí)，分別列方程計(jì)算即可．【詳解】（1）解：在中，，與的平分線相交于點(diǎn)，，，，，，，故答案為：；（2）解：，之間的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：，，，，點(diǎn)是和的角平分線的交點(diǎn)，，，，故，之間的數(shù)量關(guān)系是：；（3）解：平分，平分，，，，，即，，由（2）可知：，，，如果在中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，那么有以下四種情況：①當(dāng)時(shí)，則，，此時(shí)，②當(dāng)時(shí)，則，，則，此時(shí)，③當(dāng)時(shí)，則，，此時(shí)，④當(dāng)時(shí)，則，，，此時(shí)，綜上所述，的度數(shù)是或或或，故答案為：或或或．題型四、三角形中的倒角模型之高線與角平分線分線模型10．如圖，是的角平分線，E為邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)F．若，則的大小為度．【答案】13【分析】本題考查角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，先利用三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，進(jìn)而求出，由即可解答．【詳解】解：，，是的角平分線，，，，，，，故答案為：13．11．如圖，，分別是的角平分線和高．（1）若，，則的度數(shù)為．（2）如圖，平分，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則與，的數(shù)量關(guān)系是．【答案】；．【分析】（）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到的度數(shù)，再利用角平分線的定義求出的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余進(jìn)行求解即可；（）根據(jù)三角形內(nèi)角和先得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，再根據(jù)內(nèi)角和定理以及對頂角的性質(zhì)求出，繼而利用直角三角形兩銳角互余即可證得結(jié)論；本題考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義等，準(zhǔn)確識圖，靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】（）∵，，∴，∵是的角平分線，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：；（）∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．12．如圖，在中，，是的角平分線，P為線段上的一個動點(diǎn)，交直線于點(diǎn)E．(1)若，，求的度數(shù)；(2)愛動腦的慧慧發(fā)現(xiàn)，當(dāng)P點(diǎn)在線段上運(yùn)動時(shí)，若是銳角，則，請聰明的你說說結(jié)論成立的理由．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，然后根據(jù)角平分線的定義得到，可得，然后利用直角三角形的兩銳角互余解題；（2）根據(jù)角平分線和三角形的內(nèi)角和得到證明，再證明，然后再利用直角三角形的兩銳角互余解題即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，

∵AD平分，∴，∵是△ABD的外角∴，

∵∴∴；（2）證明：∵AD平分，∴，∵，∴，∴，∵是△ABD的外角，∴，，

∵，∴，∴，，即．一、單選題1．（24-25八年級上·青海果洛·期末）如圖，點(diǎn)O在內(nèi)，且點(diǎn)O是兩個角平分線的交點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，解一元一次方程．設(shè)，則，再根據(jù)分別平分和得，則，即可求解．【詳解】解：設(shè)，則，∵平分和，∴，∴，解之得：，故選：A．2．（24-25八年級上·湖北十堰·期中）如圖，、是的外角角平分線，若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查角平分線以及三角形內(nèi)角和的運(yùn)用，首先根據(jù)三角形內(nèi)角和與得出，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出和的外角和，進(jìn)而得出，即可得解．【詳解】、是的外角角平分線（）故選：D．3．如圖，在中，，與的角平分線交于，與的角平分線交于點(diǎn)，依此類推，與的角平分線交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律：先根據(jù)內(nèi)角和定理求出，根據(jù)角平分線即可得到半角和，再結(jié)合內(nèi)角和定理即可求出中間角的關(guān)系，即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，∵與的角平分線交于，∴，同理可得，，∴，∴，∴，故選：A．4．（22-23七年級下·福建漳州·期末）如圖，在中，是角平分線，是邊上的高，延長與外角的平分線交于點(diǎn)．以下四個結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由三角形的角平分線的含義可判斷①，由三角形的高的含義可判斷②，證明，，，，可判斷③，由，，可得，從而可判斷④，從而可得答案．【詳解】解：∵是角平分線，∴，故①符合題意；∵是邊上的高，∴，故②符合題意；∵是角平分線，平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故③不符合題意；∵，，∴，故④符合題意；故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的角平分線與高的含義，三角形的外角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形的外角的性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵．二、填空題5．（24-25七年級下·陜西西安·期中）如圖，，分別是的角平分線和高，若，，則．【答案】/10度【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，在中，由與的度數(shù)求出的度數(shù)，根據(jù)為角平分線求出的度數(shù)，由即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，又∵是的角平分線，∴，∵是的高，∴，則，故答案為：．6．（24-25七年級下·重慶江北·期末）如圖，、的角平分線相交于點(diǎn)P，若，，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，延長交于點(diǎn)，設(shè)，利用三角形外角的性質(zhì)表示出的度數(shù)，結(jié)合角平分線的等腰得到度數(shù)，根據(jù)列出等式，即可求出．【詳解】解：延長交于點(diǎn)，設(shè)交于F，設(shè)，平分，，，，平分，，，，，，故答案為：．7．如圖，已知的內(nèi)角，分別作內(nèi)角與外角的平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)；作和的平分線交于點(diǎn)；以此類推得到點(diǎn)，則的大小為．【答案】/【分析】本題考查三角形的外角性質(zhì)，規(guī)律型：圖形的變化類，應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)，由特殊情況總結(jié)出一般規(guī)律，即可得到答案．【詳解】解：∵平分，平分，∴，，∵，，∴，∴，同理：，∴．故答案為：．8．（24-25八年級下·黑龍江綏化·期中）已知，如圖1，在，、的角平分線交于點(diǎn)O，則．如圖2，在中，、的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于、，則，．根據(jù)以上閱讀理解，你能猜想（n等分時(shí)，內(nèi)部有個點(diǎn)）（用n的代數(shù)式表示）；．【答案】【分析】本題考查了與角平分線有關(guān)的計(jì)算等知識．根據(jù)三角形內(nèi)角和得求出，，，，問題得解．【詳解】解：，，，……，∴．故答案為：；．三、解答題9．（23-24七年級下·江蘇揚(yáng)州·期中）中，，是高，是三角形的角平分線．(1)當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；(2)根據(jù)第（1）問得到的啟示，與之間有怎樣的等量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)；(2)，理由見解析．【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理：（1）由三角形內(nèi)角和定理求得，根據(jù)角平分線的定義求得，進(jìn)而根據(jù)角的和差關(guān)系即可得到答案；（2）由三角形內(nèi)角和定理求得，根據(jù)角平分線的定義求得，進(jìn)而根據(jù)角的和差關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵在中，，，∴，∵是高，是三角形的角平分線．，∴，∴；（2）解：，理由如下：在中，，∵是的高，∴，∵是的角平分線，∴，∴．即．10．如圖，在中，是的角平分線，點(diǎn)在邊上，且不與點(diǎn)重合，與交于點(diǎn)．(1)若是的高，且，則的度數(shù)為；(2)若是的角平分線，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（）由三角形角平分線的定義得，由三角形高的定義得，進(jìn)而根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求解；（）由三角形內(nèi)角和定理得，進(jìn)而由三角形角平分線的定義得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．本題考查了三角形的角平分線，三角形的高，三角形的外角性質(zhì)和內(nèi)角和定理，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵是的角平分線，∴，∵是的高，∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：∵，∴，∵、是的角平分線，∴，，∴，∴．11．（24-25七年級下·河南南陽·期末）認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾的角的探究片段，完成所提出的問題．探究1：如圖1，在中，O是與的平分線和的交點(diǎn)，通過分析發(fā)現(xiàn)，理由如下：∵和分別是和的角平分線∴，∴；又∵，∴①；∴②．請完成探究1的填空，_______，_________；探究2：如圖2中，O是與外角的平分線和的交點(diǎn)，試分析與有怎樣的關(guān)系？請說明理由．探究3：如圖3中，O是外角與外角的平分線和的交點(diǎn)，則與有怎樣的關(guān)系（只寫結(jié)論，不需證明）？結(jié)論：___________________．【答案】探究1：①；②；探究2結(jié)論：，理由見解析；探究3：，理由見解析【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問題，三角形的外角，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵：探究1：根據(jù)步驟，三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行作答即可；探究2：根據(jù)角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)，進(jìn)行推導(dǎo)即可；探究3：根據(jù)角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行推導(dǎo)即可．【詳解】解：探究1：∵和分別是和的角平分線∴，∴；又∵，∴；∴．探究2結(jié)論：，

理由如下：∵和分別是和的角平分線，∴，又∵是的一外角，∴，∴，∵是的一外角，∴；探究3：．∵，，O是外角與外角的平分線和的交點(diǎn)，∴，∴，，．12．（24-25七年級下·湖南衡陽·期末）【結(jié)論發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，，點(diǎn)E是的內(nèi)角平分線與外角平分線的交點(diǎn)，求的度數(shù)；（2）如圖2，在中，，延長至點(diǎn)E，延長至點(diǎn)D，已知的角平分線與的角平分線交于點(diǎn)P，的角平分線與的角平分線反向延長線交于點(diǎn)F，求的度數(shù)；【拓展延伸】（3）如圖3，是四邊形的內(nèi)角的角平分線，是四邊形的外角的角平分線，形成如圖所示形狀，已知，，求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）設(shè)，由角平分線定義得，由三角形外角定理得，則，據(jù)此得，因此當(dāng)時(shí)可得的度數(shù)；（2）先求出，進(jìn)而得，再由（1）可知，據(jù)此可得的度數(shù)；（3）延長交于，延長交于，先求出，再根據(jù)得，則，由此可得的度數(shù)．【詳解】解：（1）設(shè)，∵平分平分，，，，整理得：，∴當(dāng)時(shí)，；（2）∵和是鄰補(bǔ)角，，∵平分平分，，，即，，由（1）可知，；（3）延長交于，延長交于，如下圖所示：，，，即，同理：，，，由（1）可知：，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線定義，鄰補(bǔ)角定義，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理，準(zhǔn)確識圖，理解角平分線定義，鄰補(bǔ)角定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理是解決問題的關(guān)鍵．13．（24-25七年級下·吉林·期中）如圖1，中，的角平分線和的角平分線交于點(diǎn)D

(1)若，則_________．(2)從上述計(jì)算中，我們能發(fā)現(xiàn)：_________________（用含的代數(shù)式表示）；(3)如圖2，中，的角平分線和的角平分線交于點(diǎn)，請用含的代數(shù)式表示，并說明理由．(4)如圖3，的角平分線和的角平分線交于點(diǎn)，如此繼續(xù)下去，可得，，…，，請寫出與的數(shù)量關(guān)系為_________________．（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】(1)(2)(3)，理由如下：(4)【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握其性質(zhì)定理．（1）利用求出，再利用角平分線的性質(zhì)求出，即可求解；（2）結(jié)合（1）的過程得，即可作答．（3）利用三角形的外角性質(zhì)得出，，從而可得，，再利用角平分線的性質(zhì)，即可證明；（4）與（3）同理先求出，則得，再觀察規(guī)律，得即可求解．【詳解】（1）解：∵的角平分線和的角平分線交于點(diǎn)D，∴∵，∴∴，∴，故答案為：．（2）解：由（2）得出，故答案為：．（3）解：依題意，，，，，∵的角平分線和的角平分線交于點(diǎn)，，，，；（4）解：依題意，，，，∴，，∵的角平分線和的角平分線交于點(diǎn)，，，，由（3）可知：，，同理得，以此類推，得，故答案為：．14．綜合與探究【問題發(fā)現(xiàn)】在延時(shí)服務(wù)課上，數(shù)學(xué)張老師引導(dǎo)大家探究角平分線的夾角問題．（1）數(shù)學(xué)課代表發(fā)現(xiàn)在圖1中，若與的平分線交于點(diǎn)P，則與之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，下面是不完整的探究過程，請補(bǔ)充完整．，分別是和的平分線，，．，，……【問題探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，作的外角，的平分線交于點(diǎn)Q，試說明．【問題拓展】（3）如圖3，在（2）的條件下，延長線段，交于點(diǎn)E，在中．①請說明與之間的數(shù)量關(guān)系．②當(dāng)與兩銳角存在2倍的數(shù)量關(guān)系時(shí)，直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）①，②或【分析】本題考查了角平分線的定義．三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，，在有三角形內(nèi)角和定理得出，利用等量代換即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，，再由三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）①先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出根據(jù)，即可得出結(jié)論；②延長至點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的定理得出，然后分、和兩種情況討論即可得出結(jié)論；【詳解】[問題發(fā)現(xiàn)]（1），分別是和的平分線，，，，，，，；[問題探究]（2），分別是，的平分線，，，，，，，，，，由（1）知，，[問題拓展]（3）①是的平分線，是的平分線，，，，，，由（2）知，；②延長至點(diǎn)F，是的外角的平分線，是的外角的平分線，，是的平分線，，即，，即，，，在中，與都是銳角，當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，綜上所述，的度數(shù)為或．15．（24-25八年級上·江西上饒·期中）問題情境：如圖①所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣的圖形叫做“規(guī)形圖”，叫“規(guī)角”．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究規(guī)角與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【解決問題】（2）請你利用以上結(jié)論，解決下列問題：（i）如圖②，在中，的平分線交于點(diǎn)P，若，則度，若，則度（用含的式子表示）；（ii）如圖③，平分平分，若的度數(shù)．【延伸探究】（3）如圖④，在中，的平分線與的外角的平分線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，若，求的度數(shù)；【拓展應(yīng)用】（4）如圖⑤，在中，，點(diǎn)I為三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，連接．延長，與的外角的角平分線交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q．在中，如果有一個角是另一個角的2倍，直接寫出的度數(shù)為．【答案】（1），理由見解析（2）（i），；（ii）（3）（4）或【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)、角平分線線的定義及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．（1）連接并延長至點(diǎn)F，根據(jù)外角的性質(zhì)，可得，再