第十五章二次根式章末重點題型復習題型一求二次根式的值題型二利用二次根式的性質(zhì)化簡題型三根據(jù)二次根式的性質(zhì)確定參數(shù)的取值范圍題型四最簡二次根式題型五二次根式的混合運算題型六同類二次根式題型七比較二次根式的大小題型八分母有理化題型九與二次根式有關的化簡求值題型十二次根式的綜合應用題型一求二次根式的值1．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了立方根的性質(zhì)，相反數(shù)的性質(zhì)，二次根式的求值，由立方根的性質(zhì)可得與互為相反數(shù)，即得，得到，再代入二次根式計算即可求解，由立方根的性質(zhì)得到是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴與互為相反數(shù)，∴，∴，∴，故選：．2．觀察分析下列各數(shù)：，，，，，，，根據(jù)其中的規(guī)律，則第10個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題是數(shù)字規(guī)律探究題，觀察題目找出規(guī)律被開方數(shù)依次增加3是解題的關鍵．【詳解】解：∵，，，，，，，∴第個數(shù)為，∴第10個數(shù)是，故選C．3．將按如圖所示方式排列，若規(guī)定表示第排從左往右第個數(shù)，則表示的數(shù)是【答案】【分析】根據(jù)數(shù)的排列方法可知，第一排：個數(shù)，第二排個數(shù)．第三排個數(shù)，第四排個數(shù)，…第排有個數(shù)，從第一排到排共有：…個數(shù)，根據(jù)數(shù)的排列方法，每四個數(shù)一個輪回，根據(jù)題目意思找出第排第個數(shù)到底是哪個數(shù)后再計算．【詳解】解：表示第排從左向右第個數(shù)，可以看出奇數(shù)排最中間的一個數(shù)都是，，，則所表示的數(shù)是，故答案為．【點睛】此題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．判斷出所求的數(shù)是第幾個數(shù)是解決本題的難點；得到相應的變化規(guī)律是解決本題的關鍵．4．材料閱讀：材料一：若是正整數(shù)，除以的余數(shù)為，則稱是“余一數(shù)”．例如：是正整數(shù)且，則是“余一數(shù)”．材料二：對于任意四位正整數(shù)，的千位數(shù)字為、百位數(shù)字為、十位數(shù)字為、個位數(shù)字為，規(guī)定：．請根據(jù)以上材料，解決下列問題：（1）判斷：“余一數(shù)”（填“是”或“不是”）；（2）若四位正整數(shù)是“余一數(shù)”，的千位數(shù)字與個位數(shù)字的和等于，百位數(shù)字與十位數(shù)字的和等于，千位數(shù)字與百位數(shù)字的和大于十位數(shù)字與個位數(shù)字的和，是有理數(shù)，則滿足條件的為．【答案】不是，，【分析】（1）根據(jù)材料提示計算“余一數(shù)”的方法即可求解；（2）設的千位數(shù)字為，的百位數(shù)字為，的十位數(shù)字為，的個位數(shù)字為，根據(jù)數(shù)量關系分別求出的范圍，綜合，是有理數(shù)，進行試根即可求解．【詳解】解：（1），∴不是“余一數(shù)”，故答案為：不是；（2）四位正整數(shù)是“余一數(shù)”，的千位數(shù)字與個位數(shù)字的和等于，百位數(shù)字與十位數(shù)字的和等于，千位數(shù)字與百位數(shù)字的和大于十位數(shù)字與個位數(shù)字的和，∴設的千位數(shù)字為，的百位數(shù)字為，的十位數(shù)字為，的個位數(shù)字為，∴，解得，，∴正整數(shù)表示為：，整理得，，∵正整數(shù)是“余一數(shù)”，即個位數(shù)的差為，∴，∴或或或，∴或或或，①當時，即千位的數(shù)字為，∴個位的數(shù)值為，∵，且，∴或，即百位的數(shù)字為或，則十位的數(shù)值為或，∴正整數(shù)為或，∵，是有理數(shù)，∴是無理數(shù)，不符合題意，舍去；是無理數(shù)，不符合題意，舍去；∴不符合題意，舍去；②當時，即千位的數(shù)字為，同理，個位的數(shù)字為，百位的數(shù)字為或或或，對應的個位的數(shù)字為或或或，∴正整數(shù)為或或或，∴是無理數(shù)，不符合題意，舍去；是無理數(shù)，不符合題意，舍去；是有理數(shù)，符合題意；③當時，即千位的數(shù)字為，同理，個位的數(shù)字為，百位的數(shù)字為或或或或或，對應的個位的數(shù)字為或或或或或，∴正整數(shù)為或或或或或，∴是無理數(shù)，不符合題意，舍去；是無理數(shù)，不符合題意，舍去；是有理數(shù)，符合題意；是無理數(shù)，不符合題意，舍去；是無理數(shù)，不符合題意，舍去；④當時，即千位的數(shù)字為，∴個位的數(shù)字為，不符合題意，舍去；綜上所述，符合題意的數(shù)字為或．【點睛】本題主要考查定義新運算，有理數(shù)的混合運算，二次根式的性質(zhì)化簡，無理數(shù)的概念等知識的綜合，掌握以上知識的靈活運用是解題的關鍵．5．計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)計算，即可得到答案；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)計算，即可得到答案；（3）根據(jù)整式混合運算的性質(zhì)計算，即可得到答案；（4）根據(jù)平方差公式、整式乘法和加減法的性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【點睛】本題考查了零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、二次根式、整式混合運算、平方差公式的知識；解題的關鍵是熟練掌握零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、二次根式、整式混合運算、平方差公式的性質(zhì)，從而完成求解．6．任意給出一個非零實數(shù)m，按如圖所示的程序進行計算．(1)用含m的代數(shù)式表示該程序的運算過程并化簡；(2)當時，求輸出的結果．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了代數(shù)式求值，正確得出運算程序是解題的關鍵．（1）直接利用運算程序進而得出關于m的代數(shù)式；（2）把已知數(shù)據(jù)代入求出答案．【詳解】（1）解：由題意可得：；（2）解：當時，，∴輸出的結果是．題型二利用二次根式的性質(zhì)化簡7．若二次根式，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡、絕對值，解題的關鍵是掌握．根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到，則有，根據(jù)絕對值的意義得到，然后解不等式即可．【詳解】解：，而，∴，∴，∴．故選：C．8．在學習二次根式過程中，對代數(shù)式定義新運算：，在代數(shù)式中任意加新運算，然后按給出的運算順序重新運算，稱此為“新運算操作”．實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示．例如：，．下列說法：①；②至少存在一種“新運算操作”，使其運算結果與原代數(shù)式相等；③不存在任何“新運算操作”，使其運算結果與原代數(shù)式之和為0；④所有可能的“新運算操作”共有5種不同運算結果．其中正確的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本題主要考查了新定義運算“新運算操作”，正確理解“新運算操作”是解題關鍵．根據(jù)數(shù)軸可知，，則有，結合“新運算操作”可得，即可判斷說法①；結合可得，即可判斷說法②；推導，易得，可知，即可判斷說法③；根據(jù)“新運算操作”可知所有可能的“新運算操作”共有5種不同運算結果，即可判斷說法④．【詳解】解：由數(shù)軸可知，，∴，∴，故說法①正確；∵，∴，故說法②正確；∵，，∴，∴，∴，∴，∴存在“新運算操作”，使其運算結果與原代數(shù)式之和為0，說法③錯誤；可能的“新運算操作”有，，，，，，，∴所有可能的“新運算操作”共有5種不同運算結果，說法④正確．故選：B．9．若滿足等式，則的值為．【答案】2022【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件、代數(shù)式求值、一元一次方程等知識點，掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件得到m的取值范圍，再根據(jù)m的取值范圍去絕對值和二次根式的性質(zhì)得到一元一次方程，進而得到，即，最后整體代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，解得：，∴，∵，∴，即：，∴，∴．故答案為：2022．10．設，則與最接近的整數(shù)是．【答案】2025【分析】此題是數(shù)字規(guī)律題，主要考查了二次根式的加減法，解答此類題目要探尋數(shù)列規(guī)律：認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法．由可化為，即可求解．【詳解】解：∵n為任意正整數(shù)，∴．．∴與S最接近的數(shù)是2025．故答案為：2025．11．實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應點表示出來如圖所示：(1)請化簡：；(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，二次根式的性質(zhì)，數(shù)軸，化簡絕對值，整式的加減運算，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）先根據(jù)數(shù)軸得到，，由二次根式的性質(zhì)把化為，再去絕對值即可；（2）將代入化簡后的，即可求解．【詳解】（1）解：由數(shù)軸得：，則，∴；（2）解：∵，∴．12．【閱讀材料】小華根據(jù)學習“二次根式”及“乘法公式”積累的經(jīng)驗，通過“由特殊到一般”的方法，探究“當時，與的大小關系”．下面是小華的深究過程：①具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當時，特例1：若，則；特例2：若，則；特例3：若，則．②觀察、歸納，得出猜想：當時，．③證明猜想：當時，∵，∴，∴．當且僅當時，．請你利用小華發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決以下問題：(1)當時，的最小值為；(2)當時，的最小值為；(3)當時，求的最小值．【答案】(1)2(2)(3)【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，完全平方公式的變形，不等式的性質(zhì)：（1）直接由題中規(guī)律即可完成；（2）當時，，則可由題中規(guī)律完成；（3）原式變形為，由，計算出的最小值，即可求得的最小值．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，當且僅當時，即x=1時取得最小值2.故答案為：2；（2）解：∵，∴，∴，當且僅當時，即時取得最小值.故答案為：；（3）解：，∵，∴，∴，當且僅當時，即時取得最小值26.∴，∴，∴的最小值為．題型三根據(jù)二次根式的性質(zhì)確定參數(shù)的取值范圍13．若則的值為（

）A．40 B．50 C．60 D．70【答案】C【分析】本題考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法運算、二次根式定義及解一元一次方程等知識，熟練掌握二次根式定義是解決問題的關鍵．先由二次根式乘法運算化簡，再由二次根式定義得到方程，解一元一次方程即可得到答案．【詳解】解：，，，即，解得，故選：C．14．若最簡二次根式和能合并，則a、b的值分別是（）A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【答案】D【分析】由二次根式的定義可知，由最簡二次根式和能合并，可得，由此即可求解．【詳解】解：∵最簡二次根式和能合并，∴，∴，解得，故選D．【點睛】本題主要考查了二次根式的定義和最簡二次根式的定義，熟知定義是解題的關鍵．15．已知有意義，如果關于的方程沒有實數(shù)根，那么的取值范圍是．【答案】．【分析】把方程變形為，根據(jù)方程沒有實數(shù)根可得，解不等式即可．【詳解】解：由得，有意義，且，方程沒有實數(shù)根，即，，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解題關鍵是利用二次根式的非負性確定的取值范圍．16．函數(shù)中自變量的取值范圍是；分式值為零的條件．【答案】【分析】根據(jù)分式和二次根式有意義的條件即可求得自變量的取值范圍；根據(jù)分式為零即分子為零求解即可；【詳解】解：根據(jù)函數(shù)得：，解得：；根據(jù)分式值為零得到：，即：；檢驗當時分式分母不為0，所以分式值為零的條件是；故答案為：；；【點睛】本題主要考查了分式和二次根式有意義的條件以及分式為零的條件，掌握分式的分母不能為零是解題的關鍵．17．類比和轉化是數(shù)學中解決新的問題時最常用的數(shù)學思想方法．(1)【回顧舊知，類比求解】解方程：．解：去根號，兩邊同時平方得一元一次方程，解這個方程，得．經(jīng)檢驗，是原方程的解．(2)【學會轉化，解決問題】①運用上面的方法解方程：；②代數(shù)式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，請說明理由．【答案】(1)，3，3(2)①無解，②不能，理由見解析【分析】本題是閱讀理解題，解題的關鍵是讀懂題意、把帶根號的方程轉化為整式方程．（1）根據(jù)題意可直接進行求解；（2）①先移項，然后方程兩邊同時平方得到一元一次方程，進而問題可求解；②先設，根據(jù)題意中的方法解該方程，根據(jù)方程的解的情況即可解答．【詳解】（1）解：去根號，兩邊同時平方得一元一次方程，解這個方程，得．經(jīng)檢驗，是原方程的解．（2）解：①移項，得去根號，兩邊同時平方得，即解得：，檢驗：時，方程左邊右邊，∴不是原方程的解，原方程無解；②若代數(shù)式的值等于7，即，移項，得，兩邊同時平方，得，化簡，得，兩邊同時平方，得，∴該方程無解，∴代數(shù)式的值不能等于7．18．先閱讀下面提供的材料，再解答相應的問題，若和在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義，求的值．解：和在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義，且．由得：，．問題，若實數(shù)滿足，求的值．【答案】5【分析】此題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義得到，解得，再求出，再代入進行解答即可．【詳解】解：由題意可得，和在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義，∴且由得到∴解得，∴，∴題型四最簡二次根式19．下列各式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了最簡二次根式，根據(jù)最簡二次根式的定義：被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；被開方數(shù)是整數(shù)，因式是整式，進行逐一判斷即可，熟練掌握最簡二次根式的定義是解本題的關鍵．【詳解】解：、，原選項不是最簡二次根式，不符合題意；、，原選項不是最簡二次根式，不符合題意；、是最簡二次根式，符合題意；、，原選項不是最簡二次根式，不符合題意；故選：．20．若，其中都是整數(shù)，則的值為（

）．A． B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】本題主要考查多項式乘以多項式，代數(shù)式求值，化最簡二次根式．先根據(jù)多項式乘以多項式的計算法則求出的結果，進而求出a、b、c的值，最后代入即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，解得：，∴．故選：A．21．下列二次根式：①；②；③；④．其中化簡后的被開方數(shù)是3的是（填序號）．【答案】④【分析】本題考查了二次根式的化簡，先將各二次根式化為最簡二次根式，然后再找出被開方數(shù)是3的即可．【詳解】解：①；②；③是最簡二次根式；④．故化簡后被開方數(shù)是3的是④，故答案為：④．22．觀察下列二次根式的化簡：；；；…則．【答案】【分析】本題考查的是二次根式的化簡，規(guī)律探究，根據(jù)規(guī)律確定，然后計算求解即可．【詳解】解：由題意知，；∴，故答案為：．23．定義：若兩個二次根式a，b滿足，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關于c的因子二次根式．(1)若a與是關于4的因子二次根式，則________________；(2)若與是關于2的因子二次根式，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查二次根式的計算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定義是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意即可解答；（2）根據(jù)題意列出式子，解方程即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，解得，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意得，所以解得即m的值為．24．“配方法”是指將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和．它是數(shù)學的重要方法，可以解決多項式、方程的相關問題．例如：我們可以通過“配方法”求代數(shù)式的最小值．，∴當時，有最小值-2．請閱讀上述“配方法”的應用，并解答下列問題：(1)若，請求出a、b的值；(2)若代數(shù)式的最小值為，試求出k的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了完全平方公式，利用完全平方公式將一個代數(shù)式或代數(shù)式的某一部分通過改寫化為完全平方式或幾個完全平方式的和的形式是解題的關鍵．（1）把等式左邊利用配方法配方得到，由此即可求出a、b的值；（2）利用配方法把配方得到，根據(jù)得到，則當時，有最小值，由此建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴；（2）解：，∵，∴，∴當時，有最小值，∵代數(shù)式的最小值為，∴，∴，∴．題型五二次根式的混合運算25．可以說明若“x為無理數(shù)，則也是無理數(shù)”是假命題的反例是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了無理數(shù)的概念以及二次根式的運算，熟練掌握運算法則和定義是解題的關鍵．逐一計算每個選項的平方數(shù)，按照無理數(shù)定義驗證即可解決問題．【詳解】解：A：，不是無理數(shù)，符合題意；B：，是無理數(shù)，不符合題意；C：，是無理數(shù)，不符合題意；D：，是無理數(shù)，不符合題意；故選：A．26．老師設計了一個“接力游戲”，用合作的方式完成二次根式的混合運算，如圖，老師把題目交給一位同學，他完成一步解答后交給第二位同學，依次進行，最后完成計算．規(guī)則是每人只能看到前一人傳過來的式子．接力中，自己負責的式子出現(xiàn)錯誤的是（

）A．小明和小麗 B．小麗和小紅C．小紅和小亮 D．小麗和小亮【答案】B【分析】本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的除法運算和性質(zhì)是解答的關鍵．根據(jù)二次根式的除法法則可和性質(zhì)逐個判斷即可．【詳解】解：∵，∴小明沒有出現(xiàn)錯誤；∵，∴小麗出現(xiàn)錯誤；∵，∴小紅出現(xiàn)錯誤；∵，∴小亮沒有出現(xiàn)錯誤，故自己負責的式子出現(xiàn)錯誤的是小麗和小紅，故選：B．27．已知，，則的算術平方根為．【答案】【分析】本題考查二次根式的混合運算、二次根式有意義的條件．根據(jù)，，可以求得x、y的值，然后即可求得的平方根．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，解得，∵，∴，，，解得，∴，∴，故答案為：．28．已知，則．【答案】1【分析】本題考查平方差公式的運用，代數(shù)式求值，積的乘方的逆用，二次根式的混合運算，根據(jù)題意得到當時，，當時，，再結合平方差公式進行因式分解并運算，即可解題．【詳解】解：，當時，，當時，，．故答案為：1．29．觀察下列各式及其驗證過程：．驗證：．．驗證：(1)按照上述規(guī)律，直接寫出的結果是___________(2)針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用為自然數(shù)，且表示的等式，并給出證明．【答案】(1)(2)（n為自然數(shù)，且），證明見解析【分析】本題考查算術平方根、規(guī)律型問題，解題的關鍵是學會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．（1）根據(jù)規(guī)律，可得到答案．（2）根據(jù)觀察等式，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，可得到答案．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：（n為自然數(shù)，且），證明：30．小明在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解答的：，．，即．．．請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：(1)計算：______；(2)計算：；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了分母有理化，二次根式的化簡求值，二次根式的加減混合，熟練掌握分母有理化是解題的關鍵．（1）利用分母有理化計算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）先化簡a，求出，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：（3），，．題型六同類二次根式31．若最簡二次根式與是同類二次根式，則a的平方根是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查同類二次根式定義，以及求一個數(shù)的平方根，根據(jù)被開方數(shù)相同的最簡二次根式是同類二次根式，列出方程求出，，再根據(jù)平方根概念求解，即可解題．【詳解】解：最簡二次根式與是同類二次根式，，，解得，，a的平方根是，故選：D．32．有下列說法：①的平方根是；②表示6的算術平方根的相反數(shù)；③是的平方根；④與是同類二次根式；⑤的絕對值是．其中，正確的說法有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】本題考查平方根，算術平方根，同類二次根式，絕對值，根據(jù)相關知識點，逐一進行判斷即可．【詳解】解：的平方根是；故①錯誤；表示6的算術平方根的相反數(shù)；故②正確；是的平方根；故③正確；與是同類二次根式；故④正確；的絕對值是；故⑤正確；故選C．33．在，，，，，中不是的同類二次根式的有．【答案】，【分析】本題考查同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式．將二次根式，，，，，分別化簡后得到與是同類二次根式的個數(shù)．【詳解】解：二次根式，，，，，，與不是同類二次根式是：，．故答案為：，．34．如果兩個最簡二次根式與是同類二次根式，那么使有意義的x的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查了同類二次根式的概念、二次根式的性質(zhì)等知識點，掌握二次根式的性質(zhì)成為解題的關鍵．先根據(jù)同類二次根式的定義列方程求出a的值，代入，再根據(jù)二次根式的定義列出不等式求解即可．【詳解】解：∵最簡根式與是同類二次根式，∴，解得：，∵有意義，∴，即，解得：．故答案為：．35．定義：若兩個二次根式m、n滿足，且p是有理數(shù)，則稱m與n是關于p的和諧二次根式．已知最簡二次根式與可以合并，請問的算術平方根與是關于4的和諧二次根式嗎？并說明理由．【答案】的算術平方根與是關于4的和諧二次根式，理由見解析【分析】本題主要考查了最簡二次根式、算術平方根、二次根式的乘法運算等知識點，理解和諧二次根式的定義是解題的關鍵．先根據(jù)最簡二次根式的定義求得a的值，然后求得a的算術平方根，最后根據(jù)和諧二次根式的定義判斷即可．【詳解】解：的算術平方根與是關于4的和諧二次根式，理由如下：∵最簡二次根式與可以合并，∴，即，∴的算術平方根為，∵，∴的算術平方根與是關于4的和諧二次根式．36．小明和小亮暑期在家做數(shù)學運算游戲，他們在一個密閉不透明的盒子里放入四張大小一樣，顏色分別為白色、灰色的圓形卡片，在卡片上分別標有如圖所示的數(shù)．他們要從盒子中分別摸出卡片，并制定了如下規(guī)定：若摸到白色卡片，則加上卡片上的數(shù)：若摸到灰色卡片，則減去卡片上的數(shù)．(1)（1）若小明摸到如下兩張卡片，請計算出結果．（2）若小亮摸出全部的四張卡片，計算結果為x，小明認為x的值與屬于同類二次根式，你認為小明的說法對嗎？并說明理由．【答案】(1)(2)小明的說法對，理由見解析【分析】本題主要考查二次根式，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵．（1）根據(jù)二次根式的計算法則進行計算即可；（2）四張卡片均與是同類二次根式，只需判斷與是否是同類二次根式即可得到答案．【詳解】（1）解：依題意，得；（2）解：小明的說法對．理由：依題意，得．，與是同類二次根式，x的值與屬于同類二次根式，故小明的說法對．題型七比較二次根式的大小37．已知，，，那么a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把化為再結合從而可得答案．【詳解】解：∵，，，而∴故選A．【點睛】本題考查的是二次根式的大小比較，二次根式的混合運算，掌握“二次根式的大小比較的方法”是解本題的關鍵．38．二次根式除法可以這樣做：如果．像這樣通過分子、分母同乘一個式子把分母中的根號化去或者把根號中的分母化去，叫做分母有理化．有下列結論：①將式子進行分母有理化，可以對其分子、分母同時乘以；②若a是的小數(shù)部分，則的值為；③比較兩個二次根式的大?。海虎苡嬎?；⑤若，，且，則整數(shù)．以上結論正確的是（）A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤【答案】D【分析】①類比示例，利用分式的基本性質(zhì)進行分母有理化；②估計無理數(shù)的整數(shù)部分，求出小數(shù)部分，進而分母有理化進行化簡；③通過分母有理化，比較兩個二次根式的大??；④通過分母有理化找到題中無理式求和的運算規(guī)律，從而化簡求出值；⑤與y可以利用分母有理化化簡，可得出x與y互為倒數(shù)，故，然后觀察方程特點，求得n的值．【詳解】解：，故將式子進行分母有理化，可以對其分子、分母同時乘以，故①正確；∵a是的小數(shù)部分，∴，∴，故②錯誤；∵，，又∵，，∴，∴，∴，∴，故③正確；∵，故④正確；⑤∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，，，，，∵，∴，即，解得，故⑤正確．故選：D．【點睛】本題考查利用分式的基本性質(zhì)、平方差公式進行分母有理化，解決二次根式的化簡、比較大小和運算的問題，熟練掌握知識點是解題的關鍵．39．比較大?。海?）；（2）．【答案】【分析】本題考查二次根式比較大小，分母有理化：（1）分母有理數(shù)后比較大小即可；（2）比較兩數(shù)的倒數(shù)，進而得出兩數(shù)的大小關系即可．【詳解】解：（1）∵，，∵，∴，∴；故答案為：；（2）∵，，∵，∴，∴；故答案為：．40．比較大小：；；.【答案】【分析】根據(jù)二次根式性質(zhì)比較大小即可得到結論．【詳解】解：①，；②，；③，，，，即；故答案為：；；．【點睛】本題考查二次根式比較大小，熟練掌握二次根式性質(zhì)是解決問題的關鍵．41．（1）用“”或“”號填空：____________．（2）化簡：______，______．（3）計算：．【答案】（1），；（2），；（3）【分析】本題主要考查了二次根式的加減運算，絕對值，二次根式的大小比較，熟練掌握二次根式的加減運算法則是解題的關鍵；（1）根據(jù)二次根式比較大小的方法求解即可；（2）根據(jù)（1）所求結合實數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)（2）先去絕對值，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求解即可．【詳解】解：（1）；故答案為：，（2）．；故答案為：，（3）原式．42．在二次根式的比較大小中，有時候用“平方法”會取得很好的效果，例如，比較和的大小，我們可以把和分別平方，，，則，請利用“平方法”解決下面問題：(1)比較，大小，（填寫，或者）(2)猜想，之間的大小關系，并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】本題考查二次根式比較大小，二次根式的性質(zhì)和運算，完全平方公式，掌握平方法比較大小，是解題的關鍵：（1）利用平方法比較大小即可；（2）利用平方法進行比較即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∵，∴；故答案為：；（2）解：猜想，理由如下：∵，，∴，，∵，∴，∴．題型八分母有理化43．張老師在黑板上出了一道計算題：，要求同學們在“○”中填入適當?shù)倪\算符號，使得計算結果是有理數(shù)，“○”中可以填的符號是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】本題主要考查了二次根式的四則運算，分別填入加減乘除在圓圈里面，根據(jù)二次根式的相關計算法則求出對應的結果即可得到答案．【詳解】解：；；；；∴“○”中可以填的符號是或，故選：C．44．先觀察下列的計算，再完成習題：；；根據(jù)你的猜想、歸納，運用規(guī)律計算：的結果為（

）A．1 B．2014 C．2013 D．【答案】C【分析】此題考查了分母有理化，由題意得出規(guī)律，再根據(jù)得出的規(guī)律將原式化簡即可得到結果．【詳解】解：∵；；，∴得出規(guī)律，∴，故選：C．45．已知若、是分別是整數(shù)部分和小數(shù)部分，則的值為．【答案】7【分析】本題考查了無理數(shù)的估算、求代數(shù)式的值以及無理數(shù)整數(shù)部分的有關計算，先得即，從而求得，，代入進行計算，即可作答．【詳解】解：∵∴，∴即，∵、是分別是整數(shù)部分和小數(shù)部分，∴，∴，故答案為：．46．閱讀以下材料：將分母中的根號化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一個適當?shù)拇鷶?shù)式，使分母不含根號．例如：，（1）將分母有理化可得；（2）關于的方程的解是．【答案】/【分析】本題考查二次根式分母有理化，及其規(guī)律探索，解方程，掌握二次根式分母有理化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解方程方法，找到有理化分母是解題關鍵．（1）根據(jù)材料進行分母有理化即可．（2）先分母有理化，再根據(jù)式子的規(guī)律化簡，解方程即可求解．【詳解】解：（1），故答案為：；（2），，，，，，，，故答案為：．47．我們知道，是無理數(shù)，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，但可以將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，例如：因為的整數(shù)部分是1，于是用來表示的小數(shù)部分．(1)的小數(shù)部分是______；若為的小數(shù)部分，則_______．(2)已知代數(shù)式的值為有理數(shù)，其中為的小數(shù)部分，為有理數(shù)，求：該代數(shù)式的值．【答案】(1)，(2)【分析】本題主要考查了估算無理數(shù)的大小，分母有理化；（1）根據(jù)算術平方根的定義估算和的大小，得出小數(shù)部分，進而代入代數(shù)式求得代數(shù)式的值；（2）估算的大小，確定的值，進而根據(jù)代數(shù)式的值為有理數(shù)，得出的值，再代入計算即可．【詳解】（1）解：∵∴∴的小數(shù)部分是∵為的小數(shù)部分，∴∴故答案為：，．（2）解：∵，即，∴∴，∴的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，∴，∵的值為有理數(shù)，為有理數(shù)，∴，∴∴．48．在進行二次根式運算時，我們有時會碰到形如，，的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：①；②；③；以上這種化簡的步驟叫做分母有理化，還可以用以下方法化簡：④；(1)請用不同的方法化簡：：a：參照③式得；b：參照④式得；(2)化簡；(3)化簡：（n為正整數(shù)）．【答案】(1)a：；b：(2)(3)【分析】（1）參照③式，④式，進行計算即可解答；（2）利用分母有理化先化簡各式，然后再進行計算即可解答；（3）利用分母有理化先化簡各式，然后再進行計算即可解答．【詳解】（1）解：a：參照③式得，故答案為：；b：參照④式得，故答案為：；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，平方差公式，分母有理化，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．題型九與二次根式有關的化簡求值49．設，，，……，．其中n為正整數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，先求出，然后把代數(shù)式進行化簡，再進行計算，即可得到答案．【詳解】解：∵n為正整數(shù)，∴＝＝＝＝＝；∴＝（1+）+（1+）+（1+）+…+（1+）＝2021+1﹣＝2021+1﹣＝．故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，解題的關鍵是用裂項法將分數(shù)化成，再化簡，尋找抵消規(guī)律求和．50．若三個實數(shù)，，滿足，且，則有：，則的值（

）A． B． C．2023 D．【答案】B【分析】結合所給的條件，把所求的式子進行化簡，再求值即可．【詳解】解：三個實數(shù)，，滿足，且，．故選：B．【點睛】本題主要考查二次根式的化簡求值，數(shù)字的變化規(guī)律，分式的加減法，解答的關鍵是理解清楚所給的條件．51．已知，，則代數(shù)式的值是；【答案】【分析】根據(jù)題中條件，利用二次根式性質(zhì)化簡，代入求值即可得到答案．【詳解】解：，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查代數(shù)式求值，熟練掌握二次根式性質(zhì)及運算法則是解決問題的關鍵．52．按如圖所示的程序計算，若開始輸入n的值為，則最后輸出的結果是．

【答案】【分析】本題考查了代數(shù)式求值，二次根式的乘法運算，無理數(shù)的估算．先把代入代數(shù)式得代數(shù)式的值為，再判斷與11的大小，直到計算結果大于11再輸出結果，從而可得答案．【詳解】解：當時，，由，所以不能輸出，當時，，由，∴輸出的結果是，故答案為：．53．先化簡，再求值：，其中．小亮：解：原式小芳：解：原式(1)____的解答過程是錯誤的；(2)先化簡，再求值：，其中．【答案】(1)小亮(2)，【分析】本題主要考查二次根式化簡求值，掌握二次根式化簡以及化去絕對值的方法是解題的關鍵．（1）先說明，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡原式可得，然后根據(jù)的符號去絕對值即可判斷小亮解法錯誤；（2）先說明，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡原式可得，然后根據(jù)的符號去絕對值，然后代入計算即可．【詳解】（1）解：小亮的解答過程是錯誤的，正確解答如下：，．．小亮的解答過程是錯誤的．（2）解：，，∴．原式．54．我們已經(jīng)學習了二次根式和完全平方公式，請閱讀下面材料：當時：又當且僅當時，．請利用上述結論解決以下問題：(1)當時，的最小值為______，此時______；(2)若，求y的最小值．【答案】(1)4，(2)y的最小值為【分析】本題考查了二次根式和完全平方公式的應用，讀懂題意，能熟練仿照示例是解題的關鍵．（1）根據(jù)示例，得到，即可求出x的值，得到最小值；（2）仿照示例，，得到最小值．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，即，當且僅當時，，解得，∴當時，的最小值為4，此時，故答案為：4，；（2）解：，∵，∴，∴，當且僅當，即時，的最小值為，∴y的最小值為．題型十二次根式的綜合應用55．在數(shù)學小組探究學習中，小華與他的小組成員遇到這樣一道題：已知，求的值．他們是這樣解答的：，，，即，，．請你根據(jù)小華小組的解題方法和過程，解決以下問題：(1)______；(2)化簡：；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)10(3)6【分析】本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．也考查了分母有理化．（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式計算；（2）先分母有理化，然后合并二次根式即可；（3）先分母有理化得到，移項后平方得到，再把原式變形為，接著利用整體代入的方法計算得到原式，然后再運用同樣方法計算即可．【詳解】（1）解：；故答案為：；（2）解：原式；（3）解：，，，，．56．經(jīng)實驗，一個物體從高處自由下落時，下落距離（米）和下落時間（秒）可以用公式來估計．(1)一個物體從米高的塔頂自由下落，落到地面需要幾秒？(2)一個物體從高空某處落到地面用了2秒，問物體下落前離地面高多少米？【答案】(1)5秒(2)米【分析】本題考查有關二次根式運算的運用：（1）將代入求解即可得到答案；（2）將代入求解即可得到答案；【詳解】（1）解：當米時，答：落到地面需要5秒；（2）解：當秒時，解得：，答：物體下落前離開地面米．57．某居民小區(qū)有塊形狀為長方形的綠地，長方形綠地的長為，寬AB為，現(xiàn)要在長方形綠地中修建一個長方形花壇(即圖中陰影部分)，長方形花壇的長為，寬為．(1)長方形的周長是多少？（結果化為最簡二次根式）(2)除修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為的地磚（假設地磚沒有損耗），要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費多少元？【答