2/216.3.2完全平方公式（第1課時完全平方公式）教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.

內(nèi)容本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方差公式的基礎(chǔ)上，研究第二個乘法公式，它是具有特殊形式的兩個多項式相乘得到的一種特殊形式，也是后續(xù)學(xué)習(xí)因式分解、分式運算的重要基礎(chǔ)。2.

內(nèi)容分析本節(jié)課是在學(xué)生掌握平方差公式的基礎(chǔ)上，聚焦于另一種特殊形式的多項式乘法——兩個相同二項式的乘積，通過規(guī)律提煉形成完全平方公式。該公式不僅是簡化特定整式乘法運算的重要工具，更是后續(xù)學(xué)習(xí)因式分解、分式運算等知識的關(guān)鍵基礎(chǔ)，其幾何背景的探究也進一步深化了學(xué)生對“數(shù)”與“形”聯(lián)系的理解，在代數(shù)知識體系中起到承上啟下的作用。基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點為：理解完全平方公式，了解完全平方公式的幾何背景。二、目標和目標解析1.

目標（1）理解完全平方公式，了解完全平方公式的幾何背景，能利用完全平方公式進行簡單的計算和推理。（2）經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，感受從特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)展符號意識和幾何直觀觀念。2.

目標解析（1）要求學(xué)生把握公式的結(jié)構(gòu)本質(zhì)：左邊是一個二項式的平方（(a+b)2或(a?b)2），右邊是三項式（a2+2ab+b2或a2?2ab+b2），需明確“首平方、尾平方、積的2倍在中央”的特征；同時，通過正方形面積的分割與組合直觀理解公式的幾何意義；在應(yīng)用層面，能識別符合公式特征的算式，準確代入計算，并進行簡單的代數(shù)式變形與推理。（2）學(xué)生需從具體實例出發(fā)，通過多項式乘法運算、觀察結(jié)果規(guī)律，歸納抽象出完全平方公式的一般形式，體會從特殊算式到普遍公式的提煉過程；在驗證公式時，通過幾何圖形的面積關(guān)系與代數(shù)表達式的對應(yīng)，感知數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，進而增強用符號表示數(shù)量關(guān)系的意識（符號意識）和借助圖形理解代數(shù)問題的能力（幾何直觀）。三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生可能出現(xiàn)的問題：一是混淆完全平方公式與平方差公式的結(jié)構(gòu)；二是計算(a±b)2時出現(xiàn)漏項或符號錯誤，誤寫成a2+b2或a2?b2；三是對公式中“a”“b”代表多項式時應(yīng)用困難，難以識別“首項”和“尾項”。應(yīng)對策略：教學(xué)中可通過對比(a+b)2與a2+b2的計算結(jié)果，結(jié)合幾何圖形強化對“2ab”項的理解；對于多項式形式的“a”“b”，采用換元法舉例，并設(shè)計分層練習(xí)從簡單到復(fù)雜逐步鞏固，減少結(jié)構(gòu)混淆與符號錯誤。基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為：能利用完全平方公式進行簡單的計算和推理。四、教學(xué)過程設(shè)計（一）復(fù)習(xí)引入問題1上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了多項式乘法的特殊形式：(a+b)(a?b)，得到了平方差公式，你能說一說平方差公式的內(nèi)容嗎？答符號語言(a+b)(a?b)=a2?b2.文字語言兩個數(shù)(式子)的和與這兩個數(shù)(式子)的差的積，等于這兩個數(shù)(式子)的平方差．問題2應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾個問題：(1)左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項相同，另一項相反；(2)右邊是相同項的平方減去相反項的平方；(3)公式中的a和b可以是數(shù)字，也可以是單項式或多項式．本節(jié)課，我們繼續(xù)研究多項式乘法的特殊形式：(a+b)(a+b).設(shè)計意圖：通過問題1引導(dǎo)學(xué)生回顧平方差公式的符號與文字表述，強化舊知記憶；問題2聚焦公式應(yīng)用要點，從結(jié)構(gòu)特征、結(jié)果形式等方面回顧公式應(yīng)用的注意事項。通過關(guān)系圖直觀呈現(xiàn)多項式乘法特殊形式的關(guān)聯(lián)，以平方差公式為鋪墊，自然引出本節(jié)課要研究的內(nèi)容，實現(xiàn)知識的連貫銜接。（二）合作探究探究計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）（p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1.（2）（m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+4m+4.（3）（p?1)2=(p?1)(p?1)=p2-2p+1.（4）（m?2)2=(m?2)(m?2)=m2-4m+4.追問1四個等式的左側(cè)有什么共同特征？答都是形如(a±b)2的多項式相乘.追問2四個等式的右側(cè)有什么共同特征？答都是兩項的平方和(a2+b2)加上(或減去)兩項乘積的二倍(2ab).追問3你能用符號語言描述這個規(guī)律嗎？答(a±b)2=a2±2ab+b2.問題3你能證明(a±b)2=a2±2ab+b2嗎？證明(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.證明(a?b)2=(a?b)(a?b)=a2?ab?ab+b2=a2?2ab+b2.追問你能用文字語言描述這個規(guī)律嗎？文字語言兩個數(shù)(式子)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍．歸納（乘法的）完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.(a?b)2=a2?2ab+b2.文字語言兩個數(shù)(式子)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍．思考你能根據(jù)圖中圖形的面積說明完全平方公式嗎？(a+b)2=a2+2ab+b2.(a?b)2=a2?2ab+b2.設(shè)計意圖：先讓學(xué)生計算具體的多項式乘法，通過追問引導(dǎo)觀察式子左右特征，自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再用代數(shù)運算證明完全平方公式，結(jié)合幾何圖形面積驗證，讓學(xué)生經(jīng)歷“特例探究—歸納猜想—邏輯證明—幾何直觀驗證”的過程，深度理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)、本質(zhì)，掌握公式推導(dǎo)方法，提升歸納推理、邏輯證明能力，借助幾何圖形滲透數(shù)形結(jié)合思想，強化對公式的直觀認知。（三）典例分析例3運用完全平方公式計算：(4m+n)2；(2)（y?12)2解(1)原式=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2；(2)原式=(y)2?2·(y)·12+(12)2=y2?y+例4運用完全平方公式計算：(1)1022；(2)992.解(1)原式=(100+2)2=(100)2+2×100×2+22=10000+400+4=10404；(2)原式=(100?1)2=(100)2?2×100×1+12=10000?200+1=9801.方法總結(jié)應(yīng)用完全平方公式計算時，應(yīng)注意以下幾個問題：（1）積為二次三項式；（2）積中兩項為兩數(shù)(式子)的平方和；（3）另一項是兩數(shù)(式子)積的2倍，且與乘式中間的符號相同；（4）公式中的a和b可以是數(shù)字，也可以是單項式或多項式.思考(a+b)2與(?a?b)2相等嗎?答相等，因為(?a?b)2=(?a)2+2·(?a)·(?b)+(?b)2=a2+2ab+b2=(a+b)2.(a?b)2與(b?a)2相等嗎?答相等，因為(b?a)2=b2?2ba+a2=a2?2ab+b2=(a?b)2.(a?b)2與a2?b2相等嗎?答不相等，因為(a?b)2=a2?2ab+b2≠a2?b2.設(shè)計意圖：通過例3，例4，讓學(xué)生掌握完全平方公式在不同形式下的應(yīng)用，精準識別公式中“a、b”代表的內(nèi)容，使學(xué)生學(xué)會靈活調(diào)用公式，解決復(fù)雜運算問題，深化對完全平方公式的理解與應(yīng)用。同時，培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范書寫解題過程的習(xí)慣，提升運算能力與邏輯思維。（四）鞏固練習(xí)1.下面的計算是否正確?如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正?(1)(a+b)2=a2+b2；(2)(a?b)2=a2?ab+b2；不正確，原式=a2+2ab+b2.不正確，原式=a2?2ab+b2.(3)(?x+y)2=x2+2xy+y2；(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2.不正確，原式=x2?2xy+y2.不正確，原式=4x2+4xy+y2.2.下列計算結(jié)果為2ab?a2?b2的是(D)A．(a?b)2B．(?a?b)2C．?(a＋b)2D．?(a?b)23.運用完全平方公式計算：(1)(x+6)2；(2)(y?5)2；(3)(?2x+5)2；(4)(34x?23y)解（1）原式=x2+2×6x+62=x2+12x+36.（2）原式=y2?2×5y+52=y2?10y+25.（3）原式=(?2x)2+2×5·(?2x)+52=4x2?20x+25.（4）原式=(34x)2?2·(34x)·(23y)+(23y)2=916x2?xy4.運用完全平方公式計算：(1)982；(2)70.52.解(1)原式=(100?2)2=(100)2?2×100×2+22=10000?400+4=9604；(2)原式=(70+0.5)2=(70)2+2×70×0.5+0.52=4900+70+0.25=4970.25.設(shè)計意圖：學(xué)完新知識后及時進行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強化學(xué)生對新知的記憶，加深學(xué)生對新知的理解，還可以及時反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補缺，幫助教師及時調(diào)整教學(xué)策略。歸納總結(jié)

（六）感受中考

1．（2025·山西）下列運算正確的是（

B

）A．2a+3b=5ab B．mC．(a-b)2=a2．（2025·廣東深圳）下列計算正確的是（

B

）A．a(chǎn)2+a4=a6 B．3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰）已知2a2-a-3=0，則(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2的值是（A．6 B．-5 C．-3 D．44．（2024·陜西）先化簡，再求值：x+y2+xx-2y，其中x=1解：x+y=