5.17質(zhì)量為m，半徑為r，質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC的圓柱形剛體，可在半徑為R的弧上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，形成圓弧滾擺，求滾擺運(yùn)動(dòng)的周期。演示質(zhì)量和半徑相同而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同的滾擺(例如實(shí)心圓柱和空心圓筒)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。[解析]如B5.17圖所示，設(shè)圓柱形滾擺質(zhì)心偏轉(zhuǎn)的角位移為Θ，自轉(zhuǎn)的角位移為θ，滾擺受到重力mg，圓弧的支持力N和摩擦力f。根據(jù)牛頓第二定律，滾擺質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程為(5.1)其中，s表示弧長(zhǎng)s=(R–r)Θ(5.2)根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理，滾擺繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的方程為(5.3)ΘRmgAfNB5.17圖CvCθrBDΘRmgAfNB5.17圖CvCθrBDx-yOrθ=RΘ(5.4)將(5.1)式乘以r，再加(5.3)式可得利用(5.4)式可得(5.5)當(dāng)r=0時(shí)，必有j=0，滾擺退化為質(zhì)點(diǎn)，可得(5.6)這是單擺的運(yùn)動(dòng)方程，圓弧半徑R是有效擺長(zhǎng)；ω0是圓頻率，ω02=g/R。在小角度的情況下，sinΘ≈Θ，可得(5.7)其中(5.8)可知：滾擺在小角度時(shí)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。滾擺小角運(yùn)動(dòng)的周期為(5.9)可知：在圓弧半徑一定的情況下，小角運(yùn)動(dòng)的周期與圓柱體的半徑和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)。半徑越小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量系數(shù)越大，小角運(yùn)動(dòng)的周期越長(zhǎng)。根據(jù)單擺周期的推導(dǎo)方法，可得滾擺的周期(5.10)或指明K(k)的表達(dá)式(5.11指明K(k)的表達(dá)式其中，Θm是偏角的角振幅。參數(shù)為k=sin(Θm/2)(5.12)T0是有效單擺的周期T0=2π/ω0(5.13)可知：滾擺的周期與角振幅有關(guān)，還與其半徑和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量系數(shù)有關(guān)。質(zhì)心的坐標(biāo)為xC=(R–r)sinΘ，yC=-(R–r)cosΘ(5.14)其中，x軸取向右的方向?yàn)檎?，y軸取向上的方向?yàn)檎?dòng)點(diǎn)D經(jīng)過(guò)弧的最低點(diǎn)A，相對(duì)圓柱心的坐標(biāo)為xr=-rsinθ，yr=-rcosθ(5.15)動(dòng)點(diǎn)D在直角坐標(biāo)系O-xy中的坐標(biāo)為x=xr+xC，y=yr+yC(5.16)[圖示](1)在兩個(gè)平行的圓弧上分別放置半徑和質(zhì)量相同的實(shí)心圓柱和空心圓筒，如P5_17a圖所示，初始偏角取60度。圓柱和圓筒的半徑r取圓弧半徑R的0.1倍。圓柱繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JC=0.5mr2，周期為1.27T0；圓筒繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JC=mr2，周期為1.48T0。由于圓筒的質(zhì)量分布在邊緣，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大，因此周期較長(zhǎng)。(2)圓柱和圓筒同時(shí)滾動(dòng)時(shí)，圓柱逐漸超前圓筒，某一時(shí)刻的位置如P5_17b圖所示。圓柱和圓筒邊緣的動(dòng)點(diǎn)軌跡是相同的，軌跡是圓內(nèi)的擺線。P5_17a圖P5_17b圖P5_17c圖P5_17d圖(3)圓柱和圓筒質(zhì)心的角位移和角速度如P5_17c圖所示，圓柱和圓筒都作周期性運(yùn)動(dòng)，但圓筒的周期要長(zhǎng)一些。(4)圓柱和圓筒圓周動(dòng)點(diǎn)的橫向位移和縱向位移如P5_17d圖所示。如果圓柱和圓筒的周期相同，它們動(dòng)點(diǎn)的位移曲線將重合。動(dòng)點(diǎn)相對(duì)懸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是動(dòng)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)與質(zhì)心相對(duì)懸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)合成的，所以動(dòng)點(diǎn)同時(shí)參與質(zhì)心的大周期運(yùn)動(dòng)和繞質(zhì)心的小周期運(yùn)動(dòng)。圓柱和圓筒的橫坐標(biāo)曲線有一些變形，大周期與質(zhì)心的周期相同?？v坐標(biāo)在最高點(diǎn)十分平緩，在最低點(diǎn)十分尖銳。動(dòng)點(diǎn)左右振動(dòng)1次，上下振動(dòng)2次。(5)如果取不同初始偏角，質(zhì)心角位移和角速度曲線以及動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)曲線都將發(fā)生改變(圖略)。[算法]取t*=ω0t為無(wú)量綱時(shí)間，(5.5)式可化為(5.5*)其中，r*=r/R，r*是圓柱半徑與圓弧半徑之比。取θ(1)=Θ，θ(2)=dΘ/dt*，可得，初始條件是θ(1)=Θm，θ(2)=0。質(zhì)心的角速度為其中，ω0為角速度的單位。取R為坐標(biāo)單位，則質(zhì)心坐標(biāo)可表示為xC=R(1–r*)sinΘ，yC=-R(1–r*)cosΘ(5.14*)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)可表示為x=R[-r*sinθ+(1–r*)sinΘ]，y=R[-r*cosθ-(1–r*)cosΘ](5.16*)其中θ=Θ/r*(5.4*)利用第一類完全橢圓積分，滾擺的周期可表示為(5.11*)其中m=sin2(Θm/2)(5.12*)[程序]P5_17.m如下。%不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的滾擺滾動(dòng)的動(dòng)畫(huà)clear,THETAm=input('請(qǐng)輸入滾擺角振幅的度數(shù):');%清除變量,鍵盤(pán)輸入角振幅(1)ifTHETAm>90,break,end%角振幅大于90度則中斷(2)THm=THETAm*pi/180;%化為弧度r=0.1;j1=0.5;j2=1;%圓柱的半徑,實(shí)心圓柱和空心圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(系數(shù))figure,plot([0;0],[0;-1.05],'-.')%建立圖形窗口,畫(huà)豎虛線title('不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的滾擺的周期性運(yùn)動(dòng)','fontsize',20)%顯示標(biāo)題axisequaloff,holdon,plot(0,0,'o')%不顯示坐標(biāo),保持圖像,畫(huà)懸點(diǎn)plot(exp(i*(linspace(-THm,THm)-pi/2)))%畫(huà)圓弧plot([0,sin(THm)],[0,-cos(THm)],'r--')%畫(huà)左連線plot([0,-sin(THm)],[0,-cos(THm)],'r--')%畫(huà)右連線txt0=['\it\Theta\rm_m=',num2str(THETAm),'\circ'];%角度文本text(-0.2,-0.1,txt0,'fontsize',20)%顯示文本xc=(1-r)*sin(THm);yc=-(1-r)*cos(THm);%圓柱質(zhì)心的起始坐標(biāo)th0=THm/r;x=-r*sin(th0)+xc;y=-r*cos(th0)+yc;%初始自轉(zhuǎn)角度,動(dòng)點(diǎn)初始坐標(biāo)a=linspace(0,2*pi);xr=r*sin(a);yr=-r*cos(a);%圓周的角度,圓柱相對(duì)柱心的坐標(biāo)cc1=fill(xr+xc,yr+yc,'y','erasemode','xor');%取實(shí)心圓柱的句柄cp1=plot([xc,x],[yc,y],'.-r','erasemode','xor');%取實(shí)心圓柱柱心的句柄cc2=plot(xr+xc,yr+yc,'k','LineWidth',2,'erasemode','xor');%取空心圓筒的句柄cp2=plot([xc,x],[yc,y],'.-r','LineWidth',2,'erasemode','xor');%取空心圓筒柱心的句柄T1=ellipke(sin(THm/2).^2)*2/pi*sqrt(1-r+j1);%用橢圓積分計(jì)算精確周期T2=ellipke(sin(THm/2).^2)*2/pi*sqrt(1-r+j2);%用橢圓積分計(jì)算精確周期txt{1}=['實(shí)心圓柱\itT\rm_1=',num2str(T1),'\itT\rm_0'];%圖例元胞txt{2}=['空心圓簡(jiǎn)\itT\rm_2=',num2str(T2),'\itT\rm_0'];%圖例元胞fs=16;text(-0.4,-0.3,txt,'fontsize',fs)%顯示單位pause,n=1;t=linspace(0,1);%暫停,無(wú)量時(shí)間取1,時(shí)間向量(3)th01=[THm,0];th1=[];w1=[];%實(shí)心圓柱的初始條件,角度和角速度置空th02=[THm,0];th2=[];w2=[];%空心圓筒的初始條件,角度和角速度置空while1%無(wú)限循環(huán)[tt,TH1]=ode45('P5_17fun',t,th01,[],r,j1);%計(jì)算實(shí)心圓柱偏角和角速度[tt,TH2]=ode45('P5_17fun',t,th02,[],r,j2);%計(jì)算空心圓筒偏角和角速度f(wàn)ori=1:length(tt)%按時(shí)間循環(huán)TH=TH1(i,1);xc=(1-r)*sin(TH);yc=-(1-r)*cos(TH);%實(shí)心圓柱偏轉(zhuǎn)角和質(zhì)心坐標(biāo)th=TH/r;x=-r*sin(th)+xc;y=-r*cos(th)+yc;%自轉(zhuǎn)角度和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)set(cp1,'xdata',[xc,x],'ydata',[yc,y])%設(shè)置柱心的坐標(biāo)set(cc1,'xdata',xr+xc,'ydata',yr+yc)%設(shè)置圓柱的坐標(biāo)TH=TH2(i,1);xc=(1-r)*sin(TH);yc=-(1-r)*cos(TH);%空心圓筒偏轉(zhuǎn)角和質(zhì)心坐標(biāo)th=TH/r;x=-r*sin(th)+xc;y=-r*cos(th)+yc;%自轉(zhuǎn)角度和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)set(cp2,'xdata',[xc,x],'ydata',[yc,y])%設(shè)置柱心的坐標(biāo)set(cc2,'xdata',xr+xc,'ydata',yr+yc)%設(shè)置圓筒的坐標(biāo)drawnow%刷新屏幕end%結(jié)束循環(huán)th1=[th1;TH1(:,1)];w1=[w1;TH1(:,2)];%連接實(shí)心圓柱角度和角速度th2=[th2;TH2(:,1)];w2=[w2;TH2(:,2)];%連接空心圓筒角度和角速度ifget(gcf,'CurrentCharacter')==char(27)break;end%按ESC鍵則中斷循環(huán)n=n+1;%無(wú)量綱時(shí)間加1th01=TH1(end,:);th02=TH2(end,:);%取實(shí)心圓柱和空心圓筒新的初始條件end%結(jié)束循環(huán)xc=(1-r)*sin(th1);yc=-(1-r)*cos(th1);%實(shí)心圓柱質(zhì)心的坐標(biāo)th=th1/r;x1=-r*sin(th)+xc;y1=-r*cos(th)+yc;%自轉(zhuǎn)角度和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)xc=(1-r)*sin(th2);yc=-(1-r)*cos(th2);%空心圓筒質(zhì)心的坐標(biāo)th=th2/r;x2=-r*sin(th)+xc;y2=-r*cos(th)+yc;%自轉(zhuǎn)角度和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)plot(x1,y1,x2,y2)%畫(huà)動(dòng)點(diǎn)軌跡t=linspace(0,n,n*100);figure,subplot(2,1,1)%總時(shí)間向量,創(chuàng)建圖形窗口,選子圖plot(t,th1*180/pi,t,th2*180/pi,'--','linewidth',2)%畫(huà)角位移曲線xlabel('\it\omega\rm_0\itt','fontsize',fs)%x標(biāo)簽ylabel('\it\Theta\rm/\circ','fontsize',fs)%y標(biāo)簽title('不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的滾擺質(zhì)心的角位移','fontsize',fs)%標(biāo)題legend('圓柱','圓筒'),gridon%加圖例,加網(wǎng)格text(0,0,'\itT\rm_0=2\pi(\itR/g\rm)^{1/2}','fontsize',fs)%周期單位subplot(2,1,2),plot(t,w1,t,w2,'--','linewidth',2)%選子圖,畫(huà)角速度曲線xlabel('\it\omega\rm_0\itt','fontsize',fs)%x標(biāo)簽ylabel('\it\Omega/\omega\rm_0','fontsize',fs)%y標(biāo)簽title('不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的滾擺質(zhì)心的角速度','fontsize',fs)%標(biāo)題legend('圓柱','圓筒'),gridon%加圖例,加網(wǎng)格text(0,0,'\it\omega\rm_0=(\itg/R\rm)^{1/2}','fontsize',fs)%角速度單位figure,subplot(2,1,1)%創(chuàng)建圖形窗口,選子圖plot(t,x1,t,x2,'--','linewidth',2),gridon