南京市2026屆高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研

數(shù)學(xué)2025.09

注意事項(xiàng):

1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分15()分,考試形式閉卷

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分

3.答題前,務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5亳米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=牛的實(shí)部為

A.-1B.1C.-iD.i

2.有一?組樣本數(shù)據(jù)1,2,2,2,3,5,去掉1和5后，相較于原數(shù)據(jù)不變的是

A.平均數(shù)B.極差C.方差D.中位數(shù)

3.已知（JWR,若集合M={0，a},N={-2,0，l},則〃是"MGN〃的

A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.a-1)6的展開式中./的系數(shù)為

A.-20B.-15C.15D.20

5.要得到函數(shù)y=3,2"的圖象，只需將函數(shù).y=2'的圖象

A.向左平移10g23個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移10g23個(gè)單位長(zhǎng)庚

C.向上平移logz3個(gè)單位長(zhǎng)度D.向下平移log??個(gè)單位長(zhǎng)度

6.設(shè)等比數(shù)列回J的前〃項(xiàng)和為S.若S2=2,S4=6,則a5+a6=

A.8B.10C.14D.18

7.已知點(diǎn)A(T,1),8(3,3),線段/W為。M的一條直徑.設(shè)過點(diǎn)(C(2,7))且與。M相切的兩條直線

的斜率分別為/的斜2,則的十%=

A.-1B?號(hào)CtD1

8.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如星形線等.某星形線如圖所示，已知該曲線上一點(diǎn)

戶(%090)的坐標(biāo)可以表示為(Qcos3。，as出3。)(公0),若久0丫0=冷，且Xo+yo=g,則

JL4n0

A.42D.V5

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.若aVbVO,則

A.a2<b2B.->7C.ln(b-a)>0D.a3Vb3

ab

10.已知向量Q=(2>4),b==(3，3),則下列說法正確的是

A.若片1,則(a-c)團(tuán)bB.若a\\b,則m=當(dāng)

C.。在c上的投影向量為cD.|b-c||的最小值為近

11.已知函數(shù)/■(%)=Vlx+1I-VIx-1IJIJ

A./(-v)+/1W=O

B./(x)在((T,1)上單調(diào)遞減

C./(x+l)-/(x)<V2

D.g(x)=/(%)-sinx在(T,1)上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

22]

12.已知橢圓—+Z=1的離心率為W則實(shí)數(shù)m=____.

m+2m-12

13.iB,△ABC的內(nèi)角A13,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若B==4,bsinA=1,則b=___.

t4

14.已知球。的半徑為3,P,。是球面上兩點(diǎn)，過P,。的平面與球面的交線為圓內(nèi),且P,。,。，(01

四點(diǎn)不共面.若平面PQ0與平面PQO的夾角為60。,，則平面PQOOi體積的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)袋中有8個(gè)大小相同的球，其中有3個(gè)黃球、5個(gè)白球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取2次，每次

取1個(gè)球.

(1)若每次抽取后都放回，設(shè)取到黃球的個(gè)數(shù)為X,求P(X>1);

(2)若每次抽取后都不放回，設(shè)取到黃球的個(gè)數(shù)為匕求丫的分布列和數(shù)學(xué)期望.

16.(15分)對(duì)于數(shù)列｛與｝,記△即=an+1-an.neN*,稱數(shù)列｛△W｝為數(shù)列S"的差分?jǐn)?shù)列?

(1)已知冊(cè)=污+九+1,證明：｛冊(cè)｝的差分?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列；

(2)已知｛Q7J的差分?jǐn)?shù)列為產(chǎn)：2n+l]=],求｛Q九｝的通項(xiàng)公式

17.(15分)如圖，直三棱柱四C-LB1Q中,M,N分別為AB和.的中點(diǎn).

⑴證明：MN〃平面

⑵若AC=2yf2,AB=2?乙ACB=90。,MN1求aC與平面CMN所成角的正弦值.

AB

18.(17分)已知雙曲線C：/_y2=Q2(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為0,尸2,且|a尸2|=4.過巳的直

線/與。交于A，8兩點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)若A,8均在C的右支上，且△48F1的周長(zhǎng)為16>/2?求/的方程；

(3)是否存在x軸上的定點(diǎn)M,使得拓？?而為定值?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

19.(17分)已知函數(shù)/(x)=ln(a%)+：+。(％-1),其中aWO.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，若直線y=r+匕是曲線y=/(x)的一條切線，求〃的值;

(2)討論/⑺的單調(diào)性；

(3)若集合｛xIf(x)Vl,xWZ｝中有且僅有一個(gè)元素，求。的取值范圍.

南京市2026屆高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研

數(shù)學(xué)答案詳解2025.09

注意事項(xiàng)：

L本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分15()分,考試形式閉卷

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分

3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用().5亳米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知，?是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)Z=上上的實(shí)部為

I

A.-\B.1C.~iD.i

【答案】答案8

【答案解析】z=T,實(shí)部為1,選8.

2.有一組樣本數(shù)據(jù)1,2,2,2,3,5,去掉1和5后，相較于原數(shù)據(jù)不變的是

4平均數(shù)8.極差C方差D中位數(shù)

【答案】。

【答案解析】去掉1,5,中位數(shù)不變，選D

3.已知(若集合M={0，a},N={-2,0，1},則定"MGN”的

A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【答案解析】(。二1時(shí)，MUN,充分；MQN時(shí)，折1或-2,,不必要，選A

4.(%-1)6的展開式中./的系數(shù)為

A.-20B.-15C.15D.20

【答案】C

6rr2422

【答案解析】0―1尸展開式第rH項(xiàng)Tr+1=C^x-(-l),r=4,T5=C^x(-1)=15x:.x

的系數(shù)15,選C.

5.要得到函數(shù)y=3-2'的圖象，只需將函數(shù).y=2"的圖象

人向左平移low3個(gè)單位長(zhǎng)度從向右平移2。出3個(gè)單位長(zhǎng)度

C向上平移!。。23個(gè)單位長(zhǎng)度D.向下平移］。出3個(gè)單位長(zhǎng)度

【答案】答案A

xlox

【答案解析】y=3-2=2^2=2"'。比3,將y=2、向左平移log233個(gè)單位，選4.

6.設(shè)等比數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為Sn，若S2=2,S4=6,則a5+a6=

A.8R10C14D18

【答案】A

【答案解析】等比數(shù)列｛即｝中，S2，S4-S2，S6-S4成等比數(shù)列

???2,4,S6-S4成等比數(shù)列，56-$4=8=+。6,選A.

7.已知點(diǎn)A(-1,1),8(3,3),線段AB為。M的一條宜徑.設(shè)過點(diǎn)(C(2,-1))且與。M相切的兩條直線

的斜率分別為/klfk2Mk^k2=

.3?2c2c3

A.--B.--C.-D.-

2332

【答案】。

【答案解析】OM:(x4-l)(x-3)+(y-l)(y-3)=0,即(x-l)2+(y-2)2=5

過C的切線設(shè)為：尸14(廠2),即kx-y-2k-l=O,1^"2^11=V5

vfc2+l

:.2k2-3k-2=0，h+k2=選D.

點(diǎn)評(píng)：兩點(diǎn)為直徑的圓，第一時(shí)間求出圓心和半徑，然后過一個(gè)點(diǎn)作切線，先設(shè)出直線斜率，用

點(diǎn)到直線距離公式得到關(guān)于攵的方程，韋達(dá)定理即可求出斜率之和。

8.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如星形線等.某星形線如圖所示，已知該曲線上一點(diǎn)

33

P(x()，yo)的坐標(biāo)可以表示為(acos0>asineXa)O)t若xQy0=且xQ+y0=

則a=

A.^2D.V5

【答案】D

3333

【答案解析】xoyo=acos0asin0=cos9sin6=~,cosOsinO=

1251255

=

取cosO=咚,stn8=畔,%°+y0a=選D.

點(diǎn)評(píng)：創(chuàng)新題，列方程解方程問題，解三角函數(shù)值，難度不大，計(jì)算量也不大啊，要第一時(shí)間

知道正余弦乘積為5分之2時(shí)候，兩個(gè)值分別為多少。

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若aV〃V0,則

4a2Vb2B.->-C.In(b-ci)>0D.a3<b3

ab

【答案】BD

【答案解析】a<b<0,a2>b2,A錯(cuò).

11b-a、八1、1

--------=——>0,???->-8對(duì).

ababab

爐-1,片-2時(shí)，ln(b-a)=0,C錯(cuò).

32233

a^-b=(a-b)(a+ab+b)VO,即a<b,D對(duì)，選BD.

10.已知向量a=(2,4),b=(n]),c=(3，3),則下列說法正確的是

4.若加二1,則(a-c)助B.若a\\b,則m=當(dāng)

C.a在c上的投影向量為cD.\b-c\\的最小值為V7

【答案】ACD

【答案解析】d-c=(一1，l),m=1,5=(1，1),(五一為_L邑4對(duì).

a||b,Jl!>J—=4m,m=±—,B錯(cuò).

m2

即6在1上的投影向量己C這.c=^c=c,

18

(h—3)=(TH-37+——6m+9+—+9=(m+'—3)4-7>7

???Ib-clmin=47,。對(duì)，選ACO.

點(diǎn)評(píng)：向量，有坐標(biāo)的計(jì)算量不會(huì)太大的，平行垂直加減即求模就是向帚?？键c(diǎn)。

11.已知函數(shù)/(x)=Vlx+1I-VIx-1I,則

4./—)共)=0

B./(x)在((-1,1)上單調(diào)遞減

C.f(x+1)-/(x)<V2

D,g(x)=f(%)-siwc在(T,1)上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)

【答案】ACD

【答案解析】方法一：f(-X)=VI-X+1I-VI-X-1|=VIX-1I-VIX+1|=一/G)

m+fM=04對(duì).

T4V1時(shí)，/'(%)=77不1一萬方在(T,1)單調(diào)遞增，3錯(cuò).

6(%)=/(%+1)-/(%)=VIX+214-VIX-1I-VIXI-VIx+1

/i(—1—x)=7\—x+1|+VI-2—x\—Vl~x-1|-VII

=VIx-1|4-VIx4-2|-Vlx+1|-VIx|=hM,h(x)關(guān)于x=對(duì)稱

—1<x<0時(shí)，h(x)=V%+2+Vl-x—7—x—Vx+1

如)=高一品十泰一品>0/⑴在(T°)單調(diào)遞增

0<x<1時(shí)，h(x)=0%+24-V1—x—>[x—>lx+1,

九口)=煮一品一泰一島iV0MD在(°，D單調(diào)遞減

x>1時(shí)，h(x)=Vx4-2+y/x-\—y[x—yjx+1=,——1，_:-廠\-----<0

Vx+2+vx+lVx+Vx-1

hMmax=九(°)=短，力(%)與應(yīng)0對(duì).

-1VxV1時(shí)，/(x)=Vx+1—Vl—x,g{x)—Vx+1—V1—x—sinx

g'G)二冊(cè)一品一cos%=看+點(diǎn)一COSX

g"(x)=一[(x+1)-5+((1-x)~z+sinx,0<rVI時(shí)，g''Cv)>0,g'(x)單調(diào)遞增

/(1)>/(0)=0,屋工)在(0,1)單調(diào)遞增,且G)為奇函數(shù)，???gG)在單調(diào)遞增

g(0)=(),.?.g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0,D對(duì)，選4CD.

方法二：/(-%)=VIX-1I-VIX+1|=-f(x),:./(-x)+/(%)=0,A正確.

對(duì)于8,當(dāng).xW(-l，l)時(shí)，f(x)=>％+1--x,y=W+1為增函數(shù),y=71-%為減函數(shù),

?力(外為增函數(shù)，B錯(cuò).

\J-X-\-V1-X,X<-1,/(X)/

/*)="dx+1-V1-x,-l<x<l,/(x)/

Jx+1-7x-l,x>l,/(x)/

對(duì)于C,

作出/(x)的大致圖象如下:

當(dāng)；I?與x+1一個(gè)在1左邊一個(gè)在1右邊或兩者均)之1時(shí)，顯然/(x+1)-/(x)Va,當(dāng)X與x+1均

在［T,l］之間時(shí)，易知/(x)在［［T,0］］或［0,1］上增速越來越大，A/(%+1)-/(A)</(I)-

/(0)=或,C正確.

對(duì)于。，首先8(0)=0,,接著先考察8(%)在(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

當(dāng)（o，i）時(shí)，g(x)=Vx+1-vl-%-sinx,g'(x)=元商?十研發(fā)-cos%>°

???g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，???ga)>g(O)=O,???gG)在(0,1)上無零點(diǎn)

由g（x）為奇函數(shù)，（（T,0）上也無.正確，選：ACD.

點(diǎn)評(píng)：計(jì)算量難度都大，但是得分是容易的，AB選項(xiàng)都容易判斷，C。選項(xiàng)判斷起來不是那么的

容易，需要一步一步的推導(dǎo)。

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知橢圓-^―+-^―=1的離心率為則實(shí)數(shù)m=_.

m+2m-12

【答案】10

【答案解析】Q?=m+2,b2=m—1,C2==-,-，?m=10.

azm+24

x

73在（o，|）單調(diào)遞增，（|《）單調(diào)遞減，fMmax=/（|）=7,Vmax=y^=|-

方法二：。。1io。1，過。1作01M團(tuán)PQ于點(diǎn)M,連接OM

:.乙OMOi=60°,設(shè)PQ=2m,0rM=n,OM=2n,OOr=Wn

=>m2+4n2=9,VQ=----2m?n?V3n=—mn2=今m(9—7n2),?ne(0,3

P0032312

記f(m)=機(jī)(9-m2),/2(m)=m2(9-m2)2=1?2m2(9-m2)(9-m2)

<^(Y)3=1。8(巾=6時(shí)取“二”)

???f(m)<6①入。。］<^|x6V3=|.

點(diǎn)評(píng)：立體幾何無難題，大概柱象一下圖形，然后畫出草圖，根據(jù)草圖找各個(gè)量的關(guān)系式，最終構(gòu)造

函數(shù)，求函數(shù)的最值。

.記，△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為《若

134BC4,B,C6,c,B=4=4,bsinA=1,?Jb=

【答案】

［錘子數(shù)學(xué)解析】bsinA=asinB=1,:.a=V2,b2=a2+c2-2accosB

=2+16-2-V2-4-=10,b=V10.

14.已知球。的半徑為3,P,。是球面上兩點(diǎn)，過P,。的平面與球面的交線為圓。1，日.P,。,O,（。1

四點(diǎn)不共面.若平面PQOi與平面尸。。的夾角為（60。,，則平面PQOOi體積的最大值為.

3

【答案】2

［解析】方法一：取PQ中點(diǎn)M,則平面.PQOi與平面PQ。夾角為NOMOI=60。

令OiM=￡,則001=>/3t,OM=2t,PQ=2,9-4必

S必PQ=”,249-4"=tV9-4t2

V=--V3t-V9—4t2=—V9t4—4t6

33

3

22

令f(%)=9x-4%3/(X)=18%-12x=0,x=0或-

2

/G）在（0，|）單調(diào)遞增.（|，3單調(diào)遞減.fMmax=f（|I=Vmax

V3373_3

X——■

322

方法二：。。1_LO。］,過3作1PQ于點(diǎn)何，連接0M

NOM。1=60°,設(shè)PQ=2m,0M=n,OM=2n,00=y!3n

xr

=>巾2+4H2—9,.../Q0O]=W2m?n-V3n=4mn2=—m(9-m2>),mE(0,3

記f(jn)=m(9—7n2),/2(m)=TH2(9—m2)2=1?2m2(9—m2)(9—m2)

3

<|(y)=108(m=V5時(shí)取)

f(m)<6但.??/Qooi<fX6V3=|.

點(diǎn)評(píng)：立體幾何無難題，大概想象一下圖形，然后畫出草圖，根據(jù)草圖找各個(gè)量的關(guān)系式，最終構(gòu)

造函數(shù)，求函數(shù)的最值。

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)袋中有8個(gè)大小相同的球，其中有3個(gè)黃球、5個(gè)門球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取2次，每次

取I個(gè)球.

⑴若每次抽取后都放回，設(shè)取到黃球的個(gè)數(shù)為X,求P(X>1);

⑵若每次抽取后都不放回，設(shè)取到黃球的個(gè)數(shù)為匕求丫的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案解析】

⑴每次取到黃球的概率為i3???P=1—V=-39.

8\8/64

(2)丫的所有可能取值為()，1,2

p”=o)*=Q(y=i)=等4"=2)一號(hào)

?』的分布列如下:

Y012

5153

P

142828

15,63

E(Y)=------1------=~.

28284

16.(15分)對(duì)于數(shù)列｛aJ記△Qn=an+1-an,nEN*,稱數(shù)列｛△冊(cè)｝為數(shù)列｛an｝的差分?jǐn)?shù)列.

(1)已知。"二小+幾+i,證明：｛的J的差分?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列;

已知｛｝的差分?jǐn)?shù)列為｝,四=求｛即｝的通項(xiàng)公式.

(2)an:；：：71,

【答案解析】

22

(1)△an=an+1-an=(n4-1)+(n+1)4-1-n-n-1=2n+2

△斯+1-△Qn=2幾+4—(2/+2)=2為常數(shù)，:.{△為等差數(shù)列.

⑵由題意知冊(cè)+】一冊(cè)=焙產(chǎn)=2+7/=2+工一9

"n*+nn(n+l)nn+1

-aa

n>2時(shí)，an=an-an^+an_i-an_2+4-a2i+i

=2(n-1)+---+—.........—+-+1--+1

n-lnn-2n-12

=2n-2+2—^=2n—而a1=1也滿足上式，???an=2n-§

17.(15分)如圖，直三棱柱A8C—4i8】G中，分別為A8和.當(dāng)口的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面ACC1&;

⑵若AC=2五,AB=2?乙ACB=90。,MN_1力道,求4c與平面CMN所成角的正弦值.

G

【解析】

（1）證明：取AC中點(diǎn)G,連接MG,GG,YM為AB的中點(diǎn).

J.MG=-BC,又?；N為B13中點(diǎn)，；.GNLLBCI：,MG』=C\N

2

，四邊形MGGN為平行四邊形，MNIIGG,；MNuh[BjACC^,CXGuu金|ACCYAV

MN\\I/?uuCCi&

(2)由⑴知66，&。".41+42=90°且乙2+乙3=90°,.,.乙1=43??必。10；

??霆=1="I=2.

如圖建系,802,???Ai(2企,0,2),C(0,0,0),M(V2,1,0),^(0,1,2)

西=（2魚,0,2）,CM=（&，1，0）,麗=（0,1，2）

設(shè)平面CMN的一個(gè)法向量五=（%，”2）,右。與平面CMN所成角為〃

「?{”產(chǎn)=。=/（2,—2也偽

y+2z=0

.\CAn6\/2

'Smnd=^\v=U^=—

點(diǎn)評(píng)：第二問C1G與A1C垂直可使用相似進(jìn)行解決，接著建系就好處理了，當(dāng)然也可以上來就

建系，本題難度不大，但有一定計(jì)算量，在寫坐標(biāo)和計(jì)算上要特別注意.

18.(17分)已知雙曲線C:x2-y2=a2(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為&'，且I尸出1=4.過F2的

直線/與。交于A,3兩點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)若A,8均在。的右支上，且的周長(zhǎng)為16企,，求/的方程；

(3)是否存在了軸上的定點(diǎn)M,使得為心而為定值?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

【解析】

(1)由題意知C=2,2Q2=4=Q=&,?，?雙曲線。的方程為：y-y=1.

(2)由△48尸1周長(zhǎng)=4尸2+261+8廣2+20+48=4或+248=16四,二48二6或

設(shè)直線/的方程為.x=my+2,其中?-1<m<1,4(%1，%),8(%242)

x=my^2,)))

<=>(-1)y'+4my4-2=0,A=16W-8(W-1)=8(W+1)

x-y=2

力八歷落瓦-%|=S7版.斗宴口=也孕=6五=加=±且

11\m2-\\1一〃/2

工直線/的方程為V2x±y-2V2=0.

(3)假設(shè)存在這樣的M(30)滿足題意

???MA?MB=(%i—t*yi)?(%2一￡，為)=(%一￡)(皿一￡)+力力

22

=O%+2-t)(my2+2-￡)+y1y2=(m+1)%為+巾(2—￡)(%+曠2)+(2-O

=(巾2+1)--^―+m(2-t)-+(2-t)2

(4t-6)7n2+z

+(2-t)2為定值

m2-l

...竺三=g=t=L，存在M(I,O)滿足瓦5?麗為定值-1.

點(diǎn)評(píng)：第二問以焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為背景展開，本質(zhì)上就是個(gè)弦長(zhǎng)問題，在將條件轉(zhuǎn)化為已知AB