2024?2025學(xué)年八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷（培優(yōu)卷）

【人教版】

參考答案與試題解析

第I卷

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

I.（3分）（24-25八年級?福建二明?期末）下列各式計算正確的是（）

A.專二遮B.V2+A/3=V5C.通+魚=3D.（2⑹'=12

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式的分母有理化、二次根式的加法、乘除法，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵.根

據(jù)二次根式的分母有理化、二次根式的加法、乘除法法則逐項判斷即可得.

【詳解】解:A、強=乎，則此項錯誤，不符合題意：

B、企與舊不是同類二次根式，不可合并，則此項錯誤，不符合題意；

C、通+&=百，則此項錯誤，不符合題意；

D、（2遍J=12,則此項正確，符合題意；

故選：D.

2.（3分）（24-25八年級?四川成都?期末）如圖，以點。為圓心，以0戶的長為半徑畫弧，交x軸的負半

軸于點4若點力的坐標(biāo)為（一5立,0）,尸點的縱坐標(biāo)為一1,則P點的坐標(biāo)為（）

加

~O^x

P\

A.（-7,-1）B.（7,-1）C.（-后，-1）D.（V51,-1）

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

由點力的坐標(biāo)為（一5口,0）,得至11。4=5a，過。作PBJ.X軸于以設(shè)P（m,—1）,根據(jù)勾股定理即可得

到結(jié)論.

【詳解】解：???點4的坐標(biāo)為（一5口,0）,

/.OA=5x/2,

過戶作PB_Lx軸于4,

設(shè)P(m,-1),

:.OB=-m,PB=1,

?；OP=0A=5V2,

OB=VOP2-PB2=V50-1=7,

故選：A.

3.（3分）（24-25八年級?四川綿陽期末）如圖，在四邊形A3C0中，CD\\AD,AM平分心ZMD交于中

點M,點N在邊AB上,且CNim。，若BN=2AN,AB=6,則A。=（）

【答案】A

【分析】如圖，設(shè)4M交CN于點0,取CN的中點人連接M/,證明0/=0N=AN=2,推出CN=8,

再證明AD=CN即可.

【詳解】解：如圖，設(shè)4M交CN于點0,取CN的中點人連接即，

???AN=2,BN=4,

?:M是BC的中點，/是CN的中點,

/.CM=MB,CJ=JN,

JM||BN,JN=：BN=2,

MJ=AN,

???MJIIAN,

Z.OMJ=LOAN,

在A40NMOJ中，

(4/ION=乙MO]

IZ.OAN=“MJ,

(AN=MJ

??.△HON三△MO/(SAS),

???OJ=ON,

vAD||CN,CDIIAB,

???四邊形4DCN是平行四邊形，

:.AD=CN,

???AM平分2048,

:.Z.DAM=乙MAB,

-AD||CN,

:.￡DAM=乙AON,

???Z.MAB=/.AON,

ON=AN=2,

CJ=]N=4,

AD=CN=8.

故答案為：A.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分

線的定義，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等.三角形解決問題.

4.13分)(24-25八年級?浙江?期末)已知直線"的解析式為月=依-3)3+匕直線1的解析式為=一—+

3-/c,M(m,a)在直線I1上，N(m,b)在直線%上，下列說法正確的是()

A.若k>3,m>—1,則a〉匕B.若kV0,m<-1,則a<b

C.若k>3,m>-1,則a<bD.若kV0,m>-1,則a>b

【答案】A

【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)與一元一次不等式的美系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.由兩直

A.方差是0B.中位數(shù)是95分C.眾數(shù)是5人D.平均數(shù)是90分

【答案】B

【分析】本題考查條形統(tǒng)計圖，中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)，方差.根據(jù)條形統(tǒng)計圖的數(shù)據(jù)對各項逐項進行計算

即可.

【詳解】解：根據(jù)條形統(tǒng)計圖，將這10個數(shù)從小到大排列如下：

85,90,90,90,95,95,95,95,95,100,

則中位數(shù)為誓=95,

95出現(xiàn)了5次，最多，眾數(shù)為95,

平均數(shù)為彌854-90x3+4-95x5+100)=93,

222

方差為焉x[(85-93尸+3x(90-93)+5X(95-93)+(100-93)]=16,

觀察四個選項，B選項符合題意，

故選：B.

6.(3分)(24-25八年級?四川瀘州?期末)如圖,在矩形力8C0中，對角線4C,8。相交于點。，AE1BDt

垂足為E,AE=3,ED=3BE,則CZ)的長為()

A.6B.5C.3V3D.273

【答案】D

【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30。角的直角三角形的性質(zhì).由在矩形

A8CD中，ED=3BE,易證得△是等邊三角形，繼而求得MAE的度數(shù)，由△是

等邊三角形，求出2區(qū)4￡的度數(shù)，又由｛E=3,求得/IB的長即可.

【詳解】解：???四邊形ABC。是矩形，

：.OB=OD,OA=OC,AC=BD,AB=CD,

：.OA=OB,

???ED=3BE,

：,BE=-OB,

2

*：AELBD,

:?AB=OA,

OA=AB=OB,

即A04B是等邊三角形，

：,z.ABD=60°,/-BAE=30°,

V/1E1BD,AE=3,BE=^AB,BE2+AE2=AB2,

+32=AB2,

：.AB=2V3,

.\CD=2V3,

故選：D.

7.(3分)(24-25八年級?江西景德鎮(zhèn)?期中)如圖，直角三角形力BC的兩直角邊8。、AC分別與x軸、y

軸平行，且力C=BC=1,頂點4的坐標(biāo)為(1,2),若某正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點8,則此正比例函數(shù)的表

【答案】A

【分析】本題考查了求正比例函數(shù)的解析式，正確求出點B的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.先求出點8的坐標(biāo)，再利用

待定系數(shù)法求解即可得.

【詳解】解：???直角三角形A8C的兩百角邊AC與y軸平行，且AC=1,頂點A的坐標(biāo)為(1,2),

又???直角三角形ABC的兩直角邊8c與％軸平行，且8c=1,

???8(2,1),

設(shè)這個正比例函數(shù)的表達式為y=kx(k豐0),

將點8(2,1)代入得:2k=1,

解得k=g

則這個正比例函數(shù)的表達式為y=

故選：A.

8.（3分）（24-25八年級?遼寧鞍山?期末）如圖，學(xué)校在校園圍墻邊緣開墾一塊四邊形菜地ABCD,測得

12m,CD=8m,AD=17m,且NABC=90°,這塊菜地的面積是

1

/

A.48m2B.114m2C.122m2D.158m2

【答案】B

【分析】在△48。中，利川勾股定理求出4c的長,再由勾股定理逆定理判斷△力。。的形狀，日三角形面積

公式求得菜地的面積.

【詳解】解:連接AC

在△48。中，Z.ABC=90%AB=9m,BC=12rn,，

AC=4AB2+BC2=J92+122=15(m)

在A4CD中，CD=8m,AD=17m,

AC2+CD2=64+225=289,AD2=172=289

:.AC2+CD2=AD2

JAACD是直角三角形，且44CD=90°.

‘S四邊形'BCD=S/U8C+S&ACD=2AB,BC+\AC?CD=1x9xl2+1x8x15=114（m2）

???這塊菜地的面積是114m2

故選：B

1.._1

t點暗】本題考查勾股定理以及勾股定理逆定理的應(yīng)用，四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)

知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

9.（3分）（24?25八年級?河南周口?期末）正方形4$道1。，4282c2g,A383c3c2,…按如圖所示的方式

放置，點41，小，…和點Ci，C,C3,…分別在直線y=x+l和X軸上，則點球024的縱坐標(biāo)是（）

A2,2

A.22024B.22023c.22024+1D.22023+1

【答案】B

【分析】本題考查?次函數(shù)與幾何綜合和正方形性質(zhì)，由題意可得出、的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)點

48”4,A2,

心,…在直線y=x+l上和正方形性質(zhì)，推出點4,A2,A3,人的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)找出點的坐標(biāo)規(guī)律為4

的坐標(biāo)為（2-1利用規(guī)律表示出力2。24的坐標(biāo)，即可解題.

【詳解】解:由題知,四邊形4產(chǎn)1c“T為正方形，

無軸，即力“、時的縱坐標(biāo)相同，

當(dāng)黑=0時,y=0+1=1,即4（0,1）,

.%OAX=1,則0g=。41=1,

當(dāng)x=l,時，y=1+1=2,

的坐標(biāo)為（1,2）,

同理可得力3的坐標(biāo)為（3,4）,4的坐標(biāo)為（7,8）,

???人的坐標(biāo)為（2”一1一1,2吁1）,

???42。24的坐標(biāo)為（22°23—1,22023）,

二點§2024的縱坐標(biāo)是22°23,

故選：B.

10.（3分）（24-25八年級?浙江臺州?期末）如圖，是一個軸對彌圖形，由一個矩形和三個全等菱形拼接而

成，其中ZCED=NCF8=90。，則矩形的一組鄰邊之比為（

c

@1

rD.業(yè)

■2

【答案】A

【分析】連接BC,AB,在CM取點P,使BM=PM,連接8戶，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出"CN=乙FCM,CN=

CM=^MN,AG=AH=^GH,證明AH=BH,BM=PM,CP=BP,設(shè)CM=AH=BH=a,BM=PM=x,

則RP=CP=a-x,證明AMBP為等腰直角三角形，得出8。二或8用=貝，從而得出魚x=a-x,求

出x,即可得出8M=(四一1)Q,求出GH=2a,MH=BH+BM=a+(&-l)a=&a,最后求出結(jié)果

即可.

【詳解】解：連接BC,AB,在CM取點P,使8M=PM,連接BP,如圖所示：

根據(jù)軸對稱可知：cECN=LFCM,CN=CM=^MN,AG=AH=^GH,乙GAK=LHAQ,

???矩形GHMN中MN=GH,

：,CM=AH,

???三個全等菱形，

：.BF=CF,Z.QAB=Z.QBA,Z.AFC=Z.AFB,AQ\\BF,

?:乙CED=CCFB=9。。，

：./.AFC=Z/1FF=1(360°-90°I=135°,

\'AQ\\BF,

：.LFAQ=180°-135°=45°,

：.￡BAQ=乙ABQ=x45°=22.5°,

\'z.EAK=Z.EAF=/.FAQ=45°,

：./-GAK+乙HAQ=180°-45°-45°-45°=45°,

\LGAK=LHAQ=ix45°=22.5°,

：.z.HAF=22.5°+22.5°=45°,

???矩形GHMN中4H=90°,

：.z.ABH=900-45o=45°,

:?乙HBQ=45°-22.5°=22.5°,乙HAB=乙HBA,

:,AH=BH,

?：CF=BF,LCFB=90°,

J.LCBF=LFCB=1x90°=45°.

■:乙FBQ=/.FAQ=45°,

=180°-45°-45°-22.5°=67.5°,

???矩形GHMN中4M=90°,

:.乙BCM=90°-67.5°=22.5°,

=PM,

:.乙MBP=乙MPB=1x90°=45°,

2

工乙PBC=67.5°-45°=22.5°,

「乙BCM=CPCB,

:?CP=BP,

設(shè)CM=AH=BH=a,BM=PM=x,則BP=CP=a—x,

AMBP為等腰直角三角形，

，、&=a-x,

解得：x=(y/2-l)a,

即BM=(V2-l)a,

：.CH=2a,MH=BH+BM=a+(&-l)a=缶,

'.?GH嬴=2赤a=&n'z

故選:A.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理.，等腰三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì),

三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是做出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì).

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

II.（3分）（24-25八年級?安徽合肥期中）比較大?。涸?（填“＞”或“〈”或.

【答案】＞

【分析】本題考查比較實數(shù)的大小，二次根式值的大小比較，根據(jù)作差法和平方法進行比較即可.

【詳解】解：浮1一《=?？?/p>

4n1U

2

V（5>/5）=125,II2=121,

A5V5-11>0,

?V5+185>/5-11

>0,

210

、

?.?V5+1一8;

25

故答案為：＞.

12.（3分）（24-25八年級?江蘇赤州?期中）如圖，每個小正方形的邊長為1,力、B、。是小正方形的頂點,

連接/R、BC,則N/BC的度數(shù)為

C

【答案】45。/45度

【分析】本題考查了勾股定理，分別在格點三角形中，根據(jù)勾股定理即可得到力氏BC,AC的長度，繼而可

得出乙48c的度數(shù).

【詳解】解：連接AC，

根據(jù)勾股定理可以得到：AC=BC=Vl2+22=V5,AB=Vl2+32=V10,

222

V(V5)+(V5)=(V10),即AC?+BC2=AB2t

：,LABC是等腰直角三角形.

???乙48c=45°.

故答案為：45°.

13.（3分）（24-25八年級?河北承德?期末）學(xué)校舉辦了以“不負青春，強國有我”為主題的演講比賽.已知

某位選手的演講內(nèi)容、語言表達、舉止形態(tài)這三項的得分分別為90分、85分、82分，若依次按照35%,40%,

25%的比例確定成績，則該選手的成績是分.

【答案】86

【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的運用，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的計算方法.是解題的關(guān)鍵.若〃個數(shù)與，如右

，…，小的權(quán)分別為wi,卬2,卬3，…，wn,則心::；叫:;I；：""叫做這〃個數(shù)的加權(quán)平均數(shù)?

根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式列出算式，進行計算即可得出答案.

【詳解】解:90x35%+85x40%+82x25%31.5+34+20.5=86（分），

35%HO%I2S%100%

故答案為：86.

14.（3分）（24-25八年級?山東威海?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形04BC的頂點4在x

軸上，定點8的坐標(biāo)為（8,4）,若直線經(jīng)過點。（2,0）,且將平行四邊形。48。分割成面積相等的兩部分，則

直線DE的表達式是

【答案】y=x-2

【分析】本題考行平行四邊形的中心對稱性，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，根據(jù)平行四邊形的對稱

性可得P為。8的中點，根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出P(4,2),然后根據(jù)待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】解：連接。8交DE于P,

???直線經(jīng)過點0(2,0),且將平行四邊形OABC分割成面積相等的兩部分，

???宜線DE經(jīng)過平行四邊形0ABC的中心，

???P為。8的中點，

??,8(8,4),0(0,0),

?,?尸(等,等)，即P(4,2),

設(shè)直線DE解析式為y=kx+b,

把D(2,0),P(4,2)代入，得處::二,

解得｛工'

：.y=X-2,

故答案為：y=x-2.

15.(3分)(24-25八年級?河南南陽?期末)如圖，點P是矩形力BCD的邊8C上的動點，沿直線4P將△R48

折疊，點B落在點B'位置.己知：AB=6,BC=4,則當(dāng)點8,恰好落在矩形的對稱軸上時，BP的長為.

【答案】273^18-1272

【分析】本題考查矩形與折疊，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，矩形的對稱軸為對邊中點形成線段所在的直線,

據(jù)此分情況討論，分別畫出圖形，根據(jù)折疊和勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖1,取48、CD的中點M、N,則直線MN是矩形的對稱軸，當(dāng)點歹恰好落在MN上時，

連接S'B,

,:MN垂直平分力平

*?AB=BB,

由折疊可得48,=/18,AP1B'B,

,\AB=AB=BB,

SLAB'S為等邊三角形，

：,z.PAB=^BAB'=30°,

：.PA=2BP,

'：PA2=BP2+AB2,AB=6,

：.(2BP)2=B4+62,

解得BP=2V3；

如圖2,取40、BC的中點E、F,則直線EF是矩形的對稱軸，當(dāng)點8,恰好落在E尸上時，連啜B,B,

???矩/B=6,BC=4,

：.AD=BC=4,/.DAB=/.ABC=90°,

*：AD.BC的中點的F,

：,AE=BF=2,四邊形力89E是矩形，

:.AB=FE=6,

由折段可得48'=48=6,PB'=PB,

AFP=-AE2=4V2.

:.FB'=EF-EB'=6-4五,

???RtaPFB'中，F(xiàn)B'=6-4x/2,PB'=PB,PF=BF-PB=2-PB,BP2=BF2+PF2,

2

：.BP2=（2-BP）2+（6-4V2）,

解得BP=18-12V2,

綜上所述，8戶的長為28或18—12魚，

故答案為：2國或18-12魚.

16.（3分）（24-25八年級?貴州畢節(jié)期末）如圖，正方形力8c。的邊長為6,E為邊8c上一點，尸為邊CO

上的一個動點，連接“凡以EF為一條直角邊向左側(cè)作等腰直角三角形EFG,且使乙￡7訪=9。。，則點G運

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，過G

作GHJ.CO于H,在CO取點P,使CP=CE,△GFH^△FEC,得出GH=尸C,HF=EC=PC,進而得

出HP=CF=GH,根據(jù)等邊對等角和三角形的內(nèi)角和定理可求出/GPH=45。，則點G在以P為頂點，在

PD的左側(cè),與PD成45。的直線上運動，故當(dāng)尸和C重合時，G和P重合，當(dāng)尸和。重合時，G和。重

合，如圖，過。作QO1CD于。同理可證QO=CD=6,OD=CE=CP,OP=CD=6,根據(jù)勾股定理

求出PQ=6企，即可求解.

【詳解】解：過G作GH1CD于〃，在CD取點P,使CP=",

??NEFG=90。，在正方形ABCD中，乙C=90°,

:,乙GFH=乙CEF=90°-乙CFE,

又乙GHF=LC=90°,GF=FE,

/.AGFH^△FEC,

:.CH=FC,HF=EC=PC,

：.HF-PF=CP-PF,

.\HP=CF=GH,

:.乙GPH=Z.HGP=g（180°—4GHP）=45°,

???點G在以P為頂點，在PD的左側(cè)，與PD成45。的直線上運動，

當(dāng)卜和。查重時，G和產(chǎn)重合，當(dāng)“和。重合時，。和。重合，如圖，過，作QO_LC〃于

同理可證QO=CD=6,OD=CE=CP,

：.OP=CD=6,

:.PQ=yjOQ2+OP2=6vL

即點G運動的路徑長是6a,

故答案為：6V2.

第n卷

三.解答題（共8小題，滿分72分）

17.（6分）（24-25八年級?河南深河?期末）計算：

（1）718+>/2+（V3—1）；

⑵+/一（&-6）（&十⑸.

【答案】（1）7-2百

（2*

【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，能準(zhǔn)確理解運算順序，并能進行正確地化簡各數(shù)是解題的關(guān)鍵.

（1）先計算二次根式和完全平方公式，再計算加減；

（2）先計算二次根式、立方根和平方差公式再去括號，最后計算加減.

【詳解】3）解：皿+&+（遮一1）2

=3+3-2V3+l

=7-2V3；

⑵^1+J-（&-百）（皿+8）

3V2、

=]+彳-（z2-3）

3V2

=_+__2+3

=耳烏

24

18.（6分）（24-25八年級?四川成都?期末）如圖,菱形46CD的對角線AC與8。相交于點末C。的中

點、為E,連接?！瓴⒀娱L至點凡使得￡F=OE,連接CF,DF.

（I）求證：四邊形OCFO是矩形；

（2）若EF=5,BD=16,求菱形A8C0的面積.

【答案】（1）見解析

⑵96

【分析】（1）由=EF=OE,證明四邊形。CFO是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)證明乙COD=90。,

則四邊形OCFD是矩形；

（2）由菱形的性質(zhì)得0D=OB==8,由矩形的性質(zhì)得CD=OF=10,則CM=0C=VfD2-OD2=

?102-82=6,,所以4C=12,則S菱形4c?BD=gxl2xl6=96.

【詳解】（1）證明：YCO的中點為E,

：.DE=CE,

?:EF=OE,

???四邊形OCFD是平行四邊形，

???四邊形力BCD是菱形，對角線KC與BD相交于點O,

.\ACLBD,

：.LCOD=90°,

???四邊形OCFD是矩形.

⑵解：*：EF=OE=5,BD=16,

A0F=2EF=10.0D=0B=^D=8,

：.CD=0F=10,

：,0A=OC=yJCD2-OD2=V102-82=6,

：.AC=ZUA=12

???S菱形.CD=號458°=：x12x16=96,

???菱形48CD的面枳為96.

【點睛】此題重點考查菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，求得8=0"=10及04=OC=6

是解題的關(guān)鍵.

19.（8分）（24-25八年級?山東煙臺?期末）在某購物電商平臺上，客戶購買商家的商品后，可對“商家服

務(wù)”給予分值評價（分值為1分、2分、3分、4分和5分）.該平臺上甲、乙兩個商家以相同價格分別銷售

同款7恤衫，平臺為了了解他們的客戶對其“商家服務(wù)”的評價情況，從甲、乙兩個商家各隨機抽取了一部

分“商家服務(wù)”的評價分值進行統(tǒng)計分析.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制作了不完整的統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表.

“商家服務(wù)”評價分值的條形統(tǒng)計圖“商家服務(wù)”評價分值的扇形統(tǒng)計圖

□甲商家□乙商家

統(tǒng)計量

商家

中位眾平均

方差

數(shù)數(shù)數(shù)

甲商

a33.51.05

家

乙商

4bX1.24

家

(1)甲商家的嘀家服務(wù)”評價分值的扇形統(tǒng)計圖中圓心角。的度數(shù)為,

(2)表格中a=,b=,x=：

(3)小亮打算從甲、乙兩個商家中選擇“商家服務(wù)”好的一家購買此款丁恤衫.你認為小亮應(yīng)該選擇哪一家？

說明你的觀點.

【答案】(1)120。；

(2)3.5,4,3.6；

(3)小亮應(yīng)該選擇乙商家，理由見解析.

【分析】(1)用甲商家3分的評價分值個數(shù)除以其百分比即可求出從甲商家抽取的評價分值個數(shù),進而用360°

乘以甲商家4分的占比即可求解：

(2)用乙商家3分的評價分值個數(shù)除以其百分比即可求出從乙商家抽取的評價分值個數(shù)，求出甲、乙商家4

分的評價分值個數(shù)，再根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的定義計算即可求解：

(3；根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)和方差即可判斷求解；

本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)和方差，看懂統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：由題意可得，平臺從甲商家抽取了12?40%=30個評價分值，

a=360。x翌=120°,

故答案為：120°,；

(2)解：從乙商家抽取了3-15%=20個評價分值，

甲商家4分的評價分值個數(shù)為30-2-1-12-5=10^,

乙商家4分的評價分值個數(shù)為20-1-3-3-4=9個，

???甲商家共有30個數(shù)據(jù),

???數(shù)據(jù)按照由小到大的順序排列，中位數(shù)為第15位和第16位數(shù)的平均數(shù)，

?八3+4_

??a=--=o3.5,

2

乙商家4分的個數(shù)是9個，最多，

，眾數(shù)b=4,

Ixl+2x3+3x3+4x9+5x4

乙商家平均數(shù)了=

20=3.6,

故答案為：3.5,4,3.6；

(3)解：小亮應(yīng)該選擇乙商家，理由：由統(tǒng)計表可知，乙商家的中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都高于甲商家的,

方差較接近，

???小亮應(yīng)該選擇乙商家.

20.(8分)(24-25八年級?安徽合肥?期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=k%+b的圖象與“

軸的交點為4(-3,0),與y軸的交點為8,且與正比例函數(shù)y=[》的圖象交于點C(m,4).

?5

⑴求m的值及一次函數(shù)y=kx+b的表達式；

(2)若P是y軸上一點，且ABPC的面積為6,求點P的坐標(biāo)；

(3)觀察圖象，不等式組0<2%<1X+匕的解集是.

【答案】(l)m=3,y=+2

(2)(0,6)或(0,-2)；

(3)0<x<3

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與圖形面積，不等式組等知識，熟練掌握

一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)首先利用待定系數(shù)法把C(m,4)代入正比例函數(shù)y=[%中，計算出m的值，進而得到點C的坐標(biāo)，再

用待定系數(shù)法把A、C兩點坐標(biāo)代入一次函數(shù)丫=/^+6中，計算出八b的值，進而得到一次函數(shù)解析式；

(2)先求解B(0,2),設(shè)P(0,y),再結(jié)合的面積為6,建立方程求解即可；

(3)根據(jù)正比例函數(shù)的圖象在x軸的上方，在函數(shù)y=kx+b的圖象的下方即可得到答案.

【詳解】(1)解：二?點C(m,4)在正比例函數(shù)的y=圖象上，

，4.

:-3m=4,

m=3,

即點C坐標(biāo)為(3,4),

???一次函數(shù)y=kx+b經(jīng)過A(-3,0)、點C(3,4),

-3k+b=0

3攵+b=4

解得:卜號,

.b=2

，一次函數(shù)的表達式為：y=|x+2：

(2)解：當(dāng)％=0,則y=9+2=2,

，B(0,2),

設(shè)P(0,y),且ABPC的面積為6,

:,BP=|y-2|,

VC(3,4),

.\!x3x|y-2|=6,

.*.>■=6或y=—2,

???P(0,6)或尸(0,一2)；

(3)解：由圖象可得不等式組0<9%</^+匕的解集為：0<iV3.

21.(10分)(24-25八年級?貴州貴陽?期末)某小區(qū)在規(guī)劃建設(shè)時，準(zhǔn)備在住宅樓和臨街的拐角處規(guī)劃一

塊綠化用地(如圖中的陰影部分所示)已知A8=12m,BC=9mCO=8m/O=17m,技術(shù)人員通過測量確

(I)為了方便居民出入，技術(shù)人員計劃在綠化用地中開辟一條從點力到點。的小路，請問這條公路的最短長

度是多少m?

(2)這塊綠化用地的面積是多少m2?

【答案】(l)15m

(2)114m2

【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理以及三角形面積公式等知識，正確應(yīng)用勾股定

理以及勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵.

(1)連接力C,利用勾股定理求解卻可；

(2)利用勾股定理的逆定理證明乙4CD=90°,然后根據(jù)S四邊形詆。=S0BC+SMCD=\AB?BC+豺C?CD

計算即可求解.

【詳解】⑴解:連接47,

v/.ABC=90°,AB=12m,BC=9m,

AC=>JAB2+BC2=V127+97=15(m),

答：這條小路的最短長度是15m；

(2)解：\'CD=8m,AD=17m,AC=15m

???AC2+CD2=152+82=172=AD2,

Z.ACD=90°,

?*-S四邊形/me。=S^ABC+^hACD=，BC+^AC-CD=12x9+1x15x8=544-60=114(m2),

答：這塊綠化用地的面積是114m2.

22.(10分)(24.25八年級?陜西渭南?期中)【問題探究】

(1)如圖1,在ABCD連接AC,乙BAD=cABC.

①求證：ABCD是矩形；

②若41cB=30°,探究線段BC與線段AB之間的數(shù)量關(guān)系.

【問題解決】

(2)如圖2所示，矩形ABCO是一塊待開發(fā)的旅游景點規(guī)劃地,C4C民CF是從入口C通往三個觀光點4瓦尸

的路線，其中CE=C凡且4EC尸=44。8=30。，因自然地理界境的限制，觀光點4無法直接到達觀光點

E,F,為方便旅客順利、便捷地從觀光點71到達觀光點與戶(觀光點E.F分別在AB,AD±),現(xiàn)要在AE.AF

上架一座橋梁，已知力。=4km,橋梁4E的造價為200萬元/km,橋梁4戶的造價為10()萬元友m,求建好

AE和AF兩座橋梁所需要的總造價.

ADAFD

圖1圖2

【答案】(1)①見解析，②(2)400萬元

【分析】(1)①根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明即可；②由44cB=30。得到AC=2AB,在Rt△

48c中，運用勾股定理即可求解；

(2)延長C8至點G,使得CG=C4=4,連接GE/G,先證明△CEG三△CE4(SAS),則GE=AF/4=43,

則48=^AC=2,由上知BC=WAB=273,那么BG=CG-CB=4-273,同上可得BG=WBE,GE=

2BE,則BE=g國一2,此時GE=g百一4=4/，那么/IE=48—BE=2——2)=4—g國，即

可求解總造價.

【詳解】⑴①證明：???四邊形4BCO是平行四邊形，

：,AD||BC,

：./.BAD+Z.ABC=180°,

*：LBAD=乙ABC,

：.LBAD=90°,

???四邊形4BCD是矩形；

②解：BC=V3AB,理由如下，

???四邊形力BCD是矩形，

：,LB=90°,

*：/.ACB=30°,

:.AC=2718,

在RtaABC中，由勾股定理得8C=IAC2-AB2=,J(_2AB)2-AB2=>/3AB；

(2)解：延長C8至點G,使得CG=C4=4,連接GE,AG,

AD

VzECF=Z/1CF=30°,

Azi=42,

*：CE=CFt

?,xCfGwz\CFA(SAS),

：.CE=AF^4=Z3,

???四邊形NBC。是矩形，

：.ADIIBC,LABC=Z-ABG=90°,

/.z3=/-ACB=30°,

Az4=30°,力8=：AC=2,

由上知BC=ypiAB=2V3,

：,BG=CG-CB=4-2y/3,

在RtZkBGE中，44二30。，

???同上可得BG=V5BE,GE=2BE

:,BE=+依-2,

：.CE=^>/3-4=AF,

：.AE=AB-BE=2-eV5—2）=4—JV5,

???總造價為：（4-gV5）x200+6K-4）xl00=400（萬元）.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì),

勾股定理，正確構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

23.（12分）（24-25八年級?云南大理?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4與x軸交于點兒

與y軸交于點8,過點8的另一直線交工軸正半軸于C,且△ABC面積為28.

(1)分別求點“、B、C的坐標(biāo).

(2)若點M是線段BC上的一個動點，當(dāng)M剛好運動到BC的中點時。，求直線4M的解析式.

⑶在(2)的條件下，點E為直線4M上一動點，在x軸上是否存在點。，使以點。、E、B、。為頂點的四

邊形為平行四邊形？若存在，請寫出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴4(-4,0),1(0,4),C(10,0)

⑵？二寧+§

(3)存在,(-4,0)或(24,0)或(一32,0)

【分析】(1)%=0，y=0分別代入y=x+4即可求得點B、A的坐標(biāo)，再根據(jù)=28,即可求得AC=14,

從而可求點C坐標(biāo)；

(2)先根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出中點M(5,2),然后用待定系數(shù)法求解即可；

(3)①當(dāng)為平行四邊形BDCE的對角線時，②當(dāng)BC為平行四邊形8CDE的左邊時，③當(dāng)BC為平行四

邊形BCED的右邊時，分別求出點D的坐標(biāo)即可.

【詳解】(1)解：???直線y=%+4與4軸交于點力與y軸交于點8

，把％=0代入解析式得：y=4,

???8(0,4),

把y=0代入解析式得：x+4=0,

:.X=—4,

4,0)

,:S.ABC=28

^AC-By=28,而%=4,

:.AC=14,

：,OC=AC-OA=10,

???C(10,0).

(2)解；???當(dāng)點M剛好運動到BC的中點時,

?0+1一0-4+0c

??如二工二5，yM=—=2,

??.A1(5,2)

設(shè)直線解析式為、=0),

把做一4,0),M(5,2)分別代入解析式得:

k=-

°2=匚心解得：9

b>=-8

9

28

-X+-

???直線4M解析式為y99

(3)解：存在.

：.BE\\CDf即BE||%,

:.By=Ey=4,

把y=4代入直線AM解析式y(tǒng)=4-得x=14,

/.F(14,4),

又?,?85=。。=14,且。(10,0),

AD(-4,0).

②如圖，當(dāng)8C為平行四邊形BCDE的左邊時，

把y=4代入直線AM解析式y(tǒng)=jx+/得％=14,

.,.￡(14,4)

又?.?8E=CD=14,且C(10,0),

???D(24,0),

③如圖，當(dāng)BC為平行四邊形BC￡7)的右邊時，作EFl.%軸于點F,

???平行四邊形80CE,

:?DE=BC,DEWBC,

J.LEDF=乙BCO,

.:乙EFD=^BOC=9?！?

(Z.EFD=LBOC

???在和△CB。中，1/.EDF=LBCO,

(DE=BC

：.LDEF=^CBO(AAS)

：.B0=EF=4,即E的縱坐標(biāo)為一4

把y=-4代入直線AM解析式y(tǒng)=]+g，得％=-22,

/.F(-22,-4),F(-22,0)

又,：DF=CO=10,

Z.D(-32,0)

綜上，在x軸上存在點D,使以點D、E、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形.

此時，點D的坐標(biāo)為(一4,0)或(24,0)或(一32,0).

【點睛】本題考查直線與坐標(biāo)軸的交點，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，直線與

坐標(biāo)軸圍成的三角形面積，平行囚邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練待定系數(shù)法求一次

函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.(12分)(24-25八年級?遼寧丹東?期末)已知：如圖1,正方形A8C0中，AB=12,點P是對角線AC

所在直線上--動點，連接BP,DP,將沿4。折疊，得到AADE,點P的對應(yīng)點為點E,射線8P交直

線DE于點兒交力D邊所在直線于點G.

②求證：BH1DE；

（2）洛△4DP沿DP折卷，得到△FPD,點力的對應(yīng)點為點￡

①如圖2,當(dāng)點P在對角線AC上，且OFIIBP時，求乙4P8的度數(shù)：

②如圖3,當(dāng)點P在CA延長線上，且PF18P時，連接￡?凡判斷△￡*7"）的形狀，并說明理由；

③當(dāng)點F,8,P在同?直線上時，請直接寫出以點AP,H,E為頂點的四邊形面積.

【答案】（1）①證明過程見詳解：②證明過程見詳解：

（2）①N4P8=105。；②△O￡T是等腰直角三角形；③72+36加

【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)可得△4BP三△4DP（SAS）,根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得△力DPWA4DE,由此

即可求證；

②根據(jù)正方形的性質(zhì)可得4B4O=90。，則有N48G+4力GB=9D。，由全等三角形的性質(zhì)可得

Z.ABG=Z.ADE,由乙4DE+乙DGH=90°,即可求證；

（2）①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)可得"1P8=乙APD=乙FPD,乙F=乙DAP=45°,

由平行線的性質(zhì)可得48PF=4尸=45。，再由44PB+4APD+zFPD+/BPF=360。，即可求解；

②根據(jù)題意可證△力P"是等邊三角形，是等腰三角形，得到〃"="FE=15。，根據(jù)折疊的性質(zhì)，

三角形內(nèi)角和定理可得上FPD=N4PD=，/PB=NAED=30。，由此可得匕/ED=N尸DE=45。，由此即可

求解；

③如圖所示，點8,RF三點共線，連接80與AC交于點M,△ZJ9P沿4。折疊得到△力DE,沿P。折疊得

到AFDP,可得HD=HF=當(dāng)DF=6VLBH=y/BD2-HD2=-（6/=6痣，PH=PM=

2瓜,由此可得Su。。=S"E0=g4P-DM,S&DPH=±PH.DH,由此即可求解.

【詳解】（1）證明：①:四邊形HBCD是正方形，AC是對角線.

/.ZF=AD,Z.BAP=Z.DAP,

在小BP和A/1DP