北師大版（2024）八年級上冊數(shù)學第七章3平行線的證明教案

第?課時平行線的判定

新課導入設計

【情境導入】

暑假的一個晚上，小華和爸爸吃完飯到馬路邊乘涼?爸爸突然問了小華一個問題：“小

華，你看路邊的路燈，都筆直地站著，你知道它們之間是4么位置關系嗎？”小華想了想，

就說出了答案，并且用不同的道理問答了爸爸的問題.你知道小華是怎么回答的嗎？

教學設計

課題第1課時平行線的判定授課人

1.了解證明的基本步驟和書寫格式.

2?從用三角尺和直尺畫平行線的活動過

程中發(fā)現(xiàn)“同位角相等，兩直線平行”，

并會根據(jù)這個基本事實來證明“內錯角

相等，兩直線平行”和“同旁內角互補，

素養(yǎng)目標兩直線平行”.

3?掌握平行線的判定方法，會判定兩直

線平行，會簡單的推理與表述.

4?經(jīng)歷證明的基本步驟，熟悉正確的書

寫格式，感受幾何中推理的嚴謹性，發(fā)

展初步的演繹推理能力.

理解和掌握由“同位角相等，兩直線平

行”來證明“內錯角相等，兩直線平

教學重占

行''及"同旁內角互補，兩直線平行”，

并進行簡單應用.

教學難點對公理和定理的理解和應用.

授課類型新授課課時

教學活動

第1頁共21頁

教學步驟師生活動設計意圖

1?對頂角____________.

2?同角（等角）的余角

，同角（等角）的

補角________.

3.平行線的判定：

通過回顧舊知為學生學習新

回顧（1）____________相等，兩直

知做準備.

線平行；（2）____________相

等，兩直線平行；

（3）____________互補，兩直

線平行；（4）平行于同一條直

線的兩條直線____________.

【課堂引入】

上節(jié)課我們談到了要證明一

個命題是真命題.除公理、定

義外，其他真命題都需要通過

推理的方法證明.

我們知道；“在同一平面內，

不相交的兩條直線叫作平行回顧命題的幾種形式，順利引

活動一：創(chuàng)設情境、導入新課

線”是定義.“兩條直線被第出本節(jié)課課題.

三條直線所截，如果同位角相

等，那么這兩條直線平行”是

公理.那其他的三個真命題如

何證明呢？這節(jié)課我們就來

探討第三節(jié)：平行線的判定.

【探究新知】

活動二：實踐探究、交流新知1?證明：內錯角相等，兩直

線平行

第2頁共21頁

師：小明用如圖所示的方法作

出了兩條平行線，你認為他的

作法對嗎？為什么？

續(xù)表

教學步驟師生活動設計意圖

生：我認為他的作法

對.他的作法可用下圖來表

示：ZCFE=45°，ZBEF=

45°.因為NGFD與NCFE是

對頂角，所以NGFD=NCFE

=NFEB.因為/GFD與1.通過對學生熬悉的平行線

ZFEB是同位角，所以判定定理的證明，使學生掌握

CD〃AB.由平行線判定的基本事實推

導出的另一個判定定理，并逐

口-------0

步掌握規(guī)范的推理格式.

活動二：實踐探究、交流新知2?讓學生經(jīng)歷利用層本事實

來證明命題是其命題的過程，

師：很好.從圖中可知：Z

CFE與NFEB是內錯角.因并能夠結合圖形正確地用數(shù)

此可知”內錯角相等，兩直線學符號表示證明的過程.同時

平行”是真命題.下面我們來在證明過程中，培養(yǎng)學生初步

用規(guī)范的語言書寫這個真命的演繹推理能力.

題的證明過程.

師生分析：如圖，Z1和N2

是直線a，b被直線c截出的

內錯角，且N1=N2.求證：

a/7b.

第3頁共21頁

Z3=180°，所以N3=18O°

一N2.又因為已知條件中有

Z2與N1互補，即N2+N1

=180°.所以Nl=180°-

N2，因此由等量代換可以知

道N1=N3.

證明：???/1與N2互補（已

知），

???N1+N2=18O°（互補的

定義）.

AZI=180°-N2（等式的

性質）.

???N3+N2=180°（平角的

定義），

AZ3=180°-N2（等式的

性質）.

???N1=N3（等量代換）.

??.a〃b（同位角相等，兩直線

平行）.

這樣我們就得到了兩直線平

行的另一個判定定理.

這一定理可簡單地寫成：同旁

內角互補，兩直線平行.

注意：（1）己給的基本事實、

定義和已經(jīng)證明的定理以后

都可以作為依據(jù)，用來證明命

題.（2）證明中的每一步準理

都要有根據(jù)，不能“想當

然”.這些根據(jù)，可以是三知

第5頁共21頁

條件，也可以是定義、基本事

實、已經(jīng)學過的定理.在初學

證明時，要求把根據(jù)寫在每一

步推理后面的括號內.

續(xù)表

教學步驟師生活司設計意圖

【典型例題】

活動三：開放訓練、體現(xiàn)應用

例1請運用內錯角相等，兩

直線平行這個定理完成以下證明：

已知：如圖，N1=N2，巨BD平

分NABC.求證：AB〃CD.

/y

AB

證明：平分

?.?BDNABC，1.通過典型例題進一步讓學生鞏

???ZABD=N2（角平分線的定固新知，發(fā)展學生初步的演繹推理

義）.能力.

VZ1=Z2，2?通過變式訓練加強學生對平行

???NABD=N1（等量代換）.線的判定的綜合運用能力.

，AB〃CD（內錯角相等，兩直線

平行）.

例2請運用同旁內角互補，兩

直線平行這個定理完成以下證明：

已知：如圖，AD是一條直線，N

1=65°，N2=115°.求證:

BEZ/CF.

第6頁共21頁

第7頁共21頁

證明：(1)???AEJLCE，

???NAEC=90°.

???N2++3=90°且/1++4=

90°.

XVEC平分/DEF，

r.Z3=Z4.

Z1=N2.

AEA平分NBEF.

(2)VZ1=ZA，Z4=ZC，

.*.Z1+ZA+Z4+ZC=2(Z1

+N4)=180°.

???/R+/D=(1X。。-2/1)+

(180°—2/4)=360°—2(N1+

Z4)=180°.

???AB〃CD.

師生活動：學生分小組討論后派學

生代表進行演板，教師做最后講

解，并進一步規(guī)范證明過程.

續(xù)表

教學步驟師生活動設計意圖

【課堂檢測】

活動四：課堂檢測

1.如圖5直線a，b與直線c加深學生對所學知識的理解

相交，形成N1，/2，…，/運用，在問題的選擇上以基礎

8共八個角，填上適當?shù)囊粋€為主，引導學生靈活運用所學

第8頁共21頁

條件：答案不唯一，如：/I知識解決問題，并也固新知.

=N5或N4=N5或N3+

N5=180°，使a〃b.

尹￡

/

2.如圖，直線AB，CD與直

線EF分別相交于點M和N，

MP平分/AMF，NQ平分

ZEND，NAME=NDNF,求

證：MP〃NQ.

/N口

F

證明:VZAME=ZDNF?

ZAME+ZAMN=NDNF+

ZDNM=180°，

，NAMN=NDNM.

又「MP平分NAMF，NQ平

分NEND，

AZPMN=|ZAMN，Z

QNM=；NDNM.

.\ZPMN=ZQNM,

???MP〃NQ.

師生活動：學生進行當堂檢

測，完成后，教師進行批閱、

點評、講解.

第9頁共21頁

1.課堂小結：

(1)本節(jié)課主要學習了哪些定

引導學生在反思中整理知識、

理？都是如何證明的？

梳理思維，獲得成功的體驗，

課堂小結(2)本節(jié)課還有哪些疑惑請

積累學習的經(jīng)驗，養(yǎng)成系統(tǒng)整

同學們說一說.

理所學知識的習慣.

2?布置作業(yè)：

教材第191頁隨堂練習.

第1課時平行線的判定

兩直線平行的判定定理：

板書設計1?判定定理的證明.提綱挈領，重點突出.

2■判定定理的應用格式.

重點講解采用多種方式，

學生初步掌握判定方法，但復

雜圖形中角的識別訓練不足；

教學反思難點推導中，學生對直觀到邏反思，更進一步提升.

輯的過渡理解困難，推理證明

規(guī)范訓練欠缺.

第10頁共21頁

第2課時平行線的性質

新課導入設計

_50^2：：〉〃

ZZZZZZZZZ^ZZZZZZ]

【情境導入】

看模型如圖，將木條a，c成50°角固定在一起，轉動b.可以看到，當b轉動到不同位

置時，Na的大小也隨著變化.當Na從小變大時，直線b便從原來在右邊與直線a相交變

到在左邊與直線c相交.在這個過程中，存在一個與a穴相交，即與a平行的位置.那么當

a〃b時，Na為多大呢？為什么？

教學設計

課題第2課時平行線的性質授課人

1.會根據(jù)“兩直線平行，同位帝相等”證

明“兩直線平行，內錯角相等”和“兩

直線平行，同旁內角互補”，并能簡單

地應用這些結論.

素養(yǎng)目標

2?通過對平行線的性質的探究，把握幾

何分析的方法，培養(yǎng)合作探究的學習態(tài)

度，體會互逆的思維過程和其在幾何中

的應用價值.

教學重點理解和簡單應用本節(jié)課中的三個定理.

運用公理、定理進行簡單的推理，以及

教學難點

用幾何語言進行表達.

授課類型新授課課時

教學活動

教學步驟師生活動設計意圖

回顧1.要證明兩條直線平行，有哪通過回顧舊知為學生學習新

第11頁共21頁

些方法？課做準備.

2?平行線的性質有哪些？

【課堂引入】

為了實施南水北調工程，國家

決定實施“引長江水進城

市”工程.在修建某引水渠

時，遇上A，B兩地之間的一

座大山，經(jīng)勘探表明，引水渠通過創(chuàng)設現(xiàn)實情境，讓學生體

若從山中穿過，既安全又節(jié)省會到數(shù)學來源于生活，培養(yǎng)學

開支，于是決定開山引流，在生良好的教學應用意識，訓練

A地沿北偏東66°28,的方向學生獨立思考、分析和推理表

活動一：創(chuàng)設情境、導入新課

開鑿，如圖.如果A，B兩地達的能力，同時將問題名化為

同時施工，那么B地按南偏已知兩條直線平行，確定內錯

西多少度施工，才能使引水渠角之間的關系問題，從而引出

在山脈中呈直線準確接通？本節(jié)課的課題.

學習了本節(jié)課以后，我們就可

以快速使問題得以解決了.

.匕

B

A

南

【探究新知】

1?利用“兩直線平行，同位

角相等”這一定理證明“兩

1.通過對平行線的性質定理

條平行線被第三條直線所截，

與判定定理進行比較，進而建

活動二：實踐探究、交流新知內錯角相等”.

立二者之間的聯(lián)系，讓學生初

已知：如圖，直線a〃b，Z1

步感受互逆的思考過程.

和N2是直線a，b被直線c

截出的內錯角.

第12頁共21頁

續(xù)表

教學步驟師生活動設計意圖

求證：Z1=Z2.

工

證明：???a〃b（已知），

???/1=/3（兩直線平行，同

位角相等）.

???/2=/3（對頂角相等），

???N1=N2（等量代換）.

師生活動：在兩直線平行，同

位角相等的基礎上，通過學生

的觀察、分析、討論，此時學

2.讓學生進一步理解證明的

生已能夠進行推理，在這里教

活動二：實踐探究、交流新知步驟、格式和方法，發(fā)展學生

師不必包辦代替，應充分調動

的演繹推理能力.

學生的主動性和積極竹:?，讓學

生自主討論并作答.

2?利用相關定理和所得定理，

證明“兩條平行線被第三條

直線所截，同旁內角互補”.

已知：如圖，直線a〃b，Z1

和22是直線a，b被直線c

截出的同旁內角.求證：ZI

+/2=180°.

第13頁共21頁

證明：?；a〃b（已知）?

???N3=N2（兩直線平行，內

錯角相等）.

???N1+N3=18O°（平角的

定義），

???N1+N2=18O0（等量代

換）.

師生活動：學生獨立完成，把

理由寫成推理格式.對于學習

困難一點的同學允許他們相

互之間討論后，再試著在練習

本卜寫出解題過程.教師對學

生中出現(xiàn)的不同解法給予肯

定和鼓勵.

總結：證明文字敘述類命題的

一般步驟：

第一步：先根據(jù)命題的條件即

已知事項，畫出圖形，再把命

題的結論即求證的內容在圖

上標出符號，還要根據(jù)證明的

需要在圖上標出必要的字母

或符號，以便于敘述或推理過

程的表達.

第二步：根據(jù)條件、結論，結

合圖形，寫出已知、求證.

把命題的條件化為幾何符號

語言寫在已知中，命題的結論

轉化為幾何符號語言寫在求

證中.

第14頁共21頁

第三步：經(jīng)過分析，找出由已

知推出求證的途徑，寫出證明

過程.

問題：平行線的性質定理與判

定定理在條件和結論方面有

什么關系？

【典型例題】

活動三：開放訓練、體現(xiàn)應用

例1已知：如圖，AD

是NBAC的平分線，點E在

BC上，點F在CA的延長線

上，EF〃AD，EF交AB于點1.通過典型例題的學習，使學

G.生對證明的認識有了更高的

求證：ZAGF=ZF.提升，讓學生更加深刻地認識

請你根據(jù)已知條件補充推理到數(shù)學的嚴謹性與證明的必

過程，并在相應括號內注明理要性，做到每一步都有根有

山.據(jù).

REDC

續(xù)表

教學步驟師生活動設計意圖

證明：:AD是/BAC的

平分線（已知），

2.變式訓練能夠提高學生對

活動三：開放訓練、體現(xiàn)應用:.ZBAD=NCAD（角平分線

所學知識的綜合運用能力.

的定義）.

???EF〃AD（已知），

第15頁共21頁

???ZAGF=NBAD（兩直線平

行，內錯角相等），

ZF=NCAD（兩直線平行，同

位角相等）.

???NAGF=NF（等量代換）.

例2（教材第193頁例）已知:

如圖，b〃a，c〃a?Z1?Z2?

Z3是直線a，b，c被直線d

截出的同位角.求證：b〃c.

證明：?.?b〃a（已知），

，N2=N1（兩直線平行，同

位角相等）.

?；c〃a（已知），

???N3=N1（兩直線平行，同

位角相等）.

???N2=N3（等量代換）.

???b〃c（同位角相等，兩直線

平行）.

伊J3如圖，已知AB_LBF，

CD_LBF，N1=N2.求證：Z3

=NE.

第16頁共21頁

證明:VAB1BFCD_LBF（已

知），

???NABD=NCDF=90°（垂

宜的定義）.

???AB〃CD（同位角相等，兩直

線平行）.

???N1=N2（已知），

???AB〃EF（內錯角相等，兩直

線平行）.

???CD〃EF（平行于同一條直

線的兩條直線平行）.

???/3=/E（兩自線平行，同

位角相等）.

【變式訓練】

1?如圖，將長方形ABCD沿

GH折疊枚點C落在點Q處，

點D落在邊AB上的點E

處.若NAGE=36°?則

ZGHC=108°.

=180°，/3=NB，試判斷

NAED與NC的大小關系，

第17頁共21頁

解：ZAED=ZC.

理由：???/1+/2=180°（已

知），

N1=NDFH（對頂角相等），

/.Z24-ZDFH=180°.

???EH〃AB（同旁內角互補，兩

直線平行）.

，N3=NADE（兩直線平行，

內錯角相等）.

VZ3=ZB，

???/B=NADE（等量代換）.

:.DEZ/RC.

???NAED=NC（兩直線平行，

同位角相等）.

師生活動：學生獨立思考，分

小組討論后進行解答，教師對

于學習有困難的學生及時指

導和幫助.

續(xù)表

教學步驟師生活動設計意圖

【課堂檢測】

活動四：課堂檢測

L如圖所示，直線AB，CD相通過設置當堂檢測，及時獲知

交于點E，DF〃AB.若NAEC學生對所學知識的掌握情況，

=100°，則/D=（B）明確哪些學生需要在課后加

第18頁共21頁

4強輔導，達到全面提高的目

的.

DF

A?70°

B-80。

C-90°

D-100°

2?如圖，已知AB/7DE，ZB

=60"，且CM平分NDCB，

CM1CN，垂足為C，求

ZNCE的度數(shù).

.1B

「

DC.F.

解：?；AB〃DE，NB=60°，