人教版（2024）七年級上冊數學第五章一元一次方程教案

5.1方程

5.1.1從算式到方程

第1課時方程

課程標準

能根據現實情境理解方程的意義,能根據具體問題列出方程.

。教學目標

1.通過現實生活中的例子,理解方程的意義.

2.初步學會找實際問題中的等量關系,設出未知數,列出方程.

3.從具體問題中更深入地認識方程與現實生活的聯(lián)系，體會方程是刻畫現實世

界的數學模型.

教學重難點

重點:理解方程的意義，能根據具體問題列出方程.

難點:找出具體問題中的等量關系,列方程.

教學策略

通過實際問題引入課題,然后運用算術的方法給出解答.在各環(huán)節(jié)的安排上都設

計成一個個的問題，使學生能圍繞問題展開思考、討論.通過本節(jié)的教學讓學生

體會到從算式到方程是數學的進步,滲透化未知為已知的重要數學思想.使學生

體會到數學與日常生活密切相關，認識到許多實際問題可以用數學方法解決.

教學過程

（一）情境導入

雞兔同籠問題:

第1頁共52頁

今有雉兔同籠，上有三十五頭,下有九十四足，問雉兔各兒何？

你有哪些方法解決這道經典有趣的數學題？

解:①94+2-35=12(只)35-12=23(只),

所以雞有23只，兔有12只.

②設雞有x只，兔有(35-x)只，

則2x+4(35-x)=94,即-2x+140=94.

(二)新知初探

探究一方程的概念

1.甲、乙兩支登山隊沿同一?條路線同時向一山峰進發(fā)，甲隊從距大本營1km的

一號營地出發(fā)，每小時行進1.2km;乙隊從距大本營3km的二號營地出發(fā):每小

時行進0.8km.多長時間后，甲隊在途中追上乙隊？

在這個問題中，甲、乙西隊的行進速度是已知的，行進的時間和路程是未知的.

問題1如果設兩隊行進的時間為xh,根據“路程二速度乂時間”，甲隊和乙隊

的行進路程可以分別表示為L2xkm和0.8;ckm.

問題2甲、乙兩隊距大本營的路程可以分別表示為分.2x+l)km和

(0.8x+3)km.

問題3想一想，甲隊追上乙隊時,他們距大本營的路程有什么關系？

答：甲隊距大本營的路程=乙隊距大本營的路程.

問題4根據這個關系，你能列出怎樣的式子？

答：2x+l=0,8x+3.

2.用買12個大水杯的錢,可以買16個小水杯,大水杯的單價比小水杯的單價多

5元,兩種水杯的單價各是多少元？

第2頁共52頁

問題1如果設大水杯的單價為X元,那么小水杯的單價為（X-5）元.

問題2因為用買12個大水杯的錢，可以買16個小水杯，

所以可以列出式子12x=16（x-5）.

3.如圖所示是一枚長方形的慶祝中國共產黨成立100周年紀念幣，其面積是4

000mn?.長和寬的比為8:5（即寬是長的》.這枚紀念幣的長和寬分別是多少毫

8

米？

問題1如果設這枚紀念幣的長為xmm,則紀念幣的寬可以表示為|xmm,面

積可以表示為92n/.

8

問題2已知紀念幣的面積為4000mm2,所以可以列出式子二旦皿

小結：先設出字母表示天知數,然后根據問題中的相等關系，列出一個含有未知

數的等式,這樣的等式叫作方程.

任務一意圖說明

1.通過設置豐富的問題情境，使學生經歷模型化的過程，激發(fā)學生的好奇心和主

動學習的欲望.

2.讓學生通過對三個方程的分析得出方程的定義,可加深學生對方程概念的理

解，同時還可以鍛煉學生思維的主動性,更深入地認識方程與現實生活的聯(lián)系.

探究二例題講解

1.根據下列條件列出方程：

⑴x的5倍比x的2倍大12;

⑵某數的|比它的倒數小5;

第3頁共52頁

---------------設木知數---------

實際問題|-^斯仿行

任務二意圖說明

通過例題的解決,讓學生得出列方程是除算術法外解決實際問題的另一種方法.

先讓學生嘗試交流解答,然后教師巡視學生解答情況有針對性地進行評講.

（三）當堂達標

具體內容見同步課件

（四）課堂小結

1.方程的概念:先設出字母表示未知數,然后根據問題中的相等關系，列出一個

含有未知數的等式.

2.列方程解決實際問題的基本思路：

（1）設未知數（用字母）；

⑵找等量關系（表示出相關的量）；

⑶列出方程.

板書設計

。教學反思

第5頁共52頁

第2課時元一次方程

?：?課程標準

理解方程解的意義,經歷估計方程解的過程.

。教學目標

1.理解方程的解的概念,學會判斷某個數值是不是方程的解.

2.理解一元一次方程的概念,并會進行簡單的辨別.

。教學重難點

重點:理解方程的解與一元一次方程的概念.

難點：會判斷一個數值是不是方程的解.

。教學策略

1.以問題為主線,誘導學生思考問題,進而去解決問題，問題的設計要遵循學生

的思維特點,著重引導學生探索、歸納，注重過程教學.

2.由幾個具體的實例，通過學生的合作學習、觀察、歸納，概括出一元一次方程

的定義，使得教學過程螺旋式上升,學生易于理解.

教學過程

（一）情境導入

如果告訴我你的年齡乘2再減5等于幾,我就能猜出你的年齡,試一下.

齡哩J9

Q＞小麗

如果把小麗的年齡乘2再減5的話,結果等于65,誰能“猜”出小麗的年齡呢？

你能告訴我，你是怎么"猜”出來的嗎?要想發(fā)現其中的奧秘需要同老師一起來

學習本節(jié)課的內容.

第6頁共52頁

(二)新知初探

探究一方程的解

1.對于方程4x=24,容易知道x-6可以使等式成立,對于本章引言中的問題列出

的方程1.2x+l=0.8x+3,你知道x等于什么時,等式成立嗎?我們來試一試.

解：

X123456???

1.2x+l2.23.44.65.878.2???

0.8x+33.84.65.46.277.8???

由表格,我們知道當x=5時，1.2x+l的值與0.8x+3的值相等,所以方程

1.2x+l=0.8x+3中的未知數的值應是x=5.

小結：

(1)一般地，使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值，叫作方程的解.

(2)求方程的解的過程,叫作解方程.

2.(l)x=2,x號是方程2>-3的解嗎？

(2)x=10,x=20是方程1②=16(X-5)的解嗎?

解：(1)當x=2時,方程2x=3的左邊=2X2=4,右邊二3,方程左、右兩邊的值不相

等，所以x=2不是方程2x=3的解；

當x=|時，方程2x=3的左邊二2義|二3,

右邊二3,方程左、右兩邊的值相等，

所以x1是方程2x=3的解.

第7頁共52頁

(2)當x=10時,方程12x=16(x-5)的左邊二12X10=120,右邊二16X(10-5)=80,方

程左、右兩邊的值不相等，所以x=10不是方程12x=16(x-5)的解.

當x=20時，方程12x=16(x-5)的左邊二12X20=240,右邊=16X(20-5)=240,

方程左、右兩邊的值相等，所以x=20是方程12x=16(x-5)的解.

［方法歸納］判斷一個數值是不是方程的解的步驟：

(1)將數值代入方程左邊進行計算；

⑵將數值代入方程右邊進行計算；

(3)若左邊二右邊,則是方程的解,反之,則不是.

任務一意圖說明

采用“嘗試一發(fā)現一歸納”的方法:讓學生嘗試后發(fā)現，讓方程兩邊相等的未知

數的值是方程的解,最后教師進行歸納,通過練習進一步理解方程的解的意義以

及如何判斷方程的解.

探究二一元一次方程的概念

1.觀察下列方程,它們有什么共同點？

1.2x+l=0.8x+3,12x=16(x-5),0.52x-(l-0.52x)=80,

問題1每個方程中，各含有幾個未知數？

解:方程含有1個未知數.

問題2說一說每個方程中未知數的次數.

解:未知數的次數都是1.

問題3等號兩邊的式子有什么共同點？

解：等號兩邊的式子都是整式.

小結：

第8頁共52頁

一般地,如果方程中只含有一個未知數(元)，且含有未知數的式子都是整式,未

知數的次數都是1,這樣的方程叫作一元一次方程.

2.判斷下列方程是不是一元一次方程,并說明理由.

(l)-x+3=x3;(2)2x-9=5y；(3)xi=2;

X

(4)|=x-3;(5)6-y=l.

解：(l)-x+3=x*不是，因為不是一次方程.

(2)2x-9=5y,不是，因為有兩個未知數.

(3)xM,不是，因為不是整式方程.

X

(4亨x-3是一元一次方程.

(5)6-y=l是一元一次方程.

3.方程(m+l)xln是關于x的一元一次方程,則(B)

A.m=±1B.m=l

C.m=_lD.mWT

任務二意圖說明

讓學生通過對三個方程的分析得出一元一次方程的定義，可進一步加深學生對

方程概念的理解，同時還可以鍛煉學生思維的主動性.通過練習的解決從不同角

度進一步理解一元一次方程的概念.

(三)當堂達標

具體內容見同步課件

(四)課堂小結

1.方程的解:使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值.

2.解方程:求方程的解的過程.

第9頁共52頁

3.一元一次方程

(1)只含有一個未知數(元)；

(2)含有未知數的式子都是整式;

(3)等式兩邊都是整式.

?板書設計

只含有一個未知數

(含有末知數的式子都是整式

\未知數的次數都是1

教學反思

第10頁共52頁

5.1.2等式的性質

*課程標準

掌握等式的基本性質，能運用等式的基本性質進行等式的變形.

?教學目標

1.理解等式的基本性質,能運用等式的基本性質進行等式的變形.

2.能正確應用等式的性質解簡單的一元一次方程.

3.經歷用等式的性質解方程的過程，培養(yǎng)學生觀察、分析、概括及邏輯思維能

力.

教學重難點

重點:理解等式的性質，并能利用其解一元一次方程.

難點：能熟練運用等式的性質對方程進行變形.

。教學策略

1.類比小學中學過的等式性質，將數的范圍從正數擴展到有理數，引導學生進行

自主探究，教給學生類比、猜想、驗證等研究問題的方法,培養(yǎng)學生善于動手、

善于觀察、善于思考的學習習慣.

2.由于等式的性質是解方程的基礎和依據，因此在教學時應給予特別重視，變形

的每一步都要讓學生說出依據,從而培養(yǎng)學生的推理能力.

教學過程

（一）情境導入

上節(jié)課我們學習了方程的解，你能說出2x=3,x+l=3這樣簡單方程的解嗎？你能

直接看出方程2x-12=13-x的解嗎？若不能，那么應如何求出它的解呢？因為方程

是含有未知數的等式，因此,我們就從等式的性質入手來解方程.

第11頁共52頁

(二)新知初探

探究一等式的性質

問題1等式是用“二”連接的式子，你能舉出幾個等式的例子嗎？

解：m+nFn+m,x+2x=3x,3X3+1=5X2,3x+l=5y.

這樣的式子,都是等式，一般的等式可以用a=b來表示.

小結：

等式的兩個基本事實：

⑴等式兩邊可以交換.如果a二b,那么b二a.

(2)相等關系可以傳遞.如果a=b,b=c,那么a=c.

問題2(1)小學已經學過等式的一些性質，回想一下這些性質有哪些？

解:等式兩邊同時加(或減)同一個正數，同時乘同一個正數,或同時除以同一個

不為0的正數，結果仍相等.

(2)小學中等式的性質在引入負數后還成立嗎?根據問題2中(1)的結果，判斷下

列等式是否成立,并說明理由.

①a+(-5)=b+(-5);

②a-(-5)=b-(-5);

③-5a=-5b;

解:①成立,a+(-5)=a-5,b+(-5)=b-5,

因為a-5=b-5,所以a+(-5)=b+(-5).

第12頁共52頁

②成立，a-(-5)=a+5,b-(-5)=b+5,

因為a+5=b+5,所以a-(-5)=b-(-5).

③成立,-5a是5a的相反數，-5b是5b的相反數，因為5a=5b,所以-5a=-5b.

④成立,三是鄒J相反數,W是鄒J相反數，

?55-55

因為所以多二女

55-□5

(3)根據問題2中(2)的結果,你能得到什么結論?說出你的想法.

小結：

等式的性質1

等式兩邊加(或減)同一個數(或式子)，結果仍相等.

如果a=b,那么a土c=b二c.

等式的性質2

等式兩邊乘同一個數,或除以同一個不為0的數,結果仍相等.

如果a=b,那么ac=be;如果a=b(cWO),那么巴二2

cc

任務一意圖說明

回憶小學中學過的等式的性質，再把正數范圍擴大到有理數,從而水到渠成,對

發(fā)現的結論用文字、數學語言分別表達出來，培養(yǎng)學生觀察、思考、分析、總

結、歸納的能力，又培養(yǎng)了學生的語言表達能力，特別是培養(yǎng)了學生用符號語言

表示等式性質的能力.

探究二例題講解

1.(1)怎樣從等式x-5=y-5得到等式x二y?

(2)怎樣從等式3+x=l得到等式x=-2?

⑶怎樣從等式4x=12得到等式x=3?

第13頁共52頁

(4)怎樣從等式就二擊得到等式a=b?

解：(1)依據等式的性質1兩邊同時加5.

⑵依據等式的性質1兩邊同時減3.

(3)依據等式的性質2兩邊同時除以4或同乘:.

⑷依據等式的性質2兩邊同時除以擊或同乘100.

2.根據等式的性質填空,并說明依據.

(1)如果2x=5-x,那么2x+=5;

(2)如果m+2n=5+2n,那么m=;

(3)如果x=-4,那么?x=28;

(4)如果3m=4n,那么%=________?n.

2

解：(l)2x+x=5;根據等式的性質1,等式兩邊加x,結果仍相等.

(2)m=5;根據等式的性質1,等式兩邊減2n,結果仍相等.

(3)-7-x=28;根據等式的性質2,兩邊乘-7,結果仍相等.

(4)>2?n;根據等式的性質2,等式兩邊除以2,結果仍相等.

3.利用等式的性質解下列方程：

(l)x+6=17;(2)-3x=15;(3)2x-l=-3;(4)--x+l=-2.

3

解：(1)方程兩邊減6,得x+6-6=17-6,于是x=9.

⑵方程兩邊除以-3,得當哼于是x=-5.

(3)方程兩邊加1,得2x-l+l=-3+l,

化簡,得2x=-2,兩邊除以2,得x=-l.

(4)方程兩邊減1,得-%+1T=-2-1,

化簡，得-白二-3,方程兩邊乘-3,得x=9.

第14頁共52頁

任務二意圖說明

1.通過學生對新知的應用，讓學生體會到新知識在解決問題時的優(yōu)越性、概括

性及抽象性.

2.鞏固等式的兩個性質的運用，加深對等式的基本性質的理解,并且能夠利用等

式的性質解一元一次方程.

(三)當堂達標

具體內容見同步課件

(四)課堂小結

1.基本事實：

(1)如果a=b,那么b=a.

(2)如果a=b,b=c,那么a=c.

2.等式的性質：

(1)性質1:如果a=b,那么a土c二b±c.

(2)性質2:如果a=b,那么ac=be;如果a=b(c#O),那么色上.

CC

3.應用：根據等式的性質解方程.

年板書設計

如果Q=6,那么b=a

基本/

事實、如果Q=Z>.b=c,那么a=c

等式的性質r----性質1、如果a=6,那么a土c=6士c解一兀一次方程

如果aH，羽B(yǎng)么"*；如果a=6(cW0),4B么竟=^-.

。教學反思

第15頁共52頁

5.2解一元一次方程

第1課時合并同類項解一元一次方程

。課程標準

能解一元一次方程.

?教學目標

1.會正確利用合并同類項解ax+bx=c類型的一元一次方程.

2.通過對實例的分析,體會一元一次方程作為實際問題的數學模型的作用.

3.通過學習用合并同類項解一元一次方程,體會等式變形的轉化過程.

教學重難點

重點：建立方程解決實際問題，會解ax+bx=c類型的一元一次方程.

難點:分析實際問題中的已知量和未知量，找出相等關系，列出方程.

。教學策略

先讓學生回顧合并同類項的相關知識,為學習用合并同類項解方程做好鋪墊.再

通過自主探索、合作交流的學習方式.讓學生從熟悉的生活實例出發(fā)，探索獲得

一元一次方程的解法，體驗知識的形成過程，體會觀察、分析、歸納等解決問題

的技能與方法.在教學中采用引導發(fā)現的方法，課堂訓練中鼓勵學生自己動手，

體現學生在課堂上的主體地位.整個教學過程中充分調動學生學習積極性，培養(yǎng)

學生合作學習、主動探究的習慣.

?教學過程

（一）情境導入

《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初日健步不為難,次日腳

痛減一半,六朝才得到其關.”其大意是:有人要去某關口，路程378里,第一天

第16頁共52頁

健步行走,從第二天起,由于腳痛,每天走的路程都為前一天的一半,一共走了六

天才到達目的地.求此人第三天走的路程.

解:若設第3天走的路程為x里,則第2天走的路程為2x一里,第1天走的路

程為4x里,

依次往后推,第4天走的路程為2j里,第5天走的路程為4」里,第6天走

的路程為—工里，

O

根據題意列方程,得4X+2X+X+,+%+2378,

如何解這個方程呢？

（二）新知初探

探究一用合并同類項解一元一次方程

問題某校三年共購買計算機140臺,去年購買的數量是前年的2倍,今年購買

的數量又是去年的2倍，前年這所學校購買了多少臺計算機？

追問1如何列方程?分哪些步驟？

答：（1）設未知數:設前年購買計算機x臺.

⑵找相等關系.

追問2本題中的等量關系是什么？根據等量關系列出怎樣的方程？

答：前年購買量+去年購買量+今年購買量二140臺.

根據等量關系可得x+2x+4x=140.

追問3還有不同的設未知數的方法嗎？

答:若設去年購買計算機x臺，則得方程"x+2x=140;若設今年購買計算機x臺，

則得方程尹如x=140.

42

試一試:把一元一次方程x+2x+4x=140轉化為x=m的形式.

第17頁共52頁

合并.手理I系數化為1

x+2x+4x=140x=20|

思考上述解方程中的“合并”起了什么作用？

小結:解方程中“合并”起了化簡作用，把含有未知數的項合并為一項,從而達

到把方程轉化為ax二b的形式，其中a,b是常數，“合并”的依據是逆用分配律.

任務一意圖說明

通過學生身邊的事例，以學生身邊的實際問題展開討論,突出數學與實際生活的

聯(lián)系.通過采取提問的方式,讓學生主動思考,逐步培養(yǎng)學生獨立解決問題的能

力.

探究二例題講解

1.解下列方程：

(1)2x--x=6-8;(2)7x-2.5x+3xT.5x=-15X4-6X3.

2

解：(1)合并同類項，得￡X=-2,

系數化為1,得x=4.

⑵合并同類項，得6x=78,

系數化為1,得x=-13.

2.足球表面是由若干個黑色五邊形和白色六邊形皮塊圍成的，黑、白皮塊數目

的比為3：5,一個足球表面一共有32個皮塊,黑色皮塊和白色皮塊各有多少個?

解:設黑色皮塊有3x個,則白色皮塊有5x個.

根據題意，列方程3x+5x=32,解得x=4.

則黑色皮塊有3x=3X4=12,

白色皮塊有5x=5X4=20.

答:黑色皮塊有12個，白色皮塊有20個.

第18頁共52頁

［方法歸納］當題目中出現比例時，一般可通過間接設元，設其中的每一份為X,

然后用含X的代數式表示各數量,根據等量關系,列方程求解.

3.有一列數,按一定規(guī)律排列成1,-3,9,-27,81,-243,….其中某三個相鄰數的

和是-1701,這三個數各是多少？

解:設所求三個數中的第1個數是x,則后兩個數分別是-3x,9x.

由三個數的和是T701,得x-3x+9x=T701.

合并同類項，得7x=-l70L

系數化為1,得x=-243.

所以-3x=729,9x=-2187.

答:這三個數是-243,729,-2187.

小結:用方程解決實際問題的過程：

-------------設未知數--------------------值亡小--------

實際問題|獲啟1一元一次方程”作答

分析實際問題中的數量關系，利用其中的相等關系列出方程,是解決實際問題的

一種數學方法.

任務二意圖說明

1.展示解方程的過程,使解法中各步驟的先后順序清晰，滲透算法程序化的思想.

2.通過學生的思考和老師的講解,理解合并同類項的依據是分配律,系數化為1

的依據是等式的性質2,讓學生意識到解方程的過程是有依據的，知識之間是有

聯(lián)系的.

3.通過用方程解決實際問題，歸納列方程解決實際問題的步驟,體驗用方程來解

題的優(yōu)勢，體會方程是刻畫現實世界的重耍模型.

（三）當堂達標

第19頁共52頁

具體內容見同步課件

（四）課堂小結

1.解方程的步驟：

⑴合并同類項（分配律）；（2）系數化為1（等式的性質2）.

2.列方程解應用題的步驟：

（1）設未知數；（2）分析題意找出等量關系；（3）根據等量關系列方程；（4）解

方程并作答.

?板書設計

教學反思

第20頁共52頁

第2課時移項解一元一次方程

?：?課程標準

能解一元一次方程.

?教學目標

1.理解移項的意義,掌握移項的方法.

2.學會運用移項解形如“ax+b=cx+d”的一元一次方程.

3.通過分析實際問題中的數量關系，建立方程解決問題,進一步認識方程模型的

重要性.

教學重難點

重點：用移項解形如ax-b=cx+d的一元一次方程.

難點：能夠抓住實際問題中的相等關系，列一元一次方程解決實際問題.

教學重難點

先通過用等式的基本性質解一元一次方程的學習作為鋪墊，引導學生得到移項

的定義和法則.讓學生體會新知識的學習與事物的發(fā)展變化總是由易到難的，而

解決新問題的方法往往是化“新”為“舊”.對于移項過程中出現的常見錯誤

應給學生進行針對性訓練.引導學生正確地解方程.

?教學過程

（一）情境導入

把一些圖書分給某班學生閱讀,若每人分3本,則余20本;若每人分4本,則還

缺25本.這個班有多少學生？

解:設這個班有x名學生,那么每人分3本時，圖書總數是一3x+20;每人分4

本時，圖書總數是一4x-25,則可列方程為3x+20=4x-25.

第21頁共52頁

你能解這個方程嗎？顯然解這個方程的第一步不是合并同類項，因為兩種同類項

分別分布在等號的兩邊,不能直接合并,那么怎么才能進行合并同類項呢？

(二)新知初探

探究一用移項法解一元一次方程

請運用等式的性質解下列方程：

(l)4xT5=9①；(2)2x=5x—21③.

兩邊同時加15，得兩邊同時減5x,得

②4x=9+15.④2x-5x=-21.

合并同類項，得合并同類項，得

4x=24.-3x=-21.

系數化為1,得系數化為1,得

x=6.x=7.

比一比：從方程①到②,從方程③到④,有哪些項發(fā)生了變化,它們是如何變化的?

小結：

(1)移項的定義:一般地,把方程中的某些項改變符號后，從方程的一邊移到另一

邊,這種變形叫作移項；

(2)移項的依據及注意事項：

移項實際上是利用等式的性質1.

注意事項：移項一定要變號.

思考以上解方程中“移項”起了什么作用？

通過移項,含未知數的項與常數項分別位于方程左右兩邊.

第22頁共52頁

任務一意圖說明

通過學生思考、觀察和教師的講解,認識移項變形,得出移項的方法,便于學生

理解移項的原理.調動學生進一步學習新知識的積極性,滲透化歸思想.

探究二例題講解

1.解下列方程：

(l)3x+7=32-2x;(2)x-3=-x+l.

2

解：(1)移項，得3x+2x=32-7.

合并同類項，得5x=25.

系數化為1,得x=5.

⑵移項，得x-|x=l+3.

合并同類項，得一3二4.

系數化為1,得x=-8.

［方法歸納］解一元一次方程ax+b=cx+d(a,b,c,d均為常數,且aWc)的一般步

驟：

①移項;②合并同類項;③系數化為1.

練習解下列方程：

(l)5x-7=2x-10;

(2)-0.3x+3=9+l.2x.

解：(1)移項，得5x-2x=T0+7.

合并同類項，得3x=-3.

系數化為1,得x=-l.

(2)移項，得-0.3x-l.2x=9-3.

第23頁共52頁

合并同類項,得T.5x=6.

系數化為1,得x=4.

2.某制藥廠制造一批藥品，如果用舊工藝，則廢水排量要比環(huán)保限制的最大量還

多200t;如果用新工藝，則廢水排量要比環(huán)保限制的最大量少100t.新舊工藝

的廢水排量之比為2：5,采用兩種工藝的廢水排量各是多少？

解:若設新工藝的廢水排量為2xt,則舊工藝的廢水排量為5xt.由題意，得

5x-200=2x+100.

移項，得5x-2x=100+200.

合并同類項，得3x=300.

系數化為1,得x=100.

所以2x=200,5x=500.

答:新工藝的廢水排量為200t,舊工藝的廢水排量為500t.

練習某區(qū)期末考試一次數學閱卷中，閱B卷第28題（簡稱B28）的教師人數是

閱A卷第18題（簡稱A18）教師人數的3倍,在閱卷過程中，由于情況變化，需要

從閱B28中調12人到A18閱卷，調動后閱B28剩下的人數比原先閱A18人數的

一半還多3人,求閱B28和閱A18的原有教師人數各為多少？

解:設原有教師x人閱A18,則原有教師3x人閱B28.

依題意，得3xT2=1x+3.

移項，得3x~-2x=3+12.

合并同類項，得*15.

系數化為1,得x二6.

所以3x=18.

第24頁共52頁

答：閱A18原有教師6人，閱B28原有教師18人.

任務二意圖說明

通過例題的解決進一步鞏固利用移項、合并同類項解方程的方法.通過練習，及

時鞏固新知識,加深對化歸思想的理解.加強解方程步驟書寫的規(guī)范性.通過解

決實際問題,進一步體驗用方程來解題的優(yōu)勢.

(三)當堂達標

具體內容見同步課件

(四)課堂小結

1.移項

(1)定義:把等式一邊的某項變號后移到另一邊；

(2)依據:等式的基本性質1.

2.移項解一元二次方程

(1)移項；

⑵合并同類項；

⑶系數化為1.

3.列一元一次方程解決實際問題.

。板書設計

?教學反思

第25頁共52頁

第3課時去括號解一元一次方程

*課程標準

能解一元一次方程.

?：?教學目標

1,了解“去括號”是解方程的重要步驟,會解含有括號的一元一次方程.

2.會用一元一次方程解決實際問題.

3.通過列方程解決實際問題,進一步體會方程模型的作用.

教學重難點

重點：能正確運用去括號法則解一元一次方程.

難點:用一元一次方程解決實際問題.

教學策略

1.首先利用身邊的實際生活問題,讓學生列方程,得出有括號的方程,激起學生

的學習欲望,通過把未知轉化為已知的解題思想，探究去括號解方程的思想方法

和步驟，并在例題的解答中發(fā)現問題,解決問題，鞏固知識,達到加深理解的效果.

2.注重學生主體能力的發(fā)揮及老師的引導作用，強調做題的基本技能和基本技

巧,簡單的教學內容讓學生自學完成任務,教師個別指導,較難的內容首先讓學

生自主探究發(fā)現問題,教師再進行指導.

教學過程

（一）情境導入

神話故事“哪吒鬧海”眾所周知，另有描寫“哪吒斗夜叉”的場面:哪吒和夜叉

真是各顯神通,分身有大，只殺得走石飛沙昏天暗地,只見“八臂一頭是夜叉,三

第26頁共52頁

頭六臂是哪吒,三十六頭難分辨,手臂纏繞百零八,試向看官問一句，幾個夜又兒

哪吒？”

解:設有X個哪吒,則有(36-3X)個夜叉.

依題意，有6x+8(36-3x；=108.

你會解這個方程嗎？

(二)新知初探

探究一利用去括號法則解一元一次方程

問題1某工廠采取節(jié)能措施,去年下半年與上半年相比,月平均用電量減少2

000kW-h(千瓦?時)，全年的用電量是150000kW-h,這個工廠去年上半年平

均每月的用電量是多少?請列出方程.

解:設去年上半年每月平均用電xkW?h,則下半年每月平均用電一(x-2000)

kW?h;

上半年共用電6xkW?h,下半年共用電6(x-2000)kW?h.

根據全年用電150OOOkW?h,

列方程，得6x+6(x-2000)=150000.

思考本題還有其他列方程的方法嗎？

設上半年平均每月用電xkW?h.

則下半年平均每月的用電量為幽產kW?h.

6

根據下半年與上半年相比，月平均用電量減少2000kW-h,

第27頁共52頁

可列方程為X-二2000.

6

問題2觀察下面的方程,結合去括號法則，你能求得它的解嗎？

6x+6(x-2000)=150000

解:去括號,得6x+6x-12000二150000.

移項,得6x+6x=150000+12000.

合并同類項,得12x=162000.

系數化為1,得x=13500.

追問去括號法則的依據是什么？

答:乘法分配律

小結:去括號解一元一次方程的步驟:(1)去括號；(2)移項;(3)合并同類項；(4)

系數化為1.

任務一意圖說明

通過實際問題讓學生進一步體會方程模型的作用，同時認識到學習求解含有括

號方程的必要性.引導學生通過去括號解這個方程,歸納出去括號解一元一次方

程的步驟.

探究二例題講解

解下列方程：

(1)2x-(x+10)=5x+2(x-1);

(2)3x-7(x-l)=3-2(x+3).

解：(1)去括號,得2x-x-10=5x+2x-2.

移項，得2x-x-5x_2x=-2+10.

合并同類項，得-6x=8.

第28頁共52頁

系數化為1,得x=4

(2)去括號,得3x-7x+7=3-2x-6.

移項，得3x-7x+2x=3-6-7.

合并同類項，得-2x=-10.

系數化為1,得x=5.

小結：

解一元一次方程的注意事項：

(1)去括號時不要漏乘,不要出現符號錯誤；

(2)移項時要變號.

任務二意圖說明

通過例題的解決進一步鞏固利用去括號法則解一元一次方程的方法.通過練習、

及時鞏固新知識,發(fā)現解題過程中的錯誤,加強解一元一次方程步驟書寫的規(guī)范

性,加深對轉化思想的理解.

探究三去括號解方程的應用

1.一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流而行，用了2h;從乙碼頭返回甲碼頭逆流而行，

用了2.5h.已知水流的速度是3km/h,求船在靜水中的平均速度.

［點撥］等量關系:這艘船往返的路程相等，即順流速度X順流時間二逆流速度X

逆流時間.

解:設船在靜水中的平均速度為xkm/h,則順流速度為(x+3)km/h,逆流速度為

(x-3)km/h.

根據往返路程相等,列匕方程,得

2(x+3)=2.5(x-3).

第29頁共52頁

去括號,得2x+6=2.5x-7.5.

移項及合并同類項,得0.5x=13.5.

系數化為1,得x=27.

答:船在靜水中的平均速度為27km/h.

2.為鼓勵居民節(jié)約用電,某地對居民用戶用電收費標準作如下規(guī)定:每戶每月用

電如果不超過100kW-h,那么每度按0.50元收費；如果超過100kW-h不超

過200kW-h,那么超過部分每度按0.65元收費;如果超過200kW-h,那么超

過部分每度按0.75元收費.若某戶居民在9月份繳納電費310元,那么他這個

月用電多少kW?h?

分析:若一個月用電200kW?h,則這個月應繳納電費為0.50X100+0.65X

(200-100)=115(元).故當繳納電費為310元時,該用戶9月份用電量超過200

kW?h.

解:設他這個月用電xkW-h.

根據題意，得據50X100+0.65X(200-100)+0.75(x-200)=310,

解得x=460.

答:該用戶這個月用電460kW-h.

小結:對于此類階梯收費的題目，需要弄清楚各階段的收費標準，以及各節(jié)點的

費用.然后根據繳納費月的金額,判斷其處于哪個階段,然后列方程求解即可.

任務三意圖說明

1.掌握用一元一次方程解決實際問題的方法,進一步熟練掌握列方程解應用題

的一般步驟:①根據題意找出等量關系；②列出方程；③解方程；④作答.

2.提高學生分析問題、解決問題的能力.

第30頁共52頁

（三）當堂達標

具體內容見同步課件

（四）課堂小結

1.去括號解一元一次方程的步驟：

（1）去括號；（2）移項；（3）合并同類項；（4）系數化為1.

2.去括號解方程的實際應用

?板書設計

去括號

?教學反思

第31頁共52頁

第4課時去分母解一元一次方程

*課程標準

能解一元一次方程.

。教學目標

1.掌握含分母的一元一次方程的解法.

2.能列出一元一次方程解決實際問題.

3.通過去分母解方程，讓學生了解數學中的“化歸”思想;通過列方程解決實際

問題,讓學生逐步建立方程思想.

?教學重難點

重點:利用去分母解一元一次方程.

難點:探究通過“去分母”的方法解一元一次方程，歸納解一元一次方程的步驟.

教學策略

1.通過實際問題引出帶有分母的一元一次方程,進而探究其解法,并歸納去分母

的方法及解方程的步驟,整個教學過程流暢自然,學生易于接受.

2.讓學生多說、多思考,對于學生提出的問題和解決問題的方法,教師都要給予

鼓勵和引導，并隨時觀察解決,評價時應充分考慮到每個學生的差異.

?教學過程

（一）情境導入

如圖所示,翠湖在青山、綠水兩地之間，距青山50km,距綠水70km.某天，一輛

汽車勻速行駛，途經王家莊、青山、綠水三地的時間如表所示,王家莊距翠湖的

路程有多遠？

第32頁共52頁

地名王家莊青山綠水

時間10:0013:0015:00

『卜50km170kmJ

王家莊青山翠湖綠水

解:設王家莊距翠湖的路程為xkm,則王家莊距青山的路程為（x-50）km,

王家莊距綠水的路程為（x+70）km.

由表知,汽車從王家莊到青山的行駛時間為3h,從王家莊到綠水的行駛時間

為5h.

根據汽車在各段的行駛速度相等,列得方程—嗖?

這個方程與上節(jié)學過的一元一次方程有什么不同之處?你會解這個方程嗎？

（二）新知初探

探究一解含分母的一元一次方程

1.解方程x-50_x+70

35

這個方程中未知數的系數不是整數，如果能化去分母，把未知數的系數化成整數,

就可以使解方程中的計算更簡便.

方程兩邊都乘］5,得5（x-50）=3（x+70）,

去括號,得5x-250=3x+210,

移項,得5x-3x=210+250,

合并同類項，得2x:460,

系數化為1,得x=230

第33頁共52頁

2.解方程：

3%+1_2=3Z：2_2X+3

2105

想一想

(1)若使方程不含有分母,方程兩邊應該同乘什么數？

(2)去分母時要注意什么問題？

解：(1)去分母(方程兩邊同乘各分母的最小公倍數10),

得5(3X+D-10X2=(3x-2)-2(2x+3).

去括號，得15x+5-20=3x-2-4x-6.

移項，得15x-3x+4x=-2-6-5+20.

合并同類項，得16x=7.

系數化為1,得

16

(2)去分母時要注意不能漏乘沒有分母的項.

小結:解一元一次方程的一般步驟：

(1)去分母;(2)去括號；⑶移項；(4)合并同類項;(5)系數化為1.

任務一意圖說明

讓學生在自己摸索、探究、合作的基礎上得出解一元一次方程的步驟.為學生

提供充分從事數學活動的機會,激發(fā)學生的學習積極性，使學生主動參與學習的

全過程，使每個學生都明確解一元一次方程的一般步驟.

探究二例題講解

解下列方程：

(2)3x+,3-等.

第34頁共52頁

解：(1)去分母(方程兩邊乘4),

得2(x+l)-4=8+(2-x).

去括號，得2x+2-4=8+2-x.

移項，得2x+x=8+2-2+4.

合并同類項，得3x=12.

系數化為1,得x=4.

⑵去分母(方程兩邊乘6),

得18x+3(x-1)=18-2(2x-l).

去括號，得18x+3x-3=18-4x+2.

移項，得18x+3x+4x=18-2+3.

合并同類項，得25x=23.

系數化為1,得x嚶.

小結：(1)去分母時，應在方程的左右兩邊乘分母的最小公倍數；

(2)去分母的依據是等式的性質2,去分母時不能漏乘沒有分母的項；

⑶去分母與去括號這兩步分開寫，不要跳步,防止忘記變號.

任務二意圖說明

通過解題過程的體驗,把含有分母系數的一元一次方程化成不含分數系數的方

程,然后求解,使學生對解方程的認識更加完整,滲透了化歸的思想.

探究三去分母解方程的應用

某單位計劃“五一”期間組織職工旅游,如果單獨租用40座的客車若干輛剛好

坐滿;如果租用50座的客車則可以少租一輛,并且有40個剩余座位.

(1)該單位參加旅游的職工有多少人？

第35頁共52頁

（2）如果同時租用這兩種客車若干輛，問有無可能使每輛車剛好坐滿?如有可能，

兩種車各租多少輛（此問可只寫結果,不寫分析過程）？

解：（1）設該單位參加旅游的職工有x人.

由題意,得三管二1，解得x=360.

4050

答:該單位參加旅游的職工有360人.

⑵有可能.因為租用4輛40座的客車、4輛50座的客車剛好可以坐360人，正

好坐滿.

任務三意圖說明

1.掌握列一元一次方程解決實際問題的方法,進一步理解列方程解應用題的一

般步驟:①根據題意找H等量關系；②列出方程；③解方程；④作答.

2.提高學生分析問題、解決問題的能力.

（三）當堂達標

具體內容見同步課件

（四）課堂小結

解一元一次方程的一般步驟：

（1）去分母;⑵去括號;（3）移項；（4）合并同類項；（5）系數化為1.

?板書設計

/1去分母卜、等式的基本性質2

。4去括號卜、分配.

|黑索卜畫2式的基本頡?

Fs合并同類示k分配.

系數化為1卜等式的基本性質2

?教學反思

第36頁共52頁

5.3實際問題與一元一次方程

第1課時配套、工程問題

。課程標準

能根據具體問題列出方程.能根據具體問題的實際意義,檢驗方程解的合理性.

?教學目標

1.掌握配套問題和工程問題中有關量的基本關系式,并會尋求相等關系列方程

求解.

2.通過列方程解決實際問題的過程,體會一元一次方程與實際生活的密切聯(lián)系，

加強數學建模思想的應用意識.

教學重難點

重點：正確列出一元一次方程解決實際問題.

難點：能夠準確找出實際問題中的等量關系，并建立模型解決問題.

。教學策略

1.以生活中一個常見的問題展開,提高學生的興趣,讓學生們認識到數學知識與

我們的實際生活息息相關.然后通過例題教學，為學生提供探索空間，通過猜測、

驗證、質疑、討論、解疑等一系列活動,充分調動學生學習的積極性.讓學生在

實踐中獲得解決問題的方法.

2.引導學生用不同的方式設未知數，用不同的相等關系列方程,并加以比較研究,

同時讓學生注意到檢驗方程解的合理性，切實提高學生分析問題和解決問題的

能力.

教學過程

（一）情境導入

第37頁共52頁

前面我們學習了一元一次方程的解法，本節(jié)課,我們將討論一元一次方程的應用.

生活中，有很多需要進行配套的問題，如課桌和凳子、螺釘和螺母、電扇葉片和

電機等,大家能舉出生活中配套問題的例子嗎？

（二）新知初探

探究一產品配套問題

問題1某廠欲制作一些方桌和椅子，1張方桌與4把椅子剛好配成一套,為了

使桌椅剛好配套,商家應制作椅子的數量是桌子數量的4倍.方桌與椅子的

數量之比是1：4.

問題2某車間有22名工人，每人每天可以生產1200個螺釘或2000個螺

母.1個螺釘需要配2個螺母,為使每天生產的螺釘和螺母剛好配套,應安排生產

螺釘和螺母的工人各多少名？

解:列表分析：

產品類型生產人數單人產量總產量

螺釘X12001200x

螺母22-x20002000(22-x)

等量關系：螺母總量二螺釘總量X2.

設應安排x名工人生產螺釘，（22-x）名工人生產螺母.

由題意，得2000（22-X；=2XI200x.

解得x=10.

所以22-x=12.

第38頁共52頁

答:應安排10名工人生產螺釘，12名工人生產螺母.

小結:解決配套問題的思路：

(1)利用配套問題中物品之間具有的數量關系作為列方程的依據；

(2)利用配套問題中的套數不變作為列方程的依據.

任務一意圖說明

通過提問和學生回答，了解學生對問題中信息的理解能力，引導學生對問題中信

息通過表格做初步梳理和簡單加工;通過對表格填空,檢驗學生是否能夠理解問

題中信息的含義,并滲透如何尋求相等關系.

探究二工程問題

問題1一份工作，甲單獨做需要6天完成，乙單獨做需要5天完成.

(1)若把工作總量設為1,則甲的工作效率(甲一天完成的工作量)是乙的

6

工作效率是1;

一5-

(2)甲做x天完成的工作量是乙做x天完成的工作量是甲、乙合作

65

X天完成的工作量是一.

56

問題2整理一批圖書，由1個人整理需要40h完成.現計劃由一部分人先整理

4h,然后增加2人與他們一起整理8h,完成這項工作.假設這些人的工作效率

相同，具體應先安排多少人進行整理？

分析:設先安排x人做4h.

列表:

人均效率人數時間工作量

前一部分14x

X4

工作4040

第39頁共52頁

后r份18(x+2)

x+28

工作4040

等量關系:前部分工作總量+后部分工作總量二總工作量1

解:設先安排x人整理4h.

根據題意，得掙吟還L

4040

解得X=2.

答:應先安排2人進行整理.

小結:解決工程問題的基本思路：

1.三個基本量:工作量、工作效率、工作時間.

它們之間的關系是:工作量=工作效率X工作時間.

2.相等關系:工作總量二各部分工作量之和.

(1)按工作時間，工作總量二各時間段的工作量之和；

(2)按工作者,工作總量二各工作者的工作量之和.

3.通常在沒有具體數值的情況下,把工作總量看作1.

任務二意圖說明

通過活動使學生掌握在工程問題中，通常把全部工作量簡單表示為1,并得出計

算工作量的基本公式是:工作量二人均效率X人數X時間.如果一件工作分幾個

階段完成，那么“各階段工作量的和二總工作量”.

(三)當堂達標

具體內容見同步課件

第40頁共52頁

（四）課堂小結

用一元一次方程解決實際問題的基本過程如下:

?板書設計

教學反思

第41頁共52頁

第2課時銷售、球賽積分問題

*課程標準

能根據具體問題列出方程.能根據具體問題的實際意義,檢驗方程解的合理性.

?教學目標

1.根據商品銷售中的數量關系列一元一次方程解決與打折銷售有關的實際問題,

并掌握解此類問題的一般思路.

2.掌握解決“球賽積分問題”的一般思路，并會根據方程的解的情況對實際問

題作出判斷.

3.通過體驗運用方程解決實際問題的過程，培養(yǎng)學生抽象、概括、分析問題和

解決問題的能力.

教學重難點

重點：能根據打折銷售問題和積分問題中的數量關系列出一元一次方程,能運用

方程解決實際問題.

難點:將實際問題轉化為數學問題，正確分析銷售問題中的數量關系，找出相等

關系，建立方程并正確求解.

教學策略

1.緊密聯(lián)系實際,用切身的體會與經歷進行講解,有助于活躍課堂氣氛,提高和

增強學生的學習效果.商品銷售中的“進價”“標價”“成本”及“利潤”是

理解題意的關鍵點,應向學生進行詳細的講解.

2.以學生為主體,讓學生以探究為主線，采取合作、交流、探究的方式進行學習,

課堂上學生積極主動,穴斷體現學習的欲望和熱情，使學生的知識得到鞏固的同

時使生活經驗、學習方法等也得到提高.

第42頁共52頁