2024?2025學(xué)年廣東省廣州二中九年級（下）第二次段考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題意.）

1.（3分）下列實數(shù)中，比3大的數(shù)是（）

A.?2B.0C.1D.n

2.（3分）港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，被稱為“新世界七大奇跡之一”，其總長度為5500（）米（）

A.55x105B.5.5x104C.O.55xlO5D.5.5x10，

3.（3分）如圖是由5個相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是（）

為

正面

A.——————尸

C.—任

4.（3分）下列運算正確的是（）

A.2°=0B.2一1」

2

C.2V3-V3=2D.4（-2）2=-2

5.（3分）在RsABC中,ZC=90°,5c=4,則sinA是（）

A.gB.AC，D

554-3

6.（3分）某校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況,隨機調(diào)查100名同學(xué)一周參加體育鍛煉的時間，如下表

所示；同學(xué)參加體育鍛煉時間的中位數(shù)是（）

時間（小時）6789

人數(shù)（人）2（）302624

A.7B.7.5C.28D.30

7.（3分）如圖，一次數(shù)學(xué)活動中，小明將紙帶沿44折疊，則N1的度數(shù)是（)

C.60°D.65°

8.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形0ABe的頂點B在函數(shù)y=K,下列說法正確的是（）

x

A.k>0

B.1y隨x的增大而減小

C.若矩形OA8C的面積為2,則％=2

D.若點3的坐標是（-2,1）,則當(dāng)xV-2時，），的取值范圍是OVyVl

9.（3分）某景區(qū)定制一批文創(chuàng)用品，要求每套文創(chuàng)用品中包括2個書簽和1個冰箱貼.已知生產(chǎn)廠家共

有7（）位工人，每位工人每天可生產(chǎn)15個書簽，則根據(jù)題意可列方程（）

A.2xlOx=15（70-x）B.2x10（70-x）=\5x

C.10,v=2xl5(70-x)D.10(70-x)=2x15x

10.（3分）如圖，半圓O的直徑A8=10,兩弦AC,弦CO=5,且80=8（）

C.3V2D.3V3

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.）

11.（3分）要使分式」一有意義，則x應(yīng)滿足的條件是__________.

x-l

12.（3分）因式分解：2/-|8=.

13.（3分）式子cos245o+ian600cos30°的值為.

14.（3分）若a、6是方程/+3.?5=0的兩個實數(shù)根，則.

15.（3分）如圖，矩形"CO中，人B=6,將線段人。繞點D在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點A的對應(yīng)點為點P,當(dāng)點

P落在。。的垂直平分線上時，AP的長為

DC

16.（3分）如圖，在正方形48co中，對角線AC,點E在。C邊上，且CE=2DE,過點。作。F_LAE,

連接。尸并延長，過點。作0Q_L0P分別交AE,4。于點MH,下列結(jié)論：①NF-及OF;②。尸=

NH?OH；@S^AOG=S^ADG；?cosZAQO=—?其中正確的結(jié)論有________.

5

三、解答題（本大題共9小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（8分）解方程組：華―"

2x-3y=3

18.（8分）如圖，在菱形ABCD中，過點。分別作。于點￡

20.（8分）某校舉行了某學(xué)科實臉操作考試，有A,B,C,D四個實驗，并由學(xué)生自己抽簽決定具體的考

試實驗.

（1）小明抽到實驗。的概率為;

（2）小明和小敏都參加了本次考試，用畫樹狀圖或列表的方法求小明和小敏抽到同?個實驗的概率.

21.（8分）如圖，一次函數(shù)尸左+2的圖象與反比例函數(shù)y=X（x>0）的圖象相交于A（1,a）,y軸分

x

別相交于點8,C.

（1）求反比例函數(shù)的表達式;

(1)求拋物線的解析式；

(2)若直線8c上方拋物線上一點。，滿足NOC8=NAC。，求點。的坐標：

(3)已知點M(m-1,-2//H-5),N(-1,m)，若拋物線與線段MN有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象

25.(8分)如圖，已知矩形A4C。中，48=4,將矩形A8CQ繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形G8E/，點C,

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)點七落在邊A。上時，求的長;

(2)當(dāng)點D,E,F在一條直線上時，設(shè)8E與人。的交點為P；

(3)如圖2,設(shè)點”為邊PG的中點，連接〃E,CE,在矩形44co旋轉(zhuǎn)過程中，求出這個最大值;

若不存在

2024?2025學(xué)年廣東省廣州二中九年級（下）第二次段考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案DBBBABADBB

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題意.）

1.（3分）下列實數(shù)中，比3大的數(shù)是（）

A.-2B.0C.1D.n

【解答】解：:-2<3,8V3,n,3,

???所給的實數(shù)中，比7大的數(shù)是m

故選：D.

2J3分）港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋,被稱為“新世界七大奇跡之一”，其總長度為550co米（）

A.55x|05B.5.5x104C.0.55x105D.5.5x105

【解答】解：數(shù)據(jù)55000用科學(xué)記數(shù)法表示為5.5XI07.

故選：B.

3.（3分）如圖是由5個相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是（）

正面

【解答】解：從.匕邊看共有兩層，底層右邊是一個小正方形.

故選:B.

4.（3分）下列運算正確的是（)

A.2°=0

C.2V3-V3=2D.5/（-2）2=-2

【解答】解：A、2°=8,故該說法不正確；

R、2"=g,故該說法正確；

2

C、2a故該說法不正確；

D、d（-2）2=2；

故選：B.

5.（3分）在RSA8c中，ZC=90°,AC=4,則sinA是（）

A.gB.i.C.3D.i.

5543

【解答】解：???在RsABC中，ZC=90°,BC=3,

AA5=VAC2+BC6=5>

???sinA=^=g.

AB6

故選：A.

6.（3分）某校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，隨機調(diào)查100名同學(xué)一周參加體育鍛煉的時間，如下表

所示：同學(xué)參加體育鍛煉時間的中位數(shù)是（）

時間（小時）6789

人數(shù)（人）20302624

A.7B.7.5C.28D.30

【解答】解：由統(tǒng)計表可得最中間的兩個數(shù)據(jù)為7和8,

???同學(xué)參加體育鍛煉時間的中位數(shù)是2曳=3.5.

2

故選：B.

7.（3分）如圖，一次數(shù)學(xué)活動中，小明將紙帶沿A8折疊，則/I的度數(shù)是（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

【解答】解：如圖，

Bb

VZ2=65°,a//b,

/.Z3=65°.

由折疊的性質(zhì)得，/2=N3=65。,

.*.Z5=180o-650-65o=50°.

，N3=N5=50。.

故選：A.

8.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點B在函數(shù)y=K,下列說法正確的是（）

A.k＞0

B.y隨x的增大而減小

C.若矩形0A8C的面積為2,則攵=2

D.若點8的坐標是（-2,1）,則當(dāng)xV?2時，），的取值范圍是OVyVl

【解答】解：A.由于反比例函數(shù)圖象在第二象限，選項4不符合題意；

B.由圖象可知1y隨犬的增大而增大；

C.由因=5矩形38c=2,而女＜0,選項。不符合題意；

D.若圖象上點8的坐標是（-7,則當(dāng)工＜-2時-，選項Z）符合題意；

故選：D.

9.（3分）某景區(qū)定制一批文創(chuàng)用品，要求每套文創(chuàng)用品中包括2個書簽和1個冰箱貼.已知生產(chǎn)廠家共

有70位工人，每位工人每天可生產(chǎn)15個書簽，則根據(jù)題意可列方程（）

A.2X10A=15（70-x）B.2x10（70-x）=15x

C.10x=2xl5（70-x）D.10(70-x)=2xl5x

【解答】解：由題意可得,

2x10(70-x)=\5x,

故選：B.

10.（3分）如圖，半圓。的直徑/W=10,兩弦AC,弦CD=5,且40=8（）

生

AOB

A.3B.2V3C.3V2D.3V3

【解答】解：如圖，連接A。，

3

A0B,

〈AB為半圓。的直徑，

.??NAO〃=9（廣（圓周角），

?.?"=10,80=8,

=2425

AADVAB-BD=A/10-8=6,

vBC=BC（在同一個圓中,

，NC/）E=NBAE（在同一個圓中，弧相等對應(yīng)的圓周角也相等）,

*：ZCED=ZBEA,

:.ACDESABAE,

VCD=5,

?.?—DE=CD=8=19

AEAB102

：.AE=5DE,

21J

*：AD+DE=AEi

/.62+DE2=4DE2,

???DE=6百或DE=-2F（舍去），

故選:B.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.）

II.（3分）要使分式,有意義，則x應(yīng)滿足的條件是上」.

x-1

【解答】解：根據(jù)題意得X-1和,

解得燈2,

故答案為：,"1.

12.(3分)因式分解：2/-18=2(〃+3)(4-3).

【解答】解：2/-18

=4(a2-9)

=4(〃+3)(?-3).

故答案為：2(a+3)(〃-3).

13.(3分)式子8§245。+121160。8530。的值為2.

【解答】解：原式=(華)之刊用X與

=2?

故答案為：2.

14.(3分)若a、。是方程』+3+-5=0的兩個實數(shù)根，則a2+2a-B=8.

【解答】解：???*0是方程)+3x-5=0的兩個實數(shù)根，

/.a+p=-3,a2+3a-5=8,

a2+3a=6,

:.cr+2a-p

=a8+3a-a-p

=(a2+2a)-(a+p)

=5-(-3)

=3+3

=8,

故答案為：2.

15.(3分)如圖，矩形中，AI)=6,將線段AO繞點。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點A的對應(yīng)點為點，，當(dāng)點

。落在CO的垂直平分線上時，AP的長為二/15或3^國_.

AB

【解答】解：作。。的垂直平分線，交CD于點E,

①當(dāng)點P在矩形A8CO內(nèi)時，如圖，

???四邊形48CQ為矩形，

；?AB=CD=6,AB//CD,

???石尸垂直平分CQ,

尸垂直平分4B,且七尸=4。=5,

???/)￡="=回研=3,

2

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=PD=5,

在Rt△DEP中，由勾股定理得pg±7PD2-DE2，

:?PF=EF-PE=3,

在RSAFP中，由勾股定理得贏

②當(dāng)點尸在矩形A8CQ外時，如圖，

???四邊形A8C。為矩形，

：.AB=CD=5,AB//CD,

???￡/垂直平分CD,

???￡：”垂直平分43,且EF=AD=5,

???。E=4/=工研=3,

8

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AO=PO=5,

在RtAPQE中，由勾股定理得PE=7pD6-DE2>

：.PF=PE+EF=9,

在Rs附尸中，由勾股定理得AP=｛代兇8+pp2-yfgQ=3A/10,

綜上，AP的長為函或3sM.

故答案為：折或3板.

16,（3分）如圖，在正方形A3C。中，對角線AC,點E在QC邊上，且CE=2Q￡,過點。作。以LAE,

連接。尸并延長，過點。作OQ_LOP分別交AE,AD于點、N,H,下列結(jié)論：①NF-Z^OF:②。P?=

NH?OH；③&AOG=SAAOG；?COSZAQO=—?其中正確的結(jié)論有①@③.

5

【解答】解：①???四邊形A4CO是正方形，

：.AO=DO,AC.LBD,

：.NAOD=90。，

???OQA.OP,

,NN。尸=90。，

???/AON=/DOF,

:ZOAD+ZADO=90°=ZOAF+ZDAF+ZADO,

VDF±AE,

/.ZDAF+ZADF=9()0=ZDAF+ZADO+ZODF,

：.ZOAF=ZODF,

在△4人。和4。尸。中，

rZAON=ZDOF

<AO=DO，

ZOAN=ZODF

：AANO@XDFO(ASA),

：.ON=OF,

???△NO/是等腰直角三角形，

，NF=---0JA—=V20F?說法正確；

cosZ.AFO

②在△40〃和4OOP中，

"Z0AH=Z0DP

?OA=OD，

ZA0H=ZD0P

，△AO”經(jīng)△OOP(ASA),

:.AH=DP,

'：/FN()=4、°=ZOAH,NAHN=±OHA,

:.XAHNsAOHN,

.AHHN

??I=',

HOAH

:,AH2=HO*HN,

:,DA=NH?OH,說法正確；

③過點。作。K_LAE于K,

\'DF±AE,

：./OKG=90o=/DFG,

,:CE=2DE,

AD=CD=CE+DE=3DE,

由三角函數(shù)可知，tan/DAE普■二哈鳥

ADAF3

.*.AF=3DF,

:?AN=DF,

:?NF=1DF,

，：ON=OF,NNOF=90°,

?,-OK=KN=KF=yFN?

乙

；.OK=DF,

在4046和4DFG中,

'NOKG=NDFG

-NOGK=NDGF，

OK=DF

:?△OKG^ADFG（AAS）,

：.OG=DG,

5AAOG=5AADG，說法正確：

@VZNAO+ZAON=45°,NAQO+NAON=45。，

：.ZNAO=ZAQO,

?：OG=DG,

：.AO=DO=WG,

由勾股定理可得：AG^/AO2+OG2=V2OGT

由三角函數(shù)可得：COS/AQ0=91=2但，說法錯誤.

AG5

故答案為：①②③.

三、解答題（本大題共9小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（8分）解方程組：（2x+y=7.

2x-3y=3

【解答】解：儼4y

[2x-3y=3②

①-②得：8y=4,即y=L

將）=8代入①得：x=3,

則方程組的解為（x=3

ly=6

18.（8分）如圖，在菱形A8C。中，過點。分別作OE_LA8于點￡

A

B

【解答】證明：???四邊形ABC。是菱形,

：.AD=CD,NA=NC,

DEA.AB,DF1BC,

???NAEZ)=/CTO=90。，

在△4。￡和^CDF中，

rZAED=ZCFD

'ZA=ZC，

AD=CD

，△AO博△CO尸(AAS),

：.AE=CF.

2力

19.(8分)先化簡(1--L)?--再從-2,-1,I

x-1x-1

【解答】解：(卜工)?x2-4

x-3x-5

,x-2x-3

x-1(x+2)(x-2)

4

x+2,

???印，4,-2,

當(dāng)x=-1時,

原式=---=2-

-1+2

20.(8分)某校舉行了某學(xué)科實臉操作考試，有A,B,C,。四個實驗，并由學(xué)生自己抽簽決定具體的考

試實驗.

(1)小明抽到實驗。的概率為1

一4一

(2)小明和小敏都參加了本次考試，用畫樹狀圖或列表的方法求小明和小敏抽到同一個實驗的概率.

【解答】解：(i)一共有4,B,C,。四個試驗1.

4

故答案為：工

4

(2)畫出樹狀圖,

開始

小明

小敏ABCDABCD

可知每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，一共有16種可能出現(xiàn)的結(jié)果，所以小明和小敏抽到同一個試驗的概

率是臺

21.(8分)如圖，一次函數(shù)y=2x+2的圖象與反比例函數(shù)y=X(x>0)的圖象相交于A(1,a),y軸分

x

別相交于點3,C.

(1)求反比例函數(shù)的表達式：

⑵點P在線段AB上，過點。作X軸的平行線交反比例函數(shù)y=工(X>0)的圖象于點Q'當(dāng)PQ國時

x2

【解答】解：(1)依題意得：點A(1,〃)在一次函數(shù)y=2t+3的圖象上,

，a=2xl+5=4,

???點A(1,8),

???點A(1,4)在反比例函數(shù)y=*(x>8)，

x

"=1x4=7,

???反比例函數(shù)的表達式為：y=l；

X

(2)對于y=2i+8,當(dāng)y=0時，

，點8的坐標為（?1,8）,

???點P在線段A8上，

???設(shè)點尸的坐標為（/，21+2）,

???PQ〃人?軸，

，點P的縱坐標為&r+2,

???點Q在反比例函數(shù)y=4的圖象上，

X

???點。的坐標為（照，2t+4），

?.?PQ=旦，

2

.79

??一t=~?

t+16

整理得：2尸+11什7=0,

解得：/=-0.4,1=-2.5（不合題意,

???點。的坐標為（6,1）.

22.（8分）如圖是某地下停車庫入口的設(shè)計示意圖，延長CD與4B交于七點，已知坡道/W的坡比i=I：

2.4是指坡面的鉛直高度CE與水平寬度AC的比，CD的長為0.4米.

（1）請求出。石的長？

（2）按規(guī)定，車庫坡道口上方需張貼限高標志，根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)（即點。到AB的距離）.

【解答】解：（1）如圖，由題意可知,

V/=l：2.5,

1R

?**tanZCAB=7-z*=777,

???CE=--5--

AC12

,??4C=8.2米，

???CE=3米，

???CO=3.4米，

：,DE=3-7.4=2.5(米)；

(2)過點。作。于"，如圖所示:

???NEDH+NDEH=NCAB+NDEH=90。,

:,NEDH=/CAB,

丁tan/CAB;磊，

X乙

tan/EDH=tanNCAB=TT-?

X乙

???EH=-5-，

DH12

.?.設(shè)E，=5x,DH=\2x,

工DE^/DH2+EH2W(12X)2+(5X)8=13x，

???/)E=2.6米，

???13x=4.6,

解得：x=0.7,

/.D//=12x=12x0.2=6.4(米),

答：該車庫入口的限高數(shù)值為2.5米.

23.(8分)如圖1,在△48C中，AB=AC,點。在。0上且NAC&

(I)求證：ED=EC；

(2)在圖2中，求作△4C7)的內(nèi)心G(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡);

(3)在(2)的條件下，若BC?BE=25

AA

圖1圖2

【解答】（1）證明：在AABC中，AB=AC,

ZABC=NACB,

???。。是△ABC的外接圓，點。在OO上，AC=AC，

ZABC=NADC,

?：NBCD=NACB,

:.NBCD=NADC,

：.ED=EC；

（2）解：如圖2,點G即為所求；

A

圖2

ZBCD=ZACB,

???C8是NACD的平分線，

作NCAO的角平分線，兩條角平分線的交點即為△ACD的內(nèi)心G.

作法如下：以A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧、A。于兩點，大于這兩點距離一半的長為半徑畫弧，過A

和這個交點作射線，點G即為所求；

（3）解：VZBAG=ZBAD+^DAG,ZBGA=ZGAC+ZACB.

???G是△ACD的內(nèi)心,

：,ZGAC=ZGAD,

ZBAD=/BCD,ZABC=乙4c8,

：.ZBAD=ZACB,NBGA=NBAG,

?:NB=NB,

，AABEs^CBA,

?.?BEAB,

BACB

：?BE*CB=AB2,

■:BGBE=25,

?MB8=25,

解得：AB=5（負值己舍去）,

:.BG=5.

24.（8分）己知，拋物線y=x2+^+c與x軸交于A,B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C（0,

5）

（1）求拋物線的解析式；

（2）若直線8c上方拋物線上一點。，滿足NOCB=NACO,求點。的坐標：

（3）已知點M（/n-1,-2〃汁5）,N（-1,6），若拋物線與線段MN有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象

【解答】解：（1）???拋物線y=f+Zu+c與y軸交于點C（0,?5）,將點C的坐標代入

。=-5

,b0，

解得：”=-4,

lc=2

???拋物線的解析式為_>=/-4x-5；

（2）如圖6,設(shè)直線CQ與x軸交于點E,

拋物線），=7-M-3與x軸交于A,8兩點（點A在點B左側(cè)）,

當(dāng)丁=0時，得：0=d?4x?5,

解得：x=-7或x=5,

(-1,7),0),

：.OA=\,08=4,

二點C(0,-5),

???OC=4,

：.OB=OC=5,

???NO8C=45。,

在直角三角形80C中，由勾股定理得：gc±VoC2OB7=\52+62=5^2,

:,EH=BH,

設(shè)BE=z，則EH=BH二冬BH哼t，

乙乙

???CH=BOBH=5遙平t，

乙

ZDCB=ZACO,

/.tanZDCB=tanZACO,即里江

CHOC

錚_6.

5V3-

解得；

5

?*,BE*'

o

R1n

?，-0E=0B-BE=2-^-=-T:L

o乙

，E(當(dāng),0)?

o

設(shè)直線CD的解析式為y=k.x+a,將點C

4+a=-5

<當(dāng)k+a=8'

3

解得:2,

a=-4

???直線CD的解析式為y=3x_8

2

3/

y巧x-4

聯(lián)立得:

2

y=x-4x-5

x二班

x=0或6

解得：

y=-513,