2024-2025學(xué)年七年級(jí)（下）期末必考題型專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)【30大考點(diǎn)】

【滬科版2024]

＞題型梳理

【考點(diǎn)1平方根】................................................................................1

【考點(diǎn)2立方根】................................................................................4

【考點(diǎn)3無(wú)理數(shù)及其估算】.......................................................................6

【考點(diǎn)4實(shí)數(shù)的運(yùn)算】............................................................................7

【考點(diǎn)5不等式的基本性質(zhì)】....................................................................1（）

【考點(diǎn)6解一元一次不等式（組”.................................................................12

【考點(diǎn)7一元一次不等式（組）的解】...............................................................16

【考點(diǎn)8一元一次不等式（組）的整數(shù)解】..........................................................18

【考點(diǎn)9一元一次不等式（組）的應(yīng)用】............................................................21

【考點(diǎn)10同底數(shù)導(dǎo)的乘法及其逆用】..............................................................25

【考點(diǎn)11轉(zhuǎn)的乘方與積的乘方及其逆用】.........................................................27

【考點(diǎn)12整式的乘除】..........................................................................29

【考點(diǎn)13乘法公式的運(yùn)算與求值】................................................................32

【考點(diǎn)14乘法公式的幾何背景】..................................................................33

【考點(diǎn)15因式分解】.............................................................................38

【考點(diǎn)16利用因式分解進(jìn)行簡(jiǎn)算】................................................................40

【考點(diǎn)17利用因式分解求值】....................................................................42

【考點(diǎn)18因式分解的應(yīng)用】......................................................................44

【考點(diǎn)19分式】.................................................................................48

【考點(diǎn)20分式的基本性質(zhì)】......................................................................50

【考點(diǎn)21分式的運(yùn)算】..........................................................................52

【考點(diǎn)22解分式方程】..........................................................................56

【考點(diǎn)23分式方程的應(yīng)用】......................................................................60

【考點(diǎn)24對(duì)頂角】...............................................................................62

【考點(diǎn)25兩條直線垂直】........................................................................66

【考點(diǎn)26同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角】............................................................70

【考點(diǎn)27平行線的判定】........................................................................74

【考點(diǎn)28平行線的性質(zhì)】........................................................................77

【考點(diǎn)29平行線的判定與性質(zhì)】..................................................................8（）

【考點(diǎn)3（）平移】.................................................................................84

院舉一反三

【考點(diǎn)1平方根】

【例1】（24-25七年級(jí)?湖南岳陽(yáng)?期末）已知實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足：V^5+-7|+（c+3）2=0,求:

(l)a?b,c的值.

(2)a+b+c的平方根.

【答案】(1)Q=5,b=7,c=—3；

(2)±3

【分析】本題主要考查偶次塞、絕對(duì)值及算術(shù)平方根的非負(fù)性、平方根，熟練掌握偶次累、絕對(duì)值及算術(shù)平

方根的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵；

(1)根據(jù)題意易得V^=0,I力一7|=0,(c+3)2=0,然后進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)(1)可得a+b+c的值，然后根據(jù)平方根可進(jìn)行求解.

【詳解】(1)解：V+|b-7|4-(c+3)2=0,且^^二寺之0,|2?-7|>0,(c+3)2>0,

Va—5=0,|b—7|=0,(C+3)2=0,

解得：a=5,b=7,c=-3；

(2)解：由(1)得：a=5?b=7,c=-3,

?,.a+b+c=5+7—3=9,

，9的平方根為±3,

即a+b+c的平方根為±3.

【變式1-1](24-25七年級(jí)?安徽安慶?期中)如圖所示為一個(gè)按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：

第一行1V2

第二行V32V5V6

第三行V7V83VToV1TV12

第四行V13V14V154V17V18V19V20

根據(jù)數(shù)陣規(guī)律，第八行倒數(shù)第三個(gè)數(shù)是()

A.V72B.V71C.V70D.V69

【答案】C

【分析】本題考查了數(shù)字的變化，算術(shù)平方根，觀察題目找出解題點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律可知:

被開(kāi)方數(shù)是連續(xù)的正整數(shù)，根據(jù)每一行的最后一個(gè)數(shù)的被開(kāi)方數(shù)是所在的行數(shù)乘比行數(shù)大1的數(shù)，可得結(jié)

論.

【詳解】解：第1行的最后一個(gè)數(shù)是&=

第2行的最后一個(gè)數(shù)是巡=&5忑，

第3行的最后一個(gè)數(shù)是g=

第8行最后一個(gè)數(shù)字為58（8+1）=V72,

???第8行倒數(shù)第三個(gè)數(shù)是V8X9-2=V70,

故選：C.

【變式I-2]（24-25七年級(jí)?江蘇無(wú)錫?期末）若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根為2m-6和m+3,則租為

【答案】1

【分析】本題考查平方根的性質(zhì)，熟練掌握平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由平方根的性質(zhì)可求出m的值;

【詳解】解：由題意可知：（2m-6）+（m+3）=0,

3m=3,

771=1,

故答案為：1.

【變式1-3]（24-25七年級(jí)?河北唐山?期中）如圖，把兩個(gè)面積均為37cm2的小正方形紙片分別沿圖⑴中

的虛線裁剪后拼成一個(gè)大的正方形紙片，如圖（2）.

??

、、??

、、//

?八、

??\、

、、

圖⑴圖⑵

（1）大正方形紙片的邊長(zhǎng)為cm：

（2）若沿此大正方形紙片邊的方向裁剪出一個(gè)長(zhǎng)方形紙片，能否使裁剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)是寬的3倍，且

面積為27cm2?若能，求剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)和寬；若不能，試說(shuō)明理由.

【答案】（1）取

（2）沿此大正方形紙片邊的方向，不能裁剪出符合要求的長(zhǎng)方形紙片，理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查算術(shù)平方根，正方形面積公式，關(guān)鍵是由題意求出長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)和寬.

（1）由正方形的面積公式即可求解；

（2）設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)和寬分別是3xcm,xcm,得到3/=27,求出x的值，即可解決問(wèn)題.

【詳解】（1）解：由題意得：大正方形的面積為37x2=74cm2,

???大正方形紙片的邊長(zhǎng)為gem,

故答案為：V74：

（2）沿此大正方形紙片邊的方向，不能裁剪出符合要求的長(zhǎng)方形紙片，理由如下：

???長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)是寬的3倍，

???設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)和寬分別是34m,xcm,

3xx=27,

A2=9,

vx>0,

x-3,

二長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)是9cm,

???9>V74,

???沿此大正方形紙片邊的方向，不能裁剪出符合要求的長(zhǎng)方形紙片.

【考點(diǎn)2立方根】

【例2】（24-25七年級(jí)?湖南衡陽(yáng)?期末）若析正與（8-27尸互為相反數(shù)，則遮一.

【答案】-5

【分析】本題主要考查了立方根的定義和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：如果幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,那么每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為

0.由于a0與（6-27）2互為相反數(shù)，那么它們的和為（），然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到它們每一個(gè)等

于0,由此即可得到關(guān)于。、6的方程，解方程即可求解.

【詳解】解：與（匕-27）2互為相反數(shù)，

???、^T§+（匕-27）2=0,

而⑸石20,（Z?-27）2>0,

：.y[aV8=0,（b-27）2=0,

/.a=-8,b=27,

:.\[a—Vb=>/—8—V27=—2—3=-5.

故答案為：一5.

【變式2-1]（24-25七年級(jí)?江蘇鎮(zhèn)江?開(kāi)學(xué)考試）求下列各式中工的值：

（1）2*-50=0；

（2）（%+3下=-27.

【答案】（1）X=5或%=-5；

（2）x=-6

【分析】本題考查平方根和立方根.掌握一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)是解題的關(guān)鍵，不要漏解.

（1）根據(jù)平方根的定義解方程即可;

（2）根據(jù)立方根的定義解方程即可.

【詳解】（1）解:2,-50=0,

整理得%2=25,

解得：x=5或x=-5；

（2）解：（無(wú)+3尸=-27,

開(kāi)方得：%+3=-3,

解得：x=-6.

【變式2-2］（24-25七年級(jí)?江蘇無(wú)錫?期末）已知4a-3的平方根為±3,a+3b-2的算術(shù)平方根為4,求

a+b的立方根.

【答案】2

【分析】本題考查平方根，算術(shù)平方根和立方根，根據(jù)平方根和算:術(shù)平方根的定義，求出a,b的值，再根據(jù)

立方根的定義，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：4a-3=32=9,a+3d-2=42=16,

/.a=3,b=5,

.\a+b=8,

，a+b的立方根為需=2.

【變式2-3］（24-25七年級(jí)?河北邢臺(tái)?期末）已知一個(gè)底面為正方形的長(zhǎng)方體，高是底面邊長(zhǎng)的2倍，體枳

為432cm3.求：

（1）這個(gè)長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)；

（2戶(hù)3個(gè)長(zhǎng)方體的表面積.

【答案】（l）6cm

（2）360cm2

【分析】此題主要考查了長(zhǎng)方體的體積，表面積，立方根的應(yīng)用，熟練掌握長(zhǎng)方體的體積和表面積的計(jì)算公

式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為xcm,則高為2xcm,然后根據(jù)正方體的體積公式列出方程2x=432,

解此方程求出x即可；

（2）根據(jù)長(zhǎng)方體表面積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為xcm,則高為2xcm,

依題意得：2%=432,

Ax3=216,

??x—6?

，這個(gè)長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為6cm：

（2）解：Vx=6,

：.2x=12,

這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為6cm,寬為6cm,高為12cm,

???這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為:2x（6x6+6x12+6x12）=360（cm2）.

【考點(diǎn)3無(wú)理數(shù)及其估算】

【例3】（24-25七年級(jí)?四川巴中?期末）在實(shí)數(shù)：3.14159,V27,1.010010001-,4.2i,y,湃，無(wú)理數(shù)

有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】此題考查了無(wú)理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).求出舊=3,根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：在實(shí)數(shù)：3.14159,歷=3,1.010010001-,4.21,y,拜，無(wú)理數(shù)有1.010010001…，p

共2個(gè).

故選：B

【變式3-1]（24-25七年級(jí)?重慶南岸?期末）估算2+VH的值應(yīng)在（）

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

【答案】B

【分析】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，利用9Vli<16得到3<vn<4,從而可對(duì)2+Vn進(jìn)行估算.

【詳解】解：???9V11<16,

A3<VT1<4,

.*.5<2+VTl<6.

故選：B.

【變式3-2]（24-25七年級(jí)?福建泉州?期末）已知m、n是兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且九，貝U

m+n=.

【答案】11

【分析】估算確定出M與〃的值，即可求出〃什〃的值.

【詳解】解：<0訪<4,

/.5<2+V10<6,BP5<V4+V10<6,

m=5,〃=6,

則m+n=5+6=\1>

故答案為：11

【點(diǎn)睛】此題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，弄清無(wú)理數(shù)估算的方法是解本題的關(guān)鍵.

【變式3-3](24-25七年級(jí)?山東東營(yíng)?期末)已知一個(gè)數(shù)的兩個(gè)平方根分別是Q+3和2a-15,1+6的立

方根為-2,c是VTT的整數(shù)部分.

(1)求a,b,。的值.

(2)求2a+b+c的平方根.

【答案】(l)a=4,b=-9,c=3

(2)±V2

【分析】本題主要考查平方根，立方根以及實(shí)數(shù)的估算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意得到Q+3+2Q—15=0,l+b=-8,c=3,即可得到答案；

(2)求出2a+b+c=2x4+(-9)+3=8—9+3=2,即可得到答案.

【詳解】(1)解：???眄vVTTvg,即3VdV4,

???CT的整數(shù)部分c為3,

???一個(gè)數(shù)的兩個(gè)平方根分別是Q+3和2。-15,1+b的立方根是一2,c是VH的整數(shù)部分，

???a+3+2a-15=0,1+b=-8,c=3,

解得：a=4,b=—9,c=3；

(2)解：由(1)可知：a=4,b=—9,c=3,

???2Q+匕+c=2x4+(—9)+3=8—9+3=2,

.?.2Q+匕+c的平方根為：±&.

【考點(diǎn)4實(shí)數(shù)的運(yùn)算】

【例4】(24-25七年級(jí)?江西撫州?階段練習(xí))有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當(dāng)輸入的x=256時(shí)，輸

出的y值是.

輸入r卜用取算術(shù)平方根|是無(wú)理數(shù)，輸出

是有理數(shù)

【答案】V2

【分析】本題考查了算術(shù)平方根，以及程序框圖，解題的關(guān)鍵在于正確理解程序框圖.將％=256代入程序

框圖進(jìn)行運(yùn)算求解，即可解題.

【詳解】解:當(dāng)％=256時(shí)，

則我拓=16,16是有理數(shù)，

V16=4,4是有理數(shù)，

V4=2,2是有理數(shù)，

加是無(wú)理數(shù)，

所以輸出的y值是衣；

故答案為：V2.

【變式4-1](24-25七年級(jí)?山東東營(yíng)?期末)計(jì)算

(1)725+>/^27-7(-3)2

(2)(-2尸+|魚(yú)一百|(zhì)一百+7^64

【答案】⑴-1

⑵-&

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算.注意有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

(1)依次利用平方根以及立方根定義對(duì)原式計(jì)算，然后再依次計(jì)算，即可得到結(jié)果.

(2)先計(jì)算乘方，立方根，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可.

【詳解】(1)解：原式=5-3-3

=-1；

(2)解：原式=4+遮一注一百一4

=-V2.

【變式4-2](24-25七年級(jí)?山東青島?期末)任意實(shí)數(shù)x均能寫(xiě)成其整數(shù)部分區(qū)與小數(shù)部分{%}的和，即％=團(tuán)+

{4其中㈤表示不超過(guò)》的最大整數(shù)，0工{封<1.例如I：夜=[甸+{何，其中[得=1,

{72)=72-1；又如-2.5=[-2.5]+{-2.5},其中[-2.5]=-3,{-2.5]=0.5.

回答F列問(wèn)題：

(1)[V13]=,{V13}=；

(2)[1-V13]=；

(3)若[x]=2,[y]=4,則卜+y]所有可能的值為.

【答案】(1)3,A/13-3

(2)-3

(3)6或7

【分析】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，解題關(guān)鍵是理解已知條件中新定義的含義.

(1)先估算g的大小，然后根據(jù)已知條件中的新定義解答即可；

(2)先估算g的大小，再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求出1-舊的大小，然后根據(jù)已知條件中的新定義解答

即可；

(3)根據(jù)已知條件的定義，求出x,y的取值范圍，再利用不等式的性質(zhì)求出無(wú)+y的范圍，進(jìn)行解答即可.

【詳解】(1)解：<舊<4,

???[西=3,{V13}=V13-3,

故答案為：3,V13-3；

(2)???3<V13<4,

.*.-4<-V13<-3,

.'.-4+1<1-V13<-3+1,

即-3V1—V13<—2,

???[1-詞=-3,

故答案為：—3；

(3)v[%]=2,[y]=4,

2<x<3,4<y<5,

6<x4-y<8,

[x+y]=6或7,

故答案為：6或7.

【變式4-3](24-25七年級(jí)?安徽安慶?期末)觀察下列各式：

Jl+*+?l+擊…①

Jl+?*=1+專(zhuān)??②

小+*+盤(pán)=1+息…③

請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問(wèn)題：

(I)發(fā)現(xiàn)規(guī)律小+?*_：

（2）計(jì)算Jl+q+*+Jl+J+5+J1+H+N+…+J1+募+志?

【答案】（1）1+焉

（2）2023翳

【分析】本題考瓷了算術(shù)平方根的探索規(guī)律，發(fā)現(xiàn)所列式子的排列規(guī)律是解題的關(guān)鍵;

（1）通過(guò)觀察得出規(guī)律+>匕*=1?J」、，根據(jù)規(guī)律即可解答；

yjMl.n+l）znx（n+l）

（1）利用規(guī)律得出原式為1+2+1+義+1+9+…+1+—T1—，化簡(jiǎn)即可.

【詳解】（1）根據(jù)規(guī)律可知，

Jl+a+gl*（〃為正整數(shù)），

故答案為：1膜；

QXD

（2）由規(guī)律可得，原式=1+3+1+白+1+，+???+1+

IX/ZXj3X/JU/JX/U/4

【考點(diǎn)5不等式的基本性質(zhì)】

【例5】（24-25七年級(jí)?河南周口?期末）設(shè)a,b,c,d都是整數(shù)，且a<2b,b<3c,c<4d,d<10,則

a的最大值是（）

A.207B.208C.209D.239

【答案】A

【分析】本題考查不等式的基本性質(zhì)，利用不等式的基本性質(zhì)求得d,c,b,Q的值即可，解答關(guān)鍵是熟知

不等式的基本性質(zhì)：不等式基本性質(zhì)1：不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向

不變；不等式基本性質(zhì)2：不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變；不等式基本性質(zhì)3：

不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向變.

【詳解】解：???dv10,d是整數(shù)，

??.d的最大值為9；

c<4d,c是整數(shù)，4x9=36,

??.C的最大值為35；

vb<3c,b為整數(shù)，3x35=105

:.b的最大值為104：

-a<2b,a為整數(shù)，2x104=208,

???Q的最大值為207,

故選：A.

【變式5-1］（24-25七年級(jí)?安徽安慶?期末）設(shè)。>力，則下列不等式中錯(cuò)誤的是（）

A.Q+2>/J+2B.Q.-3>b—3

C.-4b>-4aD.

22

【答案】D

【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可求解，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:A、Va>b,

.\a+2>b+2,該選項(xiàng)正確，不合題意；

B、Va>b,

.*.a-3>b-3,該選項(xiàng)正確，不合題意；

C、Va>b,

A-4a<-4b,

即-4匕>-4a,該選項(xiàng)正確，不合題意；

D、*.*a>b,

??，>?,該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

故選：D.

【變式5-2］（24-25七年級(jí)?廣東深圳?期末）若不等式（m—3）y—l>0（〃?為常數(shù)，且mW3）的解集為

則用的取值范圍是______________.

m-3

【答案】m<3/3>m

【分析】本題考查不等式的基本性質(zhì)，掌握不等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題可知，m-3<0,

解得：mV3,

故答案為：7九<3.

【變式5-3]（24-25七年級(jí)?湖南長(zhǎng)沙?期末）我們定義區(qū)表示不小于實(shí)數(shù)%的最小整數(shù)，例如：[3.7]=4.現(xiàn)

給出下列結(jié)論：

①[一3.14]=-3；②若[%]=3,則2WxV3；③若1.2<x<2,則㈤=2；④若團(tuán)=2,[y]=4,則4<[x+

y]<6.

以上選項(xiàng)中，所有正確的序號(hào)是

【答案】①③④

【分析】本題考查了新定義，不等式的性質(zhì)，理解新定義得出不等式是解題的關(guān)健.

根據(jù)因表示不少于實(shí)數(shù)必的最小整數(shù)，即可解答.

【詳解】根據(jù)定義區(qū)表示不少于實(shí)數(shù)的最小整數(shù)，可得①結(jié)論正確：

若田=3,根據(jù)[X]的意義，得2<xW3,結(jié)論②錯(cuò)誤：

若1.2W%W2,貝|][劃=2,結(jié)論?正確：

當(dāng)團(tuán)=2,[y]=4時(shí)，有1V%W2,3VyW4,???4<x+yW6,.,?[%+y]=5或6,???4<[%+y]W6

結(jié)論④是正確.

綜二所述：①③④正確.

故答案為：①③④.

【考點(diǎn)6解一元一次不等式（組”

【例6】（24-25七年級(jí)?浙江金華?期末）小明同學(xué)解不等式2-學(xué)〉子的過(guò)程如下.請(qǐng)指出首次出現(xiàn)錯(cuò)誤

步驟的序號(hào)，并寫(xiě)出正確的解答過(guò)程.

解：去分母，得2-3（無(wú)+4）>2（1-工）.①

去括號(hào)，得2-3%-12>2-2乂②

移項(xiàng)，得-3%+2%>-2+12+2.③

合并向類(lèi)項(xiàng)，得一12.④

兩邊都除以一1,得％V-12.⑤

【答案】①，過(guò)程見(jiàn)解析

【分析】本題考查解一元一次不等式，根據(jù)去分母，去括號(hào)，移頂，合并，系數(shù)化1，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：去分母時(shí)，常數(shù)項(xiàng)2沒(méi)有乘以最小公倍數(shù)出現(xiàn)錯(cuò)誤；故首次出現(xiàn)錯(cuò)誤的是步驟①；正確的解答

過(guò)程如下：

解：去分母，得12-3（%+4）>2（1-t）.

去括號(hào)，得12-3x-12>2-2x.

移項(xiàng)，得一3x+2%>2+12-12.

合并同類(lèi)項(xiàng)，得-%>2.

兩邊都除以一1，得不<-2.

【變式6-1］（24-25七年級(jí)?四川宜賓?期末）（1）解不等式：號(hào)>?+2,并把它的解集表示在數(shù)軸上.

-5-4-3-2-1~0-I-2345>

x+3>2%①

（2）解不等式組：.X，并求它的非正整數(shù)解.

【答案】（1）工工一1,數(shù)軸見(jiàn)解析；（2）-l<x<3,非正整數(shù)解為一1,0

【分析】本題考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式組，用數(shù)軸表示不等式解集，熟練掌握解一元一

次不等式和解一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵.

（1）先兩邊同時(shí)乘以6去分母得2（2-幻之3（無(wú)-1）+12,然后去分母，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，最后把x的

系數(shù)化為I得到解集，再在數(shù)軸上表示出解集即可；

（2）先解不等式①得“<3,解不等式②得萬(wàn)2-1,得到不等式組的解集，再寫(xiě)出不等式組的非正整數(shù)解

即可.

【詳解】解：（1）等上言^+2

2（2-x）>3（x-1）+12

4—2xN3x—3+12

-2x-3x>-3+12-4

—5x>5

x<-1

不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：

“人▲A11---1--1---1---1---1>

-5-4-3-2-IOI2345

（%+3>2x①

⑵R注2+%②

解不等式①，得％<3,

解不等式②，得工二1

???該不等式組得解集為-1WXV3,

???非正整數(shù)解為一1,0.

【變式6-2](24-25七年級(jí)?黑龍江牡丹江?期末)若關(guān)于x的不等式(2。一份無(wú)+。一56>0的解集是無(wú)

那么關(guān)于x的不等式的解集是.

【答案】X<1

【分析】本題是一個(gè)方程與不等式的綜合題目.由關(guān)于X的不等式(2a-b)x+a-5b>0的解集是x<1,

知XV手華且2a—b<0,據(jù)此得出Q=：8,且b<0,再代入求解即可.

2a-b4

[詳解】解：；(2a—Z?)x+a—5b>0,

(2a—b)x>—a+5b,

*：美干x的不等式(2a-/?)%+a-5b>0的解集是x<|,

.-a+5bS

??-―,

2a-b2

.5,

??-b,

a=4

,\2a—b=2x-b—b<0,a—b=-b,

44

:,匕<0,

關(guān)于X的不等式(a-b)x>\b可化為:bx>

343

解得：

故答案為：x<\.

【變式6-3](24-25七年級(jí)?重慶?階段練習(xí))閱讀下列材料：

解答“已知x-y=2,且x>l,y<0,試確定％+y的取值范圍”有如下解法:

解：v%-y=2,

x=y+2.

又1,

???y+2>1.

???y>1-

又,:y<0,

1<y<0....①

同理，可得1<%V2.…②

①+②，得-l+lVx+y<0+2.

即0Vx+y<2,

???無(wú)+y的取值范圍是0vx+y<2.

請(qǐng)按照上述方法，完成下列問(wèn)題：

(1)已知無(wú)一y=4,且％>3,y<1,則％+y的取值范圍是」

(2)已知a-b=m,且關(guān)于x、y的方程組，中x<0，y>0，求Q+b的取值范圍(結(jié)果用

{X十Ly—DCL—o

含血的式子表示).

【答案】(1)2cx+yV6

(2)3-m<a+b<4-m

【分析】本題考查的是一元一次不等式和一元一次不等式組的解法，掌握一元一次不等式的解法、理解閱讀

材料是解題的關(guān)鍵.

(1)仿照閱讀材料求出x+y的取值范圍；

(2)解出一元一次不等式組，仿照閱讀材料求出a+b的取值范圍.

【詳解】(1)解：；％-y=4,

???x=y+4.

又x>3,

???y4-4>3.

???y>—1.

又y<1,

1<y<1.…①

同理，可得3<%V5.…②

①+②，得-l+3V%+yVl+5.

即2V%+yV6,

x+y的取值范圍是2cx+y<6,

故答案為：2<x4-y<6；

（2）解：解方程組得，｛；二曙二：，

?：a-b=m,

b=a-m,

vx<0,y>0,

ci-2<0,2a—3>0,

解得，|<a<2,

則3-771V2a-771V4-TH,

-,-3-m<a+b<4—m.

【考點(diǎn)7一元一次不等式（組）的解】

【例7】（24-25七年級(jí)?安徽安慶?單元測(cè)試）關(guān)于％的不等式號(hào)一1：>容的解集都是不等式；一1<2-彳

464L

的解，則Q的取值范圍是.

【答案】a<y

【分析】此題考查了解一元一次不等式.先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)兩個(gè)不等式解集的關(guān)系得到?W

4,即可求出a的取值范圍.

【詳解】解：:1<2冶

42

去分母得，x—4<8—2x,

移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得，3%<12,

系數(shù)化為1得，XV4.

x+lI4x-a

『1>丁，

去分母得，3（x4-1）-12>2（4x-a）,

去括號(hào)得，3x+3-12>8x-2a,

移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得，-5%>9-20

解得無(wú)<胃.

由題意可知4,

解得a<v-

故答案為：?<y

【變式7-1]（24-25七年級(jí)?河南洛陽(yáng)?期末）如果關(guān)于x的一元一次不等式組的解集是x>3,

那么m的取值范圍是,

【答案】m<4

【分析】本題考查解一元一次不等式組，先求出不等式組中第一個(gè)不等式的解集，再根據(jù)不等式組

的解集是>>3,即可得到m的取值范圍?解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方

法.

-3x+5<-4①

【詳解】解:

x-m>-1@

解不等式①，得：x>3,

解不等式②，得：x>m-l

???關(guān)于x的一元一次不等式組｛一的解集是x>3,

m—1<3,

解得in<4,

故答案為：W4.

【變式7-2]（24-25七年級(jí)?云南紅河?期末）已知關(guān)于x的不等式組｛孑二黑工；無(wú)解，則m的取值范圍

為.

【答案】m<l

【分析】本題考查不等式組的求解，掌握不等式組解集的確定規(guī)則是解題的關(guān)鍵.由不等式組解的情況，構(gòu)

建關(guān)于待定參數(shù)的不等式，求解得解.

2x—m>1①

【詳解】解:

3x-2m<1@'

由①得：工〉吟,

由②得：工<學(xué)

???不等式組無(wú)解,

?m+12ni+l

??N

23

解得，m<1：

故答案為：m<l.

【變式7-31（24-25七年級(jí)?安徽安慶?期末）已知關(guān)于x、p的二元一次方程組,DI,：對(duì)二）的解滿(mǎn)足x>y,

I4人jrOCXI*

（2x+1>2a

且關(guān)于X的不等式組2X-1<3有解，那么所有符合條件的整數(shù)。的個(gè)數(shù)為.

10~5

【答案】7

【分析】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式（組）的解法、不等式（組）的特殊解等知識(shí)點(diǎn)，熟

知方程組、不等式（組）的解法是解題的關(guān)鍵.先求出二元一次方程組的解，由得出。的范圍；再由

給出的不等式組有解的條件求出。的范圍.綜合考慮。的范圍，即可確定符合條件的整數(shù)。的個(gè)數(shù).

【詳解】解一方程組｛享短舞］的解為^=a-2，

x>y,

2a+12a—2,

解得，QN-3,

2x+1>2a①

解不等式組，

不等式①的解集是x>等,

不等式②的解集是x<p

f2x+1>2a

V不等式組2x-l.3有解,

V—

10-5

?2a-1,7

22

解得，Q<4,

，一34QV4,

???。取整數(shù),

a=-3,—2,—1?0,1?2,3,

???符合條件的整數(shù)。有7個(gè).

故答案為：7.

【考點(diǎn)8Tt一次不等式（組）的整數(shù)解】

［例8］（24-25七年級(jí)?浙江寧波期末）若關(guān)于x的不等式組1J的整數(shù)解有且只有一個(gè)，則Q的取

值范圍是

【答案】0VaW；/：Za>0

【分析】此題考查的是一元一次不等式組的解法和一元一次不等式組的整數(shù)解，求不等式組的解集，應(yīng)遵循

以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了.首先解每個(gè)不等式，然后根據(jù)

不等式組的整數(shù)解的個(gè)數(shù)，確定整數(shù)解，從而確定4的范圍.

2x+a>0①

【詳解】解

x-2a<0@

解①得x>-p

解②得x<2a,

則不等式組的解集是一^<x<2a.

Aa>0,

???不等式組有1個(gè)整數(shù)解，則整數(shù)解是0.

*(0<2(z<1'

解得：OWawg

綜二：0VQ追，

故答案是：0<QWg

【變式8-1](24-25七年級(jí)?山東德州?階段練習(xí))已知關(guān)于x的方程辭+"1=2,若該方程的解是不等式2x-

IV等的最大整數(shù)解，則加=.

【答案】2

【分析】本題考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握不等式和方程的解

題技巧.先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整數(shù)解，即可求出〃?的值，將加的值代入方

程即可求出的值.

【詳解】解：2x-l〈詈

4%-2<1+3x

4x-3x<1+2

x<3,

???不等式2%-1<手的最大整數(shù)解為2,

???關(guān)于X的方程辭+771=2的解是x=2,

2-2

A—+771=2,

3

A7W=2,

故答案為：2.

【變式8-2］（24-25七年級(jí)?遼寧葫蘆島?期末）若x=3是關(guān)于x的不等式3%-加工2%+3的一個(gè)整數(shù)解，

而乂=2不是其整數(shù)解，則機(jī)的取值范圍為.

【答案】一1<m40

【分析】本題考杳了一元一次不等式的整數(shù)解.先解一元一次不等式可得“2m+3,再根據(jù)x=2不是不

等式3%-機(jī)22%+3的整數(shù)解，可得小>一1,然后根據(jù)％=3是關(guān)于x的不等式3%-m工2%+3的一

個(gè)整數(shù)解，可得mWO,即可解答.

【詳解】解：V3x-m>2x4-3,

.\x>m+3.

??3=2不是不等式的整數(shù)解，

m+3>2,

解得m>-1.

Vx=3是關(guān)于x的不等式3x-?n>2%+3的一，個(gè)整數(shù)解，

.,.3x3—mN2x3+3,

m<0,

-1<m<0.

故答案為：-1<加工0.

【變式8-3］（24-25七年級(jí)?四川成都?期末）若關(guān)于上的不等式組的所有整數(shù)解的和是心則。

的取值范圍是—.

【答案】14aV2或—2<a<—1

【分析】本題主要考查一元一次不等式組的解集、整數(shù)解.解不等式組得出解集，根據(jù)整數(shù)解約和為12,可

以確定整數(shù)解為①4,3,2或②4,3,2,1,0,-1,再根據(jù)解集確定。的取值范圍即可.

【詳解】解：解不等式組

解得：a<x<4,

;所有整數(shù)解的和是9,且9=41312或9=4131211101（1）,

???不等式組的整數(shù)解為①4,3,2或②4,3,2,1,0,-1,

1?IWaV2或一2WaV-1；

故答案為：1WQV2或-2WQ<-1.

【考點(diǎn)9一元一次不等式（組）的應(yīng)用】

【例9】（24-25七年級(jí)?安徽合肥?期中）某超市銷(xiāo)售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為160元、120元的48兩種型號(hào)的電器,

如表是近兩周的銷(xiāo)售情況：

銷(xiāo)售數(shù)量

銷(xiāo)售時(shí)段銷(xiāo)售收入

4種型號(hào)8種型號(hào)

第一周2臺(tái)3臺(tái)900元

第二周3臺(tái)5臺(tái)1430元

（進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-進(jìn)貨成本）

（1）求力、4兩種型號(hào)的電器的銷(xiāo)售單價(jià)；

（2）若超市準(zhǔn)備再采購(gòu)這兩種型號(hào)的電器共40臺(tái)，總費(fèi)用不超過(guò)5700元，銷(xiāo)售完這40臺(tái)電器能否實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)

超過(guò)1800元的忖標(biāo)？若能，請(qǐng)給出相應(yīng)的采購(gòu)方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1/、8兩種型號(hào)電風(fēng)扇的銷(xiāo)售單價(jià)分別為210元、160元

（2）能；方案1：采購(gòu)力種型號(hào)的甩器21臺(tái)，8種型號(hào)的電器19臺(tái)；方案2：采購(gòu)彳種型號(hào)的電器22臺(tái)，B

種型號(hào)的電器18臺(tái)

【分析】本題主要考查二元一次方程組與一元一次不等式組的應(yīng)用，熟練掌握等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)力、4兩種型號(hào)的電器的銷(xiāo)售單價(jià)分別為x元、y元，根據(jù)題意列出二元一次方程進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）設(shè)采購(gòu)力種型電器。臺(tái)，則只購(gòu)4種型號(hào)電器（40-a）臺(tái)，列出不等式組進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：設(shè)4、8兩種型號(hào)電器的銷(xiāo)售單價(jià)分別為工元、y元，

依題意得:管募二溫

解得北：覆，

答：/、8兩種型號(hào)電器的銷(xiāo)售單價(jià)分別為210元、160元；

（2）解：能；

設(shè)采購(gòu)A種型號(hào)電器a臺(tái)，則采購(gòu)B種型號(hào)電器（40-a）臺(tái)，

160a+120(40-a)<5700

(210-160)a+(160-120)(40-a)>1800

解得：20<aW

???Q為整數(shù)，

二a=21或Q=22.

方案有兩種：

方案1：采購(gòu)力種型號(hào)的電器21臺(tái)，8種型號(hào)的電器19臺(tái);

方案2：采購(gòu)4種型號(hào)的電器22臺(tái)，4種型號(hào)的電器18臺(tái).

【變式9-1](24-25七年級(jí)?安徽安慶?單元測(cè)試)為籌備元旦聯(lián)歡會(huì)，張老師想在網(wǎng)上商城購(gòu)買(mǎi)巧克力分發(fā)

給全班同學(xué).他購(gòu)買(mǎi)了5包顆數(shù)相同的巧克力，計(jì)劃每人分20顆，這樣會(huì)剩余80顆.后來(lái)因?yàn)榫W(wǎng)店存貨

不足，所以少買(mǎi)了2包，于是改成每人分14顆，當(dāng)分到最后一名同學(xué)時(shí)，發(fā)現(xiàn)只有這名同學(xué)拿不到14顆,

但是至少拿到7顆.全班至少有多少人？至多有多少人？

【答案】全班至少有25人，至多有27人

【分析】本題考查的是二元一次方程與不等式組的應(yīng)用，設(shè)全班有無(wú)人，每包有y顆巧克力，根據(jù)題意，得

20%+80=5y①

再進(jìn)一步解題即可.

7<3y-14(x-1)<14@

【詳解】解：設(shè)全班有工人，每包有y顆巧克力，根據(jù)題意，得

20x+80=5y①

.7W3y-14O-l)<14②

由①得：y=4%4-16,

將y=4x+16代入②，得7&3i4%+16)-14(%-1)<14,

/.7<12x+48-14x+14<14,

/.7<-2x+62<14,

:、—55￡—2.x<—48,

解得：24<x427.5,

?.N是正整數(shù)，

???全班至少有25人，至多有27人.

【變式9-2](24-25七年級(jí)?福建福州?期中)某超市銷(xiāo)售48兩種品牌的牛奶，購(gòu)買(mǎi)2箱4種品牌的牛奶

和2箱8種品牌的牛奶共需230元；購(gòu)買(mǎi)2箱4種品牌的牛奶和5箱B種品牌的牛奶共需410元.

(1)求A種品牌的牛奶，B種品牌的牛奶每箱價(jià)格分別是多少元？

(2)若某公司購(gòu)買(mǎi)4,B兩種品牌的牛妍共20箱,且A種品牌牛奶的數(shù)量至少比B種品牌牛奶的數(shù)量多6箱,

又不超過(guò)4種品牌牛奶的3倍，購(gòu)買(mǎi)力,4兩種品牌的牛奶各多少箱才能使總費(fèi)用最少？最少總費(fèi)用為多少

元？

【答案】(1)4種品牌的牛奶每箱價(jià)格是55元，8種品牌的牛奶每箱價(jià)格是60元

(2)購(gòu)買(mǎi)力品牌的牛奶15箱，8品牌的牛奶5箱才能使總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用為1125元

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握以上知

識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)/種品牌的牛奶每箱價(jià)格是。元，4種品牌的牛奶每箱價(jià)格是8元.根據(jù)題意列出二元一次方程組,

解方程組即可得解：

(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)4品牌的牛奶x箱，則購(gòu)買(mǎi)8品牌的牛奶(20-%)箱.根據(jù)題意列出?元一次不等式組，求出13W

x<15,設(shè)總費(fèi)用為"元，則W=55x+60(20-%)=-5%+1200,再由■次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)彳種品牌的牛奶每箱價(jià)格是。元，8種品牌的牛奶每箱價(jià)格是b元.

根括題意，得伊：林一梵,

12a+5b=410

=55

=60,

???/種品牌的牛奶每箱價(jià)格是55元，B種品牌的牛奶每箱價(jià)格是60元.

(2)解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)力品牌的牛奶x箱，則購(gòu)買(mǎi)4品牌的牛奶(20-%)箱.

根據(jù)題意，得『一只;%)之6,

(x<3(20-X)

解得13WxW15,

設(shè)總費(fèi)用為沙元，則IV=55x+60(20-x)=-5%+1200,

5<0,

??.W隨x的增大而減小，

v13<x<15,

???當(dāng)x=15時(shí)，"值最小，力最小=-5x15+1200=1125,20-15=5(箱).

???購(gòu)買(mǎi)力品牌的牛奶15箱，3品牌的牛奶5箱才能使總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用為1125元.

【變式9-3](24-25七年級(jí)?山東荷澤?期中)據(jù)燈塔專(zhuān)業(yè)版數(shù)據(jù)，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童鬧?！?/p>

總票房達(dá)155.74億元，登頂全球動(dòng)畫(huà)電影票房榜，是亞洲首部票房過(guò)百億的影片，并創(chuàng)造了全球單一電影

市場(chǎng)最高票房紀(jì)錄.該片來(lái)源于哪吒鬧海的傳統(tǒng)故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊兒郎當(dāng)，

實(shí)則勇敢堅(jiān)毅，強(qiáng)烈反差引發(fā)情感共鳴；“我命由我不由天”的不屈精神，讓觀眾汨H.為滿(mǎn)足兒童對(duì)哪吒的

喜愛(ài)，商家推出4、B兩種類(lèi)型的哪吒紀(jì)念娃娃.已知購(gòu)進(jìn)50什4種娃娃和40件B種娃娃的費(fèi)用共2000

元；且每個(gè)B種娃娃的進(jìn)價(jià)比每個(gè)A種娃娃的進(jìn)價(jià)多5元.

AB

(1)每個(gè)71種娃娃和每個(gè)B種娃娃的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

(2)因銷(xiāo)售效果不錯(cuò)，某玩具店決定購(gòu)進(jìn)4、B兩種哪吒玩偶共100個(gè)，且4種娃娃的數(shù)量不多于8種娃娃

數(shù)量，且購(gòu)買(mǎi)資金不超過(guò)226()元.請(qǐng)問(wèn)共有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？哪一種方案最省錢(qián)？

【答案】⑴每個(gè)A種娃娃的進(jìn)價(jià)為20元，則每個(gè)4種娃娃的進(jìn)價(jià)為25元；

(2)?共有3種