2.1.1算術(shù)平方根

第1關(guān)練速度

1.(2024?常州中考改編)16的算術(shù)平方根是()

A.4B.±4C.-D.-4

4

2.下列說法正確的是()

A.7是49的算術(shù)平方根

B.±4是16的算術(shù)平方根

C.-6是(-6尸的算術(shù)平方根

D.0.01是0.1的算術(shù)平方根

3.若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是它本身，則這個(gè)數(shù)為.

4.比簡：

(V49)=;V^O.Ol2=;

(-V7)2=；/(-4)2=;

(Va)2(a>0)=;4c?=.

5.教材變式寫出下列各數(shù)的算術(shù)平方根.

2

(1)169;⑵g⑶ML；(4)VtT008T;⑸(一》；伯)(兀-4)2.

4>\Xz

6.(2024.平頂山期中)如圖，用兩個(gè)邊長為gem的小正方形紙片拼成一個(gè)大的正方形紙片.

(1)求大正方形紙片的邊長.

⑵沿著大正方形紙片的邊的方向截出一個(gè)長方形紙片，能否使截得的長方形紙片的長是

寬的2倍，且面積為30cn??請說明理由.

第2關(guān)練準(zhǔn)確率

7.（2024.馬鞍山期中）若一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是a,則比這個(gè)數(shù)大1的數(shù)的算術(shù)平方根是

（）

A.a2+1B.-/a+1

C.y/a2—1D.Va2+1

8.已知數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡血?—Ia+cI-J（c—匕二一代斤的結(jié)果

是（）

____?___I〕j,

ca0b

A.2c-2bB.-2cC.-2a-2cD.O

9.⑴（廣安中考）若（（a—3）2+VFK=0,則以a,b為邊長的等腰三角形的周長為.

（2）（賀州中考）若m,n滿足]m-n-5|+V2m+n—4=0,,則3m+n=.

10.（2023?內(nèi)蒙古中考改編）設(shè)Si=Jl+Q+9s2=卜+盤+總S3=Jl+。+3,…,Sn=

*\i1/Al乙5*5T

h+1+』.在草稿紙上計(jì)算前三個(gè)式子，觀察計(jì)算所得結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算

勺n2（n+l）2

S]+S2+S3+…+$50的值為?

11.（2024?寧波校級(jí)期中）在如圖所示的3x3的方格中，畫出4個(gè)面積小于9的不同的正方形，

而且所畫正方形的頂點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)上，并寫出你所畫的正方形的邊長.

邊長:邊長:

邊長:________邊長:________

12.找規(guī)律并解決問題.

⑴填寫下表：

a0.00010.0111001()000

Ya

想一想：上表中己知數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)與它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)間有何規(guī)律?

(2)利用規(guī)律計(jì)算:

①已知\/1下=k,?0.15=a,V1500=b,用含k的代數(shù)式分別表示a,b.

②已知百=1.732,同=5.477,則V300“_______,70^03?.

⑶如果近是五的100倍，求x的值.

第3關(guān)練思維寬度

13.⑴若y/(u-2)2=2—"，則a的取值范圍是.

(2)對于有理數(shù)X,799^7+77^99+9的值是L

14.新題型雙空題如圖①，一個(gè)邊長為6的正方形被分割成四個(gè)完全相同的直角三角形和一

個(gè)陰影小正方形(無縫隙、不重疊)，現(xiàn)將這四個(gè)直角三角形分別沿著正方形四條邊向外

翻折，翻折后得到圖②所示的大正方形.

(1)若陰影小正方形的邊長為1，則圖②中大正方形的面積為.

(2)若圖②中大正方形的邊長為正整數(shù)，則陰影小正方形的邊長為.

第2章實(shí)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)

2.1平方根

第I課時(shí)算術(shù)平方根

1.A2.A3.()fig14.490.0174alai

5.(1)13(2)|(3)1()-3(4)0.3(5)g(6)4-九

___o___o

6.(1)大正方形紙片的面積為((，詬)+(V18)=36,?.?62=36,.?.大正方形紙片的邊長為6.

14.（1）71

解析：???一個(gè)邊長為6的正方形被分割成四個(gè)完全相同的直角三角形和一個(gè)陰影小正方形，陰

影小正方形的邊長為1,.??四個(gè)完全相同的直角三角形的面積和為62-產(chǎn)=35..由翻折的

性質(zhì)可得，翻折后的三角形面積等于翻折前的三角形面積，.??題圖②中8個(gè)完全相同的直角

三角形的面積和為35x2=70,.?.大正方形的面積為70+1=71.

（2）何或V8

解析：設(shè)陰影小正方形的面積為x,則大正方形的面積為72-x,.?.大正方形的邊長為

y/72^t

???大正方形的邊長為正整數(shù)，.??邊長大于6且小于9,V72—x=7或>J72—x=8,.*?x=

23或x=8..?.陰影小正方形的邊長為后或V8

2.1.2平方根

一、單選題

1.9的平方根是（）

A.±5/3B.3C.-3D.±3

2.若代數(shù)式工-3沒有平方根，則x的取值范圍是（）

A.x<3B.x>3C.x>3D.x<3

3.下列說法正確的是（）

A.—9的平方根是±3B.J石的算術(shù)平方根是4

C.平方根等于本身的數(shù)是0和1D.0的平方根與算術(shù)平方根都是0

4.下列說法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③而=±4；④0.01是0.1的平方

根；⑤片的平方根是4;⑥81的算術(shù)平方根是±9,其中正確的有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.3個(gè)D.5個(gè)

5.一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是2〃L1和帆+1，則這個(gè)數(shù)是（）

A.2B._2C.4D.1

6.右m和,是10的兩個(gè)平方根，則帆+2〃?〃+〃的值是（）

A.0B.10C.20D.-20

二、填空題

7.49的平方根是.

8.(—Ilf的算術(shù)平方根是；囪的平方根是.

9.若x,y為實(shí)數(shù)且滿足卜—3|+Jy+3=0,則“_y二.

10,已知6*2.449，則0.06的平方根約等于.

三、解答題

11.下列各數(shù)是否有平方根？若有，求出它的平方根；若沒有，請說明理由.

(1)(-3)2;(2)-42；(3)-(a2+l).

12.求卜列各數(shù)的平方根：

(1)144：(2)0.49；(3)0；(4)14：(5)25^；(6)]()-8

13,求下列各式中x的值.

⑴X2=4；(2)X2-81=0>

⑶25/=36；(4)(X-1)2-169=0.

14.一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)不同的平方根分別是2a-3和5-〃.

⑴求。和x的值.

(2)求人-+1為的算術(shù)平方根.

15.如圖，數(shù)軸上從左至右依次有C,。，4B四個(gè)點(diǎn)，分別對應(yīng)的數(shù)字為x,0,1和G，

且A8=CO,

COAB

.III

X01V3

⑴求AB的長，并求x的值；

(2)求(x+6)的平方根.

16.某小區(qū)準(zhǔn)備修建一個(gè)面積為75m2的花壇，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)給出如下兩個(gè)施工方案.

甲：花壇為長方形，且長與寬的比為3:1.乙：花壇為正方形.

⑴求長方形花壇的寬.

(2)嘉淇說：“正方形花壇的邊長肯定比長方形花壇的寬長3m.〃請你判斷嘉淇的說法是否正確,

并通過計(jì)算說明.

甲乙

17.數(shù)學(xué)課上，李老師給大家留了一個(gè)題作為課后作業(yè)：已知一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根為5帆+1，

平方根為±(機(jī)-3)，求這個(gè)數(shù).

以下是樂樂的解題過程：

解；因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的算術(shù)平方根為5m+1,平方根為±(機(jī)-3).

所以57n+1=m—3或5nl4-1=—(m—3).

①當(dāng)5m4-1=m-3時(shí)，解得m=-1,

所以5m+l=—4,所以這個(gè)數(shù)為16；

②當(dāng)5nl+1=-(m—3)時(shí)，解得m=-，

所以5m+l=j所以這個(gè)數(shù)為

3V

綜上所述，這個(gè)數(shù)為16或蔡.

李老師檢查完作業(yè)發(fā)現(xiàn)樂樂的答案錯(cuò)了，你知道哪里錯(cuò)了嗎？請幫他寫出正確的解題過程.

18,小明是一位善于思考.勇于創(chuàng)新的同學(xué).在學(xué)習(xí)了有關(guān)平方根的知識(shí)后，小明知道負(fù)數(shù)

沒有平方根.比如：因?yàn)闆]有個(gè)數(shù)的平方等丁一，所以T沒有平方根.有天，小明想：

如果存在一個(gè)數(shù)3使j2=_i，那么(±。2=一1，因此T就有兩個(gè)平方根了.進(jìn)一步，小明想:

因?yàn)?±2i)2=T，所以Y的平方根是±2八因?yàn)?±31)2=-9,所以-9的平方根就是±3,?.請

你艱據(jù)上面的信息解答下列問題：

(1)求-16,-25的平方根;

(2)求廣，,5,1.6,,7,,.8,...的值，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用式子表示

出來；

(3)求i+/+j3+i4+...+j2022的值.

《2..1?2平方根》參考答案

1.D

【詳解】解：9的平方根為士百二±3.故答案選：D.

2.A

【詳解】解：???代數(shù)式工一3沒有平方根，???x-3<0,解得：x<3；故選：A.

3.D

【詳解】解：A、一9是負(fù)數(shù)，沒有平方根，故A不符合題意;

B、J話=4,4的算術(shù)平方根是2,故B不符合題意；

C、平方根等于本身的數(shù)是0,1的平方根是±1，故C不符合題意；

D、0的平方根與算術(shù)平方根都是0,故D符合題意；故選：D.

4.A

【詳解】解：①36的平方根是±6,故①錯(cuò)誤；②9的平方根是±3,-9沒有平方根，故②錯(cuò)

誤；

③舊=4,故③錯(cuò)誤；④().()1是().1的一個(gè)平方根，故④錯(cuò)誤；⑤4?=16，16的平方根是

±4，故⑤錯(cuò)誤；

⑥81的算術(shù)平方根是9,故⑥錯(cuò)誤；綜上分析可知：正確的為0個(gè).故選：A.

5.D

【詳解】解：由題意得：(2/%-1)+(6+1)=()，即3根=0，解得：/〃=0，

2加一1=一1，.,.這個(gè)數(shù)是(一=1，故選：D.

6.D

【詳解】解：???根和〃是10的兩個(gè)平方根，m+〃=0，加=加，〃=_屈(或反之)，

???mn=VTox(-x/10)=-10.m+2mn+?=(/?+7?)4-2nui=0+2x(—10)=—20.故選：D.

7.±7

【詳解】解：49的平方根是±7.故答案為:±7.

8.11±百

【詳解】解：???(—11)2=112,的算術(shù)平方根是］］；

.,.4=3，.?.囪的平方根是±6；故答案為：11；±73-

9.R

【詳解】解：根據(jù)題意，得/_3=0,y+3=0，解得x=3，產(chǎn)-3，/.yjx-y=A/6?故答案

為：瓜.

10.±0.2449

【詳解】解：?.?^^2.449，/.±^/0X)6=±76x0.01=±>/6x0.1?±0.2449故答案為:

±0.2449?

1L⑴±3.⑵沒有平方根，因?yàn)橐?2是負(fù)數(shù).⑶沒有平方根，因?yàn)橐?M+1)是負(fù)數(shù).

【詳解】(1)???(一3)2=9>0,.??(-3)2有平方根，其平方根為：±3；

(7)-42=-16v()，:?一4?沒有平方根：

(3)?無論a取何值,一0+1)<0,???一團(tuán)+1)沒有平方根..

12.⑴144的平方根為±12.(2)649的平方根為±0.7.(3)0的平方根為0.(4)14的平方根為

(5)1的平方根為±|.(6)|()T的平方根為士,?

【詳解】(1)解：144的平方根為±12.(2)解：0.49的平方根為±0.7.(3)解：0的平方

根為0.

(4)解：14的平方根為±9.(5)解：蔡的平方根為±|.(6)解：?.?10-8='...]0一8的

平方根為土工.

104

13.(l)x=±2(2)x=±9(3)x=±1(4)玉=14，x2=-U

【詳解】⑴解：,.?/=4,.±2.

2

(2)移項(xiàng)，得：x=81%=±9?

(3)整理得：x2=—，/.x=±-.

255

(4)移項(xiàng)，得：(工一1『=169，.“7=±13，，七=14,=-12.

14.(l)?=-2,x=49(2)5

【詳解】(1)解：由題意得：24-3+5-4=0，.?.為-3=-7，.?“=(-7)，49；

即a的值為-2，x的值為49；

（2）解：由（1）可知：〃=一2，x=49，.?.X+12〃=49+12X（-2）=25，/.25的算術(shù)平方根

為5.

15.（DV3-1（2）±1

【詳解】（1）根據(jù)題意可得，AB=43-\-

⑵AB=CO-0-x=y/3-\?解得x=l-6???x+G=l-G+V5=］，l的平方根為±1.

16.（1）長方形花壇的寬為5m（2）嘉淇的說法錯(cuò)誤，理由見解析

【詳解】（1）解：設(shè)長方形花壇的寬為.rm,則長為3xm，由題意得十3工=3/=75，

因此工=點(diǎn)=后=5,即長方形花壇的寬為5m.

（2）解：嘉淇的說法錯(cuò)誤，理由如下：

由（1）知長方形花壇的寬為5米，

若嘉洪的說法正確，正方形花壇的邊長為：5+3=8（m）,

則正方形花壇的面積為:82=64（m2）^75（m2）,

因此假設(shè)不成立，即嘉淇的說法錯(cuò)誤.

17.樂樂的錯(cuò)誤在于沒有考慮算術(shù)平方根的非負(fù)性，當(dāng)H=—1時(shí)，這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根為

5〃!+1=-4<0,不符合算術(shù)平方根為非負(fù)數(shù)的定義，應(yīng)舍去；正確過程見解析

【詳解】解：樂樂的錯(cuò)誤在于沒有考慮算術(shù)平方根的非負(fù)性，當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方

根為5〃z+l=-4v0,不符合算術(shù)平方根為非負(fù)數(shù)的定義，應(yīng)舍去；正確的解題過程如下：

因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的尊術(shù)平方根為5〃計(jì)1，平方根為±（〃?-3），

所以5m+1=〃?-3或5m+1=-（/??—3）?

①當(dāng)5w+1=〃?-3時(shí)，解得m=—1，

所以5根+1=T<0,不符合題意,舍去;

②當(dāng)5/〃+1=-(加—3)時(shí)，解得"z=g,

所以5〃2+1=幺所以這個(gè)數(shù)為史.

39

綜上所述，這個(gè)數(shù)為絲.

9

18.(1)±4/?±5/；(2)j3=_j,1=],戶=I?，/=_],產(chǎn)=「規(guī)律:產(chǎn)

嚴(yán)=],嚴(yán)+1=/.，產(chǎn)+2=_](其中〃是正整數(shù))；(3)i-1.

【詳解】(1)?.?(±4/)2=-16?

.?.-16的平方根是±4，，

???(±5/)2=-25，

??.-25的平方根是±5八

(2)z3=z2?/=—z?

/4=(/2)2=(-1)2=1，

i$=『i=i，

z6=f5.Z=z2=-l，

f=i6，i=-h

l?=81?7-z-=i1?????

規(guī)律是：i每四個(gè)相鄰次方為一個(gè)循環(huán)，

用式子表示為：產(chǎn)T=_j,嚴(yán)=],嚴(yán)+l=j，y+2=_]1其中〃是正整數(shù)).

(3)由(2)可知，以/+產(chǎn)+廠+…+jM2中,相鄰四個(gè)數(shù)的和為0,

???2022+4=505…2，

???原式二505x0+i+(-l)=i-1.

第2章實(shí)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)

2.2立方根

提優(yōu)點(diǎn)：1.了解立方根的概念，知道開立方與立方互為逆運(yùn)算；

2.會(huì)求一個(gè)數(shù)的立方根，并能解決問題.

第1關(guān)練速度

1.(2023.威海中考改編)體積為9的正方體，其邊長等于()

A.9的平方根B.9的算術(shù)平方根

C.9的立方根D.g的算術(shù)平方根

2.9的平方根是()

A.16B.2C.±2D.±V2

3.下列說法錯(cuò)誤的是()

A.病中的a可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零

B.心中的a不可能是負(fù)數(shù)

C.數(shù)a的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)

D.數(shù)a的立方根只有一個(gè)

4.(1)(2024?巴中中考)27的立方根為

(2)—3：的立方根為

(3)10-3的立方根為.

(4)(2023?邵陽中考改編)?-網(wǎng)的立方根為.

5.教材變式化簡：

V(-1)3=；(T)3=_________；

=；('y=0)3=，

6.求下列各式中的x.

(l)x3-0.216=0;(2)-125/=8;

(3)(x-2)34-27=0;(4)|(2x-l)3=4.

7.新趨勢開放性試題若實(shí)數(shù)a,b滿足.荷+正=-2.請按要求解答下列問題:

(1)若a,b都是整數(shù).請寫出一對符合條件的a,b的值；

(2)若a,b都是分?jǐn)?shù).請寫出一對符合條件的a,b的值.

第2關(guān)練準(zhǔn)確率

8.如果-b是a的立方根，那么下列結(jié)論正確的是()

A.-b是的立方根

B.b是a的立方根

C.b是-a的立方根

D.以上都不對

9.若x<0,貝ij-\!x^=()

A.xB.2xC.OD.-2x

10.己知4m+15的算術(shù)平方根是3,2-6n的立方根是-2,則V6n-4m=_.

11.⑴若V(4-/c)3=k-4,則k的值為.

(2)已知=1-a］則a的值為.

12.新趨勢數(shù)學(xué)文化我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之,

九而一，所得開立方除之，即立圓徑.“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V,求其直徑d

的一個(gè)近似公式八渭匕我們知道球的體積公式為.加3那么利用“開立圓術(shù)'‘求直徑相

當(dāng)于體積公式中的g.

13.（2024.慶陽期中）對于結(jié)論:當(dāng)a+b=O時(shí)，〃+〃=0也成立.若將a看成a3的立方根，b看成

b3的立方根，由此得出這樣的結(jié)論：“如果兩數(shù)的立方根互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)也互

為相反數(shù)

（1）舉一個(gè)具體的例子來判斷上述結(jié)論是否成立；

（2）若灑弓和林尸互為相反數(shù)，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根.

14.已知VI礪是一個(gè)正整數(shù)，求滿足條件的最小的正整數(shù)m的值.

第3關(guān)練思維寬度

15.在小于1000的非冬自然數(shù)中，既不是完全平方數(shù)（平方根是整數(shù)）也不是完全立方數(shù)（立

方根是整數(shù)）的數(shù)有（）

A.959個(gè)B.960個(gè)

C.962個(gè)D.963個(gè)

16.（2024.廈門期中）我國數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜

志上有一道智力題：求59319的立方根.華羅庚脫口說出答案，眾人十分驚奇，忙問計(jì)算

的奧妙.你知道他是怎樣迅速準(zhǔn)確地計(jì)算出結(jié)果的嗎。

下面是小超的探究過程，請補(bǔ)充完整:

⑴求V59319.

①由103=1000,1003=loooooo,可以確定悌可可是位數(shù).

②由59319的個(gè)位上的數(shù)是9,可以確定悌殺的個(gè)位上的數(shù)是.

③如果劃去59319后面為三位319得到數(shù)59,而33=27,43=64,可以確定“59319的

十位上的數(shù)是.

由此求得V59319=.

(2)現(xiàn)在換一個(gè)數(shù)103823,你能按這種方法得出它的立方根嗎？

2.2立方根

l.C2.C3.C4.(l)3(2)-I(3)0.1(4)-2

5.-1-1-a-a

6.(l)x=0.6(2)x=-|(3)x=-l(4)x=|

.(1)v+VF=-2,V1+V-27=1—3=-2,a=l,b=-277符合題意(答案不唯一).

(2)vyfa+Vb=-2,￡+［一等=|-1=-2,a=^,b=一等符合題意(答案不唯一).

、4782248

8.C解析：如果-b是a的立方根，即返=一兒那么奪不二/?，即b是-a的立方根，故選C.

9.D解析:；xV0,:.Vx2=|x|=—Xf=x,:.Vx2—=—%—%=一2匕故選D.

10.4解析:?.,4m+15的算術(shù)平方根是3,??.4m+15=9,解得m=-|.

v2-6n的立方根是-2,，2-6n=-8,解得n=1????V6n-4m=V104-6=4.

H.(l)4

(2)0,±l,±V2

解析：立方根等于本身的數(shù)有0,?1,1.當(dāng)1一小=0時(shí)，Q2=］,則a=±］；當(dāng)1一。2=1時(shí),

a2=0,則a=0;當(dāng)1-a2=-1時(shí)Q?=2,則a=±V2.

綜上,a的值為0,±1,士志V2

12.3.375解析：由題意，將1^=,口3代入d/得3竽xg口3d工③收71T3,即

(2丁)3":卷=3.375.

13.(1)成立.舉例不唯一，如：V84-7^8=0,則8與-8互為相反數(shù).

(2)v力和海K互為相反數(shù)，/.河；+海廠*=0,

???8—y+2y-5=0,解得：y=-3.vx+5的平方根是它本身，

.*.x+5=0,.,.x=-5,.*.x+y=-5-3=-8,.*.x+y的立方根是-2.

14.V1287n=V64x2m=必43x2m,且—128m是一個(gè)正整數(shù),.*.2m是一個(gè)正整數(shù)的立

方，又所求的正整數(shù)m最小，；.m=4.

15.C

解析:??,312=961,322=1024,--.312<1000<322.

???在小于1000的非零自然數(shù)中，是完全平方數(shù)的有巴22,…，3R,共31個(gè)數(shù).

3333

???9=729,10=1000,.-.9<1000=10,

.?.在小于1()00的非零自然數(shù)中，是完全立方數(shù)的有口團(tuán)…共9個(gè)數(shù).

???36=729,46=4096,/.36<1000<46,

???在小于1000的非零自然數(shù)中，既是完全平方數(shù)也是完全立方數(shù)的有心，26,36,共3個(gè)

數(shù).

因此，在小于1000的非零自然數(shù)中，既不是完全平方數(shù)也不是完全立方數(shù)的數(shù)有

999-(31+9-3戶962(個(gè)).故選C.

16.⑴①兩②9③339

(2)v103=1000,1003=1000000,而1000<103823<1000000,10<力03823<100,.

??.結(jié)果為兩位數(shù).只有7的立方的個(gè)位上的數(shù)是3,因此結(jié)果的個(gè)位上的數(shù)是7.

如果劃去103823后面的三位823得到數(shù)103,而43=64,53=125,

可以確定V103823的十位上的數(shù)為44,/.V103823=47.

2.3實(shí)數(shù)⑴…無理數(shù)

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1、在眄，y,V2,兀，3.14,3.212212221...,W石這些數(shù)中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

2、美于“近”，下列說法不正確的是()

A.它是一個(gè)無理數(shù);B.它是位的算術(shù)平方根;

C.若QV夕VQ+1,則整數(shù)。為2；D.它可以表示面積為7的正方形的邊長.

3、司南是中國古人利用磁鐵制作的一種指南工具.如圖，司南的形狀像一把湯匙，它的長度

與最大寬度之比為國-1,若屬-1介于兩個(gè)連續(xù)整數(shù)〃和〃+1之間，則〃的值是（）

A.3B.4C.5D.6

4、如圖，實(shí)數(shù)x/TU在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)可能是（）

5、若。＜于Vb,且。與Z?為連續(xù)整數(shù)，則。與的值分別為（）

A.1；2B.2；3C.3；4D.4；5

6、實(shí)數(shù)3乃，一10,V2,無理數(shù)有個(gè).

O

7、如圖，數(shù)軸上標(biāo)注了四段，若。=內(nèi)+1,則表示。的點(diǎn)落在段（填序號(hào)）.

①②③④?

01.534.56

8、已知5+近的小數(shù)部分為〃，5-b的小數(shù)部分為4則—2025=.

9、比較大?。骸?（填.

10、如圖，點(diǎn)A,C,。在數(shù)軸上，點(diǎn)。表示的數(shù)是1,C是線段的中點(diǎn)，線段CO=夜，

則點(diǎn)A表示的數(shù)是.

AIICIDI.

01

11、如圖，正方形4BCQ的面積為7,頂點(diǎn)4在數(shù)軸上表示的數(shù)為1,若點(diǎn)E在數(shù)軸上（點(diǎn)E

在點(diǎn)A的左側(cè)），且AO=AE,則點(diǎn)E所表示的數(shù)為.

12、我們知道，魚是一個(gè)無理數(shù)，將這個(gè)數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.即乃的整數(shù)部

分是1,小數(shù)部分是a-1,請回答以下問題:

(1)45的小數(shù)部分是，5-舊的小數(shù)部分是.

(2)若。是回的整數(shù)部分，〃是次的小數(shù)部分.求+1的平方根.

(3)若7+遙=x+y，其中x是整數(shù)，且OVyVl,求x-y+遙的值.

13、請閱讀下列材料：蘇=2,戶=3,比較a,Z?的大小關(guān)系：

解：.加5=(/)5=25=32,加5=(/)3=33=27,且32>27,

5]5

??a>bt.*-a>b.

類比閱讀材料的方法，解答卜列問題：

(1)上述求解過程中，運(yùn)用了哪一條累的運(yùn)算性質(zhì).

A.同底數(shù)幕的乘法；B.同底數(shù)靠的除法；C,幕的乘方；D.積的乘方.

(2)已知〃>0,b>0,〃=9,戶=5,試比較a,的大小.

14、課堂上，老師出了一道題：比較小與:的大小.小明的解法如下：

Agg_2_2_g_2_2_尺-4

:-33—3一-3一?

V19>16,.-.V19>4,.-.V19-4>0,

V19-4、八V19-2、2

>0,：?>

3------------------3----------3

我們把這種比較大小的方法稱為作差法.請仿照上述方法，比較下列各組數(shù)的大小:

(1)1-遍和1一V3；(2)U和三.

88

【拓展提升】

15、（1）請用“>"、"="、"V"填空:

①2+32V2V3；②1+：2小X?③5+52V5V5.

⑵由（1）中各式猜想"Z+〃與2Vs而77>0）的大小關(guān)系，并說明理由.

⑶學(xué)以致用：某園林設(shè)計(jì)師要用籬笆圍成一個(gè)矩形的花圃.如圖所示，花圃恰好可以借用一

段墻體（墻體足夠長），為了圍成面積為128〃戶的花圃，所用的籬笆至少是多少米？

2.3實(shí)數(shù)⑴一無理數(shù)(答案)

1、B2B384.C5.B

6、2

7、④

8、1

9、>

10、1-2^2

Ik1-V7

12、(1)V10-3,4-V13

?.?3<畫<4,??V1U的整數(shù)部分是3,小數(shù)部分為VIU-3,

v3<V13<4,-4<-x/13<-3,/.I<5-V13<2,

.?.5-715的整數(shù)部分是1,小數(shù)部分為5-?5-1=4一反，故答案為：-3,4-g；

(2)vV81<V90<7100,即9V同V10,.??同的整數(shù)部分a=9,

又MV遍<2,W5的整數(shù)部分為1,四的小數(shù)部分力=8-1,

??3+/?-75+1=9+75-I-V5+I=9,%+/?一代+1的平方根為土眄=±3；

(3)v2<V5<3,.-.9<7+>/5<10,

又?,?7+\^=x+y,其中x是整數(shù)，且()V)，V1,??.x=9,y=7+V5-9=V5-2,

.-.x-y+V5=9-V5+2+V5=11,答：x?y+花的值為11.

13、(1)C由題意得，上述求解過程中，運(yùn)用了幕的乘方知識(shí)，故答案為：幕的乘方;

(2)?：/=(蘇)2=92=81,b6=(Z?2)3=5-3=125,

且81<125,?,"<加，”〈人.

14、解：(1)根據(jù)題意可知，1一遍一(1一遍)=1-V5-14-V3=V3-V5,

???V3<V5,/.V3-V5<0,.-.1-V5<1-V3；

(2)根據(jù)題意可知，二匕善二子，

8888

v3>V5,/.3-V5>0,>0,

888

15、(D@>：②>：③S三

①2+3=5,2V2V3=2V6,

v52=25>(2遍)2=24,：.2+3>2后忑；

@1+-=->211x-=2P=2x=1,

44y4<42

V->1,.-.1+i>21xi；

44y4

③5+5=10,27I3TS=2x5=10,.?.5+5=故答案為：>,>,=；

（2）猜想771+7132標(biāo)R理由如下:

當(dāng)哈0,應(yīng)0時(shí),由條件可知（訴1-2訴I?赤+（TH）?之0,

'-m—2ylmrt+n>0,--m+n>2ylmn：

（3）設(shè)花圃的長為。米，寬為〃米，則。>0,b>0,

^S=ab=]2Snr,

根據(jù)（2）的結(jié)論可得：a+2bN2近F==2、2x128=32（米）.

二籬笆至少需要32米.

2.3.2實(shí)數(shù)

1、（2024秋?巴彥縣期末）與數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對應(yīng)關(guān)系的數(shù)是（)

A.實(shí)數(shù)B.有理數(shù)C.無理數(shù)D.整數(shù)

2、（2025春?路北區(qū)校級(jí)月考）實(shí)數(shù)代的相反數(shù)是（）

A.5B.V5C.-V5D.?

3、（2025春?潛山市期末）實(shí)數(shù)/75、兀-3.14、眄中，無理數(shù)有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

4、2025春?廣陽區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)A可以表示的數(shù)是（）

IIIIIIl.lIII?

-5-4-3-2-I012345

A.V5B.71C.V5-2D.7T-2

5、（2025春?石泉縣校級(jí)月考）如圖，數(shù)軸的一部分被陰影覆蓋了，則被陰影覆蓋的數(shù)可能是（）

-2-IO

A.-V3B.V7C.VTFD.以上都不對

6、（2024秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，正方形A8C。的面積為7,頂點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為1,若點(diǎn)E

在數(shù)軸上（點(diǎn)石在點(diǎn)4的左側(cè)），且AQ=AE,則點(diǎn)E所表示的數(shù)為（）

C.-V7D.1-V7

7、（2024秋?錢塘區(qū)期末）若記。=-2,b=—炳,c=-V7,則〃，b,c的大小關(guān)系是（)

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

8、（2025春?廈門校級(jí)期中）（1）-0的相反數(shù)；（2）|口|=

（3）10的平方根是；（4）5的立方根是；

（5）2-遍相反數(shù)是.（6）＞/記的算術(shù)平方根是.

9、（2025春?新城區(qū)校級(jí)月考）如圖，數(shù)軸上有塊兒被墨跡污染了，則被墨跡覆蓋的無理數(shù)的值可以是

（只需寫出一個(gè)符合條件的實(shí)數(shù)）.

10、（2025春?稱多縣校級(jí)期末）寫一個(gè)比2大，比5小的無理數(shù)：.

11、（2025春?雙灤區(qū)期末）已知3〃-7和。+3是某正數(shù)m的兩個(gè)平方根，佳佳通過前面條件計(jì)算發(fā)現(xiàn)〃?

的立方根為無理數(shù)，根的立方根為.

12、（2025春?同江市期末）已知5+近的小數(shù)部分為小5-夕的小數(shù)部分為4

則（。+6）2025=.

13、定義[劃為不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),例如[1.26]=1,[201]=-3等,那么[f]+即]=.

14、（2025春?新洲區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上表示1,企的對應(yīng)點(diǎn)分別為A,B,

若人是8C的中點(diǎn)，則點(diǎn)。表示的數(shù)為.

AB

II11?

01V22

15、（2024秋?宿遷期末）已知實(shí)數(shù)。+9的?個(gè)平方根是?5,2/）-〃的立方根是?2,c是圓的整數(shù)部分.

（I）a-,b=,c=；

（2）求為+力的算術(shù)平方根.

16、（2025春?阿克陶縣月考改編）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合里：

0.4,y,V9,-2025,V21,?0.010010001…（兩個(gè)1之間依次增加一個(gè)0）.

整數(shù)集合：{…};分?jǐn)?shù)集合：{…};

正實(shí)數(shù)集合：{…};無理數(shù)集合：{…}.

17、【問題提出】魚是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，如何表示或的小數(shù)部分呢？

【問題解決】遮vH即iv&v2,.?.遮的整數(shù)部分是1,???用/-1來表示近的小數(shù)部分.

【美比應(yīng)用】（1）夕的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是：

（2）如果的小數(shù)部分為〃，g的整數(shù)部分為〃，則心-例+舊=；

【拓展應(yīng)用】（3）己知4+正=x+y,其中x是整數(shù)，且OV），V1,求黑的值.

18、（2025春?宜章縣校級(jí)月考）閱讀下列兩則材料，解決問題.

材料一：比較322和4”的大小.

2

解:因?yàn)?”=（2）"=222,3>2,所以322>222,即322>4”.

材料二：比較28和82的大小.

解：因?yàn)?2=（2?）2=26,8>6,所以2*>26,即2*>8?.

（1）比較8。，2741,961的大小為；

（2）已知/=2,護(hù)=3,比較〃，力的大?。ㄐ×鶠榇笥?的數(shù)）.

19、（2025春?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，在4x4的正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長都是I,畫出兩個(gè)

邊長為無理數(shù)的兩個(gè)正方形，且使它的每個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上.并求出所畫正方形的邊長.

20、（2025春?興寧區(qū)校級(jí)期末）數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想.如圖（1）,把兩個(gè)邊長為1dm的小止方形

分別沿對角線剪開，將所得的4個(gè)直角三角形拼在一起，就可以得到一個(gè)面積為2dm2的大正方形，試根

據(jù)這個(gè)研究方法回答下列問題：

-3-2-1A

圖⑵

（1）所得到的面積為2dm2的大正方形的邊長就是原先邊長為1dm的小正方形的對角線長，因此，可得

小止方形的對角線長為dm；

（2）由此，我們得到了一種方法.能在數(shù)軸上畫出無理數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)，則圖（2）中A、B兩點(diǎn)表示的

數(shù)分別為，：

（3）通過動(dòng)手操作，小張同學(xué)把長為5,寬為1的長方形如圖（3）所示進(jìn)行裁剪并拼成一個(gè)正方形，

則圖中大正方形的邊長為；

-5-4-3-2-1012345

221

圖⑶

（4）若Q=-3+VLb=V5-X/2,求代數(shù)式|。+2|+|句的值，并用（2）中相同的方法在圖4的數(shù)軸上表

示對應(yīng)的點(diǎn).（保留作圖痕跡）

2.3實(shí)數(shù)⑵一實(shí)數(shù)（答案）

7、B

8、(1)77；(2)1；(3)±<10；(4)V5；(5)77-2；(6)2.

9、V2

10、V6

11、V16

12、1

13、-1

14、2-V2

15、(I)a=16,b=4,c=6；(2)6.

16、整數(shù)集合：｛V5,-2025...｝；分?jǐn)?shù)集合：｛04y

正實(shí)數(shù)集合：{04y,V9,怎…};無理數(shù)集合：(同，-0.010010001...}.

17、(1)2,V7-2：(2)7；

(3):2＜花＜3,二6＜4+后＜7,：.4+遍的整數(shù)分是6,小數(shù)部分4+乃一6二遍一2,

%+y_6+遙一2_4+6_5+4、后

,??4+V5=x+y,其中x是整數(shù)且0<y<1,

'y+2-V5-2+2一遍-5

18、解：(1)易知：8131=3124,274)=3123,96|=3122,vl24>123>122,.-.8131>274|>961：

(2)易知：々2=2,尸=3,二(白2)3=。6=8,(//)2=〃6=9,...比較可得：a〈b.

19、

20、(1)V2；

(2)1-V2；1+V2；

(3)V5；

(4)解：???〃=?3+&，Z?=V5-V2,M(i+2\+\b\=a+2+b=-3+V2+2+V5-x^2=x/5+1,

在數(shù)軸表示6+1如圖所示：

圖4

第2章實(shí)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)

2.4近似值

第1關(guān)練速度

1.新素材DeepSeek的問世吸引了無數(shù)人的目光，其中DeepSeek-V3大語言模型參數(shù)量約為

671B,在預(yù)訓(xùn)練階段僅使用2048塊GPU訓(xùn)練了約2個(gè)月的時(shí)間，且訓(xùn)練費(fèi)用僅560萬美

元左右.上述信息中，準(zhǔn)確數(shù)是()

A.671B.2048C.2D.560

2.由四舍五入法得到的近似數(shù)：8.01xIO,精確到()

A.萬位B.百分位C.百位D.萬分位

3.(2025?泰安期末)用四舍五入法，分別按要求取0.17328的近似值，下列結(jié)果口錯(cuò)誤的是

()

A.0.2(精確至IJ0.1)

B.0.17(精確到0.01)

C.().174(精確到0.001)

DO1733(精確至IJ().()()()1)

4.(1)(濟(jì)寧中考改編)用四舍五入法取近似值，將數(shù)0.0158精確到千分位的結(jié)果是.

(2)新素材(2024.寧波模擬)神舟十八號(hào)載人飛船是中國載人航天工程發(fā)射的第一八艘載人

飛船，神舟十八號(hào)載人飛船與長征二號(hào)F遙十八運(yùn)載火箭組合體，總質(zhì)量400多噸，總高

度近60米，于2024年4月25日20時(shí)58分57秒在泗泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射，取得圓

滿成功.截至某日，有關(guān)神舟十八號(hào)的相關(guān)瀏覽次數(shù)已高達(dá)626891次，將626891精確到

萬位并用科學(xué)記數(shù)法表示的結(jié)果為.

5.⑴近似數(shù)：2.3x10-3精確到了位.

(2)75右2.236?則該無理數(shù)精確到位.

6.用四舍五入法按要求對下列各數(shù)取近似值，并用科學(xué)記數(shù)法表示.

(1)567899(精確到百位)；

(2)0.0040783(精確到0.0001);

(3)349995(精確到百位);

(4)8.03x104(精確到千位).

第2關(guān)練準(zhǔn)確率

7.把a(bǔ)精確到百分位的近似數(shù)是3.27,則a的取值范圍是()

A.3.265<a<3.275B.3.265<a<3.275

C.3.265<a<3.275D.3.265<a<3.275

8.用四舍五入法得到的近似數(shù)a=2.1,g2.10,那么a,b的關(guān)系是()

A.a=bB.a>b

C.a<bD.以上情況都有可能

9.改編題如圖所示，3x3的方格放置在數(shù)軸上，格點(diǎn)正方形ABCD的頂點(diǎn)D在數(shù)軸上表

示-1.以點(diǎn)D為圓心，DA長為半徑作半圓，交數(shù)軸右側(cè)于點(diǎn)E,則點(diǎn)E所表示的數(shù)

是.(結(jié)果精確到().01,參考數(shù)據(jù)：V3x1.732,V5x2.236)

10.地面向月球發(fā)射的無線電波到達(dá)月球并返回地面，共需2.57s,