九年級數學上學期第一次月考?拔尖卷

【華東師大版】

參考答案與試題解析

第I卷

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（24-25八年級上?上海楊浦?階段練習）化簡二次根式正確的是（）

A.yj—a—1B.y/a+1C.—y/—a—1D.—y/a+1

【答案】C

【分析】本題考杳化簡二次根式，根據二次根式的性質，進行化簡即可.

【詳解】解，小>0，

0a4-1<0,

0a<-1,

團aJ一^^二a?（一"：T）=—y/—a—1；

故選:C.

2.（3分）（2025,河北滄州?二模）甲、乙兩人在解一道一元二次方程時，甲在化簡過程中寫錯了常數項，

因而得到方程的兩個根為6和1,乙在化簡過程中寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根為-2和-5,

則原方程根的情況是（）

A.沒有實數根B.有兩個相等的實數根

C.兩根分別是2和5D.兩根分別是一6和一1

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系、解一元二次方程.熟練掌握一元二次方程根與系數的關

系是解題的關鍵.設原方程為a/+以+c=0（aH0）,由根與系數的關系得一￡=1+6。=（-2）x（-5）,

得出b=-7a,c=10a,再代入到原方程，解出工的值即可得出答案.

【詳解】解：設原方程為"2+bx+c=0（a=0）,

由題意得，一￡=1+6=7,：=（—2）x（—5）=10,

：?b=—7a,c=10a,

二原方程為a/—yax+10a=0（。*0）,即/—7x4-10=0,

解律x1=2,小=5，

???原方程根的情況是兩根分別是2和5.

故選：C.

3.（3分）我們把形如la百+b（a,b為有理數，正為最簡二次根式）的數叫做百型無理數，如2通+3是

店型無理數，則（a+連/是（）

A.&型無理數B.b型無理數C.通型無理數D.g型無理數

【答案】B

【分析】先根據完全平方公式和二次根式的性質進行計算，再得出選項即可.

【詳解】解：（魚+連產

=2+6+473

=8+473,

即、G型無理數，

故選：B.

【點睛】此題考查完全平方公式和二次根式的性質，能正確根據公式和性質展開是解題的關犍.

22

4.（3分）（24?25八年級下,安徽合肥?期末）關于工的一元二次方程a^x-ni）+n=0與a2（x-m）+n=0

稱為“同族二次方程〃.如2a—3/一4=0與3（%—37一4=0就是“同族二次方程〃.現有關于工的一元

二次方程2（%一1）2-1=0與（a+l）x2+（b-2）x-2=0是洞族二次方程“，那么代數式ax2+bx+

2024能取的最大值是（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

【答案】D

【分析】本題考查一元二次方程，配方法的應用，根據新定義，得到（。+1）/+（匕-2）工一2=0,可以寫

成。2（%一1）2-1=0,展開對應相等求出的值，利用配方法求出Q/+板:+2024的最大值即可.熟練

學握新定義是解題的關鍵.

【詳解】解：國關于x的一元二次方程2（%-1）2—1=0與（。+1）/+（8一2）%-2=0是“同族二次方程〃

回第二個方程（a+l）x2+（b-2）x-2=0可以寫成的0-I）2-1=0的形式，

2

團展開得：a2x—2a2%+Q-1）=0

團。+1=。2，b—2=-2az?-2=%—1，

解得：a2=a=-2,b=4

^ax2+bx+2024=-2x24-4%+2024=-2(%-l)2+2026,

0-2(x-I)2<0

0-2(x-l)z+2O26<2O26

13ax2+法+2024能取的最大值是2026.

故選D.

5.(3分)(24-25八年級下?山東煙臺?期末)若最簡二次根式衣沆二豆與疝不^可以合并，則V3m+6的

值是().

A.36B.3V5C.4V5D.46

【答案】B

【分析】本題考查同類二次根式，億簡二次根式，由最簡二次根式揚彳二百與后壬可以合并，可知歷』

與而不號是同類二次根式，由此求出〃?的值，代入廝彳石計算即可.

【詳解】解：由題意知V2〃i-8與Hv十5是同類二次根式,

???2m—8=m+5,

解得m=13,

:.V3m4-6="3x13+6=V45=3V5?

故選B.

6.(3分)(24-25八年級下?安徽合肥?期末)已知關于％的一元二次方程Q/+b無+c=0(aW0,cH0)滿

足a-b+c=0,且有兩個相等的實數根，則下列結論錯誤的是()

A.a—c=0B.b-2c=0C.2a—b=0D.b2—ac=0

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式的意義.

根據題意得出b=Q+c,a=b-c,c=b-a,再根據判別式的意義可知A=0,進而可得答案.

【詳解】解：^a-b+c=0,

???b=Q+c,a=b-c,c=b-a.

*元二次方程a/+bx+c=。有兩個相等的實數根，b=a+c,

???A=b2-4ac=(a+c)2—4ac=(a—c)2=0,

.-.a-c=0,選項A結論正確，不符合題意；

???一元二次方程aM+法+c=0有兩個相等的實數根，a=b-c,

=b2-4ac=b2—4(b—c)c=b2-4bc+4c2=(b-2c)2=0,

團當（〃+1）=741時，解得：nj=~~~——39（舍），&=；"=38,

當，（/?+1）=600時，解得：n==筍（舍），

當+（〃+1）=465時，解得：％=——=-31（舍）＞九2=‘衛(wèi)'=30,

22

當，（〃+1）=300時，解得：叫一1一49（4、-1+49o.

2—-25（舍），九4？——2—24,

故選:B.

【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，通過從一些特殊的數字變叱中發(fā)現不變的因素或按規(guī)律變化的因素,

然后推廣到一般情況.

8.（3分）（24-25八年級下?河南開封?期末）如圖，從一個大正方形中裁去面積為15cm2和24cm2的兩個

小正方形，余下部分的面積為（）

A.6\/l0cm2B.12-710cm2C.18\^10cm2D.20VT0cm2

【答案】B

【分析】本題考杳了算術平方根在幾何圖形中的應用，二次根式的運算等知識，根據已知條件求得大正方形

的邊長是解決問題的關鍵.根據開方運算，可得陰影的邊長，根據二次根式的乘法，可得大正方形的面積,

根據面積的和差，可得答案.

【詳解】解：?.?兩個空白小正方形的面積是15cm2、24cm2

二兩個空白小正方形的邊長是VT虧cm、2Vsem

???大正方形的邊長是（同+2連）cm

???大正方形的面積是（小+2V6）2=（39+125/10）cm2

???陰影部分的面積是39+12>/10-15-24=12同cm?.

故選：B

9.（3分）已知m、n是關于％的一元二次方程“2一倔不1%+上一1=0的兩實數根，則代數式^=

（W?+1）（M+1）的取值范圍是（）

A.^-<y<16B.y<y<16C.4<y<D.4<y<16

【答案】A

【分析】首先根據二次根式的性質以及關于匯的一元二次方程/-VFTZe+k-1=0有兩個實數根，可列

出關于k的不等式組，求解即可獲得k的取值范圍；再根據一元二次方程根與系數的關系可得m+n=

VF短，mn=k-l；求得y關于k的函數解析式，然后根據二次函數的圖像與性質解得(m?+i)(M+。的

取值范圍即可.

【詳解】解：根據題意，m.n是關于x的一元二次方程/一所1%+上一1=0的兩實數根，

%=(-vm)2-4xlx(/c-l)>0，

解得一2<k<2,

又+n=>Jk+2,mn=k-1,

22

0y=m2n2+TH+n4-1

=(mn)2+(77i+n)2—2mn+1

=(k-I)2+(VTTz)2-2(/c-1)+1

=k2-3k+6

?|3、2.15

=(—2)+7，

團此y關于k的函數圖像開口向上，對稱軸為k=|,

團一2<k<2,

團當k=T時，可有y最小=中，

當”=一2時,可有y最大=(-2—}2+?=16,

回y=(m2+1)(/+1)的取值范圍是曰<y<16.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式、二次根式的性質、解不等式組、一元二次方程根與系

數的關系以及二次函數的圖像與性質等知識，綜合性較強，熟練掌握相關知識并靈活運用是解題關鍵.

10.(3分)(24-25八年級下?重慶豐都?期末)對于一個正實數加，我們規(guī)定：用符號［標］表示不大于向的

最大整數(［刈表示不大于，〃的最大整數)，稱［標］為，〃的根整數，如：N可=2,［麗=3.如果我們

對加連續(xù)求根整數，直到結果為1為止.例如：對11連續(xù)求根整數2次，［何=3->［V5］=l,這時候

結果為1.現有如下四種說法：?［V3］+［V6］=［V9］：（2）［VS］2=［（VH）2］：③若方程司-NT=可=

1，則滿足條件的x的整數值有4個：④只需進行3次連續(xù)求根整數運算后結果為1的所有正整數陽中，

最大值與最小值之差為239.其中正確說法的個數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考有新定義“根整數”的理解與應用，涉及無理數的估算、二次根式及最值分析.根據新定義再

結合無理數的估算、二次根式及最值逐一驗證各說法的正確性即可.

【詳解】解：①：計算左邊［V5］=l，［n］=2,和為1+2=3：右邊［詔］=3,等式成立.故①正確.

②：［份「=［（荷）2］,取反例Q=2,左邊［回2=12=L右邊［（或）2］=［2］=2,顯然1H2.故②錯誤.

③：方程［，12-萬一［衣=詞=1,x為整數且3工無工12.

逐一驗證：

當％=4,5,6時，左邊分別為2-1=1,2-1=1,2-1=1,滿足條件：

其他x值均不滿足.故滿足條件的x有3個，而非4個.故③錯誤.

@：設正整數〃?進行3次連續(xù)求根整數運算后結果為［，即［后］=mi->W而］=根2-W萬引=1，

第三次操作時：［而另=1,貝UiW加2<4；

第二次操作時：［師口=血2，則H4m2V（k+1）2,其中k=1,2,3：

第一次操作時：=叫，貝Um/<愕v（n+1）2.

排除提前終止的情況：

若k=l,則1W血1<4,對應mV16,但這些機在2次操作內即可終止，需排除；

若k=2,則4工加1<9,對應16工mV81；

若k=3,M9<mr<16,對應81Wmv256；

團需進行3次根整數運算結果為1的正整數〃?的范圍為16<m<256,

團〃?的最大值為255,最小值為16,差值為255-16=239.故④正確.

綜上，正確說法為①④，共2個.

故選：B.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（2025?河北滄州?模擬預測）若Q<順一兩VQ+1,則正整數a的值是.

【答案】4

【分析】本題考查二次根式的運算，無理數的估算，掌握相關知識是解次問題的關鍵.先進行二次根式的加

減運算，然后估算結果的值即可.

【詳解】解：V80-V20,

=4石-2瓜

=2V5,

??⑷<(2V5)2<52,

4<2V5<5,

回止整數Q的值4.

故答案為：4.

12.(3分)若關于x的一元二次方程(憶-1)/-2同％-5=0有兩個不相等的實數根，則k的最小正整

數值是.

【答案】2

【分析】本題主要考查根的判別式、一元二次方程的定義、解不等式等知識點，解題的關鍵是掌握一元二次

方程a/+bx+c=0(a。0)根的判別式A=b2-4ac.

__o

根據一元二次方程有兩個不相等的實數根得出A=(-2g)-4x(/c-l)x(-5)>0,結合一元二次方程

的定義知左一1H0求解即可.

【詳解】解.：田關于x的一元二次方程(k-l)/一-5=0有兩個不相等的實數根，

/(-2回)2_4x(Ar-1)x(-5)>0,

k于1

解得：k>—1且kH1,

歐的最小正整數值是2.

故答案為：2.

13.(3分)(2025?浙江杭州?模擬預測)用團定義一種新運算：對于任意實數機和n,規(guī)定mEln=m2n-mn-

3n.如1m2=12X2-1X2-3X2=-6,則(-2鴻75=.

【答案】3V3

【分析】本題考查了新定義運算，二次根式的混合運算，根據新定義運算求解即可，掌握相關知識是解題的

關鍵.

【詳解】解：由題意得：

(—2)團百

=(-2)2xV3-(-2)xV3-3xV3

=46+2百-3后

=3V3,

故答案為：3V3.

14.(3分)關于％的方程a(x+nt)?+匕=0的解是/=-5,x2=3(Q、b.m均為常數，。工0),則方

程G(X+m—27+匕=0的解是.

【答案】%i=-3,%2=5/必=5,x2=-3

【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程，首先把方程a(x+m-2)2+h=0,整理成磯(x-2)+m]2+

匕二0的形式，根據方程a(x+m)2+b=0的解是與=—5,x2=3,可知方程磯(無一2)++力=。的解

是々-2=-5,%2-2=3,從而求出方程a(%+771-2)2+b=0的解.

【詳解】解：a(x+血-2)2+b=0,

整理得：a[(x-2)4-m]2+b=0,

,??方程a(k+7n7+b=0的解是=—5,x2=3,

2

二方程磯(％-2)+m]+b=0的解是%i-2=-5,x2—2=3,

解得：=-3,&=5.

故答案為：勺=-3,次=5.

15.(3分)將關于％的一元二次方程/—p%+q=0變形為/=px—q,就可以將/表示為關于％的一次

多項式，從而達到“降次〃的目的，又如x3=xr2=%(p%—q)=...,我們將這種方法稱為“降次法”，通過

這種方法可以化簡次數較高的代數式.根據"降次法"，己知：/一工一1=o,且％>0,則r-2X2+2X+1

的值為.

【答案】1+V5

(分析]先利用/一%-1=0得到/=x+l,代入得到％3-2x2+2x+1化為2%,然后解方程一一%-1=

0得，從而得到爐一2/+2%+1均值.

【詳解】解：???/-工-1=0,

x2=x+1

???x3=x-x2=x(x+1)=x2+x=2x+1

:.x3-2x2+2x+l=2x+l-2(x+1)+2x+1=2x,

解%2一%-1=0得，

a=l,b=—l,c=—1

b2-4ac=1+4=5

Vx>0

-b+yJb2-4ac_1+V5

??X—T-T

2a2

???x3-2x2+2x+l=2x=2x=14-V5,

故答案為：1+而.

【點睛】本題考查了高次方程：通過適當的方法，把高次方程化為次數較低的方程求解，所以解高次方程一

般要降次，即把它轉化成二次方程或一次方程，也有的通過因式分解來解，通過把一元二次方程變形為用

一次式表示二次式，從而達到“降次”的目的，這是解決本題的關鍵.

16.（3分）（24-25八年級上?寧夏銀川?期末）觀察下列分母有理化.

-J—=—1'T)—=—、=V2-1-

V2+A(V2+1)(V2-VT)(在)2_(⑹2J&

募3一技

從計算結果中找出規(guī)律：

島+康+高+…+礴裊聲）（^礪+D=-----------?

【答案】2024

【分析】本題考杳了二次根式的混合運算，平方差公式的運用，光分母有理化，然后合并同類二次根式后利

用平方差公式計算.

【詳解】解：Q+i+6+顯+V5+7I++V2025+V2024）（^2025+1）

=（V2-1+V3-V2+V4-V3+-+V2025-72024）（V2025+1）

="2025-1）（720254-1）

=2025-1

=2024,

故答案為：2024.

第n卷

三.解答題（共8小題，滿分72分）

17.（6分）（24-25九年級上?北京海淀?期中）已知關于x的方程/一（加+1）%+（血一3=0.

⑴求證：方程必有兩個不等實數根：

⑵當m取0VmV5的整數時，存在兩個有理數根，求m的值和這兩個有理數根.

【答案】（1）方程必有兩個不等實數根；

⑵川的值為1，這兩個有理數根為/成.

【分析】本題考查了根的判別式以及公式法解一元二次方程.

（1）由方程的系數結合根的判別式△二爐一4M，可得出A=（1）2+1>U,進而可證出方程必有.兩個

不等實數根；

（2）由〃?的取值范圍及方程存在兩個有理數根，可得出租=1,代入后可得出原方程為/-2刀+］=0,且

4

A=l,再利用公式法，即可求出原方程的兩個有理數根.

【詳解】（1）證明：△=［一（7H+1）］2-4X1x（m-?

-m?+2ni+1-4771+1

=m2—2m+2

=（m-l）2+1.

0（m-I）2>0,

0（m-l）24-1>0,

即A>0,

團方程必有兩個不等實數根；

（2）解：團當機取0V771V5的整數時，存在兩個有理數根，且△=（?九一1）2+1,

0m=1,

團原方程為"一2%+?=0,且4=1,

4

（3此時原方程的解為x=土|出，

加?的值為1,這兩個有理數根為;和|.

18.（6分）（24-25九年級上?福建原門?階段練習）如圖，在矩形ABCU中，AB=16cm,BC=6cm,動點

P、。分別以3cm/s,2cm/s的速度從點A,C同時出發(fā)，沿規(guī)定路線移動.

(1)若點產從點A移動到點N停止，點2隨點產的停止而停止移動，問經過多長時間從Q兩點之間的距離

是10cm?

(2)若點P沿著力818。1。。移動，點。從點。移動到點。停止時，點~隨點Q的停止而停止移動，試探

求經過多長時間仆P8Q的面積為12cm2?

【答案】(1)經過*或后P、Q兩點之間的距離是10cm

DD

(2)經過4秒或6秒4P8Q的面積為12cm2.

【分析】此題主要考查了矩形的性質以及勾股定理和一元二次方程的應用等知識，熟練應用矩形的性質是解

題關鍵.

(1)如圖，過點P作PEJ.CO于E,設x秒后尸Q=10cm,利用勾股定理得出即可.

(2)分類討論：①當點P在48上時；②當點P在8C邊上；③當點P在。。邊上時，根據面積列方程求解

即可.

【詳解】(1)解：過點P作PE_LCO于E.

設無秒后，點P和點Q的距離是10cm.

根據題意得：

(16-2x-3x)2+62=io2,即(16-5x)2=64,

016-5x=±8?

E824

?。?-,x2=不；

13經過!s或§s后P、Q兩點之間的距離是10cm；

AD

E

BC

(2)連接BQ.設經過ys后APBQ的面枳為12cm2.

①當OWywg時，則PB=16-3y,

^PB-BC=12,Bplx(16-3y)x6=12,

解得y=4；

②當暫時，

BP=3y-AB=3y-16,QC=2y,則

和PCQ=*3y-16)x2y=12,

解得力=6,y=-^(舍去)；

2?J

③弓＜”8時,PC=3y-22,

QP=CQ-PC=2y-(3y-22)=22-y,

嗎QP?C8=122-y)x6=12,

解得y=18(舍去).

綜上所述，經過4秒或6秒APBQ的面積為12cm2.

19.(8分)閱讀下列材料?，然后回答問題：在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如今

V373

2

V3+1

一樣的式子，其實我們還可以將其進?步化簡：

s_sxQ_s75

V3一V3xs/3-3

2=2x(--1)=2(6-1)=6_1

V3+1-(V3+1)(73-1)-(V3)2-I2-一

以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.

⑴化簡：專=_;Jf=_；短=一：

(2)化簡：冉+i+遙+心+近+病+…+^/2019+\/2^17；

(3)已知“=晦六,y=簪嚕，求］+匯的值.

V5+V3JV5-V3xy

【答案】⑴竽，祟穹⑵萼1⑶62

【分析】（1）分子分母分別乘百，遮，花一6即可?.

（2）每一個分母都乘以它的有理化因式化簡后合并即可.

（3）將x,y化簡后，對后面算式運用完全平方公式進行變形，代入即可.

【詳解】(1)專=瑞二學,

(2_12x5_逗

5/5-yJSxS~~5~，

1__?近_>/5-V3

百+6-(V5+>/3)(>/5->/3)一~2~

故答案為當，F，學

JD/

（2）原式-1+花一百+次一花++-

2

V2019-1

后《_8?］代8I2/15

(3)x=V5+V3-2''-

0%4-y=8,xy=1

yx（%+y）264

—+—=---------z=----2=52

xyxy1

【點睛】考查二次根式的有理化.根據二次根式的乘除法法則進行二次根式有理化.二次根式有理化主要利

用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式子.

20.18分）（24-2S八年級下?湖南長沙?期末）關于“的一元二次方程。遂+人工+。=0有兩個實數根分別

是%1，%2（%1<32），若%1，冷為整數，則稱（無i，%2）為"。eep"點.

（l）x2+5x+4=0_（填是或否）存在"Deep"點;

⑵若關于x的一元二次方程：/+以+c=0的"Deep”點為（2,3）,求〃，c的值；

⑶關于x的一元二次方程/+2mx+m2+m=0是否存在一"Deep”點，旦該點在直線y=-2x+2上，若

存在，求出川的值，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）是

（2）b=—5?c=6

（3）存在，m=-1

【分析】本題考查解一元二次方程，一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，一次函數圖象上點的特征,

新定義及規(guī)律探究.

（1）先解一元二次方程，得到方程的兩個根，再根據"Deep"點的定義判斷即可：

(2)根據一元二次方程根與系數的關系得2+3=-42x3=c,進而可得答案；

(3)假設存在，根據題意△=(2m)2-4x1x(爪2+7n)=N0,求出mW0；再根據%1+小=一2血,

2

xtx2=m+m,得到必=2+2m,x2=-2—4m,代入/乃=m?+m化簡為9血？+13^+4=0,求出

加，檢驗是否符合題意即可.

【詳解】(1)解：由/+5%+4=0,得(x+4)(x+1)=0,

回x+4=0或％+1=0,

解得=-4,x2=-1,

團-4,-1為整數,

12(-4,-1)是“Deep"點,

故答案為：是；

⑵解：團關于x的一元二次方程：/+b%+c=0的〃Deep"點為(2,3),

囹2+3=—b,2x3=c,

故6=-5,c=6；

(3)解：假設關于x的一元二次方程/+2mx+m2+m=0存在一"Deep”點，且該點在直線y=-2x+2上,

由爐+2mx+m2+m=0,

得A=(2m)2-4x1x(m2+m)=-4m>0,

故n<0,

2

由一元二次方程的根與系數的關系得％1+x2=-2m,xxx2=m+m,

回X2=-2m—,

(TUeep”點(與,"2)在直線y=-2x+2上，

0x2=-2%i+2,

0—2xj+2=-2m—%i，

解得無1=2+2m,x2=-2—4m,

所以％1為2=(2+2m)(-2-4m)=m2+m,

整理得9m2+13m+4=0,

解得m=-1或m=-￡

當？n=-l時，方程為/-2x=0,x1=0,小=2，"Deep"點坐標為(0,2),符合；

當m=時，.=2+2/n=爭％=-2-4771=-:不是整數解，舍去.

綜上，關于x的一元二次方程M+277ix+m?+m=o存在一"oeep”點，且該點在直線y=-2丫+2上，此

時?n=-1.

21.(10分)(24-25八年級下?江西贛州?期中)閱讀材料：像(乃+2)(遍-2)=1,布?份二Q(QN0),

……這種兩個含二次根式的代數式相乘，積不含二次根式，我們稱這兩個代數式互為有理化因式.在進行二

次根式運算時.，利用有理化因式可以化去分母中的根號.

如:廿鬲島廠企+1，

請你解決如下問題：

⑴國+我的有理化因式是,而%=.

⑵化簡嬴+募+占+…+720231^025-

⑶數學課上，老師出了一道題“已知Q=4-,求3a2-6a-1的值〃

V2-1

聰明的小明同學根據上述材料，做了這樣的解答：

因為a=-^―=:、=V2+1,所以Q-1=

V2-1(V2-1)(V2+1)

所以(a—1y=2,所以Q2—2Q+1=2,所以小―2Q=1,

所以3a2—6Q=3,所以3a2-6a-1=2

利用上述方法：若a=；-",求一2a2+12a+3的值.

3-V7

【答案】(1)百一VLV6-V5

(2)22

(3)7

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值，平方差公式完全平方公式，理解題中所給有理化因式的定義

及熟知二次根式的運算法則是解題的關鍵.

(1)根據平方差公式和互為有埋億因式的意義得出答案即可；

(2)先分母有理化，再根據二次根式的加減法法則進行計算即可；

(3)根據題干給出的解題方法，進行求解即可.

【詳解】⑴解:0(V3+V2)(V3-V2)=3-2=1,

0V3+或的有理化因式是V5—衣，

1_1x(、用一⑹—/Z_/F

石市一(s/6+V5)(V6-V5)一V。一V3?

故答案為；\f3-yf2,76-75；

(2)余至?——----1---------1---------..._|----------i------

/冊.S+WW+麻居^72023+72025

V3-VTV5-V3V7-V5

=----------------------------1-----------------------------1-----------------------------1-...

(V1+V3)(V3-VT)(V3+^)(V5-V3)(V5+V7)(V7-V5)

V2025-V2023

(V2023+72025)(72025-^023)

_\Z3-V1+V5-V3+V7->/5+-4-V2025-V2023

二2

_\z2025--/1

=2

45-1

2

=22；

(3)解：加=2=,2gy)3+夕

3-V7(3-⑺(3+仞V

0a-3=A/7,

0(a-3)*2=(V7)2,

0a2—6Q=-2,

0—2ct2+12a+3

=-2(a2-6a)+3

=-2x(-2)+3

=7.

22.(10分)(24-25八年級下?浙江?階段練習)已知關于x的方程/-(k+2)%+2k=0.

⑴求證：無論上取任何實數值，方程總有實數根：

⑵若Rt△斜邊長Q=3,另兩邊長沙，c恰好是這個方程的兩個根，求△4BC的周長.

⑶已知三個不同的實數a,b,c滿足a-b+c=3,方程產+GD:+1=0和/+Z?%+c=。有一個相同的實

根，方程/+無+Q=o和/+ex+b=0也有一個相同的實根.求。，。，c的值.

【答案】(1)證明見解析

(2)54-75

⑶Q=—2,b=—3?c=2

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根與系數的關系，勾股定理的應用.

(1)把?元二次方程根的判別式轉化成完全平方式的形式，得由A20可知方程總有實數根.

(2)根據根與系數的關系得b+c=k+2,bc=2k,再由勾股定理得到(k+27-2x2k=9,即可解得Z

的值，利用b+c>0取舍攵的值，即可得到△48。的周長.

(3)依次將題設中所給的四個方程編號為/+以+1=0①，x2+以+c=O②，x2+%+a=o③，M+

cx+b=0④.設%】是方程①和方程②的一個相同的實根，可得：M=懸.設不是方程③和方程④的一

個相同的實根，可得小=三，可得%1不=1?再進一步求解即可.

【詳解】(1)證明：(3X2-(/C+2)X+2/C=0,

0A=[一(k+2)]2-4x1x2+

=A?+4k+4-8Z

=k2-4k+4

=也一2產

???(k-2)2>0,

0,

???無論我為任意實數值方程.，總有實數根.

(2)解：團口△ABC斜邊長a=3,另兩邊長江c,恰好是方程/一(k+2)》+2攵=0的兩個根，

(3b+c=k+2,be=2k,

回仄。為直角邊，斜邊長a=3,

0b2+c2=32,

日(b+c)2—2bc=9,

0(/c+2)z-2x2k=9,

整理得/=5,

解得自=V5,k2=-V5,

???b+c>0,

：?k2=一遍舍去，

團b+c=遍+2,

團△力BC的周長=5+遍，

(3)解：依次將題設中所給的四個方程編號為/+Q%+1=0①，/++。=o②，/+X+Q=0③,

/+c%+b=0④.

設勺是方程①和方程②的一個相同的實根，則｛1：：：：：：；，兩方程相減，

設必是方程③和方程④的一個相同的實根，貝4學:不+:=）,兩方程相減,

+CX2+b=0

用解得％2=4

C—1

0XtX2-1.

又方程①的兩根之積等于1,

耽2也是方程①的根，則右+?X2+1=0.

又好+小+Q=0，

兩方程相減,得（a-l）x2=a-L

若a=l,則方程①無實根，

回aH1,

0x2=L

01+1+a=0,

□a=-2,

由④得：b+c=-1.

又a—b+c=3,

解得：b=-3,c=2.

23.（12分）（24-25八年級下?福建福州?期中）閱讀下列材料，然后回答問題：

①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如日樣的式了，其實我們還可以將其進步化簡:

高==糕*=華D=V3-1,以上這種化簡的步驟叫做分母有理化?

V3+1（v3+l）（v3-l）（V3）-12

②學習數學，最重要的是學習數學思想，其中一種數學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比

如我們熟悉的下面這個題：已知Q+b=2,劭=-3,求小+/.我們可以把Q+b和ab看成是一個整體，

令刀=。+6,y=ab,則a?+/=（。+匕）2-2ab=/-2y=4+6=10.這樣，我們不用求出a,b就

可以得到最后的結果.

（1）計算：焉+康；

（2）若m是正整數，a=一'b="且Q+匕+3ab=2025,求m的值；

Vm+1+v?vm+1-Vm

（3）若、15+/一\26—。2=1,則V15+%2+，26-％2的值是.（直接寫出答案結果）

【答案】（1）空

(2)m=505

(3)9

【分析】本題考查了分母有理化、利用完全平方公式進行計算、二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是

解此題的關鍵.

(1)利用分母有理化的方法對各式子進行整理，從而可求解；

(2)先利用分母有理化的方法對各式子進行整理，再代入式子a+b+3ab=2025化簡求解即可；

(3)先求出(V15十人2——(26-八=1,再沖算出M15十42,26—=20?結-合V15十二>o,V26—x2>

0,即可求解.

【詳解】(1)解：原式二(一V3二+1；二7+鼠(v5+哥v3)港(V5-Fv3)

1Vs-V3

=-2-+-2-

=-x(V3—1+V5—V3)

_^-1

二2

yjm+l-yfm.y/m+l+y/m

(2)a=,------L，O=

%/zn+l+vmdm+1-標’

,_____,2

(Vm+1-4m)f------..2

a=7-7-----=i--------------=---=r=(Vm+1-y/m)

(vrn+1+yjm)\ym4-1—xjm)

_____(，m+l+標)2_____,2

(Vm+1+Vm).

(Vm+l-v*m)(Vnt+l+y'm)

???a+b=(\!m+1-Vrn)2+(x/nTTT+Vm)2=2(2m+1)=4m+2.

ab=(Vm+1-Vm)2(yjm+1+Vm)2=[(Vm4-1-Vni)(V7n+1+Vm)]2=(m+1-m)2=1.

a+b+3ab=2025,

???4m4-24-3x1=2025,

:.4m=2020,

解得：m=505；

(3)vV15+x2—V26—x2=1,

:.(V15+%2—V26—x2)2=1,

2222

A154-%-2V15+xxV26—x4-26—%=1,

???V15+x2xV26—x2=20,

2

???“15+/+726-x2)

2

=(V15+x2-V26-x2)+4V15+x2xV26-x2=l2+4x20=1+80=81,

???V15+x2>0,V26-X2>0

???V15+x2+V26-X2=9.

故答案為：9.

24.(12分)(2025?湖南長沙?二模)我們知道：關于工的一元二次方程Q/+8x+c=0(Q工0,a,b,c均

為整數)，如果/—4acN0時，這個方程的實數根就可以表示為％=生平王，其中爐—4QC就叫做一元

二次方程根的判別式，我們用△表示，即△=b2-4ac,通過觀察公式，我們可以發(fā)現，如果△的值是一個完

全平方數(若九=62(TH為整數)，則九是一個完全平方數)時：一元二次方程的根不一定都為整數，但是

如果一元二次方程的根都為整數，△的值i定是一個完全平方數.

例：方程27一k一1=0,△=62-4ac=(-1)2-4x2x(-1)=9=32,△的值是一個完全平方數，但

是該方程的根為/=1，x2=-1.不都為整數；方程/-6%+8=0的兩根勺=2,“2=4,都為整數，

此時A=b2-4ac=(-6)2-4xlx8=4=22,△的值是一個完全平方數.

我們定義：兩根都為整數的一元二次方程Q/+bx+c=0(Q學0,Q,b,c均為整數)稱為“幸運方程”，

兩整數根稱為"幸運根''，代數式竺子的值為該“幸運方程''的“幸運數〃，用F?,瓦c)表示，即尸(a,b,c)=

若盧.若有另一個“幸運方程"p/+qx+r=0(p^O,p,q,r均為整數)的“幸運數“為"(p,q,r),若r?

F(a,b,c)=c?尸(p,q,r),則稱尸(a,b,c)與F(p,q,r)互為"開心數".

⑴關于工的一元二次方程/一(m+l)x+m=0是一個"幸運方程

①當巾=2時，該幸運方程的“幸運數〃是；

②若該幸運方程的“幸運數”是-1,則m的值為.

⑵若關于匯的一元二次方程/-(2m-l)x+m2-2m-3=0(zn為整數，且4<m<15)是“幸運方程”,

求加的值及該方程的“幸運數〃；

⑶若關于x的一元二次方程/一本為+根+1=0與-(n+2)x4-2n=0(m、九均為整數)都是“幸運方

程"，且其"幸運數〃互為"開心數〃，求"的值.

【答案】⑴①一右②一1或3；

(2)加=9,該方程的“幸運數"為一?

4

(3)n=3或九=0

【分析】本題考查了?元二次方程根的判別式以及“幸運方程”的定義，解一元二次方程，一元二次方程根與

系數的關系；

(1)①把m=2代入方程/一(m+l)x+m=0得到方程/-+2=0,根據“幸運數〃的定義即可求解；

②艱據“幸運數”的定義可得方