八年級數(shù)學(xué)每日一練（第7周）

星期一

1.（基礎(chǔ)）（2023秋?那西縣期中）如圖，在△ABC中，△ABC的周長為26c〃?，NBAC=140。，AB+AC=

\4cm,AB.AC的垂直平分線分別交8c于E、F,與A3、AC分別交于點(diǎn)。、G.

求：（1）NE4b的度數(shù)；

（2）求AAE〃的周長.

2.（強(qiáng)化）已知：如圖，NAOB=30。，點(diǎn)M,N分別是邊04,08上的定點(diǎn)，點(diǎn)P,Q分別是邊OB,OA

上的動點(diǎn)，記NMPQ=a,N尸QN=0.當(dāng)M戶+PQ+QN最小時(shí)，則（3-a為？

0PNB

星期二

3.（基礎(chǔ)）2024秋?松滋市期中）如圖，△A8C中，ADLBC,EF垂直平分AC,交AC于點(diǎn)F,交8c于

點(diǎn)E,且8。=?！?/p>

（1）若N8A￡=40。，求NC的度數(shù);

（2）若△ABC周長13c?〃，AC=6cnh求QC長.

4.（強(qiáng)化）（2022秋?豐澤區(qū)校級期中）在等邊△A8C中，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在邊A8,BC上，以DE為邊

向右作等邊連接CR

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)。和*A重合時(shí)，求N4CF的大小;

（2）如圖2,點(diǎn)。是邊A8的中點(diǎn)，求證：/FCE=NFEC.

星期三

5.（基礎(chǔ)）在等邊三角形ABC中，點(diǎn)力、E分別在邊8C、4c上，且過點(diǎn)E作E凡LOE,交BC

的延長線于點(diǎn)F.

（1）求Nb的度數(shù)：

（2）若。。=4,求。尸的長.

6.（強(qiáng)化）（2022秋?來鳳縣校級期中）已知，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)。為AC上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)七為

BC延長線上一點(diǎn)，且8力=。及

（1）如圖1，若點(diǎn)。在邊AC上，猜想線段A。與CE之間的關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖2,若點(diǎn)。在AC的延長線上，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由.

星期五

9.（基礎(chǔ)）如圖，在RSA8C中，ZACB=90°,ZB=30°,A。平分NCA艮

（1）求NCAD的度數(shù)；

（2）延長AC至E,使A￡=A3,求證：DA=DE.

10.（強(qiáng)化）如圖，AA8C是等邊三角形，。是AC邊上一動點(diǎn)（。不與A、C重合），E為8C邊的延長

線上一動點(diǎn)，且在運(yùn)動過程中始終保持CE=4Q,連接

（1）如圖（1）,當(dāng)點(diǎn)為AC邊的中點(diǎn)時(shí)，試判斷△8DE的形狀，并證明你的結(jié)論;

（2）如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)D為AC邊上任一位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立，請加以證明.

圖（2）

參考答案與試題解析

1.如圖,在△ABC中，△ABC的周長為26cm,ZBAC=140°,AB+AC=I4cw,AB.AC的垂直平分線分

別交8C于E、F,與4B、AC分別交于點(diǎn)。、G.

求：（1）NE4/的度數(shù)；

（2）求AAE尸的周長.

【答案】（1）100°；

（2）12cm.

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N8+NC,根據(jù)線段垂直平分線的性偵得到E4=E8,FA=FC,

進(jìn)而得到N￡A8=NB,ZMC=ZC,計(jì)算即可：

（2）根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可.

【解答】解：（1）VZBAC=140°,

.,.Z^+ZC=180°-140°=40°,

,/DE是A8的垂直平分線，

:?EA=EB,

：.ZEAB=ZB,

同理，F(xiàn)A=FC,

AZMC=ZC

：.ZEAF=ZBAC~(NE4B+/物C)=ZBAC~(NB+NC)=140。-40。=100。；

(2)???△ABC的周長為26?！?，AB+AC=14cm,

.\BC=26-14=12Cem),

/.^AEF=EA+EF+FA=EB+EF+FC=BC=12Cem).

2.已知：如圖，NAO8=30。，點(diǎn)M,N分別是邊OA,08上的定點(diǎn)，點(diǎn)P,Q分別是邊OB,。人上的動

點(diǎn)，記NMPQ=a,NPQN=S.當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí)，則B-a=60。.

A

【分析】作M關(guān)于0B的對稱點(diǎn)Af,N關(guān)于0A的對稱點(diǎn)M,連接MN交。4于Q,交0B于P,則

MPfPQ十QN最小，物知乙OPM=NOPM'=NNPQ,/OQP=NAQN』/AQN,根據(jù)三角形的外角的性

質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論.

（解答］解：如圖，作M關(guān)于0B的對稱點(diǎn)M\N關(guān)于。人的對稱點(diǎn)N,連接MN交CM于Q,交0B

于尸，則MP+PQ+QN最小，

11

???NOPM=NOPM'=NNPQ="M'PM,NOQP=NAQN'=NAQN=掾4NQN'

111

QPN=+乙M'PM=1(180。-NMPQ)(1800-a)

???/QPN=ZAOB+ZOQP

=NAOB+NAQN

=NAO8+鼻NQN'

=30。+：x(1800-p),

A-(180°-a)=30°+^x(180°-p),

A180°-a=60°+(180°-p),

Al80°-a=240°-p,

/.p-a=240°-180°,

.\p-a=60°,

故答案為60c.

3.如圖，△ABC中，ADA.BC,垂直平分AC,交AC于點(diǎn)尸，交BC于點(diǎn)、E,且BD=DE.

(1)若NA4E=40。，求NC的度數(shù)；

(2)若△A8C周長13c〃?，AC=6cmf求。C長.

(2)3.5cm.

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形性質(zhì)得出AB=AE=CE,求出NAEB和NC=NE4C,即

可得出答案;

(2)根據(jù)己知能推出2O￡+2EC=7c/〃，即可得出答案.

【解答】解：(1)?.?A。垂直平分E〃垂直平分AC,

：,AB=AE=EC,

???NC=NCAE,

???NB4E=40。，

JZAED=70°,

.*.ZC=|ZAED=35°：

(2)：/XABC周長13c/〃，AC=6cin,

:?AB+BE+EC=7cm,

即2DE+2EC=7cm,

DE+EC=DC=3.5cm.

4.在等邊△ABC中，點(diǎn)。和點(diǎn)E分別在邊AB,8c上，以O(shè)E為邊向右作等邊△QEF,連接CE

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)A重合時(shí)，求NAC/的大小；

(2)如圖2,點(diǎn)。是邊A8的中點(diǎn)，求證：ZFCE=ZFEC.

A{D}A

【答案】（I）/AC"=60。；（2）見解析.

【分析】（1）證明△（SAS）,可得N/WC=NACr=60。；

（2）如圖2中，連接CD,取BC的中點(diǎn)丁，連接07,FT.證明△8?！辏?4兀下（SAS）,可得結(jié)論.

【解答】（1）解：如圖I中，

??.△ABC,AAEV都是等邊三角形，

/.ZABC=ZBAC=ZEAF=60°,AB=AC,AE=AFt

即ZBAE+ZEAC=ZEAC+ZCAF,

：,ZBAE=ZCAF,

在484七和^CA”中，

AB=AC

Z.BAE=Z-CAF,

AE=AF

/.△fiAE^ACAF(SAS),

???N48C=NAC尸=60°；

(2)證明：如圖2中，連接CO,取BC的中點(diǎn)r,連接。7，F(xiàn)T.

:?BD=BT,

VZB=60°,

是等邊三角形,

???△OE/是等邊三角形，

，同法可證，△BDEBATDF（SAS）,

：.BE=FT,ZB=ZDTF=6Q°,

*/NBTD=60。,

???NFTC=N8=6()。，

?:BD=TC,/B=NFTC,BE=TF,

：.^BDE^ATCF(SAS),

,DE=CF,

,:EF=DE,

:,FE=FC,

/.ZFCE=ZFEC.

5.在等邊三角形人8c中，點(diǎn)。、E分別在邊BC、AC上，KDE//AB,過點(diǎn)E作七凡LOE,交BC的延長

線于點(diǎn)F.

（1）求//的度數(shù)；

（2）若CO=4,求。尸的氏.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/EQC=N8=60。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解;

（2）易證AEOC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：（1）???△A6C是等邊三角形，

???/4=60。，

'：DE//AB>

???NEOC=N8=60。，

VEFlDE,

JZDEF=90°,

/.ZF=90u-ZhDC=30"；

(2)VZ/\CB=60°,ZEDC=60°,

.??△EOC是等邊三角形.

:.ED=DC=4,

VZD￡F=90°,/尸=30°,

：.DF=2DE=S.

6.已知，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)。為AC上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)E為BC延長線上一點(diǎn)，且8。=?！?/p>

(1)如圖1,若點(diǎn)。在邊AC上，猜想線段A。與CE之間的關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,若點(diǎn)D在AC的延長線上，(1)中的結(jié)論是否成立，請說明理

【分析】(1)求出NE=NCOE,推出CO=CE,根據(jù)等腰三帝形性質(zhì)求出AQ=。。，即可得出答案；解:

(1)AD=CE,理由：過。作。/〃A8交8c于6

(2)(1)中的結(jié)論仍成立，如圖3,過點(diǎn)。作。尸〃8C,交A8的延長線于點(diǎn)尸，證明

得到PD=CE,即可得至ljAD=CE.

【解答】解：⑴AD=CE,

證明：如圖1,過點(diǎn)。作。P/8C,交AB于點(diǎn)、P,

???△48C是等邊三角形，

???尸。也是等邊三角形，

：.AP=PD=AD,ZAPD=ZABC=ZACB=ZPZ)C=60°,

":DB=DE,

:?/DBC=NDEC,

*：DP//BC,

:?/PDB=/CBD,

/PDB=/DEC,

又NBPD=NA+NADP=120。，ZDCE=ZA+ZABC=120°,

即N8PO=NOCE,

在△BP。和AOCE中，ZPDB=ZDEC,/BPD=/DCE,DB=DE,

:.XBPD烏叢DCE,

PD=CE,

：.AD=CEi

(2)如圖3,過點(diǎn)。作。P〃BC,交AB的延長線于點(diǎn)P,

???△AP。也是等邊三角形，

：.AP=PD=AD,ZAPD=NABC=NACB=NPQ4=600,

?:DB=DE,

：.NDBC=/DEC,

■:DP//BC,

：,/PDB=/CBD,

：,ZPDB=ZDEC,

(Z.PDB=乙DEC

在aBPD和^QCE中,4P=乙DCE=60°,

(DB=DE

：,ABPDqADCE,

工PD=CE,

：.AD=CE.

B￡

圖1

7.如圖，已知△ABC中，AB=AC,在AC上有一點(diǎn)。，延長8D,并在8。的延長線上取點(diǎn)E使AE=A8,

連接AE.

（1）作圖：作NEAC的平分線A凡交DE于點(diǎn)、F,（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，連接C凡求證：ZABE=ZACF.

【答案】（1）圖形見解析；

（2）見解析.

【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；

（2）結(jié)合（1）和等腰三角形的性質(zhì)，利用邊角邊證明△AE/WAACr即可得結(jié)論.

【解答】（1）解：如圖所示：射線46即為N￡AC的平分線4F；

（2）證明：連接CF,

9

：AB=AC,AE=ABf

：.AE=AC,NABE=/AEB,

在△￡4尸和△CAr中，

AE=AC

/-EAF=N&4/，

AF=AF

：.XEAF出XCMF（SAS）,

NAEF=ZACF,

???ZABE=ZACF.

E

A

D：

8.如圖，AABD和△8。均是邊長為2的等邊三角形，E、F分別是A。、CD上的兩個(gè)動點(diǎn)，且滿足

AE+CF=2.

（I）求證：△BDE烏ABCF；

（2）判斷ABE尸的形狀，并說明理由.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)和正三角形的特點(diǎn)進(jìn)行證明;

（2）ABEF為正三角形,可解用（1）全等的結(jié)論證明：

【解答】證明：（1）???△4雙）和都為正三角形，

:.AB=AD=BC=CD=BD,

???四邊形ABC。是菱形，

???NBDE=NBC尸=60。,BD=BC,

\'AE+DE=AD=2,而AE+C尸=2,

:.DE=CF,

:?△BDEmABCF（SAS）；

（2）,:4BDE@ABCF,

:?/DBE=/CBF,BE=BF,

NDBC=NDBF+NCBF=60。,

???/。8尸+/。8七=60。即NEBF=60°,

???△8上五為正二角形；

9.如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,ZB=30°,A。平分NCAB.

（1）求NC4。的度數(shù)；

（2）延長4c至E,使AE=A3,求證：DA=DE.

【分析】（1）根據(jù)題意可知NC4B=60。，然后利用角平分線性質(zhì)可求得答案；

（2）由題意可知三角形是等邊三角形，然后在證明RM。。也RSQCE,即可求證.

【解答】解：（1）\?在RSABC中，NACB=90。，N8=30。，AD平分

???NCAB=60o=2xNCA。，

；?ZCAD=30°：

（2）連接得到三角形4跖，

???延長AC至E,使AE=/W,在Rs48。中，NACB=900,N8=300,

NE4B=60°,

???三角形ABE是等邊三角形，

:,AC=CE,

，RSQCgRsDCE,

10.如圖，ZkABC是等邊二角形，D是AC邊上一動點(diǎn)（。不與A、C'重合），七為8。邊的延長線上一動點(diǎn),

且在運(yùn)動過程中始終保持CE=AZ）,